Circuits Électriques

Simplifier un circuit avec le théorème de Norton

Exercice : Théorème de Norton en Régime Sinusoïdal

Simplifier un Circuit avec le Théorème de Norton

Contexte : Le théorème de NortonUn principe fondamental en génie électrique qui permet de simplifier un circuit linéaire complexe en un circuit équivalent simple, composé d'une source de courant et d'une impédance en parallèle..

L'analyse des circuits électriques, surtout en régime sinusoïdal, peut rapidement devenir complexe. Le théorème de Norton est un outil puissant qui permet de remplacer n'importe quelle partie d'un circuit linéaire par un modèle équivalent beaucoup plus simple. Cette simplification est essentielle pour analyser l'effet du circuit sur un composant spécifique (la charge) sans avoir à résoudre l'ensemble du circuit à chaque fois que la charge change.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra la méthode systématique pour déterminer le générateur de Norton équivalent d'un circuit en régime sinusoïdal. La maîtrise de cette technique est cruciale pour l'analyse de circuits plus complexes, notamment en électronique de puissance et en télécommunications.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'impédanceLa mesure de l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est la généralisation de la résistance aux circuits AC et elle est représentée par un nombre complexe. équivalente de Norton (\(Z_N\)).
  • Déterminer le courant de court-circuit de Norton (\(I_N\)) en utilisant l'analyse complexe.
  • Dessiner le schéma du circuit équivalent de Norton.
  • Utiliser le circuit équivalent pour calculer le courant dans une charge.

Données de l'étude

On considère le circuit ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale. L'objectif est de déterminer le circuit équivalent de Norton vu depuis les bornes A et B.

Schéma du Circuit Électrique
~ E R1 L R2 C A B
Paramètre Description Valeur Unité
E Source de tension (valeur efficace) \(10 \angle 0^\circ\) V
f Fréquence 50 Hz
R₁ Résistance 1 10 \(\Omega\)
R₂ Résistance 2 20 \(\Omega\)
L Inductance 50 mH
C Capacité 100 \(\mu\)F

Questions à traiter

  1. Calculer l'impédance équivalente de Norton (\(Z_{\text{N}}\)) vue des bornes A et B.
  2. Calculer le courant de court-circuit de Norton (\(I_{\text{N}}\)) circulant de A vers B.
  3. Dessiner le schéma du circuit équivalent de Norton.
  4. Si une charge résistive \(R_{\text{charge}} = 15 \, \Omega\) est connectée entre les bornes A et B, quel est le courant efficace \(I_{\text{charge}}\) qui la traverse ?

Les bases sur le Théorème de Norton

Le théorème de Norton est un pilier de l'analyse de circuits. Il stipule que tout circuit électrique linéaire dipolaire peut être remplacé par un circuit équivalent constitué d'une source de courant idéale \(I_{\text{N}}\) en parallèle avec une unique impédance \(Z_{\text{N}}\).

1. Calcul de l'impédance de Norton (\(Z_{\text{N}}\))
Pour trouver \(Z_{\text{N}}\), on "éteint" toutes les sources indépendantes du circuit (les sources de tension sont remplacées par un court-circuit et les sources de courant par un circuit ouvert) et on calcule l'impédance totale vue depuis les bornes de sortie. En régime sinusoïdal, on utilise les impédances complexes :

  • Résistance R : \(Z_R = R\)
  • Bobine L : \(Z_L = jL\omega\)
  • Condensateur C : \(Z_C = \frac{1}{jC\omega} = - \frac{j}{C\omega}\)

Avec \(\omega = 2\pi f\) (pulsation en rad/s).

2. Calcul du courant de Norton (\(I_{\text{N}}\))
Le courant \(I_{\text{N}}\) est le courant qui circulerait dans un court-circuit placé entre les bornes de sortie A et B. On le calcule en utilisant les lois d'analyse de circuit classiques (loi des mailles, loi des nœuds, diviseur de courant...) sur le circuit d'origine. C'est un phaseur (nombre complexe) en régime sinusoïdal.

Correction : Simplifier un Circuit avec le Théorème de Norton

Question 1 : Calcul de l'impédance équivalente de Norton (\(Z_{\text{N}}\))

Principe

Le concept physique derrière le calcul de l'impédance équivalente (\(Z_{\text{N}}\) ou \(Z_{\text{th}}\)) est de déterminer l'opposition "interne" du circuit au passage du courant, vue depuis les bornes de sortie. Pour cela, on analyse le circuit passif, c'est-à-dire sans l'influence de ses sources d'énergie internes.

Mini-Cours

Pour déterminer une impédance équivalente, on combine les impédances individuelles en utilisant les lois d'association :

  • Série : Les impédances s'additionnent : \(Z_{\text{eq}} = Z_1 + Z_2 + \dots\)
  • Parallèle : L'inverse de l'impédance équivalente est la somme des inverses des impédances (on somme les admittances \(Y=1/Z\)) : \(Z_{\text{eq}} = \left(\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \dots\right)^{-1}\). Pour deux impédances : \(Z_{\text{eq}} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}\).
La neutralisation des sources est une étape clé : une source de tension idéale a une impédance interne nulle (d'où son remplacement par un fil), et une source de courant idéale a une impédance interne infinie (d'où son remplacement par une coupure).

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus fréquente est de mal visualiser les nouvelles connexions après avoir éteint les sources. Prenez l'habitude de redessiner le circuit simplifié. Cela clarifie instantanément les associations en série et en parallèle qui peuvent être masquées dans le schéma initial.

Normes

Cet exercice relève des fondements de la théorie des circuits électriques linéaires, régie par les lois de Kirchhoff et d'Ohm. Il n'y a pas de norme industrielle spécifique (comme l'IEC) à appliquer ici, mais la méthode est universellement reconnue en génie électrique.

Formule(s)

Impédances complexes et pulsation

\[ Z_L = jL\omega \quad ; \quad Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \quad ; \quad \omega = 2\pi f \]

Association parallèle

\[ Z_{\text{parallèle}} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Tous les composants (résistances, bobine, condensateur) sont idéaux.
  • Les fils de connexion ont une résistance nulle.
  • La source de tension est idéale, avec une impédance interne nulle.
Donnée(s)

Les données pertinentes de l'énoncé pour cette question sont :

ParamètreValeurUnité
Fréquence (f)50Hz
Résistance (R₁)10\(\Omega\)
Résistance (R₂)20\(\Omega\)
Inductance (L)50mH
Capacité (C)100\(\mu\)F
Astuces

Pour les calculs d'impédances en parallèle, il est souvent plus rapide de travailler avec les admittances (\(Y=1/Z\)). L'admittance équivalente de plusieurs branches en parallèle est simplement la somme de leurs admittances individuelles : \(Y_{\text{eq}} = Y_1 + Y_2\). Ensuite, on calcule \(Z_{\text{N}} = 1/Y_{\text{eq}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Circuit pour le calcul de \(Z_N\)
E=0 R1 L R2 C A B ZN
Calcul(s)

Calcul de l'impédance de la bobine \(Z_L\)

\[ \begin{aligned} Z_L &= jL(2\pi f) \\ &= j(0.05)(2\pi \cdot 50) \\ &\approx j15.71 \, \Omega \end{aligned} \]

Calcul de l'impédance du condensateur \(Z_C\)

\[ \begin{aligned} Z_C &= \frac{-j}{C(2\pi f)} \\ &= \frac{-j}{(100 \times 10^{-6})(2\pi \cdot 50)} \\ &\approx -j31.83 \, \Omega \end{aligned} \]

Impédance de la branche 1 (R₁ en série avec L)

\[ Z_{\text{branche1}} = R_1 + Z_L = 10 + j15.71 \, \Omega \]

Impédance de la branche 2 (R₂ en série avec C)

\[ Z_{\text{branche2}} = R_2 + Z_C = 20 - j31.83 \, \Omega \]

Mise en parallèle des deux branches

\[ \begin{aligned} Z_{\text{N}} &= \frac{Z_{\text{branche1}} \cdot Z_{\text{branche2}}}{Z_{\text{branche1}} + Z_{\text{branche2}}} \\ &= \frac{(10 + j15.71)(20 - j31.83)}{(10 + j15.71) + (20 - j31.83)} \\ &= \frac{200 - j318.3 + j314.2 + 500}{30 - j16.12} \\ &= \frac{700 - j4.1}{30 - j16.12} \end{aligned} \]

Rationalisation de la fraction complexe

\[ \begin{aligned} Z_{\text{N}} &= \frac{(700 - j4.1)(30 + j16.12)}{(30 - j16.12)(30 + j16.12)} \\ &= \frac{21000 + j11284 - j123 + 66.09}{30^2 + 16.12^2} \\ &= \frac{21066.09 + j11161}{900 + 259.85} \\ &= \frac{21066.09 + j11161}{1159.85} \\ &= 18.16 + j9.62 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Modèle de l'impédance de Norton
R_N ≈ 18.16 ΩL_N ≈ 30.6 mH
Réflexions

Le résultat \(Z_{\text{N}} \approx 18.16 + j9.62 \, \Omega\) nous apprend deux choses. La partie réelle (18.16 \(\Omega\)) représente la dissipation d'énergie (pertes) du circuit équivalent. La partie imaginaire positive (\(+j9.62 \, \Omega\)) signifie que, globalement, à 50 Hz, le circuit vu des bornes A et B se comporte comme une bobine (comportement inductif).

Points de vigilance

Attention aux erreurs de calcul avec les nombres complexes, notamment lors de la division. La conversion en forme polaire est souvent plus sûre pour les multiplications/divisions. De plus, ne confondez pas la formule du parallèle avec celle de la série, surtout après avoir redessiné le circuit.

Points à retenir

Pour trouver l'impédance de Norton :
1. Identifier toutes les sources indépendantes.
2. Les "éteindre" : sources de tension \(\rightarrow\) court-circuit, sources de courant \(\rightarrow\) circuit ouvert.
3. Calculer l'impédance équivalente vue des bornes de sortie.

Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance complexe a été introduit à la fin du 19ème siècle par Oliver Heaviside et Arthur Kennelly. Cette "astuce" mathématique a transformé l'analyse des circuits AC, en remplaçant des équations différentielles complexes par de simples calculs algébriques, comme celui que nous venons de faire.

FAQ

Que se passerait-il s'il y avait une source de courant dans le circuit ?

Pour le calcul de \(Z_{\text{N}}\), une source de courant idéale serait remplacée par un circuit ouvert (une coupure dans le fil), car son impédance interne est considérée comme infinie.

Pourquoi la partie imaginaire est-elle positive ?

Cela indique que l'effet de l'inductance (qui a une impédance \(+jL\omega\)) est prédominant sur l'effet du condensateur (qui a une impédance \(-j/C\omega\)) dans la configuration globale du circuit à cette fréquence précise de 50 Hz.

Résultat Final
\(Z_{\text{N}} \approx (18.16 + j9.62) \, \Omega\)
A vous de jouer

Pour tester votre compréhension, que deviendrait l'impédance de la bobine \(Z_L\) si la fréquence doublait pour atteindre 100 Hz ?

Question 2 : Calcul du courant de court-circuit de Norton (\(I_{\text{N}}\))

Principe

Le courant de Norton est le courant qui s'écoulerait si l'on connectait un fil parfait (un court-circuit) entre les bornes A et B. Il représente le courant maximal que le circuit peut délivrer à sa sortie.

Mini-Cours

Pour calculer un courant dans une branche spécifique d'un circuit complexe, plusieurs méthodes sont possibles :

  • Loi des mailles (Kirchhoff) : On écrit les équations de tension pour chaque boucle du circuit. Efficace mais peut mener à des systèmes d'équations lourds.
  • Loi des nœuds (Millman) : On écrit les équations de courant pour chaque nœud. Souvent plus direct pour trouver des courants.
  • Conversion Thévenin-Norton : Une méthode élégante consiste à d'abord trouver la tension à vide aux bornes A-B (\(V_{\text{th}}\)), puis à utiliser la relation \(I_{\text{N}} = V_{\text{th}} / Z_{\text{N}}\). C'est une conséquence directe de la dualité des deux théorèmes.

Remarque Pédagogique

La méthode de conversion via Thévenin (\(I_{\text{N}} = V_{\text{th}}/Z_{\text{N}}\)) est souvent la plus robuste. Elle décompose le problème en deux étapes plus simples (calcul de la tension à vide, puis une simple division) et minimise les risques d'erreur par rapport à l'analyse directe d'un circuit en court-circuit qui peut être complexe.

Normes

Comme pour la question 1, nous appliquons les lois fondamentales de l'électrocinétique.

Formule(s)

Relation de dualité Thévenin-Norton

\[ I_{\text{N}} = \frac{V_{\text{th}}}{Z_{\text{N}}} \]

Formule du diviseur de tension

\[ V_{\text{diviseur}} = V_{\text{source}} \cdot \frac{Z_{\text{intérêt}}}{Z_{\text{totale\_série}}} \]
Hypothèses

Nous gardons les mêmes hypothèses de composants et de connexions idéales que pour la première question.

Donnée(s)

Nous utilisons toutes les données du circuit, y compris la source, et le résultat de la question 1 :

  • Source de tension (\(E\)) : \(10 \angle 0^\circ\) V
  • Impédance de la bobine (\(Z_L\)) : \(\approx j15.71 \, \Omega\)
  • Impédance du condensateur (\(Z_C\)) : \(\approx -j31.83 \, \Omega\)
  • Résistance 1 (\(R_1\)) : \(10\,\Omega\)
  • Résistance 2 (\(R_2\)) : \(20\,\Omega\)
  • Impédance de Norton (\(Z_{\text{N}}\)) : \(\approx 18.16 + j9.62 \, \Omega\)
Astuces

Lors du calcul de \(V_{\text{th}}\) dans un circuit en pont comme celui-ci, traitez chaque branche verticale comme un pont diviseur de tension indépendant alimenté par la source E. Calculez le potentiel à chaque point (A et B) par rapport à la masse, puis faites la différence.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit pour le calcul de \(V_{th}\) (à vide)
~ E R1 L R2 C A B + - Vth
Calcul(s)

Calcul du potentiel au point A (\(V_A\))

\[ \begin{aligned} V_{\text{A}} &= E \cdot \frac{Z_L}{R_1 + Z_L} \\ &= 10 \angle 0^\circ \cdot \frac{j15.71}{10+j15.71} \\ &\approx 8.1 \angle 32.5^\circ \, \text{V} \\ &\approx (6.8 + j4.4) \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul du potentiel au point B (\(V_B\))

\[ \begin{aligned} V_{\text{B}} &= E \cdot \frac{Z_C}{R_2 + Z_C} \\ &= 10 \angle 0^\circ \cdot \frac{-j31.83}{20-j31.83} \\ &\approx 8.4 \angle -32.1^\circ \, \text{V} \\ &\approx (7.1 - j4.5) \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de la tension de Thévenin (\(V_{th}\))

\[ \begin{aligned} V_{\text{th}} &= V_{\text{A}} - V_{\text{B}} \\ &\approx (6.8 + j4.4) - (7.1 - j4.5) \\ &= -0.3 + j8.9 \, \text{V} \\ &\approx 8.9 \angle 91.9^\circ \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul du courant de Norton (\(I_N\))

\[ \begin{aligned} I_{\text{N}} &= \frac{V_{\text{th}}}{Z_{\text{N}}} \\ &\approx \frac{8.9 \angle 91.9^\circ}{20.55 \angle 27.9^\circ} \\ &= \frac{8.9}{20.55} \angle (91.9^\circ - 27.9^\circ) \\ &\approx 0.433 \angle 64^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Circuit Équivalent de Norton Résultant
IN ZN A B
Réflexions

Le courant de Norton a une amplitude de 0.433 A et est en avance de phase de 64° par rapport à la tension de la source E. Cette avance de phase importante est due à l'interaction complexe des composants inductifs et capacitifs du circuit.

Points de vigilance

La principale difficulté dans le calcul de \(V_{\text{th}}\) est d'identifier correctement les potentiels \(V_A\) et \(V_B\). Une erreur dans le sens de la tension ou dans l'application du diviseur de tension est vite arrivée. Soyez méthodique et vérifiez vos calculs de nombres complexes.

Points à retenir

La conversion Thévenin-Norton est un outil fondamental :
1. Calculer la tension à vide aux bornes (\(V_{\text{th}}\)).
2. Calculer l'impédance équivalente (\(Z_{\text{th}} = Z_{\text{N}}\)).
3. En déduire \(I_{\text{N}} = V_{\text{th}} / Z_{\text{N}}\).
Cette méthode en 3 étapes est souvent la plus fiable.

Le saviez-vous ?

Edward Lawry Norton, un ingénieur chez Bell Labs, a publié son fameux théorème en 1926. Il est le "dual" du théorème de Thévenin, publié 43 ans plus tôt. Ces deux théorèmes forment la base de la simplification des circuits linéaires.

FAQ

Pouvait-on calculer \(I_{\text{N}}\) directement ?

Oui. Il aurait fallu court-circuiter A et B, puis calculer le courant dans ce court-circuit. Cela impliquerait probablement de résoudre un système de deux équations de mailles avec des nombres complexes, ce qui peut être plus long et plus source d'erreurs.

Résultat Final
\(I_{\text{N}} \approx 0.433 \angle 64^\circ \, \text{A}\)
A vous de jouer

Si la tension de la source E était \(10 \angle 30^\circ\) V, quelle serait la nouvelle phase (en degrés) du courant \(I_{\text{N}}\) ?

Question 3 : Dessiner le circuit équivalent de Norton

Principe

Le théorème de Norton affirme que tout le circuit complexe vu des bornes A et B peut être remplacé, sans que le comportement extérieur ne change, par une simple source de courant en parallèle avec une impédance.

Mini-Cours

La topologie du circuit de Norton est toujours la même : une source de courant idéale \(I_{\text{N}}\) en parallèle avec l'impédance de Norton \(Z_{\text{N}}\). Les bornes A et B sont prises aux extrémités de cette association parallèle. C'est le circuit dual du modèle de Thévenin (source de tension en série avec une impédance).

Remarque Pédagogique

Le sens de la flèche de la source de courant \(I_{\text{N}}\) est important. Il doit correspondre au sens du courant calculé dans le court-circuit, conventionnellement de A vers B.

Donnée(s)

On utilise les résultats des deux questions précédentes :

  • Courant de Norton (\(I_{\text{N}}\)) : \(\approx 0.433 \angle 64^\circ \, \text{A}\)
  • Impédance de Norton (\(Z_{\text{N}}\)) : \(\approx (18.16 + j9.62) \, \Omega\)
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Original (Référence)
~E R1 L R2 C A B
Schéma (Après les calculs)
Circuit Équivalent de Norton
IN ZN A B
Points à retenir

La structure du modèle de Norton est invariable : une source de courant en parallèle avec une impédance. Il faut juste s'assurer d'y reporter les bonnes valeurs de \(I_{\text{N}}\) et \(Z_{\text{N}}\).

Résultat Final

Le schéma ci-dessus représente la conclusion de cette question.

Question 4 : Calcul du courant dans la charge \(R_{\text{charge}}\)

Principe

L'objectif principal des théorèmes de simplification comme celui de Norton est précisément de rendre ce calcul trivial. Une fois le circuit complexe remplacé par son équivalent simple, on peut y connecter n'importe quelle charge et déterminer très facilement le courant qui la traverse en utilisant les lois fondamentales, ici, la loi du diviseur de courant.

Mini-Cours

Le diviseur de courant est un principe fondamental pour les circuits parallèles. Lorsque qu'un courant total \(I_T\) arrive sur un nœud se séparant en deux branches d'impédances \(Z_1\) et \(Z_2\), le courant \(I_1\) dans la branche \(Z_1\) est donné par : \(I_1 = I_T \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2}\).
Notez bien que le courant dans une branche est proportionnel à l'impédance de l'autre branche. C'est logique : plus l'autre chemin est "résistant" (impédance élevée), plus le courant sera forcé de passer par la branche considérée.

Remarque Pédagogique

Imaginez devoir recalculer tout le circuit d'origine avec la charge connectée. Ce serait long et fastidieux ! L'utilisation du modèle de Norton transforme ce problème complexe en un simple circuit à deux branches parallèles, ce qui démontre toute l'efficacité de cette méthode.

Normes

Ce calcul est une application directe de la loi des nœuds de Kirchhoff et de la loi d'Ohm en régime sinusoïdal, qui sont les fondations de l'analyse de circuits.

Formule(s)

Formule du diviseur de courant

\[ I_{\text{charge}} = I_{\text{N}} \cdot \frac{Z_{\text{N}}}{Z_{\text{N}} + R_{\text{charge}}} \]
Hypothèses

Nous supposons que le modèle de Norton calculé est une représentation parfaite du circuit original vu des bornes A et B. La charge connectée est une résistance pure idéale de \(15 \, \Omega\).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes et la nouvelle donnée de l'énoncé :

  • Courant de Norton (\(I_{\text{N}}\)) \(\approx 0.433 \angle 64^\circ \, \text{A}\)
  • Impédance de Norton (\(Z_{\text{N}}\)) \(\approx 18.16 + j9.62 \, \Omega\)
  • Résistance de charge (\(R_{\text{charge}}\)) \(= 15 + j0 \, \Omega\)
Astuces

Pour les multiplications et divisions de nombres complexes, la forme polaire (Magnitude \(\angle\) Angle) est votre meilleure amie. Elle simplifie énormément les calculs : on multiplie/divise les magnitudes et on additionne/soustrait les angles. Convertissez vos impédances en polaire avant d'appliquer la formule finale.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit de Norton avec sa charge
IN ZN A B Rcharge
Calcul(s)

Somme des impédances en parallèle

\[ Z_{\text{N}} + R_{\text{charge}} = (18.16 + j9.62) + 15 = 33.16 + j9.62 \, \Omega \]

Conversion de \(Z_N\) en coordonnées polaires

\[ \begin{aligned} Z_{\text{N}} &= \sqrt{18.16^2+9.62^2} \angle \arctan\left(\frac{9.62}{18.16}\right) \\ &\approx \sqrt{329.78 + 92.54} \angle 27.9^\circ \\ &\approx \sqrt{422.32} \angle 27.9^\circ \\ &\approx 20.55 \angle 27.9^\circ \, \Omega \end{aligned} \]

Conversion de \(Z_N + R_{charge}\) en coordonnées polaires

\[ \begin{aligned} Z_{\text{N}} + R_{\text{charge}} &= \sqrt{33.16^2 + 9.62^2} \angle \arctan\left(\frac{9.62}{33.16}\right) \\ &\approx \sqrt{1099.58 + 92.54} \angle 16.1^\circ \\ &\approx \sqrt{1192.12} \angle 16.1^\circ \\ &\approx 34.54 \angle 16.1^\circ \, \Omega \end{aligned} \]

Calcul final de \(I_{charge}\) par division de courant

\[ \begin{aligned} I_{\text{charge}} &= I_{\text{N}} \cdot \frac{Z_{\text{N}}}{Z_{\text{N}} + R_{\text{charge}}} \\ &\approx (0.433 \angle 64^\circ) \cdot \frac{20.55 \angle 27.9^\circ}{34.54 \angle 16.1^\circ} \\ &= 0.433 \cdot \left( \frac{20.55}{34.54} \right) \angle (64^\circ + 27.9^\circ - 16.1^\circ) \\ &= 0.433 \cdot (0.595) \angle (75.8^\circ) \\ &\approx 0.258 \angle 75.8^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des phaseurs de courant
Re Im IN Icharge IZN 64° 76°
Réflexions

Le courant efficace dans la charge est de 0.258 A. C'est inférieur au courant total de Norton (0.433 A), ce qui est logique car une partie du courant est "perdue" ou dérivée à travers l'impédance interne \(Z_{\text{N}}\). Le déphasage de 75.8° indique que le courant dans la charge est fortement déphasé par rapport à la source de tension d'origine.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune dans la formule du diviseur de courant est d'utiliser la mauvaise impédance au numérateur. Rappelez-vous : le courant dans une branche est proportionnel à l'impédance de l'AUTRE branche. Ici, pour \(I_{\text{charge}}\), on met \(Z_{\text{N}}\) au numérateur.

Points à retenir

Une fois le modèle de Norton (ou Thévenin) obtenu, l'analyse de n'importe quelle charge connectée devient un simple problème à une maille, résolu par la loi d'Ohm ou le diviseur de courant/tension. C'est toute la puissance de ces théorèmes.

Le saviez-vous ?

Ce calcul est directement lié au théorème du transfert de puissance maximale. En régime AC, la puissance maximale est délivrée à la charge lorsque son impédance est le complexe conjugué de l'impédance de Norton (\(Z_{\text{charge}} = Z_{\text{N}}^*\)). Dans notre cas, cela serait pour une charge de \((18.16 - j9.62) \, \Omega\).

FAQ

Que se passerait-il si la charge était un moteur (inductive) ?

Le principe resterait identique. Il suffirait de remplacer \(R_{\text{charge}}\) par l'impédance complexe du moteur, \(Z_{\text{charge}} = R_{\text{moteur}} + jL_{\text{moteur}}\omega\), et de refaire le calcul du diviseur de courant avec cette nouvelle valeur.

Résultat Final
Le courant efficace traversant la charge est \(|I_{\text{charge}}| \approx 0.258 \, \text{A}\).
A vous de jouer

Si la résistance de charge était doublée (\(R_{\text{charge}}=30\,\Omega\)), le courant \(|I_{\text{charge}}|\) serait-il divisé par deux ? Calculez sa nouvelle valeur.

Outil Interactif : Influence de la charge

Utilisez ce simulateur pour voir comment le courant et la puissance dans la charge varient en fonction de sa résistance. Le théorème de Norton nous permet de faire cette analyse facilement sans recalculer tout le circuit d'origine.

Paramètres d'Entrée
15 \(\Omega\)
Résultats Clés
Courant dans la charge (\(|I_{\text{charge}}|\)) -
Puissance active (\(P_{\text{charge}}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour trouver l'impédance de Norton, que fait-on avec une source de tension idéale ?

2. Le courant de Norton (\(I_{\text{N}}\)) représente :

3. Quelle est la relation entre l'équivalent de Norton et l'équivalent de Thévenin ?

Impédance (\(Z\))
Généralisation de la résistance aux circuits en courant alternatif. Elle est représentée par un nombre complexe et s'exprime en Ohms (\(\Omega\)). Elle prend en compte la résistance et la réactance (opposition au courant due aux bobines et condensateurs).
Phaseur
Un nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une grandeur sinusoïdale (tension ou courant). Il permet de transformer les équations différentielles du domaine temporel en équations algébriques simples dans le domaine fréquentiel.
Théorème de Norton
Un principe permettant de simplifier n'importe quel circuit électrique linéaire en une source de courant idéale (\(I_{\text{N}}\)) en parallèle avec une impédance unique (\(Z_{\text{N}}\)).
Exercice : Théorème de Norton

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