Calcul de l'admittance d'un circuit RLC parallèle
Contexte : L'Inverse de l'Obstacle
Alors que l'impédance mesure l'opposition d'un circuit au passage du courant, l'admittanceInverse de l'impédance (Y = 1/Z). Elle mesure la facilité avec laquelle un circuit "admet" le passage du courant. Son unité est le Siemens (S)., son inverse, mesure la facilité avec laquelle le circuit "admet" ce courant. Cette notion est particulièrement puissante pour analyser les circuits en parallèle. En effet, alors que les impédances en parallèle s'ajoutent selon une loi des inverses complexe, les admittances, elles, s'additionnent tout simplement. Cet exercice a pour but de calculer l'admittance totale d'un circuit RLC parallèle, la configuration la plus courante dans les installations domestiques.
Remarque Pédagogique : Utiliser les admittances transforme un problème de fractions complexes en une simple addition. C'est une astuce mathématique qui simplifie considérablement l'analyse des circuits en parallèle. On calcule l'admittance de chaque branche, on les somme, puis on prend l'inverse du résultat pour trouver l'impédance totale.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre les concepts d'admittance, de conductance et de susceptance.
- Calculer la conductance \(G\) et les susceptances \(B_L\) et \(B_C\).
- Appliquer la loi d'additivité des admittances en parallèle.
- Exprimer l'admittance totale \(\underline{Y}\) sous forme rectangulaire et polaire.
- Calculer l'impédance totale à partir de l'admittance totale.
Données de l'étude
Schéma du Circuit RLC Parallèle
- Résistance : \(R = 40 \, \Omega\)
- Inductance : \(L = 50 \, \text{mH} = 0.050 \, \text{H}\)
- Capacité : \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
- Fréquence : \(f = 50 \, \text{Hz}\)
Questions à traiter
- Calculer la conductance \(G\) de la résistance, la susceptance inductive \(B_L\) de la bobine et la susceptance capacitive \(B_C\) du condensateur.
- En déduire l'admittance complexe totale \(\underline{Y}\) du circuit sous sa forme rectangulaire.
- Calculer l'impédance complexe totale \(\underline{Z}\) du circuit.
Correction : Calcul de l'admittance d'un circuit RLC parallèle
Question 1 : Calcul des Admittances de Branche
Principe :
Chaque composant a sa propre admittance, qui est l'inverse de son impédance. Pour la résistance, c'est la conductance \(G\). Pour la bobine et le condensateur, c'est la susceptance, respectivement \(B_L\) et \(B_C\). On calcule d'abord la pulsation \(\omega\), puis chaque terme séparément.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Notez bien les signes. La conductance G est purement réelle. La susceptance d'une bobine (\(B_L\)) est négative, tandis que celle d'un condensateur (\(B_C\)) est positive. C'est l'opposé des réactances !
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(R = 40 \, \Omega\)
- \(L = 0.050 \, \text{H}\)
- \(C = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
- \(\omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités et Inverses : L'unité de l'admittance, de la conductance et de la susceptance est le Siemens (S), qui est l'inverse d'un Ohm (\(\Omega^{-1}\)). Assurez-vous que toutes les valeurs de R, L, et C sont dans leurs unités SI (Ohm, Henry, Farad) avant de calculer les inverses.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Admittance Complexe Totale (\(\underline{Y}\))
Principe :
La grande force de l'admittance est que pour les composants en parallèle, les admittances complexes s'additionnent simplement. L'admittance totale est la somme de l'admittance de chaque branche.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : On additionne les parties réelles (conductances) ensemble et les parties imaginaires (susceptances) ensemble. C'est une simple addition de nombres complexes sous leur forme rectangulaire.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(G = 0.025 \, \text{S}\)
- \(B_L \approx -0.0637 \, \text{S}\)
- \(B_C \approx 0.0314 \, \text{S}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Attention aux signes : La susceptance de la bobine est négative. L'erreur serait de l'additionner comme une valeur positive. La susceptance totale est bien la somme algébrique \(B_C + B_L\).
Le saviez-vous ?
Question 3 : Impédance Complexe Totale (\(\underline{Z}\))
Principe :
L'impédance totale est simplement l'inverse de l'admittance totale. Pour calculer l'inverse d'un nombre complexe, on le multiplie et on le divise par son conjugué.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette dernière étape nous ramène à une grandeur plus "familière", l'impédance, qui représente l'opposition globale du circuit. C'est la valeur que l'on utiliserait dans la loi d'Ohm pour trouver le courant total si la tension était connue.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\underline{Y} = 0.025 - j0.0323 \, \text{S}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Calcul de l'inverse : Le calcul de l'inverse d'un nombre complexe est une opération délicate. Il faut bien multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, et se souvenir que \((A-jB)(A+jB) = A^2 + B^2\).
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive
Faites varier la fréquence et observez comment les susceptances de la bobine et du condensateur évoluent, changeant la nature globale du circuit (inductif ou capacitif).
Paramètres du Circuit
Susceptances en fonction de la Fréquence
Pour Aller Plus Loin : Résonance en Parallèle
L'anti-résonance : Dans un circuit RLC parallèle, il existe aussi une fréquence de résonance où les effets de la bobine et du condensateur s'annulent (\(B_L + B_C = 0\)). À ce point, la partie imaginaire de l'admittance est nulle. Contrairement au circuit série, l'admittance totale est alors *minimale* (égale à G), et donc l'impédance totale est *maximale*. C'est pourquoi on parle parfois d'"anti-résonance". Le circuit se comporte comme un "filtre réjecteur de bande", bloquant très fortement les courants à cette fréquence précise.
Le Saviez-Vous ?
Les systèmes de recharge sans fil pour smartphones utilisent le principe de la résonance. Le chargeur contient une bobine émettrice et le téléphone une bobine réceptrice. Les deux circuits LC sont "accordés" pour résonner à la même haute fréquence. Cela permet un transfert d'énergie très efficace entre les deux bobines, même si elles ne sont pas parfaitement alignées, en maximisant le courant induit dans le téléphone.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi additionner les admittances en parallèle ?
Cela vient de la loi des nœuds. Le courant total est la somme des courants de chaque branche (\(I_T = I_R + I_L + I_C\)). En utilisant la loi d'Ohm complexe (\(I = U/Z = U \times Y\)) et sachant que la tension U est la même pour tous, on a \(I_T = U \times Y_R + U \times Y_L + U \times Y_C = U \times (Y_R + Y_L + Y_C)\). On voit donc que l'admittance totale est bien la somme des admittances individuelles.
Que se passe-t-il si la résistance R est très grande ?
Si R est très grande, sa conductance \(G = 1/R\) devient très faible. La branche de la résistance laisse passer très peu de courant, et l'admittance totale du circuit est alors dominée par les susceptances de la bobine et du condensateur.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on ajoute une résistance en parallèle à un circuit, son admittance totale va :
2. À la résonance d'un circuit RLC parallèle, l'admittance totale est :
Glossaire
- Admittance (\(\underline{Y}\))
- Inverse de l'impédance (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)). C'est un nombre complexe qui mesure la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant. Son unité est le Siemens (S).
- Conductance (G)
- Partie réelle de l'admittance. C'est l'inverse de la résistance (\(G=1/R\)).
- Susceptance (B)
- Partie imaginaire de l'admittance. Elle représente la facilité de passage du courant due aux composants réactifs. \(B_L = -1/(L\omega)\) pour une bobine et \(B_C = C\omega\) pour un condensateur.
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