Circuits Électriques

Déphasage tension-courant dans une bobine

Électricité : Déphasage tension-courant dans une bobine

Déphasage tension-courant dans une bobine

Contexte : Le Courant à la Traîne

En régime sinusoïdal, les composants réactifs (bobines et condensateurs) introduisent un déphasageDécalage temporel entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence. Il est mesuré par un angle (en degrés ou radians). entre la tension à leurs bornes et le courant qui les traverse. Pour une bobineComposant qui s'oppose aux variations de courant en stockant de l'énergie dans un champ magnétique. idéale, ce déphasage est toujours de +90° (\(+\pi/2\) radians) : on dit que la tension est en avance sur le courant, ou, de manière équivalente, que le courant est en retard sur la tension. Cet exercice vise à calculer le courant dans un circuit RL simple et à mettre en évidence ce déphasage caractéristique.

Remarque Pédagogique : La notion de déphasage est fondamentale pour comprendre comment l'énergie est échangée dans un circuit AC. Un déphasage non nul est à l'origine de la "puissance réactive", une forme d'énergie qui oscille entre la source et le composant sans être consommée, mais qui contribue tout de même au courant total dans les lignes.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'impédance complexe d'un circuit RL série.
  • Utiliser la loi d'Ohm en notation complexe pour trouver le phaseur du courant.
  • Comprendre la division de nombres complexes sous forme polaire.
  • Convertir un phaseur de courant en son expression temporelle.
  • Identifier et interpréter le déphasage entre la tension et le courant.

Données de l'étude

Un circuit série est composé d'une résistance \(R = 40 \, \Omega\) et d'une bobine d'inductance \(L = 100 \, \text{mH}\). Il est alimenté par une source de tension alternative \(u(t) = 24\sqrt{2} \cos(100\pi t)\).

Schéma du Circuit RL Série
~ u(t) R=40Ω L=100mH

Données :

  • Tension d'alimentation : \(u(t) = 24\sqrt{2} \cos(100\pi t) \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 40 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 100 \, \text{mH} = 0.100 \, \text{H}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer le phaseur \(\underline{U}\) associé à la tension d'alimentation.
  2. Calculer l'impédance complexe totale \(\underline{Z}\) du circuit.
  3. Calculer le phaseur du courant \(\underline{I}\) qui traverse le circuit.
  4. En déduire l'expression temporelle du courant \(i(t)\) et le déphasage de la tension par rapport au courant.

Correction : Déphasage tension-courant dans une bobine

Question 1 : Phaseur de la Tension (\(\underline{U}\))

Principe :

On passe de la notation temporelle \(u(t) = U_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)\) à la notation complexe (ou phasorielle) \(\underline{U} = [U_{\text{eff}} ; \phi]\). Pour cela, on identifie l'amplitude \(U_{\text{max}}\) et la phase \(\phi\), puis on calcule la valeur efficace \(U_{\text{eff}} = U_{\text{max}}/\sqrt{2}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la première étape de toute analyse de circuit en régime sinusoïdal. On "gèle" le temps en transformant les fonctions sinusoïdales en vecteurs statiques (phaseurs) pour pouvoir faire des calculs algébriques simples.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \underline{U} = [U_{\text{eff}} ; \phi] \]
Donnée(s) :
  • Expression : \(u(t) = 24\sqrt{2} \cos(100\pi t)\)
Calcul(s) :

Par identification : \(U_{\text{max}} = 24\sqrt{2} \, \text{V}\) et \(\phi_u = 0 \, \text{rad}\).

\[ U_{\text{eff}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 24 \, \text{V} \]

Le phaseur de la tension est donc :

\[ \underline{U} = [24 \, \text{V} ; 0°] \]
Points de vigilance :

Phase de référence : Comme la phase de la tension est nulle, elle servira de référence pour les autres grandeurs. Tous les autres déphasages seront calculés par rapport à elle.

Le saviez-vous ?

Le choix de la fonction cosinus comme référence pour les phaseurs est une convention. On pourrait tout aussi bien utiliser sinus, mais il faudrait alors être cohérent tout au long des calculs. Le cosinus est souvent préféré car sa dérivée est un sinus (avec un déphasage), ce qui est pratique pour les relations tension-courant.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la phase est-elle nulle ?

Dans l'expression \(u(t) = 24\sqrt{2} \cos(100\pi t)\), il n'y a pas de terme de phase ajouté à l'intérieur du cosinus, comme par exemple \(\cos(100\pi t + \phi)\). Par défaut, cela signifie que la phase \(\phi\) est égale à zéro.

Résultat : Le phaseur de la tension est \(\underline{U} = [24 \, \text{V} ; 0°]\).

Question 2 : Impédance Complexe Totale (\(\underline{Z}\))

Principe :

Dans un circuit série, l'impédance totale est la somme des impédances complexes de chaque composant. L'impédance de la résistance est réelle (\(R\)), et celle de la bobine est imaginaire pure (\(jL\omega\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'addition se fait dans le plan complexe. La résistance agit sur l'axe réel, tandis que la réactance de la bobine agit sur l'axe imaginaire positif. Le résultat est un nombre complexe qui a à la fois une partie réelle et une partie imaginaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \underline{Z} = R + jL\omega \]
Donnée(s) :
  • \(R = 40 \, \Omega\)
  • \(L = 0.100 \, \text{H}\)
  • \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} X_L &= L\omega = 0.100 \times 100\pi \approx 31.42 \, \Omega \\ \underline{Z} &= 40 + j31.42 \, \Omega \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas additionner les modules : L'erreur serait d'additionner simplement \(R\) et \(X_L\). L'impédance totale n'est PAS \(40 + 31.42\). C'est une addition vectorielle, qui se fait en utilisant le théorème de Pythagore pour le module.

Le saviez-vous ?

La représentation de l'impédance dans le plan complexe est appelée "diagramme de Fresnel". C'est un outil visuel très puissant pour comprendre les relations de phase dans un circuit AC.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie physiquement la partie imaginaire ?

La partie imaginaire de l'impédance, la réactance, représente la capacité du circuit à stocker et à restituer de l'énergie (dans le champ magnétique de la bobine). Elle ne dissipe pas d'énergie en chaleur, mais elle crée un déphasage entre la tension et le courant.

Résultat : L'impédance complexe du circuit est \(\underline{Z} = (40 + j31.42) \, \Omega\).

Question 3 : Calcul du Phaseur Courant (\(\underline{I}\))

Principe :

La loi d'Ohm s'applique directement aux phaseurs : \(\underline{U} = \underline{Z} \times \underline{I}\). Pour trouver le courant, on divise le phaseur de tension par l'impédance complexe. Le plus simple est de convertir d'abord l'impédance en forme polaire, car la division de nombres complexes est plus facile sous cette forme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour diviser des nombres complexes en forme polaire, on divise les modules et on soustrait les arguments (angles). C'est beaucoup plus simple que de diviser en forme rectangulaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \underline{I} = \frac{\underline{U}}{\underline{Z}} = \left[ \frac{U_{\text{eff}}}{Z} \,;\, \phi_u - \phi_z \right] \]
Donnée(s) :
  • \(\underline{U} = [24 \, \text{V} ; 0°]\)
  • \(\underline{Z} = 40 + j31.42 \, \Omega\)
Calcul(s) :

1. Conversion de \(\underline{Z}\) en forme polaire :

\[ Z = \sqrt{40^2 + 31.42^2} \approx 50.86 \, \Omega \]
\[ \phi_z = \arctan\left(\frac{31.42}{40}\right) \approx 38.14° \]

Donc, \(\underline{Z} \approx [50.86 \, \Omega \,;\, 38.14°]\).

2. Division des phaseurs :

\[ \begin{aligned} \underline{I} &= \left[ \frac{24}{50.86} \,;\, 0° - 38.14° \right] \\ &\approx [0.472 \, \text{A} \,;\, -38.14°] \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Soustraction des angles : Attention à l'ordre de la soustraction des angles : c'est l'angle du numérateur (\(\phi_u\)) moins l'angle du dénominateur (\(\phi_z\)).

Le saviez-vous ?

Le déphasage de l'impédance (\(38.14°\)) est exactement le déphasage de la tension par rapport au courant. Le signe négatif dans le phaseur du courant signifie que le courant est en retard de \(38.14°\) sur la tension, ce qui est normal pour un circuit inductif.

FAQ en rapport avec la question :
Et si j'avais divisé en forme rectangulaire ?

Le calcul est plus lourd : \(\underline{I} = \frac{24}{40 + j31.42} = \frac{24 \times (40 - j31.42)}{(40 + j31.42)(40 - j31.42)} = \frac{960 - j754.08}{40^2 + 31.42^2} = \frac{960 - j754.08}{2586.4} \approx 0.37 - j0.29 \, \text{A}\). C'est la forme rectangulaire de notre résultat. On peut vérifier que le module est \(\sqrt{0.37^2 + (-0.29)^2} \approx 0.47 \, \text{A}\), ce qui correspond.

Résultat : Le phaseur du courant est \(\underline{I} \approx [0.472 \, \text{A} \,;\, -38.14°]\).

Question 4 : Expression Temporelle \(i(t)\) et Déphasage

Principe :

Pour revenir à l'expression temporelle, on effectue la conversion inverse. Le module du phaseur (\(I_{\text{eff}}\)) nous donne l'amplitude (\(I_{\text{max}} = I_{\text{eff}} \times \sqrt{2}\)), et l'argument du phaseur (\(\phi_i\)) nous donne la phase à l'origine du courant. Le déphasage du circuit est la différence entre la phase de la tension et celle du courant.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape finale qui permet de revenir au monde "réel" du signal qui varie dans le temps. On a utilisé l'outil mathématique des phaseurs pour simplifier les calculs, et on l'utilise maintenant pour décrire le résultat final.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i(t) = I_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi_i) \quad \text{avec} \quad I_{\text{max}} = I_{\text{eff}} \sqrt{2} \]
\[ \text{Déphasage } \Delta\phi = \phi_u - \phi_i \]
Donnée(s) :
  • \(\underline{I} \approx [0.472 \, \text{A} \,;\, -38.14°]\)
  • \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)
  • \(\phi_u = 0°\)
Calcul(s) :
\[ I_{\text{max}} = 0.472 \times \sqrt{2} \approx 0.667 \, \text{A} \]

L'expression temporelle est donc :

\[ i(t) \approx 0.667 \cos(100\pi t - 38.14°) \, \text{A} \]

Le déphasage de la tension par rapport au courant est :

\[ \Delta\phi = 0° - (-38.14°) = +38.14° \]
Points de vigilance :

Interprétation du déphasage : Un \(\Delta\phi\) positif signifie que la tension est en avance sur le courant, ce qui est bien le cas pour un circuit inductif. Un résultat négatif aurait indiqué une erreur.

Le saviez-vous ?

Le "facteur de puissance" d'un circuit est défini comme \(\cos(\phi)\). C'est une mesure de l'efficacité avec laquelle le circuit utilise l'énergie. Un facteur de puissance de 1 (déphasage de 0°) est idéal. Un facteur de puissance faible indique une grande quantité d'énergie réactive qui oscille inutilement dans les lignes.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la phase du courant est-elle négative ?

Dans un circuit inductif, la bobine s'oppose à la variation du courant. Il faut d'abord appliquer une tension pour "forcer" le courant à s'établir, ce qui crée un retard du courant par rapport à la tension. Mathématiquement, cela se traduit par un angle de phase négatif pour le courant si la tension est prise comme référence à 0°.

Résultat : \(i(t) \approx 0.67 \cos(100\pi t - 38.1°)\). Le courant est en retard de 38.1° sur la tension.

Simulation Interactive

Faites varier la résistance et l'inductance du circuit. Observez comment le module de l'impédance et surtout le déphasage sont affectés.

Paramètres du Circuit (f=50Hz)
Impédance Z
Déphasage φ
Phasogramme de la Tension et du Courant

Pour Aller Plus Loin : Correction du Facteur de Puissance

Annuler le déphasage : Dans les installations industrielles avec de gros moteurs (qui sont de grosses bobines), le déphasage inductif peut être très important, ce qui est inefficace. Pour compenser, on ajoute des bancs de condensateurs en parallèle. Le condensateur introduit un déphasage capacitif (négatif) qui vient annuler le déphasage inductif (positif) de la charge, ramenant le déphasage total proche de zéro et améliorant l'efficacité du système. C'est ce qu'on appelle la "compensation de l'énergie réactive".

Le Saviez-Vous ?

Le déphasage est la raison pour laquelle la puissance apparente (en Volt-Ampères, VA), qui est le produit simple \(U_{\text{eff}} \times I_{\text{eff}}\), est différente de la puissance réelle (en Watts, W), qui est \(U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos\phi\). La puissance que l'on paie est la puissance réelle, mais les câbles doivent être dimensionnés pour supporter la puissance apparente.

Foire Aux Questions (FAQ)

Un déphasage est-il toujours une mauvaise chose ?

Non, pas toujours. S'il est indésirable pour le transport d'énergie, il est essentiel au fonctionnement de nombreux circuits. Les moteurs asynchrones, par exemple, utilisent le déphasage créé par des condensateurs pour générer un champ magnétique tournant qui met le moteur en mouvement.

Comment mesurer un déphasage ?

On utilise un oscilloscope. En affichant les deux signaux (tension et courant) sur l'écran, on peut mesurer le décalage temporel \(\Delta t\) entre leurs passages à zéro. Le déphasage en radians est alors \(\phi = \omega \times \Delta t\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit purement capacitif, le courant est...

2. Un circuit a une impédance \(\underline{Z} = 50 - j50 \, \Omega\). Quel est le déphasage de la tension par rapport au courant ?

Glossaire

Déphasage (\(\phi\))
Le décalage angulaire (en degrés ou radians) entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence. Un déphasage positif indique une avance, un déphasage négatif un retard.
Circuit Inductif
Un circuit où l'effet des bobines domine. Le déphasage de la tension par rapport au courant est positif (le courant est en retard).
Circuit Capacitif
Un circuit où l'effet des condensateurs domine. Le déphasage de la tension par rapport au courant est négatif (le courant est en avance).
Méthodes d'Analyse : Déphasage tension-courant dans une bobine

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