Circuits Électriques

Charge d’un condensateur à travers une résistance

Exercice : Charge d'un Condensateur (RC)

Charge d’un Condensateur à travers une Résistance

Contexte : Le circuit RCUn circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est fondamental pour étudier les phénomènes transitoires..

Les circuits RC sont omniprésents en électronique, utilisés dans les filtres, les oscillateurs ou encore les minuteries. Comprendre la charge d'un condensateur est essentiel pour analyser le comportement temporel de ces circuits. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse d'un circuit RC série simple, de l'établissement de l'équation différentielle à la détermination des grandeurs électriques clés comme la tensionLa différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Unité : Volt (V). et le courantLe débit de charge électrique à travers un conducteur. Unité : Ampère (A)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un phénomène transitoire, à résoudre une équation différentielle du premier ordre et à interpréter physiquement la notion de constante de temps.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir l'équation différentielle régissant la tension aux bornes du condensateur.
  • Résoudre cette équation et comprendre la forme de la solution.
  • Calculer la constante de temps du circuit et interpréter sa signification.
  • Déterminer les expressions de la tension, du courant et de la charge en fonction du temps.

Données de l'étude

On considère un circuit RC série constitué d'un générateur de tension idéal, d'un interrupteur, d'une résistance et d'un condensateur initialement déchargé. À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K.

Schéma du Circuit RC Série
E + − R C K (t=0) i(t) VR(t) VC(t)
Caractéristique Symbole Valeur
Tension du générateur \(E\) \(12 \text{ V}\)
Résistance \(R\) \(100 \text{ k}\Omega\)
Capacité \(C\) \(10 \mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension \(V_C(t)\) aux bornes du condensateur.
  3. Donner l'expression de la tension \(V_C(t)\) en fonction du temps.
  4. Calculer la valeur de la tension \(V_C\) et du courant \(i\) à l'instant \(t = 1 \text{ s}\).
  5. Au bout de combien de temps peut-on considérer que le condensateur est complètement chargé (à 99%) ?

Les bases sur les Circuits RC

Un circuit RC série soumis à un échelon de tension est un système du premier ordre. Son comportement est régi par une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

1. Loi des mailles
À tout instant, la somme des tensions dans une maille fermée est nulle. Pour notre circuit, après la fermeture de l'interrupteur, nous avons : \[ E - V_R(t) - V_C(t) = 0 \]

2. Lois des composants
La tension aux bornes de la résistance est donnée par la loi d'Ohm : \(V_R(t) = R \cdot i(t)\). Le courant traversant le condensateur est lié à la variation de sa tension : \(i(t) = C \frac{d V_{\text{C}}(t)}{dt}\). En combinant ces lois, on obtient l'équation différentielle du circuit.

Correction : Charge d’un Condensateur à travers une Résistance

Question 1 : Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.

Principe

La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), caractérise la rapidité de la charge du condensateur. C'est une mesure du "temps d'inertie" du circuit : plus \(\tau\) est grand, plus le circuit met de temps à atteindre son état final.

Mini-Cours

Dans tout système du premier ordre (thermique, mécanique, électrique), la constante de temps représente le temps nécessaire pour que la réponse à un échelon atteigne 63.2% de sa variation totale. C'est une propriété intrinsèque du système, indépendante de la source.

Remarque Pédagogique

Pensez à la constante de temps comme à la "personnalité" du circuit. Un circuit avec un petit \(\tau\) est "nerveux" et réagit vite. Un circuit avec un grand \(\tau\) est "lent" et prend son temps pour changer d'état. Identifier \(\tau\) est souvent la première étape pour comprendre un phénomène transitoire.

Normes

Le calcul de la constante de temps ne découle pas d'une norme de construction, mais des définitions fondamentales de la résistance (loi d'Ohm) et de la capacité, établies par les conventions internationales en physique et en génie électrique.

Formule(s)

Définition de la constante de temps

\[ \tau = R \times C \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on suppose que les composants sont idéaux : la résistance R et la capacité C ont des valeurs constantes, indépendantes de la fréquence ou de la température.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de R et C de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité SI
RésistanceR\(100 \text{ k}\Omega\)\(100 \times 10^3 \Omega\)
CapacitéC\(10 \mu\text{F}\)\(10 \times 10^{-6} \text{ F}\)
Astuces

Vérifiez toujours la cohérence des unités. Un Ohm (\(\Omega\)) multiplié par un Farad (F) donne bien des secondes (s). C'est un moyen rapide de vérifier que votre formule est correcte.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul se base sur les composants R et C identifiés dans le schéma général du circuit. On s'apprête à combiner leurs valeurs.

Composants pour le calcul de Tau
R = 100 kΩC = 10 µF
Calcul(s)

Application de la formule

\[ \begin{aligned} \tau &= (100 \times 10^3 \, \text{?}) \times (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) \\ &= 1000 \times 10^{-3} \, \text{s} \\ &= 1 \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La valeur \(\tau=1\text{ s}\) peut être visualisée sur une courbe de charge générique. Elle représente une durée caractéristique sur l'axe du temps.

Visualisation de Tau sur une courbe de charge
tVEτ
Réflexions

Un \(\tau\) de 1 seconde signifie que le régime transitoire de notre circuit est relativement lent, observable à l'échelle humaine. Dans un circuit de microprocesseur, les constantes de temps sont de l'ordre de la nanoseconde.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est l'oubli de la conversion des préfixes (kilo, méga, micro, nano, etc.) en puissances de 10. Un calcul avec 100 et 10 donnerait une réponse erronée de trois ordres de grandeur.

Points à retenir
  • La constante de temps \(\tau=RC\) définit l'échelle de temps du circuit.
  • Elle est homogène à un temps et s'exprime en secondes.
Le saviez-vous ?

Le concept de constante de temps est utilisé dans de nombreux autres domaines, comme en biologie pour modéliser la décroissance radioactive, ou en finance pour analyser la volatilité des marchés.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Si la source était de 24V au lieu de 12V, la constante de temps changerait-elle ?

Non. La constante de temps \(\tau=RC\) ne dépend que des composants passifs R et C. La tension de la source E influence l'amplitude de la réponse, mais pas sa rapidité.

Résultat Final
La constante de temps du circuit est \(\tau = 1\) seconde.
A vous de jouer

Si la résistance était de \(220 \text{ k}\Omega\) et la capacité de \(47 \mu\text{F}\), quelle serait la nouvelle constante de temps en secondes ?

Question 2 : Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension \(V_{\text{C}}(t)\).

Principe

L'équation différentielle est la traduction mathématique du comportement physique du circuit. Elle met en relation la tension \(V_{\text{C}}(t)\) et sa vitesse de variation \(\frac{d V_{\text{C}}}{dt}\) en appliquant les lois fondamentales de l'électricité.

Mini-Cours

Les circuits contenant des éléments stockant de l'énergie (condensateurs, bobines) sont décrits par des équations différentielles. Pour un circuit RC ou RL simple, l'équation est du premier ordre, signifiant qu'elle ne fait intervenir que la dérivée première de la variable.

Remarque Pédagogique

L'établissement d'une équation différentielle est une compétence fondamentale de l'ingénieur. La méthode est toujours la même : 1. Lister les lois physiques applicables (ici, loi des mailles, lois d'Ohm, loi du condensateur). 2. Combiner ces lois pour éliminer les variables non désirées (ici, \(V_R\) et \(i\)) et ne garder que la variable d'intérêt (\(V_{\text{C}}\)).

Normes

Cette démarche s'appuie sur la Loi des Tensions de Kirchhoff (Loi des Mailles), un des principes fondamentaux et universels de la théorie des circuits électriques.

Formule(s)

Loi des mailles

\[ \sum V_k = 0 \]

Loi d'Ohm

\[ V_{\text{R}} = R \cdot i \]

Loi du condensateur

\[ i = C \frac{d V_{\text{C}}}{dt} \]
Hypothèses

On se place dans le cadre de la théorie des circuits idéaux : les fils de connexion ont une résistance nulle et les composants R et C sont parfaits.

Donnée(s)

Il n'y a pas de données numériques pour cette question, seulement les relations algébriques entre les grandeurs électriques du circuit.

Astuces

Choisissez bien votre variable ! L'énoncé demande l'équation pour \(V_{\text{C}}(t)\). Exprimez donc toutes les autres grandeurs (\(V_R\), \(i\)) en fonction de \(V_{\text{C}}\) et de sa dérivée. Cela simplifie grandement les substitutions.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est essentiel. Il faut bien respecter le sens des flèches pour les tensions et le courant afin d'appliquer correctement la loi des mailles.

Schéma du Circuit pour la Loi des Mailles
ERCi(t)VR(t)VC(t)
Calcul(s)

Étape 1 : Loi des mailles

\[ E = V_{\text{R}}(t) + V_{\text{C}}(t) \]

Étape 2 : Remplacer \(V_{\text{R}}(t)\) par son expression

\[ V_{\text{R}}(t) = R \cdot i(t) \]

Étape 3 : Remplacer \(i(t)\) par son expression

\[ V_{\text{R}}(t) = R \cdot C \frac{d V_{\text{C}}(t)}{dt} \]

Étape 4 : Substitution dans la loi des mailles

\[ E = RC \frac{d V_{\text{C}}(t)}{dt} + V_{\text{C}}(t) \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une équation, qui est le modèle mathématique du circuit. Il n'y a pas de nouveau schéma, mais l'équation obtenue représente maintenant le comportement dynamique du schéma initial.

Réflexions

Cette équation \(E = \tau \frac{d V_{\text{C}}}{dt} + V_{\text{C}}\) nous dit que la tension fournie par le générateur (E) se répartit à chaque instant entre la tension déjà présente aux bornes du condensateur (\(V_{\text{C}}\)) et une tension proportionnelle à la "vitesse" à laquelle il se charge (\(\tau \frac{d V_{\text{C}}}{dt}\)).

Points de vigilance

Attention aux signes dans la loi des mailles. Une erreur de signe ici fausserait complètement l'équation et sa solution. Parcourez la maille dans un sens et affectez un signe + aux "montées" de potentiel (générateur) et un signe - aux "chutes" de potentiel (récepteur).

Points à retenir

La méthode "Loi des mailles -> Lois des composants -> Substitution" est universelle pour trouver l'équation différentielle de n'importe quel circuit simple.

Le saviez-vous ?

Gustav Kirchhoff a énoncé ses lois sur les circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces lois sont si fondamentales qu'elles sont encore aujourd'hui le point de départ de presque toute analyse de circuit.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi s'intéresse-t-on à \(V_{\text{C}}\) et pas au courant \(i\) ?

La tension aux bornes d'un condensateur est une variable d'état : sa valeur ne peut pas changer instantanément (elle est continue). Le courant, lui, peut subir une discontinuité. Il est donc souvent plus simple de commencer par trouver l'équation pour \(V_{\text{C}}\).

Résultat Final
L'équation différentielle est : \(RC \frac{d V_{\text{C}}(t)}{dt} + V_{\text{C}}(t) = E\).
A vous de jouer

Quel serait le second membre (le côté droit) de l'équation si on étudiait la décharge du condensateur dans la résistance (sans le générateur E) ?

Question 3 : Donner l'expression de la tension \(V_{\text{C}}(t)\) en fonction du temps.

Principe

Résoudre l'équation différentielle, c'est trouver la fonction \(V_{\text{C}}(t)\) qui la vérifie à tout instant. Cette fonction décrira mathématiquement comment la tension évolue depuis l'instant initial jusqu'à l'état final.

Mini-Cours

La solution générale d'une équation de la forme \(\tau \frac{dy}{dt} + y = K\) est la somme d'une solution particulière constante (régime permanent, ici \(K\)) et de la solution de l'équation homogène (régime transitoire, de la forme \(A e^{-t/\tau}\)). La solution complète est donc \(y(t) = A e^{-t/\tau} + K\). La constante d'intégration A est déterminée à l'aide des conditions initiales.

Remarque Pédagogique

La condition initiale est la "clé de contact" de votre solution. Sans elle, vous avez une famille infinie de solutions possibles (dépendant de A). C'est l'état du circuit à \(t=0\) qui fixe la seule et unique trajectoire que la tension va suivre.

Normes

La méthode de résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants est une technique mathématique standard, pas une norme d'ingénierie. On suit une procédure mathématique rigoureuse.

Formule(s)

Forme générale de la solution

\[ V_{\text{C}}(t) = A e^{-t/\tau} + E \]
Hypothèses

L'hypothèse cruciale ici est la condition initiale : le condensateur est supposé complètement déchargé à l'instant \(t=0\). Mathématiquement, cela se traduit par \(V_{\text{C}}(t=0) = 0\).

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour trouver la constante A est la condition initiale : \(V_{\text{C}}(0) = 0 \text{ V}\).

Astuces

Pour trouver la solution particulière (le régime permanent), demandez-vous "que se passe-t-il après un temps infini ?". Le condensateur est plein, il se comporte comme un interrupteur ouvert, le courant est nul, donc \(V_R=0\) et \(V_{\text{C}}=E\). C'est votre solution particulière !

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la solution attendue : une courbe qui part de 0 et qui tend exponentiellement vers la valeur finale E.

Allure de la solution attendue
tVE0
Calcul(s)

Détermination de la constante A

\[ \begin{aligned} V_{\text{C}}(0) &= A e^{-0/\tau} + E \\ 0 &= A \cdot 1 + E \\ A &= -E \end{aligned} \]

Expression finale de la tension

\[ \begin{aligned} V_{\text{C}}(t) &= -E e^{-t/\tau} + E \\ &= E (1 - e^{-t/\tau}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La fonction \(V_{\text{C}}(t) = 12(1-e^{-t})\) peut être tracée. Elle part de \(0 \text{ V}\), passe par \(\approx 7.58 \text{ V}\) à \(t=\tau=1 \text{ s}\), et tend asymptotiquement vers \(12 \text{ V}\).

Courbe de charge \(V_C(t)\)
Réflexions

L'expression montre bien que la tension part de 0 (\(e^0=1\)) et tend vers E quand t devient grand (\(e^{-\infty} \to 0\)). Le terme \(e^{-t/\tau}\) est la signature du régime transitoire qui "meurt" avec le temps.

Points de vigilance

Ne pas confondre la condition initiale sur la tension (qui est nulle) et sur le courant (qui est maximal). Une mauvaise condition initiale mène à une solution erronée.

Points à retenir

Pour la charge d'un condensateur initialement nul, la tension est toujours de la forme :
\(\text{Tension}(t) = \text{Tension}_{\text{finale}} \times (1 - e^{-t/\tau})\).

Le saviez-vous ?

Le nombre \(e\) (base du logarithme naturel) est parfois appelé constante de Néper. Sa propriété fondamentale, qui le rend si important dans les équations différentielles, est que la fonction \(e^x\) est sa propre dérivée.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Et si le condensateur avait déjà une tension initiale \(V_0\) ?

La démarche est la même, mais la condition initiale devient \(V_{\text{C}}(0) = V_0\). Cela donnerait \(V_0 = A + E\), donc \(A = V_0 - E\). La solution serait alors \(V_{\text{C}}(t) = (V_0 - E)e^{-t/\tau} + E\).

Résultat Final
L'expression de la tension aux bornes du condensateur est \(V_{\text{C}}(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\).
A vous de jouer

Avec les données de l'exercice (\(E=12 \text{ V}\), \(\tau=1 \text{ s}\)), que vaudrait \(V_{\text{C}}\) à \(t=0.5 \text{ s}\) ? (arrondi à 2 décimales)

Question 4 : Calculer \(V_{\text{C}}\) et \(i\) à \(t = 1 \text{ s}\).

Principe

Il s'agit d'une application numérique directe des formules établies. Cela permet de quantifier l'état du circuit à un instant précis du régime transitoire. L'instant choisi, \(t=1 \text{ s}\), est particulier car il correspond à la constante de temps \(\tau\).

Mini-Cours

À \(t=\tau\), la tension aux bornes du condensateur atteint \(1-e^{-1} \approx 63.2\%\) de sa valeur finale. Le courant, lui, a chuté à \(e^{-1} \approx 36.8\%\) de sa valeur initiale. C'est une propriété générale de tous les systèmes du premier ordre.

Remarque Pédagogique

Calculer les valeurs à \(t=\tau\) est un excellent réflexe pour vérifier la cohérence de vos résultats. Si vous ne trouvez pas environ 63% de la valeur finale pour la tension, il y a probablement une erreur dans vos calculs ou expressions.

Normes

Aucune norme spécifique, il s'agit d'une application mathématique des lois de la physique.

Formule(s)

Expression de la tension

\[ V_{\text{C}}(t) = E (1 - e^{-t/\tau}) \]

Expression du courant

\[ i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau} \]
Hypothèses

Les expressions de \(V_{\text{C}}(t)\) et \(i(t)\) sont correctes et les valeurs des composants E, R, C et du temps t sont exactes.

Donnée(s)

On rassemble toutes les données numériques nécessaires.

ParamètreSymboleValeur
Tension sourceE\(12 \text{ V}\)
RésistanceR\(100 \times 10^3 \, \Omega\)
Constante de temps\(\tau\)\(1 \text{ s}\)
Instant de calcult\(1 \text{ s}\)
Astuces

Calculez \(e^{-1}\) une seule fois (sa valeur est environ 0.368) et réutilisez-la pour les deux calculs. Cela évite de retaper et minimise les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

On se place sur l'axe du temps des courbes de \(V_{\text{C}}(t)\) et \(i(t)\) à l'abscisse \(t=1\text{ s}\) pour déterminer les valeurs correspondantes.

Point de calcul à t = 1s
tVEt=1sVc=?
Calcul(s)

Calcul de \(V_{\text{C}}(t=1\text{s})\)

\[ \begin{aligned} V_{\text{C}}(1) &= 12 \times (1 - e^{-1/1}) \\ &= 12 \times (1 - e^{-1}) \\ &\approx 12 \times (1 - 0.368) \\ &\approx 12 \times 0.632 \\ &\approx 7.58 \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de \(i(t=1\text{s})\)

\[ \begin{aligned} i(1) &= \frac{12 \, \text{V}}{100 \times 10^3 \, \Omega} e^{-1/1} \\ &= (1.2 \times 10^{-4} \, \text{A}) \times e^{-1} \\ &\approx (120 \, \mu\text{A}) \times 0.368 \\ &\approx 44.16 \, \mu\text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le point \((1\text{ s} ; 7.58\text{ V})\) est maintenant connu et peut être placé précisément sur la courbe de \(V_{\text{C}}(t)\). De même pour le courant sur sa propre courbe.

Résultats à t = 1s
tV12V1s7.58V
Réflexions

Le résultat confirme la théorie : à \(t=\tau\), la tension a bien atteint \(7.58\text{ V} / 12\text{ V} \approx 63.2\%\) de la tension finale. Le courant a chuté à \(44.16\mu \text{A} / 120\mu \text{A} \approx 36.8\%\) de sa valeur initiale. Le circuit a déjà effectué une grande partie de sa charge.

Points de vigilance

Faites attention à l'unité du courant. La loi d'Ohm avec des Volts et des k\(\Omega\) donne des milliampères (mA). Ici, avec des Volts et des k\(\Omega\), le résultat de E/R est \(12/100 = 0.12\)mA, soit \(120 \mu\)A. Une erreur d'unité est vite arrivée.

Points à retenir
  • À \(t=\tau\), la grandeur qui augmente (charge) atteint 63% de sa course.
  • À \(t=\tau\), la grandeur qui diminue (courant) a déjà perdu 63% de sa valeur et n'est plus qu'à 37% de son maximum.
Le saviez-vous ?

Le temps de montée (rise time) d'un signal en électronique est souvent défini comme le temps nécessaire pour passer de 10% à 90% de la valeur finale. Pour un circuit RC, ce temps vaut environ \(2.2\tau\).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi le courant diminue-t-il alors que la tension augmente ?

Le courant est lié à la tension aux bornes de la résistance : \(i(t) = V_R(t)/R\). Or, d'après la loi des mailles, \(V_R(t) = E - V_C(t)\). Comme \(V_C(t)\) augmente, \(V_R(t)\) diminue, et donc le courant \(i(t)\) diminue également.

Résultat Final
À \(t=1 \text{ s}\), la tension est \(V_{\text{C}}(1\text{s}) \approx 7.58 \text{ V}\) et le courant est \(i(1\text{s}) \approx 44.16 \mu\text{A}\).
A vous de jouer

Que vaudrait le courant \(i(t)\) à \(t=2\tau\) (soit \(t=2 \text{ s}\)) ? (arrondi à 2 décimales)

Question 5 : Au bout de combien de temps considérer que le condensateur est chargé (à 99%) ?

Principe

Théoriquement, la charge n'est jamais "finie". On définit donc un seuil pratique au-delà duquel on considère que le régime permanent est atteint. Ce seuil est souvent fixé à 99% (ou 95%) de la valeur finale.

Mini-Cours

Pour résoudre une équation de la forme \(e^{-x} = y\), on utilise le logarithme népérien (ln), qui est la fonction réciproque de l'exponentielle : \(\ln(e^{-x}) = -x\). Ainsi, \(-x = \ln(y)\), et \(x = -\ln(y)\).

Remarque Pédagogique

Cette question illustre la différence entre le modèle mathématique (qui atteint sa limite à l'infini) et la réalité de l'ingénieur (qui a besoin d'une durée finie et quantifiable). La règle des "\(5\tau\)" est une convention d'ingénieur extrêmement répandue pour estimer la fin d'un régime transitoire.

Normes

La convention des \(5\tau\) n'est pas une norme officielle mais une règle de l'art, une approximation largement acceptée dans le domaine de l'ingénierie pour sa simplicité et sa pertinence.

Formule(s)

Équation à résoudre pour \(t\)

\[ V_{\text{C}}(t) = E(1-e^{-t/\tau}) \Rightarrow t = -\tau \ln\left(1 - \frac{V_{\text{C}}(t)}{E}\right) \]
Hypothèses

On définit "complètement chargé" comme étant l'instant où la tension atteint 99% de la tension maximale E.

Donnée(s)

Les données sont le seuil de 99% et la constante de temps \(\tau=1 \text{ s}\).

Astuces

Retenez les ordres de grandeur :
\(1\tau \approx 63\%\)
\(3\tau \approx 95\%\)
\(5\tau \approx 99.3\%\).
Cela permet d'estimer très rapidement une durée de régime transitoire sans calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On trace une ligne horizontale sur le graphique de charge à \(y = 0.99 \times 12\text{ V} = 11.88\text{ V}\). On cherche l'abscisse \(t\) du point d'intersection avec la courbe \(V_{\text{C}}(t)\).

Recherche du temps pour 99% de charge
tVE0.99Et=?
Calcul(s)

Équation de la condition

\[ E (1 - e^{-t/\tau}) = 0.99 E \]

Simplification

\[ \begin{aligned} 1 - e^{-t/\tau} &= 0.99 \\ e^{-t/\tau} &= 1 - 0.99 \\ &= 0.01 \end{aligned} \]

Résolution pour t

\[ \begin{aligned} -t/\tau &= \ln(0.01) \\ t &= -\tau \ln(0.01) \\ &\approx -1 \times (-4.605) \\ &\approx 4.605 \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que le point d'intersection se trouve à \(t \approx 4.6 \text{ s}\). La règle des \(5\tau\) (donc 5s) est une excellente et prudente approximation.

Temps de charge à 99%
tV12V11.88V4.6s
Réflexions

Le résultat montre qu'il faut attendre plusieurs constantes de temps pour que la charge soit quasiment complète. La majeure partie de la charge (63%) se fait pendant le premier \(\tau\), mais il faut beaucoup plus de temps pour "remplir" les derniers pourcents.

Points de vigilance

Attention lors de la manipulation des logarithmes. Assurez-vous d'isoler correctement le terme exponentiel avant d'appliquer la fonction \(\ln\). Une erreur commune est de prendre le \(\ln\) de la somme, ce qui est incorrect.

Points à retenir

On considère en pratique qu'un régime transitoire du premier ordre est terminé au bout d'une durée de \(5\tau\).

Le saviez-vous ?

Les supercondensateurs sont des composants qui ont des capacités énormes (plusieurs milliers de Farads !). Avec une résistance de quelques ohms, leur constante de temps peut atteindre plusieurs minutes voire plusieurs heures. Ils sont utilisés pour stocker de l'énergie, par exemple pour le démarrage de certains bus électriques.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi ne pas attendre 100% de charge ?

Parce que le modèle mathématique \(e^{-t/\tau}\) n'est jamais rigoureusement égal à zéro pour un temps fini. Attendre 100% signifierait attendre un temps infini. La limite de 99% est un compromis pratique.

Résultat Final
Le condensateur est chargé à 99% au bout d'environ 4.6 secondes. La convention de \(5\tau\) (5 secondes) est une approximation très satisfaisante.
A vous de jouer

Au bout de combien de temps le condensateur serait-il chargé à 95% (\(t \approx 3\tau\))? Calculez la valeur exacte. (arrondi à 2 décimales)

Outil Interactif : Simulateur de charge RC

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance, de la capacité et de la tension du générateur. Observez en temps réel l'impact sur la constante de temps et sur la courbe de charge du condensateur.

Paramètres d'Entrée
12 V
100 k\(\Omega\)
10 \(\mu\)F
Résultats Clés
Constante de temps \(\tau\) (s) -
Temps de charge (à 99%) (s) -
Courant initial \(i(0)\) (\(\mu\)A) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente la constante de temps \(\tau\) dans un circuit RC ?

2. Si on double la valeur de la résistance R, comment évolue la constante de temps \(\tau\) ?

3. À l'instant initial \(t=0\) (condensateur déchargé), que vaut le courant \(i(0)\) dans le circuit ?

4. En régime permanent (après un temps très long), que vaut la tension \(V_{\text{C}}\) aux bornes du condensateur ?

Constante de temps (\(\tau\))
Produit \(R \times C\), représentant le temps caractéristique de charge ou de décharge d'un circuit RC. Unité : seconde (s).
Régime transitoire
Période durant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) varient dans le temps, avant de se stabiliser.
Régime permanent
État du circuit après la fin du régime transitoire, où les grandeurs électriques sont constantes (ou périodiques pour des signaux alternatifs).
Charge d’un Condensateur à travers une Résistance

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