Circuits Électriques

Établissement du courant dans une bobine

Exercice : Établissement du Courant dans une Bobine (Circuit RL)

Établissement du Courant dans une Bobine (Circuit RL)

Contexte : Les phénomènes transitoiresPériode durant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) d'un circuit varient dans le temps, avant d'atteindre un état stable. dans les circuits électriques.

Lorsqu'on applique une tension à un circuit contenant des composants comme des bobines ou des condensateurs, le courant et la tension ne s'établissent pas instantanément. Ils traversent une phase d'adaptation appelée régime transitoire avant d'atteindre un état stable, le régime permanent. Cet exercice se concentre sur le circuit RL série, un modèle fondamental pour comprendre le comportement des inductances et la manière dont elles s'opposent aux variations de courant.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser mathématiquement un circuit simple mais essentiel, à résoudre l'équation différentielle qui le régit, et à interpréter physiquement les résultats. La maîtrise du circuit RL est cruciale pour l'étude des filtres, des alimentations à découpage et de nombreux autres systèmes électroniques.

Objectifs Pédagogiques

  • Mettre en équation un circuit RL série à l'aide de la loi des mailles.
  • Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
  • Comprendre, définir et calculer la constante de tempsNotée τ (tau), elle caractérise la rapidité de la réponse d'un circuit du premier ordre. Pour un circuit RL, τ = L/R. d'un circuit RL.
  • Distinguer et analyser le régime transitoire et le régime permanent.

Données de l'étude

On considère un circuit composé d'un générateur de tension continue idéal de force électromotrice (f.é.m.) E, d'un interrupteur K, d'une résistance R et d'une bobine d'inductance L et de résistance interne nulle. Ces éléments sont connectés en série. À l'instant initial \(t=0\), on ferme l'interrupteur K. On suppose que la bobine n'est initialement traversée par aucun courant.

Schéma du circuit RL série
+ - E K (t=0) R L
Caractéristique Symbole Valeur
Force électromotrice \(E\) \(12 \text{ V}\)
Résistance \(R\) \(100 \ \Omega\)
Inductance \(L\) \(200 \text{ mH}\)

Questions à traiter

  1. Appliquer la loi des mailles pour établir l'équation différentielle qui régit l'évolution du courant \(i(t)\) dans le circuit pour \(t \ge 0\).
  2. La solution de cette équation est de la forme \(i(t) = A + B e^{-t/\tau}\). En substituant cette forme dans l'équation, déterminer les expressions de la constante \(A\) et de la constante de temps \(\tau\) en fonction de \(E\), \(R\) et \(L\).
  3. En utilisant la condition initiale \(i(0)=0\), déterminer la constante \(B\). Donner l'expression littérale complète de \(i(t)\).
  4. Calculer la valeur numérique de la constante de temps \(\tau\). Que représente-t-elle physiquement ?
  5. Déterminer l'expression et la valeur du courant \(I_{\text{final}}\) en régime permanent (lorsque \(t \to \infty\)).
  6. Quelle est la valeur du courant \(i(t)\) à l'instant \(t = \tau\) ? Exprimez le résultat en fonction de \(I_{\text{final}}\) puis calculez sa valeur numérique.

Les bases sur les circuits du premier ordre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de quelques lois et définitions fondamentales de l'électricité.

1. Loi des mailles (Loi de Kirchhoff)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. \[ \sum_{\text{maille}} U_k = 0 \]

2. Tension aux bornes des composants

  • Résistance (Loi d'Ohm) : La tension \(u_R(t)\) est proportionnelle au courant \(i\) qui la traverse. \(u_R(t) = R \cdot i(t)\)
  • Bobine idéale : La tension \(u_L\) est proportionnelle à la dérivée du courant par rapport au temps. \(u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}\)

Correction : Établissement du Courant dans une Bobine (Circuit RL)

Question 1 : Établissement de l'équation différentielle

Principe

Le concept physique fondamental ici est la conservation de l'énergie dans un circuit électrique, exprimée par la loi des mailles de Kirchhoff. Elle stipule que l'énergie fournie par le générateur (tension E) est à chaque instant égale à l'énergie dissipée par la résistance (tension \(u_R\)) et à l'énergie stockée par la bobine (tension \(u_L\)).

Mini-Cours

Une équation différentielle en physique décrit l'évolution d'un système dans le temps. Ici, elle relie le courant \(i(t)\) à sa propre variation \(\frac{di}{dt}\). La présence de la bobine, qui réagit à la variation du courant, est ce qui rend l'équation différentielle et non simplement algébrique. C'est la signature d'un système dynamique qui possède une "mémoire" ou une "inertie".

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de signe, la méthode la plus sûre est de : 1. Dessiner le circuit. 2. Choisir arbitrairement un sens positif pour le courant \(i(t)\). 3. Flécher les tensions aux bornes de chaque composant passif (résistance, bobine) dans le sens opposé au courant (convention récepteur). 4. Flécher la tension du générateur de la borne - vers la borne +. 5. Parcourir la maille et additionner les tensions : on ajoute si on va dans le sens de la flèche, on soustrait sinon.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de norme de "calcul" à proprement parler, la méthodologie et les symboles utilisés (E, R, L, i) sont standardisés au niveau international par la Commission Électrotechnique Internationale (CEI), notamment dans la norme CEI 60027.

Formule(s)

Loi des mailles

\[ \sum_{\text{maille}} U_k = 0 \]

Tension aux bornes de la résistance

\[ u_R(t) = R \cdot i(t) \]

Tension aux bornes de la bobine

\[ u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt} \]
Hypothèses
  • Le générateur est une source de tension continue idéale (sa f.é.m. E est constante et sa résistance interne est nulle).
  • La bobine est idéale (sa résistance interne est nulle).
  • Les fils de connexion sont parfaits (résistance nulle).
  • L'interrupteur est parfait (résistance nulle en position fermée, infinie en position ouverte).
Donnée(s)

Pour cette question de mise en équation, les seules données pertinentes sont les grandeurs littérales présentes dans le circuit : \(E\), \(R\), \(L\).

Astuces

La tension aux bornes de l'inductance, \(u_L = L \frac{di}{dt}\), est le terme qui introduit la dérivée dans l'équation. Si le circuit ne contenait que des résistances, nous aurions une simple équation algébrique. La bobine transforme le problème en un système dynamique.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit RL avec fléchage des tensions et du courant
+-EERuRLuLi(t)
Calcul(s)

Application de la loi des mailles

\[ E - u_R(t) - u_L(t) = 0 \]

Substitution des tensions

\[ E - R \cdot i(t) - L \frac{di(t)}{dt} = 0 \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme conceptuel de l'équation
E=R · i(t)+L di/dt
Réflexions

L'équation obtenue montre que la tension du générateur \(E\) est constamment équilibrée par deux phénomènes : la chute de tension due à la dissipation d'énergie dans la résistance (\(R \cdot i(t)\)) et la chute de tension due à la variation du champ magnétique dans la bobine (\(L \frac{di}{dt}\)). À \(t=0\), \(i(t)=0\) et toute la tension \(E\) est aux bornes de la bobine. Quand \(t \to \infty\), le courant est stable, \(\frac{di}{dt}=0\), et toute la tension \(E\) est aux bornes de la résistance.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est le signe des tensions. Une erreur de signe dans la loi des mailles changera complètement la solution physique de l'équation. Toujours bien respecter les conventions de fléchage.

Points à retenir
  • La loi des mailles est l'outil de base pour analyser tout circuit série.
  • Une bobine introduit un terme de dérivée du courant dans l'équation du circuit, la transformant en équation différentielle.
Le saviez-vous ?

Gustav Kirchhoff a formulé ses lois des circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant de 21 ans. Ces lois, d'une simplicité et d'une puissance remarquables, sont des conséquences directes des principes de conservation de la charge et de l'énergie.

FAQ
Pourquoi la tension aux bornes de la bobine dépend-elle de la dérivée du courant ?

Cela vient de la loi de Faraday-Lenz. Un courant variable crée un champ magnétique variable à travers la bobine. Ce champ magnétique variable induit une force électromotrice (tension) qui s'oppose à la cause qui lui a donné naissance, c'est-à-dire la variation du courant. La tension est donc proportionnelle à la vitesse de variation du courant, \(\frac{di}{dt}\).

Résultat Final
L'équation différentielle du circuit est : \(L \frac{di(t)}{dt} + R \cdot i(t) = E\)
A vous de jouer

Si \(L=100 \text{ mH}\), \(R=50 \ \Omega\), \(E=10 \text{ V}\) et qu'à un instant \(t_1\), le courant \(i(t_1)=0.1 \text{ A}\), quelle est la valeur de la dérivée \(\frac{di}{dt}\) à cet instant (en \(\text{A/s}\)) ?

Question 2 : Détermination de A et τ

Principe

Le concept est que si une fonction est une solution à une équation différentielle, elle doit satisfaire cette équation pour toutes les valeurs de la variable (ici, le temps \(t\)). En substituant la forme de la solution proposée dans l'équation, on crée une nouvelle équation qui doit être vraie à tout instant. Cela nous permet d'identifier les paramètres inconnus.

Mini-Cours

Nous résolvons une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre. La solution générale est toujours la somme de deux parties : la solution générale de l'équation homogène (sans le second membre E), qui est la partie transitoire \(B e^{-t/\tau}\), et une solution particulière de l'équation complète, qui est la partie permanente (le régime établi), ici la constante \(A\).

Remarque Pédagogique

Cette méthode d'identification est très puissante. L'astuce est de bien regrouper les termes. Séparez tout ce qui dépend du temps (les exponentielles) de tout ce qui est constant. Pour que l'égalité soit vraie pour n'importe quelle valeur de \(t\), il faut que les parties constantes soient égales entre elles, et que les parties qui varient dans le temps soient aussi égales entre elles (ce qui implique ici que leur coefficient soit nul).

Normes

La notation mathématique utilisée (dérivée, exponentielle) est universelle. La méthode de résolution est un standard de l'analyse mathématique pour les équations différentielles linéaires.

Formule(s)

Forme de la solution et sa dérivée

\[ i(t) = A + B e^{-t/\tau} \Rightarrow \frac{di(t)}{dt} = - \frac{B}{\tau} e^{-t/\tau} \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que la solution peut effectivement s'écrire sous la forme proposée. Pour les circuits RL du premier ordre avec une source continue, c'est toujours le cas.

Donnée(s)
Équation à résoudre\(L \frac{di(t)}{dt} + R \cdot i(t) = E\)
Forme de la solution\(i(t) = A + B e^{-t/\tau}\)
Astuces

Le terme constant A correspond toujours à la valeur du courant en régime permanent (\(t \to \infty\)), car l'exponentielle s'annule. Vous pouvez donc souvent deviner \(A\) en analysant le circuit en régime permanent (où la bobine est un fil), ce qui donne \(A=E/R\). Cela fournit une excellente vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Substitution de la solution dans l'équation
L di/dt + R i = Ei(t) = A + B e-t/τ
Calcul(s)

Substitution dans l'équation différentielle

\[ L \left( - \frac{B}{\tau} e^{-t/\tau} \right) + R \left( A + B e^{-t/\tau} \right) = E \]

Factorisation et regroupement des termes

\[ RA + B e^{-t/\tau} \left( R - \frac{L}{\tau} \right) = E \]

Par identification, pour que l'équation soit vraie pour tout \(t \ge 0\) :

  • Termes constants : \(RA = E \Rightarrow A = \frac{E}{R}\)
  • Coefficient de l'exponentielle : \(R - \frac{L}{\tau} = 0 \Rightarrow R = \frac{L}{\tau} \Rightarrow \tau = \frac{L}{R}\)
Schéma (Après les calculs)
Résultat de l'identification
Circuit RLEntrées: E, R, LRégime permanent : A = E / RRégime transitoire : τ = L / R
Réflexions

Cette étape est cruciale car elle lie les paramètres mathématiques abstraits (\(A, \tau\)) aux composants physiques du circuit (\(E, R, L\)). On voit que la valeur finale du courant (\(A\)) dépend de la source et de la résistance, tandis que le "temps de réaction" (\(\tau\)) dépend de la bobine et de la résistance. Le circuit a donc une réponse dissociée en amplitude et en vitesse.

Points de vigilance

Une erreur classique est de mal dériver \(e^{-t/\tau}\). N'oubliez pas de sortir le facteur \(-1/\tau\) de l'exposant. Une autre erreur est de mal regrouper les termes avant l'identification.

Points à retenir
  • La solution d'une équation différentielle de circuit RL a une composante permanente (constante) et une composante transitoire (exponentielle).
  • La constante de temps d'un circuit RL est toujours \(\tau = L/R\).
Le saviez-vous ?

La fonction exponentielle \(e^x\) est unique en mathématiques car elle est sa propre dérivée. C'est pour cette raison qu'elle apparaît systématiquement dans les solutions de systèmes physiques où le taux de changement d'une quantité est proportionnel à la quantité elle-même (ex: désintégration radioactive, croissance de population, et bien sûr, circuits RL/RC).

FAQ
Pourquoi la solution a-t-elle cette forme exponentielle ?

C'est la forme mathématique naturelle de la réponse d'un système du premier ordre à une excitation constante. L'exponentielle décroissante représente le "retour à l'équilibre" du système. La partie transitoire s'estompe exponentiellement pour ne laisser que la solution permanente.

Résultat Final
Les expressions des constantes sont : \(A = \frac{E}{R}\) et \(\tau = \frac{L}{R}\).
A vous de jouer

Un circuit a une constante de temps \(\tau = 5 \text{ ms}\). Si on divise l'inductance par 2 et qu'on double la résistance, quelle est la nouvelle constante de temps en ms ?

Question 3 : Détermination de B et expression de i(t)

Principe

On utilise une condition connue du circuit à un instant précis pour déterminer la dernière constante inconnue, \(B\). Le principe physique clé ici est la continuité du courant dans une bobine : l'énergie stockée ne pouvant varier instantanément, le courant non plus. Le courant à \(t=0^+\) (juste après la fermeture) est donc le même qu'à \(t=0^-\) (juste avant).

Mini-Cours

La détermination de la constante d'intégration (ici, \(B\)) à l'aide des conditions initiales est une étape standard dans la résolution de toute équation différentielle en physique. La solution générale \(i(t) = A + Be^{-t/\tau}\) représente une famille de courbes possibles ; la condition initiale permet de sélectionner la seule courbe qui correspond à notre expérience physique précise.

Remarque Pédagogique

Identifiez toujours les conditions initiales avant de vous lancer dans les calculs. Pour une bobine, demandez-vous "Quel était le courant qui la traversait juste avant l'événement ?". Pour un condensateur, ce serait "Quelle était la tension à ses bornes ?". Ici, le circuit était ouvert, donc le courant était nul.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application de principes physiques fondamentaux.

Formule(s)

Solution générale

\[ i(t) = A + B e^{-t/\tau} \]

Condition initiale

\[ i(0) = 0 \]
Hypothèses

On suppose que le circuit était au repos avant \(t=0\), ce qui signifie qu'aucun courant ne circulait. L'interrupteur est fermé précisément à l'instant \(t=0\).

Donnée(s)
Constante A\(A = E/R\)
Constante τ\(\tau = L/R\)
Courant initial\(i(0) = 0 \text{ A}\)
Astuces

Puisque \(B=-A\), on peut voir la solution comme \(i(t) = A - A e^{-t/\tau}\). Cela signifie que le courant total est la "valeur finale" (A) moins une "valeur transitoire" qui part de A à t=0 et s'annule avec le temps. La somme des deux part bien de zéro.

Schéma (Avant les calculs)
Condition initiale pour déterminer la solution unique
ti(t)A=E/Ri(0)=0
Calcul(s)

Application de la condition initiale

\[ \begin{aligned} i(0) &= A + B e^{-0/\tau} \\ &= A + B \cdot e^0 \\ &= A + B \end{aligned} \]

Détermination de B

\[ \begin{aligned} A + B &= 0 \\ \Rightarrow B &= -A = -\frac{E}{R} \end{aligned} \]

Expression finale de i(t)

\[ \begin{aligned} i(t) &= \frac{E}{R} - \frac{E}{R} e^{-t/\tau} \\ &= \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-t/\tau} \right) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allure de la courbe du courant i(t)
ti(t)E/R0
Réflexions

L'expression finale montre que le courant part de 0 (car \(1-e^0 = 0\)) et tend asymptotiquement vers la valeur finale \(E/R\) (car \(e^{-\infty} = 0\)). La croissance est rapide au début puis ralentit de plus en plus, ce qui est caractéristique d'une charge exponentielle.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre solution finale respecte bien les conditions aux limites : \(i(0)=0\) et \(i(\infty)=E/R\). Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur de signe dans le calcul de B.

Points à retenir
  • La continuité du courant dans une bobine est la clé pour trouver la condition initiale \(i(0^+)=i(0^-)\).
  • La forme de la réponse d'un circuit RL à un échelon de tension est \(I_{\text{final}}(1-e^{-t/\tau})\).
Le saviez-vous ?

L'effet d'inertie de la bobine est utilisé pour créer des surtensions. En coupant brusquement un courant établi dans une bobine, on force \(\frac{di}{dt}\) à devenir très grand et négatif, ce qui induit une tension \(u_L = L \frac{di}{dt}\) très élevée. C'est le principe des bobines d'allumage dans les moteurs à essence pour créer l'étincelle.

FAQ
Et si le courant initial n'était pas nul ?

Si le circuit avait un courant initial \(I_0\) à \(t=0\), la condition serait \(i(0) = I_0\). L'équation deviendrait \(A+B=I_0\), ce qui donnerait \(B = I_0 - A = I_0 - E/R\). La solution serait alors plus complexe, décrivant la transition de \(I_0\) vers \(E/R\).

Résultat Final
L'expression finale du courant est : \(i(t) = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-t/(L/R)} \right)\).
A vous de jouer

Pour le circuit de l'énoncé, calculez le courant \(i(t)\) à l'instant \(t=1 \text{ ms}\). Donnez le résultat en \(\text{mA}\), arrondi à 2 décimales.

Question 4 : Calcul et interprétation de la constante de temps τ

Principe

Cette étape consiste en une application numérique directe de la formule littérale de la constante de temps, \(\tau=L/R\), trouvée précédemment. L'objectif est de quantifier la "lenteur" de la réaction du circuit.

Mini-Cours

La constante de temps \(\tau\) est une propriété intrinsèque des systèmes du premier ordre. Elle représente le temps nécessaire pour que la réponse du système effectue environ 63.2% (\(1-1/e\)) de son chemin de la valeur initiale à la valeur finale. Indépendamment des valeurs de E, L et R, après une durée de \(5\tau\), la réponse est à plus de 99% de sa valeur finale, et le régime transitoire est considéré comme terminé.

Remarque Pédagogique

Faites très attention aux unités ! L'inductance est souvent donnée en millihenrys (mH) ou microhenrys (\(\mu\)H). La résistance est en ohms (\(\Omega\)). Pour que le résultat de \(\tau=L/R\) soit en secondes (s), il est impératif de convertir L en henrys (H).

Normes

L'utilisation des unités du Système International (SI) est la norme en sciences et en ingénierie. Henry (H) pour l'inductance, Ohm (\(\Omega\)) pour la résistance, et Seconde (s) pour le temps.

Formule(s)

Formule de la constante de temps

\[ \tau = \frac{L}{R} \]
Hypothèses

Les valeurs de L et R sont considérées comme constantes et précises.

Donnée(s)
Inductance (L)\(200 \text{ mH}\)
Résistance (R)\(100 \ \Omega\)
Astuces

Un moyen de vérifier la cohérence de la formule est l'analyse dimensionnelle. L'unité d'une inductance, le Henry, est équivalent à des (\(\text{Volt} \cdot \text{Seconde} / \text{Ampère}\)), et l'Ohm à des (\(\text{Volt} / \text{Ampère}\)). Ainsi, \([L]/[R] = (\text{V} \cdot \text{s} / \text{A}) / (\text{V} / \text{A}) = \text{s}\). Le rapport L/R a bien la dimension d'un temps.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la constante de temps
L = 200 mHR = 100 Ωτ = L / R?
Calcul(s)

Conversion des unités

\[ \begin{aligned} L &= 200 \text{ mH} \\ &= 200 \times 10^{-3} \text{ H} \\ &= 0.2 \text{ H} \end{aligned} \]

Calcul de τ

\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{0.2 \text{ H}}{100 \ \Omega} \\ &= 0.002 \text{ s} \\ &= 2 \text{ ms} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Signification de τ sur la courbe de courant
ti(t)Ifinalτ = 2ms0.63·Ifinal
Réflexions

Une constante de temps de 2 ms signifie que le circuit est relativement rapide. En seulement 10 ms (\(5\tau\)), le courant aura atteint plus de 99% de sa valeur finale. Cette rapidité est essentielle dans des applications comme les alimentations à découpage où les bobines doivent se charger et se décharger des milliers de fois par seconde.

Points de vigilance

La conversion d'unités est la principale source d'erreur. Vérifiez toujours que vos unités sont dans le système SI (H, \(\Omega\), V, A, s) avant de faire le calcul final.

Points à retenir
  • La constante de temps \(\tau = L/R\) quantifie la vitesse de réponse du circuit.
  • Un \(\tau\) élevé signifie un système lent ; un \(\tau\) faible signifie un système rapide.
Le saviez-vous ?

Dans les systèmes audio, les filtres passe-bas sont souvent réalisés avec des circuits RL (ou RC). La constante de temps détermine la "fréquence de coupure" du filtre, c'est-à-dire la fréquence à partir de laquelle les sons aigus sont atténués. Une constante de temps élevée correspond à une fréquence de coupure basse, laissant passer uniquement les basses fréquences.

FAQ
Est-ce que \(\tau\) peut être très grand ?

Oui. Dans les grands électro-aimants supraconducteurs, comme ceux du LHC au CERN, l'inductance L est énorme (plusieurs henrys) et la résistance R est quasi nulle. La constante de temps peut alors se chiffrer en heures ! Il faut beaucoup de temps pour "charger" l'aimant jusqu'à son courant nominal.

Résultat Final
La constante de temps du circuit est \(\tau = 2 \text{ ms}\).
A vous de jouer

Pour atteindre le régime permanent plus rapidement (diminuer \(\tau\)), faut-il augmenter ou diminuer la résistance R ?

Question 5 : Courant en régime permanent

Principe

Le régime permanent (ou stationnaire) est l'état stable atteint par le circuit après que tous les phénomènes transitoires se sont estompés. Pour une source de tension continue, cela signifie que toutes les grandeurs (courants, tensions) deviennent constantes.

Mini-Cours

En régime continu, le courant \(i(t)\) est constant, donc sa dérivée par rapport au temps est nulle : \(\frac{di}{dt} = 0\). La tension aux bornes de la bobine, \(u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}\), devient donc nulle. Une bobine idéale se comporte alors comme un fil de résistance nulle, c'est-à-dire un court-circuit.

Remarque Pédagogique

Pour analyser n'importe quel circuit avec des bobines et des condensateurs en régime permanent continu, la technique est toujours la même : redessinez le circuit en remplaçant toutes les bobines par des fils (court-circuits) et tous les condensateurs par des coupures (circuits ouverts). Le circuit simplifié qui en résulte est purement résistif et s'analyse avec la loi d'Ohm.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application de la théorie des circuits.

Formule(s)

Définition du courant final

\[ I_{\text{final}} = \lim_{t \to \infty} i(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-t/\tau} \right) \]
Hypothèses

On suppose qu'on attend un temps "suffisamment long", c'est-à-dire une durée très supérieure à la constante de temps \(\tau\) (en pratique, \(t > 5\tau\)).

Donnée(s)
Force électromotrice (E)\(12 \text{ V}\)
Résistance (R)\(100 \ \Omega\)
Astuces

Il n'est même pas nécessaire de faire le calcul de la limite. En appliquant directement la simplification "la bobine est un fil en régime permanent", le circuit se réduit à une source de tension E et une résistance R. La loi d'Ohm donne immédiatement \(I = E/R\).

Schéma (Avant les calculs)
Circuit RL en régime transitoire (t < 5τ)
ERL
Calcul(s)

Calcul de la limite

\[ \lim_{t \to \infty} e^{-t/\tau} = 0 \]

Expression littérale du courant final

\[ \begin{aligned} I_{\text{final}} &= \frac{E}{R} (1 - 0) \\ &= \frac{E}{R} \end{aligned} \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} I_{\text{final}} &= \frac{12 \text{ V}}{100 \ \Omega} \\ &= 0.12 \text{ A} \\ &= 120 \text{ mA} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Circuit équivalent en régime permanent (t → ∞)
ERCourt-circuit
Réflexions

Le résultat montre que l'inductance n'influence pas la valeur finale du courant en continu ; elle ne fait que retarder son établissement. Le courant final n'est limité que par la résistance du circuit, conformément à la loi d'Ohm.

Points de vigilance

Ne jamais appliquer cette simplification (\(L\) = fil) durant le régime transitoire ! C'est une erreur fondamentale. Cette règle n'est valable qu'en régime permanent continu.

Points à retenir
  • En régime permanent continu, une bobine se comporte comme un court-circuit.
  • Le courant final dans un circuit RL série est \(I_{\text{final}} = E/R\).
Le saviez-vous ?

Les dispositifs de protection contre la foudre (parafoudres) utilisent parfois de grosses bobines. Pour le courant continu ou de basse fréquence (50/60 Hz) du secteur, la bobine agit comme un fil et ne perturbe pas le fonctionnement. Mais pour l'impulsion très rapide de la foudre (haute fréquence), l'impédance de la bobine devient très grande, bloquant le pic de courant et le déviant vers la terre.

FAQ
Pourquoi la bobine se comporte-t-elle comme un fil ?

Parce que la tension à ses bornes est \(u_L = L \frac{di}{dt}\). En régime permanent continu, le courant est constant, donc sa dérivée \(\frac{di}{dt}\) est nulle. La tension \(u_L\) est donc nulle. Un composant avec une tension nulle à ses bornes est, par définition, un court-circuit ou un simple fil.

Résultat Final
\(I_{\text{final}} = 120 \text{ mA}\).
A vous de jouer

Si on remplace le générateur par un autre de 24 V, quel sera le nouveau courant final en \(\text{mA}\) ?

Question 6 : Courant à l'instant t = τ

Principe

Il s'agit d'évaluer la fonction \(i(t)\) à un instant particulier, \(t=\tau\). C'est un point de repère important qui permet de caractériser la progression de la charge de la bobine et de valider l'interprétation physique de la constante de temps.

Mini-Cours

La valeur \(e^{-1} \approx 0.36788\) est une constante universelle. Par conséquent, pour tout système du premier ordre (circuit RL, circuit RC, refroidissement d'un objet, etc.), la grandeur étudiée parcourt toujours \(1 - e^{-1} \approx 63.2\%\) de la distance entre sa valeur initiale et sa valeur finale au bout d'une constante de temps.

Remarque Pédagogique

Mémoriser la valeur de 63.2% pour \(t=\tau\) est extrêmement utile pour faire des estimations rapides. Par exemple, si l'on vous dit que le courant atteint la moitié de sa valeur finale en 1.4 ms, vous pouvez en déduire que la constante de temps \(\tau\) sera un peu plus grande, aux alentours de 2 ms (car 50% est un peu moins que 63.2%).

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une propriété mathématique des fonctions exponentielles.

Formule(s)

Formule du courant à t=τ

\[ i(\tau) = I_{\text{final}} (1 - e^{-1}) \]
Hypothèses

On suppose que le modèle mathématique établi aux questions précédentes est correct.

Donnée(s)
Courant final\(I_{\text{final}} = 120 \text{ mA}\)
Astuces

C'est un excellent moyen de vérifier votre compréhension. Si le courant à \(t=\tau\) n'est pas environ les deux tiers du courant final, il y a probablement une erreur dans votre expression de \(i(t)\) ou dans votre calcul de \(\tau\).

Schéma (Avant les calculs)
Localisation de l'instant t = τ sur la courbe
ti(t)IfinalτCalculer i(τ)
Calcul(s)

Expression littérale

\[ \begin{aligned} i(\tau) &= \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\tau/\tau} \right) \\ &= I_{\text{final}} (1 - e^{-1}) \end{aligned} \]

Pourcentage de la valeur finale

\[ \begin{aligned} \frac{i(\tau)}{I_{\text{final}}} &= 1 - e^{-1} \\ &\approx 1 - 0.368 \\ &= 0.632 \\ &= 63.2 \% \end{aligned} \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} i(\tau) &\approx 0.632 \times 120 \text{ mA} \\ &\approx 75.84 \text{ mA} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement à t = τ
ti(t)Ifinalτ0.63·Ifinal
Réflexions

Le fait que le courant ait déjà atteint près des deux tiers de sa valeur finale en seulement 2 ms montre que la croissance est initialement très rapide. La pente de la courbe \(i(t)\) à l'origine (\(t=0\)) est maximale, puis elle diminue pour devenir nulle lorsque le régime permanent est atteint.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(e^{-1}\) (environ 0.37) avec \(1-e^{-1}\) (environ 0.63). Cette confusion est une erreur fréquente lors des calculs rapides.

Points à retenir
  • À \(t=\tau\), la réponse transitoire d'un circuit du premier ordre a atteint 63.2% de sa variation totale.
  • Cette propriété est universelle pour tous les systèmes linéaires du premier ordre.
Le saviez-vous ?

La tangente à la courbe \(i(t)\) à l'origine (\(t=0\)) coupe l'asymptote \(i=I_{\text{final}}\) précisément à l'instant \(t=\tau\). C'est une méthode graphique qui permet de déterminer la constante de temps à partir d'une courbe de réponse expérimentale.

FAQ
Que se passe-t-il à \(t=2\tau\) ?

À \(t=2\tau\), le courant atteint \(I_{\text{final}}(1-e^{-2}) \approx I_{\text{final}}(1-0.135) = 0.865 \cdot I_{\text{final}}\), soit environ 86.5% de sa valeur finale.

Résultat Final
\(i(\tau) \approx 75.8 \text{ mA}\).
A vous de jouer

Après combien de constantes de temps (\(t = n \cdot \tau\)) le courant atteint-il environ 95% de sa valeur finale ? (Entrez la valeur de n, qui est un entier)

Outil Interactif : Simulateur de circuit RL

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la tension (E), de la résistance (R) et de l'inductance (L). Observez en temps réel l'impact sur la constante de temps, le courant final, et la courbe de charge de la bobine.

Paramètres d'Entrée
12 V
100 Ω
200 mH
Résultats Clés
Constante de temps (τ) -
Courant final (I_final) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la constante de temps \(\tau\) d'un circuit RL ?

2. En régime permanent avec une source de tension continue, une bobine idéale se comporte comme...

3. Si on double la valeur de la résistance R dans un circuit RL série, la constante de temps \(\tau\)...

4. À l'instant \(t = 0^+\), juste après la fermeture de l'interrupteur, la tension aux bornes de la résistance R est...

5. Le régime transitoire est considéré comme terminé après une durée d'environ...

Régime transitoire
Phase durant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) d'un circuit varient dans le temps, évoluant de leur état initial à leur état final stable.
Régime permanent
État d'un circuit électrique atteint après la fin du régime transitoire, où les courants et les tensions sont devenus constants (en courant continu) ou périodiques (en courant alternatif).
Constante de temps (τ)
Pour un circuit RL, c'est le rapport L/R. Elle représente une mesure de la rapidité de la réponse du circuit. Après une durée égale à \(\tau\), le courant a atteint environ 63% de sa variation totale.
Exercice : Établissement du Courant dans une Bobine (Circuit RL)

D’autres exercices de Phénomènes transitoires:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *