Circuits Électriques

Réponse d’un circuit RC à un signal créneau

Électricité : Réponse d'un circuit RC à un signal créneau

Réponse d'un circuit RC à un signal créneau

Contexte : Le Circuit RC comme Filtre

Un signal créneau est une succession de "marches" de tension. Appliquer un tel signal à un circuit RC est une excellente façon de visualiser son comportement en tant que filtre. Le condensateur, qui s'oppose aux variations brusques de tension, va "lisser" les fronts montants et descendants du créneau. La forme du signal de sortie dépendra crucialement de la relation entre la constante de tempsCaractéristique d'un circuit RC (τ = R×C) qui définit la vitesse de charge ou de décharge. \(\tau\) du circuit et la périodeDurée d'un cycle complet du signal d'entrée. \(T\) du signal créneau. Cet exercice explore cette relation.

Remarque Pédagogique : L'étude de la réponse à un échelon (une seule "marche" du créneau) est la base de l'analyse des systèmes du premier ordre. En observant la réponse à un créneau, on analyse une succession de charges et de décharges qui n'ont pas toujours le temps d'aller à leur terme, ce qui est très représentatif des signaux numériques en électronique.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les équations de charge et de décharge d'un condensateur.
  • Calculer la tension aux bornes du condensateur à des instants clés.
  • Comprendre comment la constante de temps \(\tau\) influe sur la forme du signal de sortie.
  • Identifier le comportement du circuit (intégrateur ou dérivateur) en fonction de \(\tau\) et de la période du signal.
  • Analyser un régime permanent établi après plusieurs cycles.

Données de l'étude

Un circuit RC série est alimenté par un générateur de signaux créneaux. Le signal d'entrée \(u_e(t)\) bascule entre 0 V et 5 V avec une période \(T = 2 \, \text{ms}\) (il est donc à 5V pendant 1 ms, puis à 0V pendant 1 ms, etc.). Le condensateur est initialement déchargé.

Schéma du Circuit et du Signal d'Entrée
uₑ(t) R=1kΩ C=1µF T=2ms 5V

Données :

  • Tension d'entrée : Créneau 0V / 5V
  • Période du signal : \(T = 2 \, \text{ms}\)
  • Résistance : \(R = 1 \, \text{k}\Omega = 1000 \, \Omega\)
  • Capacité : \(C = 1 \, \mu\text{F} = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. À \(t=0\), le signal passe de 0V à 5V. Calculer la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur à la fin de cette première demi-période (à \(t = T/2 = 1 \, \text{ms}\)).
  3. À \(t = 1 \, \text{ms}\), le signal repasse à 0V. Le condensateur se décharge. En considérant la tension calculée précédemment comme la nouvelle tension initiale, quelle sera la tension \(u_C\) à la fin de la période complète (à \(t = T = 2 \, \text{ms}\)) ?

Correction : Réponse d'un circuit RC à un signal créneau

Question 1 : Constante de Temps (\(\tau\))

Principe :

La constante de temps \(\tau\) est la caractéristique intrinsèque du circuit RC qui définit sa "vitesse" de réaction. Elle se calcule par le produit de la résistance et de la capacité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La comparaison de cette constante de temps \(\tau\) avec la durée des paliers du signal créneau (\(T/2\)) est ce qui va déterminer la forme du signal de sortie. Si \(\tau\) est beaucoup plus petit que \(T/2\), le condensateur aura le temps de se charger/décharger complètement. Si \(\tau\) est beaucoup plus grand, il n'en aura pas le temps.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = R \times C \]
Donnée(s) :
  • \(R = 1000 \, \Omega\)
  • \(C = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau &= 1000 \times (1 \times 10^{-6}) \\ &= 0.001 \, \text{s} = 1 \, \text{ms} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités : Assurez-vous que R est en Ohms et C en Farads pour obtenir des secondes. Les préfixes k\(\Omega\) et \(\mu\)F sont très courants et doivent être convertis.

Le saviez-vous ?

Dans ce cas particulier, la constante de temps \(\tau = 1 \, \text{ms}\) est exactement égale à la durée de chaque palier du signal créneau (\(T/2 = 1 \, \text{ms}\)). C'est un cas d'école intéressant où le condensateur se charge jusqu'à 63% puis entame sa décharge.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si \(\tau\) était de 0.1 ms ?

Si \(\tau\) était 10 fois plus petit que la durée du palier, le condensateur aurait largement le temps de se charger presque complètement à 5V, et de se décharger presque complètement à 0V. Le signal de sortie ressemblerait à des "dents de scie" arrondies.

Résultat : La constante de temps du circuit est \(\tau = 1 \, \text{ms}\).

Question 2 : Tension à la Fin de la Charge (\(t=1\text{ms}\))

Principe :

Pendant la première demi-période (de \(t=0\) à \(t=1\text{ms}\)), le circuit est soumis à un échelon de tension de 5V. Le condensateur, initialement déchargé, se charge en suivant la loi exponentielle classique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On analyse le circuit phase par phase. Ici, c'est une simple charge de condensateur à partir de 0V, visant une tension finale de 5V.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau}) \]
Donnée(s) :
  • Tension de la source \(E = 5 \, \text{V}\)
  • \(\tau = 1 \, \text{ms}\)
  • \(t = 1 \, \text{ms}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u_C(1\text{ms}) &= 5 \times (1 - e^{-1\text{ms}/1\text{ms}}) \\ &= 5 \times (1 - e^{-1}) \\ &\approx 5 \times (1 - 0.368) \\ &\approx 3.16 \, \text{V} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Le rapport \(t/\tau\) doit être sans dimension. Ici, on divise des millisecondes par des millisecondes, c'est correct. Si les unités étaient différentes, une conversion serait nécessaire.

Le saviez-vous ?

Si la constante de temps \(\tau\) est très grande devant la période du signal, le condensateur n'a quasiment pas le temps de se charger. La tension à ses bornes est alors l'intégrale de la tension d'entrée. Le circuit se comporte comme un "intégrateur".

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la tension n'atteint-elle pas 5V ?

Parce que la durée du palier de charge (\(1 \, \text{ms}\)) est égale à la constante de temps. Il faudrait un temps de \(5\tau\) (soit 5 ms) pour que le condensateur soit considéré comme complètement chargé. Ici, la charge est interrompue bien avant.

Résultat : À la fin de la première demi-période, la tension aux bornes du condensateur est d'environ \(3.16 \, \text{V}\).

Question 3 : Tension à la Fin de la Décharge (\(t=2\text{ms}\))

Principe :

À \(t=1\text{ms}\), la source passe à 0V. Le condensateur, qui était chargé à \(U_0 = 3.16 \, \text{V}\), commence à se décharger dans la résistance. On utilise l'équation de la décharge, mais en considérant que cette décharge commence à \(t'=0\) (qui correspond à \(t=1\text{ms}\)) avec une tension initiale \(U_0\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Chaque phase de charge ou de décharge repart des conditions laissées par la phase précédente. La tension aux bornes d'un condensateur est continue, elle ne peut pas "sauter" instantanément.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_C(t') = U_0 e^{-t'/\tau} \]
Donnée(s) :
  • Tension initiale de la décharge : \(U_0 = 3.16 \, \text{V}\)
  • \(\tau = 1 \, \text{ms}\)
  • Durée de la décharge : \(t' = 1 \, \text{ms}\) (de t=1ms à t=2ms)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u_C(t'=1\text{ms}) &= 3.16 \times e^{-1\text{ms}/1\text{ms}} \\ &= 3.16 \times e^{-1} \\ &\approx 3.16 \times 0.368 \\ &\approx 1.16 \, \text{V} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Bien définir l'origine des temps : Il est plus simple de considérer que chaque phase (charge ou décharge) démarre à son propre \(t'=0\). La tension initiale de cette nouvelle phase est la tension finale de la phase précédente.

Le saviez-vous ?

Si on laissait le signal créneau se poursuivre, la tension aux bornes du condensateur finirait par osciller entre une valeur minimale (supérieure à 0V) et une valeur maximale (inférieure à 5V). Le circuit atteint un "régime permanent" sinusoïdal non-centré.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passerait-il si \(\tau\) était de 10 ms ?

Si \(\tau\) était 10 fois plus grand que la durée du palier, le condensateur n'aurait quasiment pas le temps de se charger. La tension à ses bornes augmenterait de manière presque linéaire pendant la charge, et diminuerait de même. Le circuit se comporterait comme un "intégrateur", la tension de sortie étant proportionnelle à l'intégrale de la tension d'entrée.

Résultat : À la fin de la première période complète, la tension aux bornes du condensateur est d'environ \(1.16 \, \text{V}\).

Simulation Interactive

Faites varier la constante de temps du circuit (\(\tau = RC\)) et la période du signal créneau. Observez comment la forme du signal de sortie \(u_C(t)\) est radicalement modifiée.

Paramètres du Circuit
Rapport T/τ
Réponse du Circuit RC

Pour Aller Plus Loin : Le Circuit Dérivateur

Observer la résistance : Dans ce même circuit, si l'on mesure la tension aux bornes de la résistance (\(u_R\)) au lieu du condensateur, on obtient un comportement très différent. Si la constante de temps \(\tau\) est très *petite* devant la période du signal, la tension \(u_R(t)\) est proportionnelle à la *dérivée* de la tension d'entrée. On obtient des pics de tension positifs et négatifs très brefs à chaque changement de niveau du créneau. Le circuit se comporte comme un "dérivateur".

Le Saviez-Vous ?

Tout signal périodique, même complexe comme un son de musique ou un signal vidéo, peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences (c'est le principe de la série de Fourier). En analysant la réponse d'un circuit à un créneau, on analyse en fait sa réponse à une infinité de fréquences simultanément, ce qui donne une très bonne idée de son comportement global en tant que filtre.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le circuit atteint-il un jour un vrai régime permanent ?

Oui. Après plusieurs cycles, le condensateur ne se déchargera plus jusqu'à 0V. Il atteindra un régime où il oscillera entre une tension minimale \(U_{\text{min}}\) et une tension maximale \(U_{\text{max}}\). Ces valeurs dépendent de \(\tau\) et de T, mais elles deviendront stables cycle après cycle.

Comment ce circuit peut-il être un "intégrateur" ?

Si la constante de temps \(\tau=RC\) est beaucoup plus grande que la période T du créneau, le condensateur n'a que très peu de temps pour se charger. La tension à ses bornes augmente alors de façon quasi-linéaire. Mathématiquement, on peut montrer que cette rampe de tension est proportionnelle à l'intégrale du signal créneau d'entrée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour que la tension de sortie \(u_C(t)\) ressemble le plus possible au signal d'entrée (créneau), il faut que la constante de temps \(\tau\) soit :

2. Pour que le circuit se comporte comme un bon intégrateur, il faut que la constante de temps \(\tau\) soit :

Glossaire

Signal Créneau
Un signal périodique qui alterne brusquement entre deux niveaux de tension (un niveau bas et un niveau haut).
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent d'un état stable initial à un nouvel état stable final.
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RC, \(\tau = RC\). C'est une mesure de la rapidité de la charge ou de la décharge. Elle détermine la "mémoire" du circuit.
Circuit Intégrateur
Un circuit (souvent RC avec \(\tau \gg T\)) où la tension de sortie est proportionnelle à l'intégrale de la tension d'entrée.
Phénomènes Transitoires : Réponse d'un circuit RC à un signal créneau

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