Circuits Électriques

Calcul de la pseudo-pulsation d’un circuit RLC

Physique : Calcul de la Pseudo-Pulsation d'un Circuit RLC

Calcul de la pseudo-pulsation d'un circuit RLC

Contexte : L'Oscillateur Électrique Amorti

Un circuit RLC série est l'équivalent électrique d'un oscillateur mécanique amorti (comme une masse au bout d'un ressort avec des frottements). Lorsqu'il est soumis à une tension, l'énergie oscille entre le condensateur (énergie électrique) et la bobine (énergie magnétique). La résistance dissipe cette énergie sous forme de chaleur, provoquant l'amortissement des oscillations. Si l'amortissement n'est pas trop fort, le circuit oscille à une fréquence légèrement différente de sa fréquence naturelle : c'est la pseudo-pulsationPulsation (fréquence angulaire) des oscillations dans un régime pseudo-périodique. Elle est toujours inférieure à la pulsation propre. Formule : ω' = √(ω₀² - α²).. Cet exercice vise à calculer cette pulsation caractéristique.

Remarque Pédagogique : Comprendre le régime pseudo-périodique est crucial pour l'étude des filtres, des oscillateurs et de tout système de second ordre. C'est le régime de fonctionnement de nombreux systèmes réels qui oscillent avant de revenir à l'équilibre.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer la pulsation propre \(\omega_0\) et le facteur d'amortissement \(\alpha\).
  • Identifier la nature du régime transitoire (pseudo-périodique, critique, apériodique).
  • Comprendre la différence entre pulsation propre et pseudo-pulsation.
  • Calculer la pseudo-pulsation \(\omega'\) d'un circuit RLC.
  • Visualiser l'influence des composants R, L, C sur le comportement du circuit.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série avec les composants suivants :

Schéma du Circuit RLC Série
R L C

Données :

  • Résistance : \(R = 20 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 100 \, \text{mH}\)
  • Capacité : \(C = 50 \, \mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation propre (ou pulsation de résonance) \(\omega_0\) du circuit.
  2. Calculer le facteur d'amortissement \(\alpha\).
  3. Comparer \(\omega_0\) et \(\alpha\) pour déterminer la nature du régime transitoire.
  4. Calculer la pseudo-pulsation \(\omega'\) du circuit.

Correction : Calcul de la pseudo-pulsation d'un circuit RLC

Question 1 : Pulsation Propre \(\omega_0\)

Principe :
Bobine (L) Condensateur (C) Échange d'énergie

La pulsation propre \(\omega_0\) représente la fréquence angulaire à laquelle le circuit oscillerait naturellement en l'absence de toute résistance (R=0). C'est la fréquence de l'échange d'énergie idéal entre la bobine et le condensateur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La pulsation propre est une caractéristique intrinsèque du couple (L, C). Elle ne dépend que de ces deux composants. C'est la "signature" fréquentielle de l'oscillateur idéal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
Donnée(s) :
  • Inductance \(L = 100 \, \text{mH} = 0.1 \, \text{H}\)
  • Capacité \(C = 50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 50 \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-6}}} \\ &\approx 447.2 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités SI : Il est impératif de convertir l'inductance en Henry (H) et la capacité en Farad (F) avant tout calcul. Une erreur sur les préfixes (milli, micro) est la source d'échec la plus fréquente.

Le saviez-vous ?

Pour convertir la pulsation \(\omega_0\) (en \(\text{rad/s}\)) en fréquence \(f_0\) (en Hertz), on utilise la relation \(f_0 = \omega_0 / (2\pi)\). Ici, \(f_0 \approx 71.2 \, \text{Hz}\). C'est le nombre d'oscillations que ferait le circuit chaque seconde s'il n'était pas amorti.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si L ou C augmente ?

D'après la formule \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), si l'inductance L ou la capacité C augmente, le produit LC augmente, et donc la pulsation propre \(\omega_0\) diminue. Le système oscille plus lentement, comme un ressort plus "mou" ou une masse plus "lourde".

Résultat : La pulsation propre du circuit est \(\omega_0 \approx 447.2 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Facteur d'Amortissement \(\alpha\)

Principe :
R

Le facteur d'amortissement \(\alpha\) caractérise la rapidité avec laquelle les oscillations sont " freinées " par la résistance. Plus \(\alpha\) est grand (donc plus R est grande), plus l'énergie est dissipée rapidement par effet Joule et plus les oscillations s'atténuent vite.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : \(\alpha\) représente la "force" de l'amortissement. Il est directement proportionnel à R (la cause de la dissipation) et inversement proportionnel à L (qui tend à s'opposer aux variations de courant, donc "lisse" les effets).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \alpha = \frac{R}{2L} \]
Donnée(s) :
  • Résistance \(R = 20 \, \Omega\)
  • Inductance \(L = 0.1 \, \text{H}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{20}{2 \times 0.1} \\ &= \frac{20}{0.2} \\ &= 100 \, \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le facteur 2 : N'oubliez pas le facteur 2 au dénominateur. La formule vient de la résolution de l'équation différentielle du circuit, où ce terme apparaît naturellement.

Le saviez-vous ?

L'unité de \(\alpha\) est la \(\text{s}^{-1}\) (ou \(\text{rad/s}\)), la même que pour une pulsation. Cela est logique car on compare \(\alpha\) à \(\omega_0\) pour déterminer le régime. \(\alpha\) peut être interprété comme une "pulsation d'amortissement".

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi C n'intervient-il pas dans le calcul de \(\alpha\) ?

Dans l'équation différentielle du circuit RLC série, le terme d'amortissement est \( (R/L) \times (du_C/dt) \). Le facteur d'amortissement \(\alpha = R/(2L)\) est directement tiré de ce terme. La capacité C intervient dans le terme de "rappel" (\(u_C / (LC)\)), qui définit la pulsation propre \(\omega_0\), mais pas directement dans l'amortissement.

Résultat : Le facteur d'amortissement est \(\alpha = 100 \, \text{s}^{-1}\).

Question 3 : Nature du Régime Transitoire

Principe :
α ω₀

La nature du régime dépend de la comparaison entre la "force" de l'oscillation (\(\omega_0\)) et la "force" de l'amortissement (\(\alpha\)).

  • Si \(\alpha < \omega_0\), l'amortissement est faible, le système oscille : régime pseudo-périodique.
  • Si \(\alpha = \omega_0\), l'amortissement est juste suffisant pour empêcher toute oscillation : régime critique.
  • Si \(\alpha > \omega_0\), l'amortissement est fort, le système revient lentement à l'équilibre sans osciller : régime apériodique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette comparaison est une "lutte" entre deux tendances : la tendance à osciller (\(\omega_0\)) et la tendance à dissiper l'énergie (\(\alpha\)). Le vainqueur détermine le comportement global du circuit.

Formule(s) utilisée(s) :

Il n'y a pas de nouvelle formule, on compare simplement les valeurs de \(\alpha\) et \(\omega_0\).

Donnée(s) :
  • Pulsation propre \(\omega_0 \approx 447.2 \, \text{rad/s}\)
  • Facteur d'amortissement \(\alpha = 100 \, \text{s}^{-1}\)
Calcul(s) :

Nous avons \(\alpha = 100 \, \text{s}^{-1}\) et \(\omega_0 \approx 447.2 \, \text{rad/s}\).
Puisque \(100 < 447.2\), on a \(\alpha < \omega_0\). Le régime est donc pseudo-périodique.

Points de vigilance :

Ne pas comparer les carrés : On compare bien \(\alpha\) et \(\omega_0\), et non \(\alpha^2\) et \(\omega_0^2\). Bien que le résultat soit le même pour des nombres positifs, la comparaison directe des grandeurs physiques est plus rigoureuse et plus parlante.

Le saviez-vous ?

Le régime critique (\(\alpha = \omega_0\)) est souvent recherché dans les systèmes de mesure (comme les galvanomètres) ou les suspensions de voiture. Il permet de revenir à l'équilibre le plus rapidement possible sans dépasser la consigne (sans osciller).

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on changer le régime sans changer L ou C ?

Oui. Puisque \(\alpha = R/(2L)\) et \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), on peut voir que seul \(\alpha\) dépend de R. En augmentant ou diminuant la résistance R, on peut passer d'un régime pseudo-périodique à critique, puis à apériodique, sans modifier la pulsation propre \(\omega_0\).

Résultat : Le régime transitoire du circuit est pseudo-périodique.

Question 4 : Pseudo-Pulsation \(\omega'\)

Principe :
α ω' ω₀

Dans le régime pseudo-périodique, le circuit oscille, mais l'amortissement "ralentit" légèrement la fréquence des oscillations. La nouvelle pulsation, appelée pseudo-pulsation \(\omega'\), est donc légèrement inférieure à la pulsation propre \(\omega_0\). Mathématiquement, ces trois grandeurs forment un triangle rectangle, comme le montre le théorème de Pythagore.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Comme prévu, \(\omega' \approx 435.9 \, \text{rad/s}\) est bien inférieure à \(\omega_0 \approx 447.2 \, \text{rad/s}\). La différence est faible car l'amortissement est modéré. Si R augmentait, \(\alpha\) augmenterait, et l'écart entre \(\omega_0\) et \(\omega'\) serait plus grand, jusqu'à ce que \(\omega'\) devienne nulle (régime critique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} \]
Donnée(s) :
  • Pulsation propre \(\omega_0 \approx 447.2 \, \text{rad/s}\)
  • Facteur d'amortissement \(\alpha = 100 \, \text{s}^{-1}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \omega' &= \sqrt{(447.2)^2 - (100)^2} \\ &= \sqrt{200000 - 10000} \\ &= \sqrt{190000} \\ &\approx 435.9 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Condition d'existence : Cette formule n'est valide que si \(\omega_0^2 > \alpha^2\), c'est-à-dire en régime pseudo-périodique. Si \(\alpha \geq \omega_0\), le terme sous la racine devient nul ou négatif, et la pseudo-pulsation n'a plus de sens physique (il n'y a plus d'oscillations).

Le saviez-vous ?

La tension aux bornes du condensateur dans ce régime s'écrit \(u_C(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega' t + \phi)\). On voit bien les deux composantes : une exponentielle décroissante d'amortissement (avec \(\alpha\)) et une oscillation (avec \(\omega'\)).

FAQ en rapport avec la question :
La pseudo-période, c'est quoi ?

Tout comme la période \(T_0 = 2\pi / \omega_0\), la pseudo-période est la durée d'une oscillation amortie. Elle se calcule par \(T' = 2\pi / \omega'\). Comme \(\omega' < \omega_0\), on a \(T' > T_0\). L'amortissement non seulement réduit l'amplitude, mais allonge aussi légèrement la durée de chaque oscillation.

Résultat : La pseudo-pulsation du circuit est \(\omega' \approx 435.9 \, \text{rad/s}\).

Simulation Interactive du Circuit RLC

Faites varier les valeurs de R, L et C. Observez comment la nature du régime et les pulsations changent.

Paramètres du Circuit
Régime Transitoire
Pulsation Propre ω₀
Facteur d'Amortissement α
Pseudo-Pulsation ω'
Visualisation des Pulsations

Pour Aller Plus Loin : Régimes Critique et Apériodique

Au-delà des oscillations : Si vous augmentez suffisamment la résistance R dans la simulation, vous verrez que la pseudo-pulsation \(\omega'\) devient "N/A" (non applicable). C'est parce que le circuit entre en régime critique (\(\alpha = \omega_0\)) ou apériodique (\(\alpha > \omega_0\)). Dans ces cas, il n'y a plus d'oscillations, donc plus de "fréquence d'oscillation" à mesurer. Le système revient simplement à son état stable le plus rapidement possible (régime critique) ou plus lentement (régime apériodique).

Le Saviez-Vous ?

Les circuits RLC sont au cœur du fonctionnement des anciens postes de radio. En tournant le bouton de recherche de station, on modifiait la capacité (C) d'un condensateur variable. Cela changeait la pulsation de résonance \(\omega_0\) du circuit. Lorsque cette pulsation correspondait à la fréquence de la station de radio, le signal était amplifié et on pouvait l'entendre : c'est le principe du filtrage et de la syntonisation.

Foire Aux Questions (FAQ)

À quoi correspond physiquement le facteur d'amortissement \(\alpha\) ?

Le facteur d'amortissement \(\alpha\) a l'unité d'une fréquence (en s⁻¹ ou rad/s). Il représente l'inverse d'une constante de temps, \(\tau = 1/\alpha\). Cette constante de temps caractérise la vitesse à laquelle l'amplitude des oscillations diminue. Plus \(\alpha\) est grand, plus la constante de temps est petite, et plus l'amplitude décroît rapidement.

Pourquoi la pseudo-pulsation est-elle importante ?

C'est la pulsation (et donc la fréquence) que l'on mesure réellement dans un système oscillant amorti. Si vous concevez un pendule, un circuit d'alarme ou une suspension de voiture, vous devez connaître sa fréquence d'oscillation réelle pour prédire et contrôler son comportement, et cette fréquence est la pseudo-fréquence (liée à \(\omega'\)), pas la fréquence propre (liée à \(\omega_0\)).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la résistance R d'un circuit RLC pseudo-périodique, la pseudo-pulsation \(\omega'\) :

2. Un circuit RLC est en régime critique. Que vaut sa pseudo-pulsation \(\omega'\) ?

Glossaire

Pulsation Propre (\(\omega_0\))
Fréquence angulaire naturelle d'oscillation d'un système sans amortissement. Pour un circuit LC, \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Facteur d'Amortissement (\(\alpha\))
Mesure de la dissipation d'énergie dans un système oscillant. Pour un circuit RLC série, \(\alpha = R/(2L)\).
Régime Pseudo-Périodique
Régime d'un oscillateur amorti où le système oscille avec une amplitude qui décroît exponentiellement. Se produit lorsque \(\alpha < \omega_0\).
Pseudo-Pulsation (\(\omega'\))
Fréquence angulaire des oscillations dans un régime pseudo-périodique. Elle est calculée par \(\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}\).
Calcul de la pseudo-pulsation d'un circuit RLC

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