Circuits Électriques

Analyse d’un Montage Intégrateur à AOP

Exercice : Montage Intégrateur à AOP

Exercice : Analyse d'un Montage Intégrateur à AOP

Contexte : Le Montage Intégrateur à AOPCircuit électronique qui réalise l'opération mathématique d'intégration du signal d'entrée au fil du temps..

Les circuits intégrateurs sont des briques fondamentales en électronique analogique. Leurs applications vont de la génération de signaux (rampes, signaux triangulaires) au calcul analogique, en passant par le traitement du signal. Cet exercice se concentre sur l'analyse du phénomène transitoireRéponse d'un circuit à un changement brusque, entre son état initial et son nouvel état stable. d'un montage intégrateur idéal lorsqu'il est soumis à un échelon de tension. Nous étudierons comment la tension de sortie évolue et nous déterminerons les limites de fonctionnement imposées par la saturation de l'AOPÉtat où la sortie de l'AOP atteint ses limites, fixées par ses tensions d'alimentation, et ne peut plus s'amplifier..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de consolider votre compréhension du comportement d'un condensateur dans un circuit à AOP en régime transitoire et d'appliquer les hypothèses de l'AOP idéal pour résoudre un problème concret.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le fonctionnement et le principe d'un montage intégrateur idéal à AOP.
  • Calculer la tension de sortie d'un intégrateur en réponse à un échelon de tension.
  • Analyser et quantifier le phénomène de saturation de l'AOP dans ce type de montage.

Données de l'étude

On considère le montage intégrateur ci-dessous, réalisé avec un amplificateur opérationnel (AOP) que l'on supposera idéal. Le condensateur est initialement déchargé.

Schéma du Montage Intégrateur
- + R ve(t) v- C v+ vs(t)
Données Numériques
Paramètre Symbole Valeur Unité
Résistance d'entrée \(R\) 10 k\(\Omega\)
Capacité de rétroaction \(C\) 1 \(\mu\)F
Tension d'entrée \(v_e(t)\) \(2 \cdot u(t)\) V
Tensions de saturation de l'AOP \(\pm V_{\text{sat}}\) \(\pm 15\) V
Condition initiale \(v_s(0)\) 0 V

Questions à traiter

  1. Établir l'équation différentielle liant la tension de sortie \(v_s(t)\) à la tension d'entrée \(v_e(t)\).
  2. Résoudre cette équation pour trouver l'expression de \(v_s(t)\) pour \(t \ge 0\), en tenant compte des conditions initiales.
  3. Calculer la valeur de la tension de sortie \(v_s(t)\) à \(t = 50\) ms.
  4. Déterminer l'instant \(t_{\text{sat}}\) où l'AOP entre en saturation.
  5. Tracer l'allure de \(v_e(t)\) et \(v_s(t)\) sur un même graphique en fonction du temps, en indiquant la saturation.

Les bases sur le Montage Intégrateur

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de se rappeler les deux règles d'or de l'AOP idéal en régime linéaire, ainsi que la loi de comportement d'un condensateur.

1. AOP Idéal et Masse Virtuelle
Pour un AOP idéal avec une contre-réaction (boucle de la sortie vers l'entrée inverseuse), les tensions sur ses deux entrées sont égales : \(v_+ = v_{-}\). Comme l'entrée non-inverseuse (\(v_+\)) est reliée à la masse, on a \(v_+ = 0\), et donc \(v_{-} = 0\). On parle de "masse virtuelle" sur l'entrée inverseuse. De plus, aucun courant ne rentre dans les entrées de l'AOP : \(i_+ = i_{-} = 0\).

2. Loi de comportement du Condensateur
Le courant \(i_C(t)\) qui traverse un condensateur de capacité \(C\) est proportionnel à la dérivée de la tension \(v_C(t)\) à ses bornes : \[ i_C(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt} \] Dans notre montage, la tension aux bornes du condensateur est \(v_C(t) = v_{-} - v_s(t)\). Comme \(v_{-} = 0\), on a \(v_C(t) = -v_s(t)\).

Correction : Analyse d'un Montage Intégrateur à AOP

Question 1 : Établir l'équation différentielle liant \(v_s(t)\) à \(v_e(t)\).

Principe (le concept physique)

Le principe de base repose sur la conservation de la charge électrique. On applique la loi des nœuds, qui stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est nulle. Le nœud crucial ici est celui de l'entrée inverseuse (\(v_-\)) de l'AOP, qui agit comme un point de jonction pour les courants de la résistance et du condensateur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Loi des nœuds (Kirchhoff) : Cette loi fondamentale de l'électricité stipule que pour tout nœud d'un réseau électrique, la somme algébrique des intensités des courants qui y entrent est nulle. C'est une conséquence directe de la conservation de la charge : la charge ne peut pas s'accumuler en un point. Pour l'analyse de circuits à AOP, le nœud de l'entrée inverseuse est presque toujours le point de départ de l'analyse.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Face à un montage à AOP en régime linéaire, ayez toujours le même réflexe : identifier le nœud de l'entrée inverseuse (\(v_-\)) et écrivez que la somme des courants y est nulle. C'est la clé qui permet de résoudre la grande majorité des problèmes.

Normes (la référence réglementaire)

L'analyse de ce circuit ne fait pas appel à une norme de construction (comme l'Eurocode) mais se base sur les lois fondamentales et universelles de l'électrocinétique (lois de Kirchhoff, loi d'Ohm) qui constituent le socle de toute l'ingénierie électrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi d'Ohm pour la résistance R

\[ i_R(t) = \frac{v_e(t) - v_{-}}{R} \]

Loi de comportement pour le condensateur C

\[ i_C(t) = C \frac{d(v_{-} - v_s(t))}{dt} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour mener ce calcul, nous nous plaçons dans le cadre de l'AOP idéal fonctionnant en régime linéaire, ce qui implique :

  • L'intensité des courants d'entrée est nulle : \(i_+ = i_- = 0\).
  • La différence de potentiel entre les entrées est nulle (masse virtuelle) : \(v_+ = v_-\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour cette question, nous travaillons de manière littérale. Les données sont les symboles des composants (\(R\), \(C\)) et le fait que l'entrée non-inverseuse est à la masse (\(v_+ = 0\)).

Astuces (Pour aller plus vite)

Dans une configuration inverseuse avec AOP idéal, le potentiel au point \(v_-\) est toujours nul (masse virtuelle). Le courant d'entrée \(i_R\) est donc simplement \(v_e(t)/R\). Il suffit ensuite de l'égaler au courant de la branche de rétroaction (changé de signe).

Schéma (Avant les calculs)
Analyse des courants au nœud \(v_-\)
- + v- = 0V iR(t) iC(t) RC
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la loi des nœuds au point \(v_-\) :

\[ i_R(t) + i_C(t) = i_- \]

Avec les hypothèses de l'AOP idéal (\(i_- = 0\) et \(v_- = 0\)) :

\[ \frac{v_e(t) - 0}{R} + C \frac{d(0 - v_s(t))}{dt} = 0 \]

Simplification de l'équation :

\[ \frac{v_e(t)}{R} - C \frac{dv_s(t)}{dt} = 0 \]

Réarrangement final :

\[ C \frac{dv_s(t)}{dt} = -\frac{v_e(t)}{R} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une équation, il n'y a pas de schéma de résultat pour cette étape.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation différentielle \(dv_s/dt = -v_e/(RC)\) signifie que la vitesse de variation de la tension de sortie (\(dv_s/dt\)) est, à tout instant, directement proportionnelle à la tension d'entrée \(v_e(t)\). Le signe négatif confirme que le montage est inverseur. La constante de proportionnalité est \(-1/RC\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une erreur de signe. Il faut bien faire attention au sens du courant dans le condensateur et à la définition de la tension à ses bornes (\(v_- - v_s\)). Comme \(v_s\) est de l'autre côté du condensateur par rapport au nœud, une augmentation de \(v_s\) fait "sortir" du courant, d'où le signe négatif dans la dérivée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Loi des nœuds au niveau de la masse virtuelle de l'AOP.
  • Formule Essentielle : Le courant d'entrée \(i_R\) est égal à l'opposé du courant de rétroaction \(i_C\).
  • Point de Vigilance Majeur : La gestion correcte des signes, notamment pour le courant du condensateur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les AOP ont été initialement développés pour construire des "calculateurs analogiques" dans les années 1940-1950. En combinant des montages comme l'intégrateur, le dérivateur et le sommateur, on pouvait modéliser et résoudre des équations différentielles complexes physiquement, bien avant l'avènement des ordinateurs numériques.

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi \(v_-\) est-il égal à 0 V ?

C'est l'hypothèse de la "masse virtuelle". L'AOP idéal en régime linéaire ajuste sa tension de sortie pour que ses deux entrées soient au même potentiel. Comme l'entrée \(v_+\) est connectée à la masse (0 V), l'AOP force l'entrée \(v_-\) à être aussi à 0 V.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation différentielle qui lie la tension de sortie à la tension d'entrée est : \[ \frac{dv_s(t)}{dt} = -\frac{1}{RC} v_e(t) \]
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on remplaçait le condensateur par une bobine d'inductance L, quelle serait la nouvelle relation entre \(v_s(t)\) et \(v_e(t)\) ? (La tension aux bornes d'une bobine est \(v_L = L \cdot di/dt\)).

Question 2 : Résoudre l'équation et trouver \(v_s(t)\) pour \(t \ge 0\).

Principe (le concept physique)

Résoudre l'équation différentielle revient à trouver la fonction \(v_s(t)\) dont la dérivée est proportionnelle à \(v_e(t)\). Mathématiquement, cela correspond à une intégration. Physiquement, cela signifie que le condensateur accumule (ou "intègre") le courant qu'on lui fournit au fil du temps, ce qui se traduit par une augmentation de la tension à ses bornes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Intégration d'une fonction constante : L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. L'intégrale d'une constante \(A\) par rapport au temps \(t\) est une fonction linéaire (une rampe) de la forme \(A \cdot t + K\), où \(K\) est la constante d'intégration. Cette constante est déterminée par la "condition initiale" du système, c'est-à-dire la valeur de la fonction à \(t=0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

N'oubliez jamais la constante d'intégration, ou plus physiquement, la condition initiale. Ici, on nous dit que le condensateur est déchargé, donc \(v_s(0)=0\). Si ce n'était pas le cas, la rampe de sortie ne commencerait pas à zéro mais à la tension initiale.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme spécifique ici, il s'agit de l'application des règles de base du calcul intégral, un outil mathématique standard en sciences de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La résolution de l'équation \(dy/dt = A\) avec \(y(0)=y_0\) se fait par intégration définie :

\[ \int_{y_0}^{y(t)} dy = \int_{0}^{t} A \,d\tau \Rightarrow y(t) - y_0 = A \cdot t \Rightarrow y(t) = A \cdot t + y_0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous nous basons sur deux hypothèses clés de l'énoncé :

  • Le condensateur est initialement déchargé : \(v_s(0) = 0\,\text{V}\).
  • Le signal d'entrée est un échelon de tension : \(v_e(t) = 2\,\text{V}\) pour tout \(t \ge 0\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension d'entrée pour \(t \ge 0\)\(v_e(t)\)2V
Constante de temps\(RC\)\(0.01\)s
Condition initiale\(v_s(0)\)0V
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un intégrateur, retenez : "Entrée constante \(\Rightarrow\) Sortie en rampe". La pente de la rampe est simplement \(-V_e/RC\). Il suffit de calculer cette pente et de la multiplier par \(t\).

Schéma (Avant les calculs)
Signal d'entrée \(v_e(t)\)
tve(t)2V0
Calcul(s) (l'application numérique)

Intégration de l'équation différentielle :

\[ v_s(t) - v_s(0) = \int_{0}^{t} -\frac{2}{RC} d\tau \]

Calcul final avec les conditions initiales (\(v_s(0)=0\) et \(RC = 0.01\,\text{s}\)) :

\[ \begin{aligned} v_s(t) &= -\frac{2}{0.01} \int_{0}^{t} d\tau \\ &= -200 [\tau]_{0}^{t} \\ &= -200t \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allure de la tension de sortie \(v_s(t)\)
tvs(t)0Pente = -200 V/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(v_s(t)=-200t\) montre que la tension de sortie décroît linéairement avec une pente de -200 V/s. Cela signifie que chaque seconde, la tension de sortie diminue de 200 volts. Cette décroissance rapide est une caractéristique importante à prendre en compte pour la saturation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la valeur de la tension d'entrée pour \(t \ge 0\). L'échelon \(u(t)\) signifie que la tension est nulle avant \(t=0\) et constante après. L'intégration ne commence qu'à partir de \(t=0\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : L'intégration d'une constante donne une rampe.
  • Formule Essentielle : \(v_s(t) = -\frac{V_e}{RC}t + v_s(0)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier la condition initiale \(v_s(0)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La génération de rampes de tension précises est cruciale dans de nombreux instruments. Par exemple, dans un oscilloscope analogique, une rampe de tension (appelée "base de temps") est utilisée pour dévier horizontalement le faisceau d'électrons à vitesse constante, permettant de visualiser un signal en fonction du temps.

FAQ (pour lever les doutes)

Et si la tension d'entrée était une rampe, \(v_e(t) = \alpha t\) ?

L'intégrale d'une rampe est une parabole. La tension de sortie serait alors une fonction parabolique du temps, de la forme \(v_s(t) = -\frac{\alpha}{2RC}t^2 + v_s(0)\). Le circuit intégrerait la rampe pour donner une parabole.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'expression de la tension de sortie pour \(t \ge 0\) est : \(v_s(t) = -200t\) (en Volts, avec \(t\) en secondes).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'expression de \(v_s(t)\) si le condensateur avait une charge initiale de \(v_s(0) = +1\,\text{V}\) ?

Question 3 : Calculer \(v_s(t)\) à \(t = 50\,\text{ms}\).

Principe (le concept physique)

Cette question consiste simplement à évaluer la fonction que nous venons de trouver à un instant précis. Physiquement, cela revient à "prendre une photo" de la tension de sortie à 50 ms après le début de l'intégration pour connaître sa valeur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Évaluation de fonction et Unités : En sciences physiques, une équation lie des grandeurs physiques. Pour l'évaluer, il faut substituer les variables par leurs valeurs numériques. Une étape cruciale est de s'assurer que toutes les valeurs sont exprimées dans un système d'unités cohérent, typiquement le Système International (mètres, secondes, Volts, Ampères, etc.), pour que le résultat soit correct.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez l'habitude d'écrire les unités à chaque étape du calcul. Cela vous permet de vérifier la cohérence de vos équations et d'éviter les erreurs de conversion, qui sont parmi les plus fréquentes en examen.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation du Système International d'unités (SI) est la norme dans tous les domaines scientifiques et techniques pour garantir l'universalité et la non-ambiguïté des résultats.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule à utiliser est celle établie à la question précédente :

\[ v_s(t) = -200t \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le circuit est toujours en régime linéaire à \(t=50\,\text{ms}\), c'est-à-dire que la saturation n'a pas encore été atteinte. Nous vérifierons cette hypothèse plus tard.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Instant d'évaluation\(t\)50ms
Équation de la tension de sortie\(v_s(t)\)\(-200t\)V
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour les calculs mentaux, utilisez les puissances de 10. \(50\,\text{ms} = 50 \times 10^{-3}\,\text{s}\). Le calcul devient : \(-200 \times 50 \times 10^{-3} = -2 \times 10^2 \times 5 \times 10^1 \times 10^{-3} = -10 \times 10^{(2+1-3)} = -10 \times 10^0 = -10\).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du point de calcul sur la rampe de sortie
t (ms)vs(t)050vs(50ms)?
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du temps en secondes :

\[ \begin{aligned} t &= 50\,\text{ms} \\ &= 50 \times 10^{-3}\,\text{s} \\ &= 0.05\,\text{s} \end{aligned} \]

Calcul de la tension de sortie à \(t = 50\,\text{ms}\) :

\[ \begin{aligned} v_s(0.05\,\text{s}) &= -200 \frac{\text{V}}{\text{s}} \times 0.05\,\text{s} \\ &= -10\,\text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat du calcul à \(t=50\,\text{ms}\)
t (ms)vs(t) (V)050-10
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À 50 ms, la tension a déjà atteint -10 V. C'est une valeur importante, qui représente les deux tiers de la tension de saturation négative (-15 V). Cela confirme que l'évolution de la tension est très rapide.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente ici est l'oubli de la conversion des millisecondes en secondes. L'équation \(v_s(t) = -200t\) est valide pour un temps \(t\) exprimé en secondes. Utiliser \(t=50\) mènerait à un résultat absurde de -10000 V.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : L'évaluation d'une fonction physique nécessite une cohérence des unités.
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours convertir les unités (comme les ms en s) pour correspondre à celles de l'équation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les préfixes du Système International (milli, micro, kilo, méga, etc.) sont essentiels en ingénierie. Savoir jongler avec eux est une compétence fondamentale. Le préfixe "milli" (m) vient du latin "mille" signifiant "millième".

FAQ (pour lever les doutes)

Est-ce que l'AOP est bien en régime linéaire à 50ms ?

Oui, car la tension calculée (-10 V) est comprise entre les tensions de saturation -15 V et +15 V. L'hypothèse de départ est donc validée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
À \(t = 50\,\text{ms}\), la tension de sortie est : \(v_s = -10\,\text{V}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la tension de sortie \(v_s(t)\) à l'instant \(t = 25\,\text{ms}\).

Question 4 : Déterminer l'instant de saturation \(t_{\text{sat}}\).

Principe (le concept physique)

La saturation est une limitation physique de l'AOP. La tension de sortie ne peut pas dépasser les tensions d'alimentation. L'instant de saturation est le moment où la rampe de tension, si elle continuait, atteindrait cette limite. À partir de cet instant, le comportement du circuit change radicalement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Sortie "Rail-to-Rail" : Un AOP idéal peut atteindre exactement ses tensions d'alimentation. En réalité, la plupart des AOP ont une tension de sortie maximale et minimale légèrement inférieure à leurs tensions d'alimentation (par ex., \(\pm 13.5\)V pour une alim. \(\pm 15\)V). Les AOP dits "Rail-to-Rail" sont spécialement conçus pour que leur sortie puisse atteindre (ou presque) les "rails" d'alimentation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La saturation est la fin du régime linéaire. Dès que \(v_s(t)\) atteint \(\pm V_{\text{sat}}\), l'équation différentielle n'est plus valide car l'AOP n'assure plus la masse virtuelle. La sortie se "bloque" à la tension de saturation.

Normes (la référence réglementaire)

La tension de saturation n'est pas une norme, mais une caractéristique technique essentielle fournie par le fabricant dans la fiche technique (datasheet) du composant. Elle dépend de la charge connectée en sortie et de la température.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise l'équation de la rampe et on la pose égale à la tension de saturation négative :

\[ v_s(t_{\text{sat}}) = -V_{\text{sat}} \Rightarrow -200 t_{\text{sat}} = -15 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que la tension de saturation est une limite franche et constante, égale à \(-15\,\text{V}\), comme spécifié dans l'énoncé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension de saturation\(-V_{\text{sat}}\)-15V
Équation de la tension de sortie\(v_s(t)\)\(-200t\)V
Astuces (Pour aller plus vite)

Le temps de saturation est simplement la tension de saturation à atteindre divisée par la "vitesse" (la pente de la rampe). Ici : \(t_{\text{sat}} = |-15\text{V}| / |-200\text{V/s}|\).

Schéma (Avant les calculs)
Intersection de la rampe avec la limite de saturation
tvs(t)0-Vsattsat?
Calcul(s) (l'application numérique)

Résolution de l'équation pour \(t_{\text{sat}}\) :

\[ \begin{aligned} t_{\text{sat}} &= \frac{-15}{-200} \\ &= 0.075\,\text{s} \end{aligned} \]

Conversion du résultat en millisecondes :

\[ \begin{aligned} t_{\text{sat}} &= 0.075\,\text{s} \times 1000 \frac{\text{ms}}{\text{s}} \\ &= 75\,\text{ms} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Saturation de la tension de sortie
t (ms)V (V)20-155075100ve(t)vs(t)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le temps de saturation de 75 ms est très court. Cela montre qu'un intégrateur idéal avec une entrée continue sature très rapidement. En pratique, la moindre tension continue parasite en entrée (offset) finira par saturer le montage, ce qui rend l'intégrateur idéal difficilement utilisable en l'état.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la saturation positive et négative. Ici, l'entrée étant positive, la rampe de sortie est négative et le circuit sature donc sur la tension d'alimentation négative, \(-V_{\text{sat}}\). Si l'entrée était négative, la rampe serait positive et la saturation aurait lieu à \(+V_{\text{sat}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : La saturation est une limite physique qui interrompt le comportement linéaire de l'AOP.
  • Formule Essentielle : \(t_{\text{sat}} = \frac{|V_{\text{sat}}| \cdot RC}{|V_e|}\).
  • Point de Vigilance Majeur : L'intégrateur idéal sature toujours en présence d'une composante continue en entrée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour éviter ce problème de saturation, on utilise en pratique le "montage intégrateur de Leaky" (ou "qui fuit"). On ajoute une résistance de forte valeur en parallèle avec le condensateur. Cette résistance "purge" la charge accumulée due aux offsets DC, empêchant la saturation mais rendant l'intégration moins parfaite aux très basses fréquences.

FAQ (pour lever les doutes)

Que se passe-t-il exactement après \(t_{\text{sat}}\) ?

L'AOP n'est plus en régime linéaire. La tension de sortie est bloquée à -15 V. La masse virtuelle en \(v_-\) disparaît ; le potentiel en \(v_-\) n'est plus nul. Le circuit se comporte différemment, mais la sortie, elle, ne peut plus changer tant que l'entrée ne change pas de manière à la faire sortir de saturation.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'amplificateur opérationnel entrera en saturation à \(t_{\text{sat}} = 75\,\text{ms}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez le nouveau temps de saturation si la tension d'entrée était de \(v_e(t) = 1\,\text{V}\).

Question 5 : Tracer l'allure de \(v_e(t)\) et \(v_s(t)\).

Principe

On représente sur un même graphique la tension d'entrée (un échelon qui passe de 0V à 2V à t=0) et la tension de sortie (une rampe qui décroît de 0V jusqu'à -15V, puis reste constante à -15V après la saturation à 75ms).

Schéma (Après les calculs)
Évolution des tensions d'entrée et de sortie
t (ms)V (V)20-155075100ve(t)vs(t)
Réflexions

Le graphique illustre parfaitement le comportement de l'intégrateur : tant que l'AOP n'est pas saturé, la sortie est l'intégrale (inversée et mise à l'échelle) de l'entrée. Une entrée constante produit une rampe en sortie. Une fois la saturation atteinte, le circuit ne se comporte plus comme un intégrateur ; la sortie est "écrêtée" à la tension d'alimentation.

Outil Interactif : Simulateur de Montage Intégrateur

Utilisez cet outil pour observer comment la tension d'entrée et la résistance R influencent la vitesse d'intégration et le temps avant saturation. La capacité est fixée à 1 \(\mu\)F et la saturation à \(\pm\)15V.

Paramètres d'Entrée
2 V
10 k\(\Omega\)
Résultats Clés
Constante de temps \(\tau = RC\) (ms) -
Temps de saturation \(t_{\text{sat}}\) (ms) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la fonction principale d'un circuit intégrateur idéal ?

2. Si une tension d'entrée constante et positive est appliquée à notre montage, quelle est la forme de la tension de sortie (avant saturation) ?

3. Comment peut-on ralentir la vitesse de variation de la tension de sortie (c'est-à-dire diminuer la pente de la rampe) ?

4. Qu'arrive-t-il à la sortie d'un intégrateur idéal si son entrée est une tension continue nulle (\(v_e=0\)) ?

5. Dans un montage intégrateur pratique, qu'est-ce qui limite principalement la durée pendant laquelle le circuit peut intégrer correctement ?

Glossaire

Amplificateur Opérationnel (AOP) Idéal
Un modèle théorique d'amplificateur avec un gain en tension infini, une impédance d'entrée infinie, et une impédance de sortie nulle. Il simplifie grandement l'analyse des circuits.
Phénomène Transitoire
La réponse d'un circuit à un changement entre deux états stables, par exemple, lors de l'application d'un échelon de tension. Cette réponse s'estompe avec le temps pour atteindre un nouveau régime permanent.
Saturation de l'AOP
L'état dans lequel la tension de sortie de l'AOP atteint ses limites maximales ou minimales (proches des tensions d'alimentation) et ne peut plus varier, même si le signal d'entrée continue de changer. L'AOP ne fonctionne plus en régime linéaire.
Constante de temps (RC)
Produit de la résistance R et de la capacité C (\(\tau = RC\)). Dans un circuit RC, elle caractérise la vitesse de charge ou de décharge du condensateur. Dans un intégrateur, elle définit la pente de la rampe de sortie.
Exercice : Analyse d'un Montage Intégrateur à AOP

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