Circuits Électriques

Calcul de la Matrice Admittance [Y] d’un Quadripôle en Pi

Exercice : Matrice Admittance [Y] d'un Quadripôle en Pi

Calcul de la Matrice Admittance [Y] d'un Quadripôle en Pi

Contexte : L'analyse des quadripôlesUn circuit ou dispositif électrique avec quatre bornes, groupées en une paire d'entrée et une paire de sortie. est fondamentale en électronique et en génie électrique.

Les quadripôles permettent de modéliser des systèmes complexes comme des filtres, des amplificateurs ou des lignes de transmission. La matrice admittanceUne matrice 2x2 qui relie les courants d'entrée/sortie aux tensions d'entrée/sortie d'un quadripôle. [Y] est l'un des outils les plus puissants pour caractériser ces systèmes, particulièrement en régime sinusoïdal ou pour l'étude des phénomènes transitoires. Cet exercice se concentre sur la détermination de cette matrice pour une topologie courante : le quadripôle en Pi.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi des nœuds en régime sinusoïdal pour dériver systématiquement les paramètres d'un circuit, une compétence essentielle pour l'analyse de circuits plus avancés.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la définition et l'utilité des paramètres d'admittance (Y).
  • Savoir appliquer la loi des nœuds dans le domaine fréquentiel (avec les impédances/admittances).
  • Déterminer la matrice [Y] pour un circuit passif simple (topologie en Pi).
  • Calculer les valeurs numériques des paramètres à une pulsation donnée.

Données de l'étude

On considère le quadripôle passif en Pi représenté ci-dessous. Il est constitué de deux résistances et d'un condensateur.

Schéma du Quadripôle en Pi
V₁ I₁ V₂ I₂ R₁ C R₂
Composant Symbole Valeur
Résistance 1 R₁ 100 Ω
Résistance 2 R₂ 50 Ω
Condensateur C 10 nF (nanofarads)

Questions à traiter

  1. Déterminer l'expression littérale de chaque paramètre de la matrice admittance [Y] du quadripôle en fonction de la pulsation ω.
  2. Calculer les valeurs numériques des paramètres Yij à la pulsation ω = 10⁶ rad/s.

Les bases sur les Paramètres Admittance

Un quadripôle est un circuit à deux ports (une entrée, une sortie). Les paramètres admittance (Y) relient les courants des ports (I₁, I₂) aux tensions des ports (V₁, V₂) selon le système d'équations suivant :

\[ \begin{cases} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \\ I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{cases} \quad \text{ou sous forme matricielle :} \quad \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} \]

Définition des paramètres :
Chaque paramètre est défini en court-circuitant l'un des ports (c'est-à-dire en imposant une tension nulle) :

  • Y₁₁ (Admittance d'entrée) : \(Y_{11} = \frac{I_1}{V_1} \bigg|_{V_2=0}\)
  • Y₂₁ (Admittance de transfert direct) : \(Y_{21} = \frac{I_2}{V_1} \bigg|_{V_2=0}\)
  • Y₁₂ (Admittance de transfert inverse) : \(Y_{12} = \frac{I_1}{V_2} \bigg|_{V_1=0}\)
  • Y₂₂ (Admittance de sortie) : \(Y_{22} = \frac{I_2}{V_2} \bigg|_{V_1=0}\)

Admittances des composants :
En régime sinusoïdal, on utilise les admittances complexes (inverse des impédances) :

  • Résistance R : \(Y_R = \frac{1}{R}\)
  • Condensateur C : \(Y_C = jC\omega\)
  • Bobine L : \(Y_L = \frac{1}{jL\omega} = -j\frac{1}{L\omega}\)

Correction : Calcul de la Matrice Admittance [Y] d'un Quadripôle en Pi

Question 1 : Déterminer l'expression littérale de la matrice admittance [Y]

Principe

La méthode la plus directe pour une topologie en Pi est d'appliquer la Loi des Nœuds (ou Loi des Courants de Kirchhoff) aux nœuds d'entrée (où la tension est V₁) et de sortie (où la tension est V₂). On exprime ensuite les courants I₁ et I₂ en fonction de V₁ et V₂ pour identifier par comparaison les termes Yij.

Mini-Cours

La Loi des Nœuds stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud est nulle. En régime sinusoïdal, on l'applique avec les admittances complexes : le courant traversant un composant d'admittance Y soumis à une tension V est I = YV. Pour un composant entre deux nœuds A et B, le courant est \(I_{AB} = Y \cdot (V_A - V_B)\).

Remarque Pédagogique

Pensez à cette section comme un conseil du professeur. La clé est d'être systématique. Traitez chaque nœud indépendamment et écrivez l'équation complète avant de la réarranger. Cela évite les erreurs de signe, surtout pour les termes de transfert comme Y₁₂.

Normes

Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul fondamental, mais la méthode est universellement reconnue et repose sur les lois de Kirchhoff, qui sont le fondement de l'analyse des circuits électriques.

Formule(s)

Loi des noeuds

\[ \sum I_{\text{entrant}} = 0 \]

Admittances des composants

\[ Y_R = \frac{1}{R} \quad ; \quad Y_C = jC\omega \]
Hypothèses

On se place dans le cadre d'un circuit linéaire en régime sinusoïdal établi. Les composants sont considérés comme parfaits et les fils de connexion ont une impédance nulle.

Donnée(s)

Pour cette question, les données sont les symboles des composants qui forment le circuit : les résistances R₁ et R₂, et le condensateur C.

Astuces

Pour un circuit en Pi, il y a une astuce visuelle : Y₁₁ est la somme des admittances connectées au nœud d'entrée (V₁). Y₂₂ est la somme des admittances connectées au nœud de sortie (V₂). Y₁₂ et Y₂₁ sont toujours l'opposé de l'admittance qui relie les deux nœuds.

Schéma (Avant les calculs)
Analyse par la Loi des Nœuds
I₁ → → I₂ R₁ I_R₁ C I_C R₂ I_R₂ V₁ V₂ V=0
Calcul(s)

Équation du nœud V₁

\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{V_1}{R_1} + (V_1 - V_2) \cdot (jC\omega) \\ &= V_1 \left( \frac{1}{R_1} + jC\omega \right) + V_2(-jC\omega) \end{aligned} \]

Équation du nœud V₂

\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{V_2}{R_2} + (V_2 - V_1) \cdot (jC\omega) \\ &= V_1(-jC\omega) + V_2 \left( \frac{1}{R_2} + jC\omega \right) \end{aligned} \]

Identification de Y₁₁

\[ Y_{11} = \frac{1}{R_1} + jC\omega \]

Identification de Y₁₂

\[ Y_{12} = -jC\omega \]

Identification de Y₂₁

\[ Y_{21} = -jC\omega \]

Identification de Y₂₂

\[ Y_{22} = \frac{1}{R_2} + jC\omega \]
Schéma (Après les calculs)
Modèle équivalent en Admittances
V₁ V₂ Y₁₁ + Y₁₂ -Y₁₂ Y₂₂ + Y₁₂
Réflexions

On remarque que \(Y_{12} = Y_{21}\). C'est une caractéristique de tous les quadripôles réciproquesUn quadripôle est réciproque si la relation entre la tension à un port et le courant à l'autre port est la même, quelle que soit la direction. Tous les circuits passifs sont réciproques., ce qui est le cas ici car le circuit est composé uniquement d'éléments passifs (R, C). La topologie en Pi rend le calcul des paramètres Y particulièrement intuitif.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe sur les termes de transfert Y₁₂ et Y₂₁. Ils sont définis par un courant entrant dans un port pour une tension appliquée à l'autre port, ce qui mène naturellement à un signe négatif pour les composants passifs reliant les deux ports.

Points à retenir

Pour un quadripôle passif en Pi avec des admittances Yₐ, Yₑ et Yc (Yₐ en shunt à l'entrée, Yₑ en shunt à la sortie, Yc en série) :

  • \(Y_{11} = Y_a + Y_c\)
  • \(Y_{22} = Y_b + Y_c\)
  • \(Y_{12} = Y_{21} = -Y_c\)

C'est une structure à mémoriser.

Le saviez-vous ?

Les paramètres Y sont aussi appelés "paramètres en court-circuit" car ils sont déterminés en court-circuitant l'un des ports. De la même manière, il existe des "paramètres en circuit-ouvert" (matrice Impédance [Z]), très utiles pour les circuits en T.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on les admittances plutôt que les impédances ?

Pour les circuits avec de nombreux éléments en parallèle (comme la topologie en Pi), la loi des nœuds et les admittances sont beaucoup plus directes à utiliser, car les admittances en parallèle s'additionnent simplement.

Que signifie physiquement le terme Y₁₂ ?

Y₁₂ représente le courant qui serait "injecté" au port 1 si l'on appliquait 1 Volt au port 2, tout en maintenant le port 1 court-circuité (V₁=0). C'est une mesure du couplage entre la sortie et l'entrée.

Résultat Final
La matrice admittance [Y] du quadripôle en Pi est : \[ [Y] = \begin{bmatrix} \frac{1}{R_1} + jC\omega & -jC\omega \\ -jC\omega & \frac{1}{R_2} + jC\omega \end{bmatrix} \]
A vous de jouer

Quelle serait l'expression de Y₁₁ si une bobine d'inductance L était ajoutée en parallèle sur R₁ ?

Question 2 : Calculer les valeurs numériques à ω = 10⁶ rad/s

Principe

Il suffit de remplacer les variables R₁, R₂, C et ω par leurs valeurs numériques dans les expressions littérales trouvées à la question précédente. Une attention particulière doit être portée aux unités et aux puissances de 10.

Mini-Cours

Le calcul numérique consiste à substituer les valeurs littérales dans les expressions. Les résultats seront des nombres complexes de la forme \(a+jb\). Le module de ce nombre, \(\sqrt{a^2+b^2}\), représente l'amplitude de l'admittance, tandis que son argument, \(\arctan(b/a)\), représente le déphasage qu'il introduit entre courant et tension.

Remarque Pédagogique

L'organisation est la clé. Calculez d'abord les admittances de chaque composant à la pulsation donnée. Ensuite, assemblez ces valeurs en utilisant les formules de la Question 1. Cela décompose le problème en étapes simples et faciles à vérifier.

Normes

Comme pour la question 1, les calculs suivent les règles fondamentales de l'arithmétique complexe et des lois de l'électricité. Il est crucial d'utiliser les unités du Système International (SI) pour la cohérence.

Formule(s)

On reprend les formules littérales établies à la question précédente.

\[ Y_{11} = \frac{1}{R_1} + jC\omega \quad ; \quad Y_{12} = Y_{21} = -jC\omega \quad ; \quad Y_{22} = \frac{1}{R_2} + jC\omega \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : circuit linéaire, régime sinusoïdal établi, composants parfaits.

Donnée(s)

On rappelle les données numériques fournies dans l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance 1R₁100Ω
Résistance 2R₂50Ω
CondensateurC10 x 10⁻⁹F
Pulsationω10⁶rad/s
Astuces

Pour éviter les erreurs, il est judicieux de calculer d'abord les termes récurrents, comme le terme \(jC\omega\). Notez que \(1/100 = 0.01\) et \(1/50 = 0.02\).

Schéma (Avant les calculs)
Circuit étudié avec ses valeurs
V₁ V₂ 100Ω 10nF 50Ω
Calcul(s)

Calcul de l'admittance du condensateur

\[ \begin{aligned} jC\omega &= j \cdot (10 \times 10^{-9} \text{ F}) \cdot (10^6 \text{ rad/s}) \\ &= j \cdot 10^{-2} \text{ S} \\ &= j0.01 \text{ S} \end{aligned} \]

Calcul de Y₁₁

\[ \begin{aligned} Y_{11} &= \frac{1}{100} + j0.01 \\ &= (0.01 + j0.01) \text{ S} \end{aligned} \]

Calcul de Y₂₂

\[ \begin{aligned} Y_{22} &= \frac{1}{50} + j0.01 \\ &= (0.02 + j0.01) \text{ S} \end{aligned} \]

Calcul de Y₁₂ et Y₂₁

\[ \begin{aligned} Y_{12} = Y_{21} &= -jC\omega \\ &= -j0.01 \text{ S} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation de Y₁₁ dans le plan complexe
G (S) B (S) 0 0.01 0.02 j0.01 j0.02 Y₁₁ φ₁₁ |Y₁₁|
Réflexions

Les résultats sont des nombres complexes, ce qui est normal pour des circuits contenant des éléments réactifs (C ou L). La partie réelle représente la conductance (liée à la dissipation d'énergie) et la partie imaginaire représente la susceptance (liée au stockage d'énergie). À cette fréquence, la susceptance du condensateur est comparable en magnitude aux conductances des résistances.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est l'oubli des préfixes des unités (ici, 'nano' pour 10⁻⁹). Assurez-vous que toutes les valeurs sont en unités SI de base (Ohms, Farads, rad/s) avant le calcul final.

Points à retenir

La démarche "calcul littéral d'abord, application numérique ensuite" est fondamentale. Elle permet de comprendre la physique du circuit (l'influence de chaque composant) avant de se plonger dans les chiffres. Elle permet aussi de réutiliser facilement les formules pour d'autres valeurs numériques.

Le saviez-vous ?

Les matrices de quadripôles (Y, Z, H, T) sont à la base de tous les logiciels de simulation de circuits comme SPICE. Lorsque vous dessinez un circuit, le logiciel le traduit en un grand système d'équations matricielles qu'il résout numériquement pour trouver les tensions et courants.

FAQ
Quelle est la différence entre pulsation (ω) et fréquence (f) ?

La pulsation ω (en rad/s) et la fréquence f (en Hertz) sont liées par la relation \(\omega = 2\pi f\). Les deux expriment la rapidité de l'oscillation, mais ω est plus pratique dans les calculs d'impédance/admittance.

Le résultat changerait-il si C était une inductance L ?

Oui. L'admittance d'une inductance est \(Y_L = 1/(jL\omega)\). La partie imaginaire des admittances serait alors négative et dépendrait de \(1/\omega\) au lieu de \(\omega\), ce qui changerait complètement le comportement en fréquence du circuit.

Résultat Final
À la pulsation ω = 10⁶ rad/s, la matrice admittance [Y] est : \[ [Y] = \begin{bmatrix} (0.01 + j0.01) \text{ S} & -j0.01 \text{ S} \\ -j0.01 \text{ S} & (0.02 + j0.01) \text{ S} \end{bmatrix} \]
A vous de jouer

Recalculez la matrice [Y] si la pulsation est divisée par deux (\(\omega = 0.5 \times 10^6 \text{ rad/s}\)). Quelle est la nouvelle valeur de Y₁₁ ?

Outil Interactif : Influence de la Fréquence

Ce simulateur vous permet de visualiser comment le module de l'admittance d'entrée \(|Y_{11}|\) et de l'admittance de sortie \(|Y_{22}|\) évoluent en fonction de la fréquence (représentée par la pulsation ω).

Paramètres d'Entrée
100 Ω
10x10⁵ rad/s
Résultats Clés
Module de Y₁₁ |Y₁₁| (mS) -
Module de Y₂₂ |Y₂₂| (mS) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de mesure d'un paramètre d'admittance ?

2. Pour un quadripôle passif et donc réciproque, quelle relation est toujours vraie ?

3. Comment est définie l'admittance d'entrée Y₁₁ ?

4. Si la fréquence augmente, comment évolue le module de l'admittance d'un condensateur ?

Glossaire

Quadripôle (ou Biprorte)
Un circuit électrique possédant quatre bornes, groupées en deux paires formant un port d'entrée et un port de sortie. Il sert à modéliser la transmission d'un signal.
Matrice Admittance [Y]
Une matrice 2x2 de paramètres qui décrivent le comportement d'un quadripôle en reliant les courants de port aux tensions de port. L'unité de ses éléments est le Siemens (S).
Admittance (Y)
L'inverse de l'impédance (Z), mesurant la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant. Y = 1/Z. Elle se compose d'une partie réelle (conductance G) et d'une partie imaginaire (susceptance B).
Réciprocité
Propriété d'un quadripôle où le rapport de la tension sur un port au courant sur l'autre port est indépendant de quel port est l'entrée et lequel est la sortie. Pour la matrice Y, cela se traduit par Y₁₂ = Y₂₁.
Exercice : Matrice Admittance [Y] d'un Quadripôle en Pi

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