Circuits Électriques

Chaînage de Quadripôles

Exercice : Chaînage de Quadripôles [T]

Chaînage de Quadripôles : Matrice de Transfert [T]

Contexte : L'analyse des circuits électriques complexes.

En électronique, il est courant de connecter des circuits les uns à la suite des autres pour former une chaîne de traitement du signal (par exemple, dans les filtres, les amplificateurs, les lignes de transmission). L'analyse de tels systèmes peut devenir rapidement complexe. Le formalisme du quadripôleUn circuit électrique avec quatre bornes, regroupées en un port d'entrée et un port de sortie. Il sert à modéliser la transmission d'un signal. et de la matrice de transfertUne matrice 2x2 qui relie les grandeurs (tension, courant) d'entrée d'un quadripôle à ses grandeurs de sortie. C'est un outil puissant pour l'analyse des circuits en cascade. [T] (ou matrice ABCD) est un outil mathématique puissant qui simplifie grandement cette tâche. Cet exercice a pour but de vous familiariser avec le calcul et l'utilisation de ces matrices pour un circuit composé de deux quadripôles en cascade.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser des sections de circuit par des matrices et à les combiner pour analyser le comportement global du système, une compétence fondamentale en conception de circuits électroniques.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et comprendre la matrice de transfert [T] d'un quadripôle.
  • Calculer la matrice [T] pour des cellules de base (série et parallèle).
  • Déterminer la matrice équivalente d'une mise en cascade (chaînage) de deux quadripôles.
  • Utiliser la matrice finale pour calculer le gain en tension du circuit complet.

Données de l'étude

On étudie le circuit ci-dessous, composé de deux cellules (Quadripôle 1 et Quadripôle 2) montées en cascade. Le circuit est alimenté par une source de tension \(v_e(t)\) et débite sur une résistance de charge \(R_L\). On travaillera dans le domaine de Laplace, où les impédances des condensateurs sont notées \(Z_C = 1/(sC)\).

Schéma du Circuit en Cascade
Vₑ + - Iₑ Quadripôle 1 (Q₁) R₁ C₁ Quadripôle 2 (Q₂) C₂ R₂ Rₗ Vₛ + - Iₛ
Paramètre Description Valeur Unité
\(R_1\) Résistance du quadripôle 1 1 \(\text{k}\Omega\)
\(C_1\) Condensateur du quadripôle 1 1 \(\mu\text{F}\)
\(C_2\) Condensateur du quadripôle 2 2.2 \(\mu\text{F}\)
\(R_2\) Résistance du quadripôle 2 2.2 \(\text{k}\Omega\)
\(R_L\) Résistance de charge 10 \(\text{k}\Omega\)

Questions à traiter

  1. Déterminer la matrice de transfert \([T_1]\) du premier quadripôle (\(Q_1\)).
  2. Déterminer la matrice de transfert \([T_2]\) du second quadripôle (\(Q_2\)).
  3. Calculer la matrice de transfert totale \([T_{eq}]\) du circuit en chaînage.
  4. En déduire l'expression littérale du gain en tension \(G_v(s) = V_s / V_e\).
  5. Faire l'application numérique : calculer le gain en tension (module et phase) pour une pulsation \(\omega = 1000\) rad/s.

Les bases sur les Quadripôles

Un quadripôle est un circuit à deux ports (une entrée, une sortie). Son comportement est décrit par les relations entre la tension et le courant d'entrée (\(V_e, I_e\)) et de sortie (\(V_s, I_s\)). La convention de courant est positive en entrant dans le quadripôle.

1. Matrice de Transfert [T]
Elle relie les grandeurs d'entrée aux grandeurs de sortie par la relation suivante (avec \(I_s\) orienté sortant du quadripôle) :

\[ \begin{pmatrix} V_e \\ I_e \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_s \\ I_s \end{pmatrix} = [T] \begin{pmatrix} V_s \\ I_s \end{pmatrix} \]

2. Chaînage de Quadripôles
Lorsque deux quadripôles \([T_1]\) et \([T_2]\) sont connectés en cascade, la matrice de transfert équivalente \([T_{eq}]\) est simplement le produit matriciel des deux matrices individuelles :

\[ [T_{eq}] = [T_1] \cdot [T_2] \]

3. Matrices de base
Une impédance \(Z\) en série et une admittance \(Y\) en parallèle (shunt) ont les matrices de transfert suivantes :

\[ [T]_{\text{série}} = \begin{pmatrix} 1 & Z \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad , \quad [T]_{\text{shunt}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ Y & 1 \end{pmatrix} \]

Note : L'admittance Y est l'inverse de l'impédance Z (\(Y=1/Z\)). Pour une résistance R, \(Y=1/R\). Pour un condensateur C, \(Y=sC\).

Correction : Chaînage de Quadripôles

Question 1 : Matrice de transfert [T1] du quadripôle Q1

Principe (le concept physique)

Le quadripôle \(Q_1\) est une cellule "L" de type passe-bas. Il peut être vu comme la cascade d'une impédance série (\(R_1\)) suivie d'une admittance shunt (\(C_1\)). Sa matrice de transfert est donc le produit de la matrice de l'élément série par celle de l'élément shunt.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La décomposition d'un circuit en éléments simples (série/shunt) est une technique fondamentale. Chaque élément simple possède une matrice de transfert connue. En les multipliant dans le bon ordre, on reconstruit la matrice du circuit complexe. Cela transforme un problème d'analyse de circuit (lois de Kirchhoff) en un problème d'algèbre matricielle, souvent plus systématique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez toujours le chemin du signal. Pour \(Q_1\), le signal traverse d'abord \(R_1\) (série) PUIS se divise au niveau de \(C_1\) (shunt). L'ordre des multiplications de matrices doit impérativement suivre cet ordre physique : \([T_{\text{série}}]\) puis \([T_{\text{shunt}}]\).

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme réglementaire (comme les Eurocodes en génie civil) pour ce calcul fondamental, mais la définition de la matrice de transfert et la convention des courants (entrant à gauche, sortant à droite) sont des standards universellement admis en théorie des circuits électriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ [T_1] = [T]_{R_1, \text{série}} \cdot [T]_{C_1, \text{shunt}} = \begin{pmatrix} 1 & Z_{R1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ Y_{C1} & 1 \end{pmatrix} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cette analyse, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Les composants (\(R_1, C_1\)) sont idéaux et linéaires.
  • Le circuit fonctionne en régime linéaire (pas de saturation ou d'effets non-linéaires).
  • L'analyse est faite dans le domaine de Laplace (variable 's'), ce qui est valide pour les régimes transitoires et sinusoïdaux.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données pertinentes pour cette question sont les expressions littérales des composants du quadripôle \(Q_1\).

ParamètreImpédance / Admittance
Résistance \(R_1\)\(Z_{R1} = R_1\)
Condensateur \(C_1\)\(Y_{C1} = sC_1\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une cellule en L simple comme celle-ci, on peut retenir le résultat par cœur. Sinon, pour vérifier rapidement, le déterminant \(AD-BC\) d'un quadripôle passif et réciproque doit toujours être égal à 1. Vérifions : \((1+sR_1C_1)(1) - (R_1)(sC_1) = 1+sR_1C_1 - sR_1C_1 = 1\). Le calcul est probablement correct !

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation du Quadripôle Q₁
Quadripôle Q₁+-VₑIₑR₁C₁+-Vₛ₁Iₛ₁
Calcul(s) (l'application numérique)

Produit matriciel pour [T₁]

\[ \begin{aligned} [T_1] &= \begin{pmatrix} 1 & R_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ sC_1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) + (R_1 \cdot sC_1) & (1 \cdot 0) + (R_1 \cdot 1) \\ (0 \cdot 1) + (1 \cdot sC_1) & (0 \cdot 0) + (1 \cdot 1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1+sR_1C_1 & R_1 \\ sC_1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Boîte Noire Équivalente à Q₁
[T₁]VₑIₑVₛ₁Iₛ₁
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La matrice \([T_1]\) obtenue décrit entièrement le comportement du premier filtre. Le terme \(A = 1+sR_1C_1\) est lié au gain en tension à vide. Le terme \(B=R_1\) représente une impédance de transfert. Le terme \(C=sC_1\) est une admittance de transfert. Le terme \(D=1\) est lié au gain en courant en court-circuit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans l'ordre de multiplication des matrices. Pour une cellule en L, c'est toujours [Série] x [Shunt] si l'élément série est à l'entrée, et [Shunt] x [Série] si l'élément shunt est à l'entrée. Une autre erreur fréquente est d'oublier la convention du courant de sortie \(I_s\) qui est orienté "sortant" du quadripôle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette étape, il faut retenir :

  • Un circuit peut être décomposé en éléments simples (série, shunt).
  • La matrice d'un circuit en L est le produit des matrices de ses composants.
  • La matrice d'une impédance \(Z\) en série est $\begin{pmatrix} 1 & Z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
  • La matrice d'une admittance \(Y\) en shunt est $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ Y & 1 \end{pmatrix}$.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le formalisme des quadripôles a été développé au début du 20ème siècle pour modéliser les longues lignes téléphoniques. Chaque segment de ligne (câbles, répéteurs) était modélisé par une matrice de transfert, et la performance de la ligne entière était calculée en multipliant toutes ces matrices. Cette technique est encore fondamentale aujourd'hui pour la conception des circuits RF et hyperfréquences.

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi utiliser \(Y=sC\) et non \(Z=1/sC\) ?

Pour un élément en parallèle (shunt), la matrice de base utilise l'admittance \(Y\). Comme l'admittance d'un condensateur est \(Y_C = 1/Z_C = 1/(1/sC) = sC\), c'est cette expression que nous utilisons directement dans la matrice shunt.

Que se passerait-il si R1 et C1 étaient inversés ?

Si le condensateur était en série et la résistance en shunt, le circuit serait différent (un autre type de filtre). La matrice serait alors le produit \([T_C]_{\text{série}} \cdot [T_R]_{\text{shunt}}\), ce qui donnerait un résultat complètement différent.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La matrice de transfert littérale du premier quadripôle est : \[ [T_1] = \begin{pmatrix} 1+sR_1C_1 & R_1 \\ sC_1 & 1 \end{pmatrix} \]
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la matrice \([T_1]\) mais cette fois-ci en considérant que le condensateur \(C_1\) est remplacé par une inductance \(L_1\). Quelle est la nouvelle matrice ? (Utilisez \(Z_L = sL\)).

Question 2 : Matrice de transfert [T2] du quadripôle Q2

Principe (le concept physique)

Le quadripôle \(Q_2\) est une cellule "L" de type passe-haut. Il est modélisé par une impédance série (\(C_2\)) suivie d'une admittance shunt (\(R_2\)). La logique de calcul est exactement la même que pour Q1, mais avec des composants différents.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce quadripôle illustre comment la même méthode de décomposition s'applique à différents types de filtres. La nature (passe-bas, passe-haut, etc.) du filtre dépend uniquement de la nature et de la position des impédances (R, L, C) qui le constituent, mais la méthode d'analyse par matrice reste inchangée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Identifiez bien la nature de chaque élément et sa position. Ici, \(C_2\) est en série (\(Z=1/sC_2\)) et \(R_2\) est en shunt (\(Y=1/R_2\)). L'ordre de multiplication est donc \([T_{C2, \text{série}}] \cdot [T_{R2, \text{shunt}}]\).

Normes (la référence réglementaire)

Comme pour la question 1, le calcul se base sur les conventions standard de la théorie des circuits.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ [T_2] = [T]_{C_2, \text{série}} \cdot [T]_{R_2, \text{shunt}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour Q1 : composants idéaux et analyse dans le domaine de Laplace.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données pertinentes sont les expressions des composants du quadripôle \(Q_2\).

ParamètreImpédance / Admittance
Condensateur \(C_2\)\(Z_{C2} = 1/(sC_2)\)
Résistance \(R_2\)\(Y_{R2} = 1/R_2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez le déterminant ! \(A_{2}D_{2} - B_{2}C_{2} = (1+\frac{1}{sR_2C_2})(1) - (\frac{1}{sC_2})(\frac{1}{R_2}) = 1+\frac{1}{sR_2C_2} - \frac{1}{sR_2C_2} = 1\). La cohérence est maintenue.

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation du Quadripôle Q₂
Quadripôle Q₂+-Vₛ₁Iₛ₁C₂R₂+-VₛIₛ
Calcul(s) (l'application numérique)

Produit matriciel pour [T₂]

\[ \begin{aligned} [T_2] &= \begin{pmatrix} 1 & 1/(sC_2) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/R_2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + \frac{1}{sC_2} \cdot \frac{1}{R_2} & 1 \cdot 0 + \frac{1}{sC_2} \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{R_2} & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{sR_2C_2} & \frac{1}{sC_2} \\ \frac{1}{R_2} & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Boîte Noire Équivalente à Q₂
[T₂]Vₛ₁Iₛ₁VₛIₛ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La matrice \([T_2]\) a une structure similaire à \([T_1]\) mais les termes dépendent différemment de 's'. La présence de 's' au dénominateur dans les termes A et B est caractéristique des circuits passe-haut, indiquant un gain faible à basse fréquence.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas inverser impédance et admittance. L'impédance du condensateur \(C_2\) est \(Z = 1/(sC_2)\), elle va dans le terme 'B' de la matrice série. L'admittance de la résistance \(R_2\) est \(Y = 1/R_2\), elle va dans le terme 'C' de la matrice shunt.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Cette question renforce la méthode vue en Q1 : identification série/shunt, utilisation des matrices de base, et produit matriciel. La maîtrise de cette procédure est essentielle pour analyser n'importe quel circuit en L.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les filtres RC et CR comme \(Q_1\) et \(Q_2\) sont les briques de base de très nombreux circuits analogiques. En les combinant, on peut créer des filtres plus complexes comme des filtres passe-bande ou réjecteurs de bande, essentiels dans les télécommunications pour sélectionner des fréquences spécifiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la matrice de \(Q_2\) semble-t-elle plus compliquée ?

C'est simplement dû à la présence de la fraction \(1/(sR_2C_2)\). En mettant le terme \(A\) sur un dénominateur commun, on obtient \(\frac{1+sR_2C_2}{sR_2C_2}\), ce qui peut paraître plus complexe mais est mathématiquement direct.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La matrice de transfert littérale du second quadripôle est : \[ [T_2] = \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{sR_2C_2} & \frac{1}{sC_2} \\ \frac{1}{R_2} & 1 \end{pmatrix} \]
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la matrice \([T_2]\) si la résistance \(R_2\) était remplacée par une inductance \(L_2\).

Question 3 : Matrice de transfert totale [Teq]

Principe (le concept physique)

La magie du formalisme de la matrice de transfert réside ici : pour trouver le comportement du circuit complet, il suffit de multiplier les matrices de chaque bloc dans l'ordre où le signal les traverse. Le système complexe est réduit à un simple produit matriciel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le produit matriciel \(C = A \cdot B\) est défini par \(C_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}\). Pour des matrices 2x2, cela signifie : \(A_{eq} = A_1 A_2 + B_1 C_2\), \(B_{eq} = A_1 B_2 + B_1 D_2\), etc. C'est une opération standard en algèbre linéaire qui représente la composition des transformations linéaires.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul peut vite devenir long et source d'erreurs. Procédez méthodiquement : calculez chaque terme (\(A_{eq}, B_{eq}, C_{eq}, D_{eq}\)) séparément avant de rassembler le tout dans la matrice finale. N'essayez pas de tout faire d'un coup.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme applicable, c'est une application directe de l'algèbre matricielle.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ [T_{eq}] = [T_1] \cdot [T_2] \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la connexion entre \(Q_1\) et \(Q_2\) est idéale : la sortie de l'un est parfaitement connectée à l'entrée du suivant sans impédance de connexion parasite.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données sont les matrices \([T_1]\) et \([T_2]\) calculées aux questions précédentes.

Matrice du Quadripôle 1

\[ [T_1] = \begin{pmatrix} 1+sR_1C_1 & R_1 \\ sC_1 & 1 \end{pmatrix} \]

Matrice du Quadripôle 2

\[ [T_2] = \begin{pmatrix} 1 + \frac{1}{sR_2C_2} & \frac{1}{sC_2} \\ \frac{1}{R_2} & 1 \end{pmatrix} \]
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de vous lancer dans le calcul littéral complet, vérifiez le déterminant du produit. On sait que \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\). Comme \(\det(T_1)=1\) et \(\det(T_2)=1\), on doit avoir \(\det(T_{eq})=1\). C'est un excellent moyen de vérifier votre résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Chaînage des Quadripôles
[T₁][T₂]Vₑ, IₑVₛ, IₛVₛ₁, Iₛ₁
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du terme Aₑₙ

\[ \begin{aligned} A_{eq} &= (1+sR_1C_1)(1+\frac{1}{sR_2C_2}) + R_1(\frac{1}{R_2}) \\ &= 1 + \frac{1}{sR_2C_2} + sR_1C_1 + \frac{R_1C_1}{R_2C_2} + \frac{R_1}{R_2} \end{aligned} \]

Calcul du terme Bₑₙ

\[ \begin{aligned} B_{eq} &= (1+sR_1C_1)(\frac{1}{sC_2}) + R_1(1) \\ &= \frac{1}{sC_2} + \frac{R_1C_1}{C_2} + R_1 \end{aligned} \]

Calcul du terme Cₑₙ

\[ \begin{aligned} C_{eq} &= (sC_1)(1+\frac{1}{sR_2C_2}) + 1(\frac{1}{R_2}) \\ &= sC_1 + \frac{C_1}{R_2C_2} + \frac{1}{R_2} \end{aligned} \]

Calcul du terme Dₑₙ

\[ \begin{aligned} D_{eq} &= (sC_1)(\frac{1}{sC_2}) + 1(1) \\ &= \frac{C_1}{C_2} + 1 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Boîte Noire Équivalente [Tₑₙ]
[Tₑₙ]Vₑ, IₑVₛ, Iₛ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les expressions littérales, bien que complexes, contiennent toute l'information sur le comportement fréquentiel du filtre. On voit apparaître des termes en \(s\), \(1/s\) et des constantes, ce qui suggère un comportement de type "passe-bande".

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Point de Vigilance : Le produit matriciel n'est pas commutatif ! L'ordre \([T_1] \cdot [T_2]\) est crucial et ne peut être inversé. Une inversion conduirait à un résultat totalement faux car cela modéliserait un circuit où \(Q_2\) précède \(Q_1\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La compétence clé ici est la maîtrise du produit matriciel 2x2. C'est une opération mécanique qui doit devenir un réflexe. Révisez la règle "ligne par colonne" si nécessaire.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette méthode de multiplication de matrices est au cœur de nombreux domaines de l'ingénierie et de l'informatique, notamment en infographie 3D (pour les rotations et translations d'objets), en robotique (pour décrire les mouvements des bras), et en traitement du signal (pour les filtres numériques).

FAQ (pour lever les doutes)
Est-il nécessaire de simplifier les expressions ?

Pour l'analyse littérale, il est souvent utile de garder les expressions sous cette forme pour identifier l'origine de chaque terme. Une simplification (mise au même dénominateur, etc.) sera plus utile pour l'analyse numérique ou l'étude de la fonction de transfert.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La matrice de transfert totale est donnée par les expressions littérales de \(A_{eq}, B_{eq}, C_{eq}, D_{eq}\) calculées ci-dessus.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Que deviendrait le terme \(D_{eq}\) si les deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) avaient la même valeur ?

Question 4 : Expression du gain en tension Gv(s)

Principe (le concept physique)

Le gain en tension est le rapport \(V_s/V_e\). Il décrit comment l'amplitude (et la phase) de la tension de sortie varie par rapport à celle de l'entrée. Pour l'obtenir, on utilise la relation fondamentale du quadripôle, \(V_e = A_{eq}V_s + B_{eq}I_s\), et on la combine avec la loi qui régit la charge connectée en sortie (la loi d'Ohm pour une résistance).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fonction de transfert \(G(s)\) est un concept central en automatique et en traitement du signal. Elle est définie comme le rapport de la transformée de Laplace de la sortie sur celle de l'entrée. Pour notre circuit, le gain en tension \(G_v(s)\) est la fonction de transfert entre la tension de sortie et la tension d'entrée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

N'oubliez jamais l'effet de la charge ! Le gain en tension d'un circuit dépend presque toujours de ce qui est connecté à sa sortie. Le terme \(B_{eq}/R_L\) représente cet "effet de charge". Si la sortie était à vide (\(R_L \rightarrow \infty\)), ce terme s'annulerait et le gain serait simplement \(1/A_{eq}\).

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme applicable, il s'agit d'une dérivation mathématique standard.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition de la Matrice de Transfert

\[ V_e = A_{eq} V_s + B_{eq} I_s \]

Loi d'Ohm sur la Charge

\[ V_s = R_L I_s \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la résistance de charge \(R_L\) est linéaire et que la loi d'Ohm s'applique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données sont les termes \(A_{eq}\) et \(B_{eq}\) de la matrice \([T_{eq}]\) et la résistance de charge \(R_L\).

Terme A équivalent

\[ A_{eq} = 1 + \frac{1}{sR_2C_2} + sR_1C_1 + \frac{R_1C_1}{R_2C_2} + \frac{R_1}{R_2} \]

Terme B équivalent

\[ B_{eq} = \frac{1}{sC_2} + \frac{R_1C_1}{C_2} + R_1 \]

Résistance de Charge

\[ R_L \]
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \(G_v = 1/(A + B/R_L)\) est un résultat général pour n'importe quel quadripôle chargé par une résistance \(R_L\). Il est très utile de la mémoriser pour gagner du temps.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit Équivalent Final
Vₑ[Tₑₙ]Rₗ+-VₛIₛ
Calcul(s) (l'application numérique)

Dérivation de Gv(s)

De la loi d'Ohm en sortie, on tire \(I_s = V_s / R_L\). On remplace \(I_s\) dans l'équation de \(V_e\) :

\[ \begin{aligned} V_e &= A_{eq} V_s + B_{eq} \left( \frac{V_s}{R_L} \right) \\ &= V_s \left( A_{eq} + \frac{B_{eq}}{R_L} \right) \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette formule est très puissante. Elle montre que le gain du circuit global dépend non seulement des caractéristiques du circuit lui-même (via A et B) mais aussi de la charge qu'on y connecte. C'est un point fondamental en électronique : un circuit ne se comporte pas de la même façon à vide et en charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'oublier le terme de charge et de conclure trop vite que \(G_v = 1/A_{eq}\). C'est seulement vrai si le courant de sortie \(I_s\) est nul, c'est-à-dire si le circuit est à vide (\(R_L = \infty\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour trouver le gain en tension d'un quadripôle chargé par \(R_L\), la méthode est toujours : 1. Écrire \(V_e = AV_s + BI_s\). 2. Remplacer \(I_s\) par \(V_s/R_L\). 3. Isoler le rapport \(V_s/V_e\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "l'adaptation d'impédance" est directement lié à cette notion de charge. Pour transférer un maximum de puissance d'une source à une charge, il faut que l'impédance de la charge soit le conjugué de l'impédance de sortie de la source. L'analyse par quadripôle permet de calculer cette impédance de sortie.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment calculerait-on le gain en courant \(I_s/I_e\) ?

On utiliserait la deuxième ligne de l'équation matricielle, \(I_e = CV_s + DI_s\), en remplaçant cette fois \(V_s\) par \(R_L I_s\), puis en isolant le rapport \(I_s/I_e\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\[ G_v(s) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{1}{A_{eq} + \frac{B_{eq}}{R_L}} \]
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'expression du gain en tension \(G_v(s)\) si la sortie était en court-circuit (\(R_L=0\)) ?

Question 5 : Application numérique pour \(\omega=1000\) rad/s

Principe (le concept physique)

Pour passer en régime sinusoïdal permanent, on remplace la variable de Laplace \(s\) par \(j\omega\), où \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2=-1\)) et \(\omega\) est la pulsation en rad/s. On calcule ensuite les valeurs complexes des termes des matrices, puis le gain complexe, pour en extraire le module (gain en amplitude) et l'argument (déphasage).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un nombre complexe \(z = a + jb\) peut être représenté en coordonnées polaires par un module (ou amplitude) \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\) et un argument (ou phase) \(\phi = \arctan(b/a)\). En électronique, le module de la fonction de transfert représente le rapport des amplitudes entre la sortie et l'entrée, et la phase représente le décalage temporel (déphasage).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Utilisez une calculatrice capable de gérer les nombres complexes pour éviter les erreurs. Sinon, procédez pas à pas en séparant bien les parties réelles et imaginaires à chaque étape du calcul (addition, multiplication, division).

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme, c'est de l'arithmétique des nombres complexes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La substitution clé est \(s \rightarrow j\omega\). Pour un nombre complexe \(G_v = a+jb\) :

\[ |G_v| = \sqrt{a^2 + b^2} \quad , \quad \phi = \arctan(b/a) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le circuit a atteint son régime permanent sinusoïdal, et que les phénomènes transitoires de démarrage se sont estompés.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les valeurs numériques de l'énoncé et la pulsation donnée.

ParamètreValeurUnité
Pulsation \(\omega\)1000rad/s
Résistance \(R_1\)1k\(\Omega\)
Condensateur \(C_1\)1\(\mu\)F
Résistance \(R_2\)2.2k\(\Omega\)
Condensateur \(C_2\)2.2\(\mu\)F
Résistance de Charge \(R_L\)10k\(\Omega\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la division de nombres complexes \(1/(a+jb)\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(a-jb\). On obtient : \(\frac{a-jb}{a^2+b^2}\). C'est la méthode la plus rapide sans calculatrice spécialisée.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit Équivalent avec Charge
Vₑ[Tₑₙ]Rₗ+-VₛIₛ
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du terme sR₁C₁

\[ \begin{aligned} sR_1C_1 &= j1000 \cdot 1000 \cdot 10^{-6} \\ &= j1 \end{aligned} \]

Calcul du terme sR₂C₂

\[ \begin{aligned} sR_2C_2 &= j1000 \cdot 2200 \cdot 2.2 \cdot 10^{-6} \\ &\approx j4.84 \end{aligned} \]

Matrice [T₁] numérique

\[ [T_1] = \begin{pmatrix} 1+j & 1000 \\ j10^{-3} & 1 \end{pmatrix} \]

Matrice [T₂] numérique

\[ [T_2] = \begin{pmatrix} 1-j0.2066 & -j454.55 \\ 4.545 \cdot 10^{-4} & 1 \end{pmatrix} \]

Calcul du terme Aₑₙ

\[ \begin{aligned} A_{eq} &= (1+j)(1-j0.2066) + 1000(4.545 \cdot 10^{-4}) \\ &= (1.2066 + j0.7934) + 0.4545 \\ &\approx 1.661 + j0.793 \end{aligned} \]

Calcul du terme Bₑₙ

\[ \begin{aligned} B_{eq} &= (1+j)(-j454.55) + 1000(1) \\ &= (454.55-j454.55) + 1000 \\ &= 1454.55 - j454.55 \end{aligned} \]

Calcul du terme de charge

\[ \begin{aligned} \frac{B_{eq}}{R_L} &= \frac{1454.55 - j454.55}{10000} \\ &\approx 0.145 - j0.045 \end{aligned} \]

Calcul du dénominateur du gain

\[ \begin{aligned} A_{eq} + \frac{B_{eq}}{R_L} &= (1.661 + j0.793) + (0.145 - j0.045) \\ &\approx 1.806 + j0.748 \end{aligned} \]

Calcul du gain complexe Gv

\[ \begin{aligned} G_v &= \frac{1}{1.806 + j0.748} \\ &= \frac{1.806 - j0.748}{1.806^2 + 0.748^2} \\ &\approx \frac{1.806 - j0.748}{3.82} \\ &\approx 0.473 - j0.196 \end{aligned} \]

Calcul du module du gain

\[ \begin{aligned} |G_v| &= \sqrt{0.473^2 + (-0.196)^2} \\ &\approx \sqrt{0.2237 + 0.0384} \\ &\approx \sqrt{0.2621} \\ &\approx 0.512 \end{aligned} \]

Calcul de la phase du gain

\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{-0.196}{0.473}\right) \\ &\approx \arctan(-0.414) \\ &\approx -22.5^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation du Gain Complexe dans le plan de Gauss
ReIm0Gᵥ (|Gᵥ| ≈ 0.512)-j0.1960.473φ ≈ -22.5°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un gain de 0.512 signifie que pour cette fréquence, la tension de sortie a une amplitude environ deux fois plus faible que celle de l'entrée. Un déphasage de -22.5° signifie que le signal de sortie est en retard de phase par rapport au signal d'entrée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode degrés (ou radians, selon ce que vous utilisez) pour le calcul de l'arc tangente. Une erreur fréquente est de mélanger les deux unités, menant à une phase incorrecte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La séquence pour obtenir une valeur numérique est : 1. Remplacer \(s\) par \(j\omega\). 2. Calculer les matrices \([T_1]\) et \([T_2]\) complexes. 3. Calculer \([T_{eq}]\) complexe. 4. Calculer le dénominateur \(A_{eq}+B_{eq}/R_L\). 5. Calculer \(G_v\) par division complexe. 6. Extraire module et phase.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La représentation du gain et de la phase en fonction de la fréquence s'appelle un diagramme de Bode. C'est l'outil le plus utilisé par les ingénieurs pour analyser et concevoir des filtres, des amplificateurs et des systèmes de contrôle. Le simulateur de cet exercice trace une partie de ce diagramme.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment interpréter un déphasage négatif ?

Un déphasage négatif signifie que la sortie est en "retard" sur l'entrée. Si on observait les deux sinusoïdes sur un oscilloscope, le pic de la tension de sortie apparaîtrait un peu après le pic de la tension d'entrée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour \(\omega=1000~\text{rad/s}\), le gain est d'environ \(|G_v| \approx 0.512\) avec un déphasage de \(\phi \approx -22.5^\circ\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans faire tout le calcul, pouvez-vous dire si le gain sera plus grand ou plus petit pour une fréquence très basse (proche de 0 Hz) ? Indice : regardez le comportement des condensateurs.

Outil Interactif : Analyse Fréquentielle

Utilisez ce simulateur pour voir comment le gain en tension (en module) et le déphasage du circuit varient en fonction de la fréquence du signal d'entrée. Cela permet de tracer le diagramme de Bode du filtre.

Paramètres d'Entrée
159 Hz
Résultats Clés
Module du Gain |Gv| -
Phase (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est le principal avantage d'utiliser les matrices de transfert [T] pour analyser des circuits en cascade ?

2. Pour un quadripôle passif et réciproque, que vaut le déterminant de sa matrice de transfert (\(AD - BC\)) ?

3. Quelle est la matrice de transfert [T] pour une simple impédance Z en configuration "shunt" (parallèle) ?

4. Si la sortie d'un quadripôle est en circuit ouvert, que peut-on dire du courant de sortie \(I_s\) ?

5. Le produit de matrices \([A] \cdot [B]\) est-il égal à \([B] \cdot [A]\) en général ?

Glossaire

Quadripôle
Un circuit électrique ou un composant avec quatre bornes, regroupées en une paire d'entrée (port d'entrée) et une paire de sortie (port de sortie). Il est utilisé pour modéliser le transfert de signaux.
Matrice de Transfert [T]
Aussi appelée matrice ABCD, c'est une matrice 2x2 qui relie les grandeurs électriques (tension et courant) à l'entrée d'un quadripôle à celles de la sortie. Elle est particulièrement adaptée à l'analyse de circuits en cascade.
Chaînage (ou Cascade)
Une méthode de connexion de circuits où le port de sortie d'un quadripôle est directement connecté au port d'entrée du suivant.
Impédance (Z)
La généralisation de la résistance aux circuits en courant alternatif. C'est un nombre complexe qui représente à la fois la résistance et la réactance (opposition au changement de courant/tension due aux inductances et capacités).
Admittance (Y)
L'inverse de l'impédance (\(Y = 1/Z\)). Elle mesure la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant.
Exercice : Chaînage de Quadripôles et Matrice de Transfert

D’autres exercices de Phénomènes Transitoires:

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