Circuits Électriques

Calcul de l’Impédance de Sortie d’un Circuit RC Série

Exercice : Impédance de Sortie d'un Circuit RC

Calcul de l'Impédance de Sortie d'un Circuit RC Série

Contexte : Analyse des circuits en régime sinusoïdalRégime établi dans un circuit linéaire lorsque toutes les sources sont sinusoïdales et de même fréquence. Tensions et courants sont alors aussi sinusoïdaux, à la même fréquence..

L'impédance de sortieImpédance équivalente vue depuis les bornes de sortie d'un circuit lorsque les sources indépendantes internes sont éteintes. Elle caractérise la capacité du circuit à fournir du courant à une charge. (\(Z_{\text{out}}\) ou \(Z_S\)) d'un circuit est une caractéristique fondamentale en électronique. Elle représente la "résistance" interne que le circuit oppose au passage du courant lorsqu'on le connecte à une charge externe, en régime variable (ici, sinusoïdal). Connaître l'impédance de sortie est crucial pour l'adaptation d'impédance, qui permet un transfert maximal de puissance vers la charge, ou pour analyser comment la tension de sortie varie en fonction de la charge connectée. Cet exercice vous guidera dans le calcul de l'impédance de sortie d'un circuit RC simple en utilisant la méthode basée sur le théorème de ThéveninThéorème affirmant que tout circuit linéaire vu de deux bornes peut être remplacé par un générateur de tension idéal en série avec une impédance (ou résistance). et les impédances complexesNombre complexe associant la résistance et la réactance d'un composant ou circuit en régime sinusoïdal. Généralise la notion de résistance aux circuits AC..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à renforcer votre compréhension des impédances complexes et leur application pour déterminer une caractéristique essentielle d'un quadripôle linéaire : son impédance de sortie.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les impédances complexes d'une résistance et d'un condensateur à une fréquence donnée.
  • Appliquer la méthode de calcul de l'impédance de sortie (équivalente à l'impédance de Thévenin).
  • Associer des impédances complexes en série et en parallèle.
  • Manipuler les nombres complexes (forme rectangulaire).

Données de l'étude

On considère le circuit RC série représenté ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale \(V_{\text{in}}\). La sortie est prise aux bornes du condensateur C.

Schéma du Circuit RC Série
Vin R1 C + - Vout Zout ?
Composant Symbole Valeur
Résistance R1 \(1 \, \text{k}\Omega\)
Condensateur C \(1 \, \mu\text{F}\)
Fréquence f \(1 \, \text{kHz}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les impédances complexes \(Z_{R1}\) et \(Z_C\) des composants à la fréquence \(f = 1 \, \text{kHz}\).
  2. Déterminer l'impédance de sortie complexe \(Z_{out}\) du circuit vue entre les bornes de sortie (aux bornes de C). Donner le résultat sous forme rectangulaire (\(a + jb\)).

Les bases de l'analyse en régime sinusoïdal

Pour analyser les circuits en régime sinusoïdal établi, on utilise la notation complexe qui simplifie grandement les calculs.

1. Impédances Complexes
Chaque composant linéaire passif (Résistance R, Bobine L, Condensateur C) est caractérisé par son impédance complexe \(Z\), qui dépend de la pulsation \(\omega = 2\pi f\) (où \(f\) est la fréquence).

  • Résistance : \(Z_R = R\) (réelle)
  • Bobine idéale : \(Z_L = j\omega L\) (imaginaire pure positive)
  • Condensateur idéal : \(Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C}\) (imaginaire pure négative)
L'impédance se mesure en Ohms (\(\Omega\)). \(j\) est l'unité imaginaire telle que \(j^2 = -1\).

2. Association d'Impédances
Les impédances complexes se combinent comme les résistances en régime continu :

  • Série : \(Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + ... + Z_n\)
  • Parallèle (pour 2 impédances) : \(Z_{eq} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}\)
  • Parallèle (cas général) : \(\frac{1}{Z_{eq}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + ... + \frac{1}{Z_n}\) (on utilise les admittances \(Y = 1/Z\))

3. Impédance de Sortie (Méthode de Thévenin)
L'impédance de sortie \(Z_{out}\) d'un circuit linéaire vue entre deux bornes A et B est égale à l'impédance équivalente du circuit vue depuis ces bornes lorsque toutes les sources indépendantes internes sont "éteintes" :

  • Les sources de tension indépendantes sont remplacées par un court-circuit (fil).
  • Les sources de courant indépendantes sont remplacées par un circuit ouvert.
Cette impédance est aussi appelée impédance de Thévenin (\(Z_{Th}\)).

Correction : Calcul de l'Impédance de Sortie d'un Circuit RC Série

Question 1 : Calcul des impédances \(Z_{R1}\) et \(Z_C\)

Principe

Il s'agit d'appliquer les formules de base des impédances complexes pour une résistance et un condensateur, en utilisant la pulsation \(\omega\) correspondant à la fréquence donnée \(f\). C'est le "pourquoi" : on traduit les composants physiques en leur équivalent mathématique en régime sinusoïdal.

Mini-Cours

L'impédance d'une résistance est simplement sa valeur \(R\), indépendante de la fréquence. L'impédance d'un condensateur \(Z_C = 1/(j\omega C)\) est imaginaire pure négative et son module \(1/(\omega C)\) diminue quand la fréquence augmente : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert en basse fréquence et comme un court-circuit en haute fréquence.

Remarque Pédagogique

L'étape clé ici est de bien calculer la pulsation \(\omega\) à partir de la fréquence \(f\) (\(\omega=2\pi f\)) avant d'appliquer les formules d'impédance. Pensez toujours aux unités (Hz pour f, rad/s pour \(\omega\), Farad pour C, Ohm pour Z).

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique à citer pour ce calcul de base, on utilise les définitions fondamentales de l'électrocinétique en régime sinusoïdal.

Formule(s)

Formule de l'impédance d'une résistance :

\[ Z_R = R \]

Formule de l'impédance d'un condensateur :

\[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \]

Formule de la pulsation :

\[ \omega = 2\pi f \]
Hypothèses

On suppose que les composants (résistance, condensateur) sont idéaux et que le circuit fonctionne en régime sinusoïdal établi.

  • Composants idéaux (pas de résistance série pour C, etc.).
  • Régime sinusoïdal permanent établi.
Donnée(s)

Les valeurs fournies dans l'énoncé sont rappelées ici.

ParamètreSymboleValeurUnité
RésistanceR1\(1 \, \text{k}\Omega\)
CondensateurC\(1 \, \mu\text{F}\)
Fréquencef\(1 \, \text{kHz}\)
Astuces

Pour calculer \(1/(jX)\), on utilise l'astuce \(1/j = -j\). Donc \(Z_C = -j \times (1/(\omega C))\). Calculer d'abord la partie réelle \(1/(\omega C)\) puis ajouter le \(-j\).

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Circuit RC Série (Rappel)
VinR1C+-VoutZout ?
Calcul(s)

Conversion des unités :

\(R1 = 1 \, \text{k}\Omega = 1000 \, \Omega\)
\(C = 1 \, \mu\text{F} = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(f = 1 \, \text{kHz} = 1000 \, \text{Hz}\)

Calcul de la pulsation \(\omega\) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 1000 \\ &= 2000\pi \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

Calcul de l'impédance \(Z_{R1}\) :

\[ Z_{R1} = R1 = 1000 \, \Omega \]

Calcul de l'impédance \(Z_C\) :

\[ \begin{aligned} Z_C &= -\frac{j}{\omega C} \\ &= -\frac{j}{(2000\pi) \times (1 \times 10^{-6})} \\ &= -\frac{j}{0.002\pi} \, \Omega \\ &\approx -j \frac{1}{0.006283} \, \Omega \\ &\approx -j 159.15 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Impédances Complexes
VinZ_R1Z_CVout
Réflexions

L'impédance de la résistance est purement réelle (\(1000 \, \Omega\)). L'impédance du condensateur est purement imaginaire et négative (\(-j159.15 \, \Omega\)). Cela confirme leur nature résistive et capacitive pure à cette fréquence.

Points de vigilance

Ne pas oublier les unités lors des calculs intermédiaires (\(\omega\) en rad/s). Une erreur fréquente est d'oublier le facteur \(2\pi\) ou les puissances de 10 (kilo, micro).

Points à retenir

Les formules \(Z_R = R\) et \(Z_C = 1/(j\omega C) = -j/(\omega C)\) sont fondamentales. La conversion correcte des unités (préfixes SI) et le calcul de \(\omega = 2\pi f\) sont essentiels avant d'appliquer ces formules.

Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance a été introduit par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle, révolutionnant l'analyse des circuits en courant alternatif grâce au calcul symbolique (précurseur de la notation complexe).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi \(Z_C\) est imaginaire négatif ?

Cela vient du \(j\) au dénominateur (\(1/j = -j\)). Physiquement, cela traduit le fait que le courant dans un condensateur est en avance de phase de 90° (\(\pi/2\) radians) sur la tension à ses bornes en régime sinusoïdal.

Que se passe-t-il si f = 0 Hz (courant continu) ?

Si \(f=0\), alors \(\omega=0\). \(Z_R = R\) reste inchangé. \(Z_C = -j/(\omega C)\) tend vers l'infini (\(-\infty j\)). Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert en continu une fois chargé.

Résultat Final
Les impédances complexes à \(1 \, \text{kHz}\) sont : \(Z_{R1} = 1000 \, \Omega\) et \(Z_C \approx -j 159.15 \, \Omega\).
A vous de jouer

Quelle serait la valeur (module) de l'impédance \(Z_C\) si la fréquence était doublée (\(f=2\) kHz)?

Question 2 : Calcul de l'impédance de sortie \(Z_{out}\)

Principe

On applique la méthode de Thévenin pour trouver \(Z_{out}\) vue des bornes de sortie. Cela implique d'éteindre la source de tension \(V_{in}\) (la remplacer par un court-circuit) et de calculer l'impédance équivalente vue de la sortie. Le "pourquoi" : on cherche l'impédance interne du circuit qui alimente la charge potentielle.

Mini-Cours

Éteindre une source de tension idéale revient à la remplacer par un fil (tension nulle entre ses bornes). Éteindre une source de courant idéale revient à l'enlever (courant nul). Une fois les sources éteintes, le circuit devient passif et on peut calculer l'impédance équivalente entre les bornes de sortie en utilisant les règles d'association série/parallèle.

Remarque Pédagogique

Redessiner le circuit avec la source éteinte est crucial pour bien visualiser comment les composants sont associés (série ou parallèle) du point de vue des bornes de sortie. Ici, R1 et C se retrouvent en parallèle.

Normes

La méthode de calcul de l'impédance de sortie (ou impédance de Thévenin) est une technique standard d'analyse des circuits linéaires, découlant du théorème de Thévenin.

Formule(s)

Formule de l'impédance équivalente de deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en parallèle :

\[ Z_{out} = Z_{eq} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2} \]

Application à ce circuit (\(Z_1 = Z_{R1}\), \(Z_2 = Z_C\)) :

\[ Z_{out} = \frac{Z_{R1} Z_C}{Z_{R1} + Z_C} \]
Hypothèses

On conserve les hypothèses de composants idéaux et de régime sinusoïdal établi.

Donnée(s)

On utilise les impédances calculées à la question 1 :

  • \(Z_{R1} = 1000 \, \Omega\)
  • \(Z_C \approx -j 159.15 \, \Omega\)
Astuces

Pour la division de nombres complexes \(\frac{N}{D}\), multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur \(D^*\): \(\frac{N \times D^*}{D \times D^*} = \frac{N \times D^*}{|D|^2}\). Le dénominateur devient réel, simplifiant le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit pour le calcul de \(Z_{out}\)
R1CZout
Calcul(s)

Substitution des valeurs dans la formule :

\[ \begin{aligned} Z_{out} &= \frac{Z_{R1} Z_C}{Z_{R1} + Z_C} \\ &= \frac{(1000) \times (-j 159.15)}{1000 - j 159.15} \\ &= \frac{-j 159150}{1000 - j 159.15} \, \Omega \end{aligned} \]

Multiplication par le conjugué du dénominateur :

\[ Z_{out} = \frac{-j 159150 \times (1000 + j 159.15)}{(1000 - j 159.15) \times (1000 + j 159.15)} \]

Développement du dénominateur (\(|D|^2 = a^2 + b^2\)) :

\[ \begin{aligned} (1000 &- j 159.15) \times (1000 + j 159.15) \\ &= 1000^2 + 159.15^2 \\ &= 1000000 + 25328.72 \\ &= 1025328.72 \end{aligned} \]

Développement du numérateur :

\[ \begin{aligned} -j &159150 \times (1000 + j 159.15) \\ &= (-j 159150 \times 1000) + (-j 159150 \times j 159.15) \\ &= -j 159150000 - j^2 (159150 \times 159.15) \\ &= -j 159150000 + (159150 \times 159.15) \quad (\text{car } j^2=-1) \\ &= 25328722.5 - j 159150000 \end{aligned} \]

Calcul de la fraction :

\[ Z_{out} = \frac{25328722.5 - j 159150000}{1025328.72} \]

Séparation des parties réelle et imaginaire :

\[ \begin{aligned} Z_{out} &= \left( \frac{25328722.5}{1025328.72} \right) - j \left( \frac{159150000}{1025328.72} \right) \, \Omega \\ &\approx (24.70 - j 155.22) \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Impédance de Sortie Équivalente
ZoutZout
Réflexions

L'impédance de sortie \(Z_{out} \approx 24.70 - j 155.22 \, \Omega\) a une partie réelle faible par rapport à R1 et une partie imaginaire proche de \(Z_C\). C'est logique car à cette fréquence (1 kHz), le module de \(Z_C\) (environ 159 \(\Omega\)) est bien plus petit que R1 (1000 \(\Omega\)), donc l'impédance parallèle est dominée par \(Z_C\). \(|Z_{out}| = \sqrt{24.70^2 + (-155.22)^2} \approx 157.17 \, \Omega\), ce qui est proche de \(|Z_C|\). La phase est \(\arctan(-155.22 / 24.70) \approx -81^\circ\).

Points de vigilance

Attention aux erreurs de calcul avec les nombres complexes, notamment lors de la division (utilisation du conjugué). Vérifiez que vous avez bien identifié l'association parallèle après avoir éteint la source.

Points à retenir

La méthode pour trouver \(Z_{out}\) (éteindre les sources indépendantes, calculer \(Z_{eq}\)) est générale. L'association parallèle d'impédances est fréquente dans ce type de calcul. La maîtrise du calcul complexe est indispensable.

Le saviez-vous ?

L'impédance de sortie est cruciale pour connecter des étages d'amplification. Idéalement, l'impédance de sortie d'un étage doit être faible par rapport à l'impédance d'entrée de l'étage suivant pour minimiser la perte de signal (pont diviseur de tension).

FAQ

Questions fréquentes sur \(Z_{out}\).

Est-ce que \(Z_{out}\) est toujours égale à \(Z_{Th}\) ?

Oui, pour les circuits linéaires, l'impédance de sortie calculée en éteignant les sources indépendantes est par définition l'impédance équivalente de Thévenin vue de ces bornes.

Comment calculer \(Z_{out}\) s'il y a des sources dépendantes ?

Si le circuit contient des sources dépendantes, on ne peut pas simplement les éteindre. On doit appliquer une source de test (tension \(V_{\text{test}}\) ou courant \(I_{\text{test}}\)) aux bornes de sortie (en ayant éteint les sources *indépendantes*), calculer le courant \(I_{\text{test}}\) ou la tension \(V_{\text{test}}\) résultant, puis \(Z_{out} = V_{\text{test}} / I_{\text{test}}\).

Résultat Final
L'impédance de sortie complexe du circuit à \(1 \, \text{kHz}\) est \(Z_{out} \approx 24.70 - j 155.22 \, \Omega\).
A vous de jouer

Vous avez calculé que pour \(f = 500 \, \text{Hz}\), \(Re(Z_{out}) \approx 90.95 \, \Omega\). Calculez maintenant la partie imaginaire \(Im(Z_{out})\) à cette même fréquence de \(500 \, \text{Hz}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'impédance complexe d'un condensateur idéal C à la pulsation \(\omega\) ?

  • \(1 / (\omega C)\)
  • \(1 / (j\omega C)\) ou \(-j / (\omega C)\)

2. Pour calculer l'impédance de sortie (ou de Thévenin) d'un circuit, comment traite-t-on une source de tension indépendante idéale ?

3. Deux impédances \(Z_1 = 10 \, \Omega\) et \(Z_2 = j10 \, \Omega\) sont en série. Quelle est l'impédance équivalente \(Z_{eq}\) ?

  • \(100 / (10 + j10) \, \Omega\)

4. L'impédance d'un condensateur...

Glossaire

Impédance Complexe (Z)
Grandeur complexe (\(Z = R + jX\)) qui généralise la notion de résistance aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal. Elle représente l'opposition du circuit au passage d'un courant alternatif. R est la résistance, X est la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Impédance de Sortie (\(Z_{out}\) ou \(Z_S\))
Impédance équivalente vue depuis les bornes de sortie d'un circuit lorsque toutes ses sources indépendantes internes (tension et courant) sont éteintes (respectivement court-circuitées et ouvertes). C'est aussi l'impédance de Thévenin (\(Z_{Th}\)) vue de la sortie.
Régime Sinusoïdal (ou Alternatif Sinusoïdal)
Régime de fonctionnement d'un circuit électrique où les tensions et les courants varient de manière sinusoïdale au cours du temps, à une fréquence constante.
Théorème de Thévenin
Théorème fondamental de l'analyse des circuits linéaires qui stipule que tout dipôle actif linéaire est équivalent, vu de ses bornes, à un générateur de tension idéal (\(E_{Th}\)) en série avec une impédance (\(Z_{Th}\)).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire associée à un signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\). Unité : radians par seconde (rad/s).
Nombre Complexe
Nombre de la forme \(a + jb\), où \(a\) est la partie réelle, \(b\) est la partie imaginaire, et \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)). Utilisé pour représenter les grandeurs sinusoïdales (phaseurs) et les impédances.
Admittance (Y)
Inverse de l'impédance (\(Y = 1/Z\)). Elle facilite les calculs pour les associations en parallèle. Unité : Siemens (S).
Exercice : Impédance de Sortie RC Série

D’autres exercices de Régime SinusoÏdal:

Calcul du Courant Complexe
Calcul du Courant Complexe

Circuit RLC Série : Calcul du Courant Complexe Calcul du Courant Complexe Contexte : Le cœur des filtres et des oscillateurs en électronique. En électronique, l'analyse des circuits en régime sinusoïdal est fondamentale. Le circuit RLC série est un prototype essentiel...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *