Circuits Électriques

Circuit RC Filtre Passe-Bas

Exercice : Circuit RC Filtre Passe-Bas

Circuit RC Filtre Passe-Bas

Contexte : Le Circuit RC SérieUn circuit électrique simple composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C) connectés en série..

Les circuits RC sont fondamentaux en électronique, agissant comme des briques de base pour des fonctions bien plus complexes. L'une de leurs applications les plus courantes est le filtrage de signaux. En fonction de la façon dont nous récupérons la tension de sortie (aux bornes de R ou de C), le circuit peut agir comme un filtre passe-haut ou passe-bas. Dans cet exercice, nous analyserons le comportement d'un circuit RC en régime sinusoïdalUne méthode d'analyse des circuits où les tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps, utilisant les impédances complexes., où la tension de sortie est prise aux bornes du condensateur, afin de démontrer son comportement de filtre passe-bas.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un circuit simple en utilisant les impédancesGénéralisation de la résistance aux circuits en régime sinusoïdal. Elle est notée Z et est un nombre complexe., à dériver une fonction de transfertRapport complexe entre la sortie et l'entrée d'un système (Vs/Ve). Elle décrit comment le système affecte l'amplitude et la phase d'un signal., et à interpréter sa signification physique en termes de filtrage.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les impédances complexes d'une résistance et d'un condensateur.
  • Utiliser le pont diviseur de tension pour déterminer la fonction de transfert \(H(j\omega)\).
  • Mettre la fonction de transfert sous forme canonique.
  • Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\).
  • Analyser le comportement asymptotique (gain et phase) à basse et haute fréquence.

Données de l'étude : Filtre RC Passe-Bas

On considère le circuit RC série ci-dessous, alimenté par une tension sinusoïdale d'entrée \(v_e(t)\) de pulsation \(\omega\). La tension de sortie \(v_s(t)\) est prise aux bornes du condensateur C.

Schéma du Circuit RC Passe-Bas
~ Ve R C Vs
Composant Symbole Valeur
Résistance R 1 \(\text{k}\Omega\)
Condensateur C 1 \(\text{µF}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer les impédances complexes \(Z_R\) de la résistance et \(Z_C\) du condensateur en fonction de \(\omega\).
  2. Établir la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).
  3. Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega/\omega_c}\). Identifier K et \(\omega_c\).
  4. Calculer numériquement la pulsation de coupure \(\omega_c\) (en \(\text{rad/s}\)) et la fréquence de coupure \(f_c\) (en \(\text{Hz}\)).
  5. Analyser le comportement asymptotique :
    • Que valent le gain (en \(\text{dB}\)) et la phase lorsque \(\omega \to 0\) (basse fréquence) ?
    • Que valent le gain (en \(\text{dB}\)) et la phase lorsque \(\omega \to \infty\) (haute fréquence) ?
  6. Calculer le gain exact (en \(\text{dB}\)) et la phase (en degrés) à la fréquence de coupure \(f_c\).

Les bases : Impédances et Diviseur de Tension

Pour analyser un circuit en régime sinusoïdal, on remplace les composants par leurs impédances complexes et on utilise les lois de l'électricité (Ohm, Kirchhoff, etc.) en utilisant des nombres complexes.

1. Impédances Complexes
L'impédance généralise la notion de résistance.

  • Pour une résistance R : \( Z_R = R \) (réel pur)
  • Pour un condensateur C : \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} \) (imaginaire pur)
  • Pour une bobine L : \( Z_L = jL\omega \) (imaginaire pur)
Où \( j \) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)) et \( \omega \) est la pulsation (\(\omega = 2\pi f\)).

2. Pont Diviseur de Tension
Pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série, la tension aux bornes de \(Z_2\) est donnée par la formule du pont diviseur de tension : \[ V_s = V_e \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \] La fonction de transfert est donc : \[ H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \]

Correction : Circuit RC Filtre Passe-Bas

Question 1 : Déterminer les impédances complexes

Principe

L'impédance complexe \(Z\) généralise la résistance \(R\) aux circuits fonctionnant en régime sinusoïdal (courant alternatif). Elle représente l'opposition d'un composant au passage du courant alternatif, en tenant compte non seulement de l'amplitude mais aussi du déphasage entre tension et courant. On utilise les formules de base pour chaque type de composant.

Mini-Cours

Une résistance R oppose une résistance pure, sans déphasage. Son impédance est simplement \(Z_R = R\), un nombre réel exprimé en Ohms (\(\text{Ω}\)). Un condensateur C s'oppose au changement de tension. En régime sinusoïdal, son impédance est \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\), un nombre imaginaire pur négatif (car \(1/j = -j\)), exprimé aussi en Ohms (\(\text{Ω}\)). Sa valeur absolue, appelée réactance capacitive \(X_C = 1/(C\omega)\), diminue lorsque la fréquence \(\omega\) augmente.

Remarque Pédagogique

Mémoriser ces deux formules est fondamental. Comprendre que \(Z_R\) est réelle (pas de déphasage) et \(Z_C\) imaginaire pure (déphasage de \(-90^\circ\) du courant par rapport à la tension) est clé pour la suite de l'analyse.

Formule(s)

Impédance de la résistance

\[ Z_R = R \]

Impédance du condensateur

\[ Z_C = \frac{1}{jC\omega} \]
Calcul(s)

L'application des formules est directe. Il n'y a pas de calculs supplémentaires à ce stade, juste l'écriture des définitions.

Réflexions

L'impédance de la résistance \(R\) ne dépend pas de la fréquence. En revanche, l'impédance du condensateur \(Z_C\) est fortement dépendante de la pulsation \(\omega\). Lorsque \(\omega \to 0\) (courant continu), \(|Z_C| \to \infty\), le condensateur agit comme un interrupteur ouvert, bloquant le courant. Lorsque \(\omega \to \infty\) (très haute fréquence), \(|Z_C| \to 0\), le condensateur agit comme un court-circuit, laissant passer le courant facilement.

Points à retenir
  • Impédance d'une résistance : \(Z_R = R\) (réelle, constante).
  • Impédance d'un condensateur : \(Z_C = 1/(jC\omega)\) (imaginaire pure, dépend de \(\omega\)).
Résultat Final
Les impédances sont \( Z_R = R \) et \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} \).
Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1:

  • Impédance R = R (\(\text{Ω}\))
  • Impédance C = 1/(jC\(\omega\)) (\(\text{Ω}\))

Question 2 : Établir la fonction de transfert \(H(j\omega)\)

Principe

La fonction de transfert \(H(j\omega)\) décrit comment le circuit modifie le signal d'entrée \(V_e\) pour produire le signal de sortie \(V_s\) à une pulsation \(\omega\) donnée. C'est le rapport des tensions complexes (phasors) : \(H(j\omega) = V_s / V_e\). Puisque R et C sont en série et que la sortie est prise aux bornes de C, la structure est celle d'un pont diviseur de tension. On applique donc la formule du pont diviseur en utilisant les impédances complexes calculées précédemment.

Mini-Cours

Le pont diviseur de tension stipule que pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série alimentées par \(V_e\), la tension \(V_2\) aux bornes de \(Z_2\) est \(V_2 = V_e \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2}\). Dans notre cas, \(Z_1 = Z_R = R\) et \(Z_2 = Z_C = 1/(jC\omega)\), et la tension de sortie est \(V_s = V_2\).

Remarque Pédagogique

L'application du pont diviseur est une technique fondamentale pour analyser les circuits série. Bien la maîtriser permet de gagner beaucoup de temps par rapport à l'application des lois de Kirchhoff plus générales.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle d'impédances en série
Ve ~ ZR ZC Vs

Le circuit est équivalent à deux impédances ZR et ZC en série.

Formule(s)

Pont Diviseur de Tension appliqué

\[ H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} \]
Calcul(s)

Étape 1 : Substitution des impédances \(Z_R = R\) et \(Z_C = 1/(jC\omega)\)

On remplace \(Z_R\) et \(Z_C\) par leurs expressions dans la formule du pont diviseur.

\[ H(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \]

Étape 2 : Simplification algébrique

Pour éliminer la fraction au dénominateur et simplifier l'expression, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(jC\omega\). C'est comme multiplier par 1 (\(\frac{jC\omega}{jC\omega}\)), ce qui ne change pas la valeur de l'expression.

\[ H(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega} \times (jC\omega)}{(R + \frac{1}{jC\omega}) \times (jC\omega)} \]

Au numérateur, \( \frac{1}{jC\omega} \times (jC\omega) = 1 \).

Au dénominateur, on distribue la multiplication : \( (R \times jC\omega) + (\frac{1}{jC\omega} \times jC\omega) = jRC\omega + 1 \).

On obtient donc :

\[ H(j\omega) = \frac{1}{jRC\omega + 1} \]

On réordonne le dénominateur pour avoir la partie réelle en premier, ce qui est la convention usuelle pour les fonctions de transfert.

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega} \]
Astuces

Pour simplifier les fractions complexes de type \( \frac{A/B}{C + A/B} \), multiplier le haut et le bas par B est une technique standard : \( \frac{A}{CB + A} \). Ici, A=1, B=\(jC\omega\), C=R.

Réflexions

La fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) est un nombre complexe dont le module (gain) et l'argument (phase) varient avec la pulsation \(\omega\). La présence du terme \(jRC\omega\) au dénominateur indique que le module diminuera lorsque \(\omega\) augmentera, ce qui est cohérent avec un filtre passe-bas.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien distribuer le terme \(jC\omega\) lors de la multiplication du dénominateur. Une erreur fréquente est d'oublier de le multiplier par R.

Points à retenir

L'application correcte du pont diviseur de tension avec des impédances complexes est une méthode clé pour analyser de nombreux circuits linéaires en régime sinusoïdal.

Résultat Final
\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega} \]
Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2:

  • Pont diviseur : \(H = Z_C / (Z_R + Z_C)\).
  • Substitution et simplification par \( \times (jC\omega / jC\omega) \).
  • Formule finale : \(H(j\omega) = 1 / (1 + jRC\omega)\).

Question 3 : Mettre sous forme canonique et identifier K, \(\omega_c\)

Principe

La mise sous forme canonique standardise l'écriture des fonctions de transfert, facilitant l'identification des paramètres importants et la comparaison entre différents systèmes. Pour un filtre passe-bas du premier ordre, la forme standard est \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega/\omega_c}\). Nous allons manipuler notre expression pour qu'elle corresponde exactement à ce modèle.

Mini-Cours

Dans la forme canonique \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\omega/\omega_c}\) :

  • \(K\) est le gain statique (ou gain en courant continu, \(\text{DC gain}\)), c'est-à-dire le gain du filtre lorsque \(\omega = 0\). Il représente le gain dans la bande passante pour un filtre passe-bas.
  • \(\omega_c\) est la pulsation de coupure (en \(\text{rad/s}\)). C'est la pulsation pour laquelle le gain en tension a diminué de 3 \(\text{dB}\) par rapport au gain statique K, ou, de manière équivalente, l'amplitude est divisée par \(\sqrt{2}\). C'est la limite entre la bande passante et la bande atténuée.

Remarque Pédagogique

Identifier K et \(\omega_c\) permet de caractériser rapidement le filtre. K nous dit comment le filtre affecte les signaux de très basse fréquence, et \(\omega_c\) nous dit où commence l'atténuation significative.

Formule(s)

Forme canonique (passe-bas, 1er ordre)

\[ H_{\text{canonique}}(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]

Notre fonction de transfert (de Q2)

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega} \]
Calcul(s)

Étape 1 : Identification du gain statique K

On compare les numérateurs des deux expressions. Dans notre cas, le numérateur est 1. Dans la forme canonique, c'est K. Donc :

\[ K = 1 \]

Étape 2 : Identification de la pulsation de coupure \(\omega_c\)

On compare les dénominateurs. Les deux sont de la forme \(1 + j \times \text{Terme}\). Pour que les expressions soient identiques, les termes imaginaires doivent être égaux :

\[ j \frac{\omega}{\omega_c} = j RC\omega \]

On peut diviser les deux côtés par \(j\omega\) (en supposant \(\omega \neq 0\), ce qui est généralement le cas quand on parle de fréquence de coupure) :

\[ \frac{1}{\omega_c} = RC \]

En prenant l'inverse des deux côtés, on trouve l'expression de \(\omega_c\) :

\[ \omega_c = \frac{1}{RC} \]
Réflexions

L'identification est directe ici. Le gain statique \(K=1\) (soit 0 \(\text{dB}\)) confirme que le filtre laisse passer les très basses fréquences sans atténuation. La pulsation de coupure \(\omega_c = 1/RC\) est une relation fondamentale pour les circuits RC. Elle montre que \(\omega_c\) est inversement proportionnelle au produit RC (la constante de temps \(\tau\)). Plus R ou C sont grands, plus la coupure se produit à une fréquence basse.

Points à retenir
  • La forme canonique permet d'identifier K (gain statique) et \(\omega_c\) (pulsation de coupure).
  • Pour le filtre RC passe-bas (sortie sur C) : \(K=1\) et \(\omega_c = 1/RC\).
Résultat Final
La forme canonique est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}\) avec :
  • Gain statique : \(K = 1\)
  • Pulsation de coupure : \(\omega_c = \frac{1}{RC}\) (\(\text{rad/s}\))
Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3:

  • Identification de \(H = 1 / (1 + jRC\omega)\) avec \(K / (1 + j\omega/\omega_c)\).
  • Par comparaison directe : K=1, \(\omega_c = 1/RC\).

Question 4 : Calculer numériquement \(\omega_c\) et \(f_c\)

Principe

Maintenant que nous avons les expressions littérales de \(\omega_c\) et \(f_c\) en fonction de R et C, nous utilisons les valeurs numériques données dans l'énoncé pour obtenir leurs valeurs spécifiques pour ce circuit particulier.

Mini-Cours

Rappel des relations :

  • Constante de temps : \(\tau = RC\). L'unité est la seconde (\(\text{s}\)).
  • Pulsation de coupure : \(\omega_c = 1/\tau = 1/RC\). L'unité est le radian par seconde (\(\text{rad/s}\)).
  • Fréquence de coupure : \(f_c = \omega_c / (2\pi) = 1/(2\pi RC)\). L'unité est le Hertz (\(\text{Hz}\)).
Le passage de \(\omega_c\) à \(f_c\) se fait en divisant par \(2\pi\), car une période (correspondant à \(f\)) contient \(2\pi\) radians (correspondant à \(\omega\)).

Remarque Pédagogique

Ce calcul numérique est essentiel pour dimensionner un filtre dans une application réelle. Selon la fréquence que l'on souhaite filtrer, on choisira des valeurs appropriées de R et C pour placer la fréquence de coupure \(f_c\) au bon endroit.

Formule(s)

Pulsation de coupure

\[ \omega_c = \frac{1}{RC} \]

Fréquence de coupure

\[ f_c = \frac{1}{2\pi RC} \]
Donnée(s)

Il est impératif de convertir les valeurs en unités du Système International (SI) avant de faire le calcul.

ParamètreSymboleValeur (Énoncé)Valeur (SI)
RésistanceR1 \(\text{k}\Omega\)\(1 \times 10^3 \, \Omega\)
CapacitéC1 \(\text{µF}\)\(1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du produit RC (constante de temps \(\tau\))

On multiplie R (en \(\Omega\)) par C (en F). Les unités sont \( \Omega \times F = (\text{V/A}) \times (\text{C/V}) = (\text{V / (C/s)}) \times (\text{C/V}) = \text{s} \).

\[ RC = (1 \times 10^3 \, \Omega) \times (1 \times 10^{-6} \, \text{F}) = 1 \times 10^{3+(-6)} = 1 \times 10^{-3} \, \text{s} \]

Donc, la constante de temps est \(\tau = 1 \, \text{ms}\).

Étape 2 : Calcul de la pulsation de coupure \(\omega_c\)

On prend l'inverse du produit RC (ou de la constante de temps \(\tau\)). L'unité est \(\text{rad/s}\).

\[ \omega_c = \frac{1}{RC} = \frac{1}{10^{-3} \, \text{s}} = 10^3 \, \text{rad/s} \]

Donc, \(\omega_c = 1000 \, \text{rad/s}\).

Étape 3 : Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\)

On divise la pulsation de coupure \(\omega_c\) par \(2\pi\). L'unité sera des \(\text{Hz}\) (\(\text{s}^{-1}\)).

\[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1000}{2\pi} \approx 159.1549... \, \text{Hz} \]

On arrondit généralement à une précision raisonnable, par exemple \(159 \, \text{Hz}\) ou \(159.2 \, \text{Hz}\).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est d'oublier les conversions : calculer avec 1 \(\text{k}\Omega\) et 1 \(\text{µF}\) donnerait \(1/ (1 \times 1) = 1\), ce qui est incorrect. Toujours utiliser les Ohms (\(\Omega\)) et les Farads (\(\text{F}\)). \(1 \text{ k}\Omega = 10^3 \Omega\), \(1 \text{ µF} = 10^{-6} \text{ F}\), \(1 \text{ nF} = 10^{-9} \text{ F}\), \(1 \text{ pF} = 10^{-12} \text{ F}\).

Réflexions

Une fréquence de coupure d'environ 159 Hz signifie que ce filtre laissera passer les fréquences bien en dessous de 159 Hz (par exemple, 10 Hz, 50 Hz) avec peu d'atténuation, mais commencera à atténuer significativement les fréquences au-dessus (par exemple, 1 kHz, 10 kHz). Le choix de R=1k\(\Omega\) et C=1\(\mu\)F est courant dans les exemples pédagogiques et donne une \(f_c\) facile à retenir.

Points à retenir
  • Calculer \(\tau = RC\) en unités SI (\(\text{s}\)).
  • Calculer \(\omega_c = 1/\tau\) (\(\text{rad/s}\)).
  • Calculer \(f_c = \omega_c / (2\pi)\) (\(\text{Hz}\)).
Le saviez-vous ?

La constante de temps \(\tau = RC\) a une signification physique directe : c'est le temps qu'il faudrait pour charger complètement le condensateur si le courant de charge initial restait constant. En réalité, il atteint environ 63.2% de la charge totale en un temps \(\tau\).

Résultat Final
La pulsation de coupure est \(\omega_c = 1000 \, \text{rad/s}\) et la fréquence de coupure est \(f_c \approx 159 \, \text{Hz}\).
A vous de jouer

Que deviendrait \(f_c\) si on utilisait une résistance de \(R = 2.2 \text{ k}\Omega\) et un condensateur de \(C = 470 \text{ nF}\) ? (Attention : \(\text{nF} = 10^{-9} \text{ F}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4:

  • Convertir R et C en \(\Omega\) et \(\text{F}\). \(R=10^3 \Omega\), \(C=10^{-6} \text{ F}\).
  • Calculer \(\omega_c = 1/(R \times C) = 1/(10^3 \times 10^{-6}) = 1/10^{-3} = 1000 \, \text{rad/s}\).
  • Calculer \(f_c = \omega_c / (2\pi) = 1000 / (2\pi) \approx 159 \, \text{Hz}\).

Question 5 : Analyser le comportement asymptotique

Principe

L'analyse asymptotique consiste à simplifier l'expression de la fonction de transfert \(H(j\omega)\) dans deux cas limites : lorsque la pulsation \(\omega\) est très faible devant la pulsation de coupure \(\omega_c\) (\(\omega \to 0\)), et lorsqu'elle est très grande devant \(\omega_c\) (\(\omega \to \infty\)). Cela permet de déterminer le comportement du filtre aux extrémités du spectre de fréquence et de tracer les asymptotes des diagrammes de Bode (gain et phase).

Mini-Cours

On part de \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}\).

  • **Basse Fréquence (BF) :** Quand \(\omega \ll \omega_c\), le rapport \(\omega/\omega_c\) est très petit devant 1 (\(\omega/\omega_c \approx 0\)). On peut donc négliger le terme imaginaire : \(H(j\omega) \approx \frac{1}{1 + 0} = 1\).
  • **Haute Fréquence (HF) :** Quand \(\omega \gg \omega_c\), le rapport \(\omega/\omega_c\) est très grand devant 1 (\(\omega/\omega_c \to \infty\)). On peut donc négliger le '1' au dénominateur par rapport au terme imaginaire : \(H(j\omega) \approx \frac{1}{j\omega/\omega_c} = \frac{\omega_c}{j\omega}\). On utilise aussi \(1/j = -j\), donc \(H(j\omega) \approx -j \frac{\omega_c}{\omega}\).
Le gain en \(\text{dB}\) est \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)\). La phase est \(\phi = \arg(H(j\omega))\). Rappel : \(\arg(1) = 0^\circ\), \(\arg(j) = 90^\circ\), \(\arg(-j) = -90^\circ\).

Remarque Pédagogique

L'étude des asymptotes est cruciale pour comprendre rapidement le type de filtre (passe-bas, passe-haut...) et pour esquisser les diagrammes de Bode sans calculs complexes. C'est une compétence essentielle en électronique et en automatique.

Calcul(s)

Comportement à Basse Fréquence (\(\omega \to 0\))

Approximation :

\[ H(j\omega) \approx 1 \]

Gain (module) : \(|H(j0)| = |1| = 1\).

\[ G_{\text{dB}}(\omega \to 0) = 20 \log_{10}(|H(j0)|) = 20 \log_{10}(1) = 0 \, \text{dB} \]

Phase (argument) : L'argument d'un nombre réel positif est \(0^\circ\).

\[ \phi(\omega \to 0) = \arg(H(j0)) = \arg(1) = 0^\circ \]

Comportement à Haute Fréquence (\(\omega \to \infty\))

Approximation :

\[ H(j\omega) \approx -j \frac{\omega_c}{\omega} \]

Gain (module) : \(|H(j\infty)| = \left|-j \frac{\omega_c}{\omega}\right| = |{-j}| \times \left|\frac{\omega_c}{\omega}\right| = 1 \times \frac{\omega_c}{\omega} = \frac{\omega_c}{\omega}\). Lorsque \(\omega \to \infty\), ce module tend vers 0.

Gain (\(\text{dB}\)) : En utilisant \(\log(a/b) = \log(a) - \log(b)\)

\[ G_{\text{dB}}(\omega \to \infty) = 20 \log_{10}\left(\frac{\omega_c}{\omega}\right) = 20 \log_{10}(\omega_c) - 20 \log_{10}(\omega) \]

Ceci représente une droite de pente \(-20 \, \text{dB}\) par décade sur un graphique de Bode (log-lin).

Phase (argument) : Comme \(\omega_c/\omega\) est un réel positif, la phase est celle de \(-j\).

\[ \phi(\omega \to \infty) = \arg(-j \frac{\omega_c}{\omega}) = \arg(-j) = -90^\circ \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode Asymptotique (Gain et Phase)
log(ω) G (dB) 0 dB ωc -20 dB/décade log(ω) φ (°) 0° -45° -90° ωc
Réflexions

L'analyse asymptotique fournit une excellente approximation du comportement global du filtre. À basse fréquence, le signal passe sans modification notable (gain 0 \(\text{dB}\), phase 0°). À haute fréquence, le signal est fortement atténué (gain tendant vers \(-\infty\)) et subit un déphasage de \(-90^\circ\). Le terme "passe-bas" est donc justifié : les basses fréquences passent, les hautes fréquences sont coupées (atténuées).

Points à retenir
  • BF (\(\omega \ll \omega_c\)): Comportement limite \(H \approx 1\). Gain \(\approx\) 0 \(\text{dB}\), Phase \(\approx\) 0°.
  • HF (\(\omega \gg \omega_c\)): Comportement limite \(H \approx \omega_c/(j\omega)\). Le gain diminue avec une pente de \(-20 \, \text{dB/décade}\), Phase \(\approx\) \(-90^\circ\).
Résultat Final
  • À \(\omega \to 0\) : Gain = 0 \(\text{dB}\), Phase = 0°.
  • À \(\omega \to \infty\) : Gain \(\to -\infty\) \(\text{dB}\) (avec pente asymptotique de \(-20\,\text{dB/décade}\)), Phase = \(-90^\circ\).
Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5:

  • Approximation BF (\(\omega/\omega_c \to 0\)): \(H \to 1 \Rightarrow\) 0 \(\text{dB}\), 0°
  • Approximation HF (\(\omega/\omega_c \to \infty\)): \(H \approx 1/(j\omega/\omega_c) \Rightarrow\) Pente \(-20\,\text{dB/dec}\), Phase \(-90^\circ\)

Question 6 : Calculer le gain exact et la phase à \(f_c\)

Principe

La fréquence de coupure \(f_c\) (ou la pulsation \(\omega_c\)) est définie comme la fréquence où le comportement du filtre change significativement. Pour un filtre du premier ordre, c'est le point où le gain est réduit de 3 \(\text{dB}\) par rapport au gain maximum et où la phase atteint la moitié de sa variation totale. Nous allons vérifier ces propriétés en calculant explicitement \(H(j\omega)\) pour \(\omega = \omega_c\).

Remarque Pédagogique

Calculer la valeur exacte à \(\omega = \omega_c\) est important pour comprendre la définition de la fréquence de coupure et pour pouvoir tracer plus précisément les diagrammes de Bode réels (qui s'écartent des asymptotes près de \(\omega_c\)).

Formule(s)

Fonction de transfert

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c} \]

Gain en dB

\[ G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|) \]

Phase

\[ \phi(\omega) = \arg(H(j\omega)) \]
Calcul(s)

Étape 1 : Évaluation de \(H(j\omega)\) à \(\omega = \omega_c\)

On remplace \(\omega\) par \(\omega_c\) dans l'expression de \(H(j\omega)\).

\[ H(j\omega_c) = \frac{1}{1 + j(\omega_c/\omega_c)} = \frac{1}{1 + j} \]

Étape 2 : Calcul du module (Gain en échelle linéaire)

Le module d'un nombre complexe \(z = a+jb\) est \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\). Le module d'un quotient est le quotient des modules : \(|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|\). Ici \(z_1 = 1\) (réel) et \(z_2 = 1+j\).

\[ |H(j\omega_c)| = \left| \frac{1}{1 + j} \right| = \frac{|1|}{|1 + j|} = \frac{\sqrt{1^2 + 0^2}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Numériquement, \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\).

Étape 3 : Conversion du gain en dB

On applique la formule \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(\text{Module})\).

\[ G_{\text{dB}}(\omega_c) = 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]

On utilise les propriétés du logarithme : \(\log(1/a) = -\log(a)\) et \(\log(\sqrt{a}) = \log(a^{1/2}) = \frac{1}{2}\log(a)\).

\[ G_{\text{dB}}(\omega_c) = 20 \times (-\log_{10}(\sqrt{2})) = -20 \times \frac{1}{2} \log_{10}(2) = -10 \log_{10}(2) \]

Sachant que \(\log_{10}(2) \approx 0.30103\) :

\[ G_{\text{dB}}(\omega_c) \approx -10 \times 0.30103 \approx -3.0103 \, \text{dB} \]

On approxime très souvent ce résultat à \(-3 \, \text{dB}\).

Étape 4 : Calcul de la phase (Argument)

L'argument d'un nombre complexe \(z = a+jb\) est \(\phi = \arctan(b/a)\). L'argument d'un quotient est la différence des arguments : \(\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\). Ici \(z_1 = 1\) et \(z_2 = 1+j\).

\[ \phi(\omega_c) = \arg\left(\frac{1}{1 + j}\right) = \arg(1) - \arg(1 + j) \]

L'argument de 1 (réel positif, a=1, b=0) est \(\arctan(0/1) = \arctan(0) = 0^\circ\). L'argument de \(1+j\) (réel positif a=1, imaginaire positif b=1) est \(\arctan(1/1) = \arctan(1) = 45^\circ\).

\[ \phi(\omega_c) = 0^\circ - 45^\circ = -45^\circ \]
Astuces

Il est très utile de mémoriser que \(1/\sqrt{2}\) correspond à \(-3 \, \text{dB}\) (\(20 \log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3\)). C'est la définition même de la fréquence de coupure pour le gain en tension. Retenez aussi que l'argument de \(1+j\) est 45°.

Réflexions

Ce résultat est fondamental : à la pulsation/fréquence de coupure \(\omega_c\) ou \(f_c\), l'amplitude du signal de sortie est divisée par \(\sqrt{2}\) (soit environ 70.7%) par rapport au signal d'entrée (dans la bande passante), ce qui correspond à une atténuation de 3 \(\text{dB}\). Le signal de sortie est également déphasé de \(-45^\circ\) par rapport à l'entrée. C'est le point clé de transition du filtre.

Points à retenir
  • À \(\omega = \omega_c\), le module de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas (ou passe-haut) du premier ordre est \(1/\sqrt{2}\).
  • À \(\omega = \omega_c\), le gain en \(\text{dB}\) est approximativement \(-3 \, \text{dB}\) (par rapport au gain max).
  • À \(\omega = \omega_c\), la phase est de \(-45^\circ\) pour un passe-bas du premier ordre (et +45° pour un passe-haut).
FAQ

Quelques clarifications courantes.

Pourquoi la coupure est-elle définie à -3 dB ?

Historiquement, cela vient de la puissance. Un gain de \(-3 \, \text{dB}\) correspond à une division de la puissance par deux (\(P_{\text{sortie}} = P_{\text{entrée}}/2\)). Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension (\(P = V^2/R\)), diviser la puissance par 2 revient à diviser la tension par \(\sqrt{2}\). C'est donc un point de repère standard pour définir la limite de la bande passante d'un filtre.

Le gain peut-il être exactement -3.000 dB ?

Non, c'est une approximation courante. La valeur exacte est \(-10 \log_{10}(2) \approx -3.0103 \, \text{dB}\).

Résultat Final
À la fréquence de coupure \(f_c\), le gain est \(G_{\text{dB}} \approx -3 \, \text{dB}\) et la phase est \(\phi = -45^\circ\).
Mini Fiche Mémo

Synthèse Q6:

  • Calculer \(H(j\omega_c) = 1/(1+j)\).
  • Module : \(|H(j\omega_c)| = |1|/|1+j| = 1/\sqrt{1^2+1^2} = 1/\sqrt{2}\).
  • Gain : \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(1/\sqrt{2}) = -10 \log_{10}(2) \approx -3 \, \text{dB}\).
  • Phase : \(\arg(H(j\omega_c)) = \arg(1) - \arg(1+j) = 0 - \arctan(1/1) = -45^\circ\).

Outil Interactif : Simulateur de Fréquence de Coupure

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de R et C et observez l'impact direct sur la fréquence de coupure \(f_c\) et le diagramme de Bode.

Paramètres d'Entrée
1.0 k\(\Omega\)
1.00 \(\mu\)F
Résultats Clés
Constante de temps \(\tau\) (ms) 1.00
Fréquence de coupure \(f_c\) (Hz) 159.15

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un filtre passe-bas...

2. Quelle est la phase (en degrés) d'un filtre RC passe-bas à sa fréquence de coupure ?

3. L'impédance d'un condensateur \(Z_C = 1/(jC\omega)\). Si la fréquence \(\omega\) augmente, que fait \(|Z_C|\) ?

4. Si la résistance R est doublée (2R) et la capacité C est doublée (2C), la nouvelle fréquence de coupure \(f_c'\) sera...

5. À la fréquence de coupure, le gain en dB est d'environ :

Glossaire

Impédance (\(Z\))
Généralisation de la résistance aux circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe qui représente l'opposition du circuit au passage d'un courant alternatif.
Fonction de Transfert (\(H(j\omega)\))
Rapport complexe entre la tension de sortie \(V_s\) et la tension d'entrée \(V_e\). Elle décrit comment le circuit modifie l'amplitude et la phase du signal d'entrée en fonction de la fréquence.
Fréquence de Coupure (\(f_c\))
Fréquence à laquelle le gain du filtre a chuté de 3 dB par rapport à son maximum (dans la bande passante). Pour un filtre RC, cela correspond à \(f_c = 1 / (2\pi RC)\).
Diagramme de Bode
Ensemble de deux graphiques (gain en dB et phase en degrés) représentant la réponse en fréquence d'un système, avec l'axe des fréquences en échelle logarithmique.
Décibel (dB)
Unité logarithmique utilisée pour exprimer le gain. Pour un gain de tension G, le gain en dB est \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(G)\).
Régime Sinusoïdal
Méthode d'analyse des circuits électriques lorsque les tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps. On utilise les nombres complexes (impédances, tensions/courants complexes) pour simplifier les calculs.
Circuit RC Série
Un circuit électrique simple composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C) connectés en série.
Exercice : Circuit RC Filtre Passe-Bas

D’autres exercices de Régime SinusoÏdal:

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