Fréquence de Coupure d'un Filtre RC Passe-Bas

Contexte : Le Filtre Passe-Bas du Premier OrdreUn circuit électronique qui laisse passer les signaux de basse fréquence et atténue (réduit) les signaux de haute fréquence..

En électronique, les filtres sont des circuits fondamentaux utilisés pour sélectionner ou rejeter certaines gammes de fréquences. Un filtre passe-bas, comme le simple circuit RC (Résistance-Condensateur) que nous allons étudier, est conçu pour laisser passer les signaux continus et de basses fréquences tout en bloquant les signaux de hautes fréquences (bruit, interférences...).

Le concept clé de ce filtre est la fréquence de coupure (notée \(f_c\)), qui marque la frontière entre les fréquences "passantes" et les fréquences "bloquées". Cet exercice vous guidera à travers l'analyse complète en régime sinusoïdal pour déterminer cette fréquence cruciale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un circuit simple en utilisant les impédances complexes, à établir sa fonction de transfert, et à en extraire les caractéristiques fondamentales (fréquence de coupure, gain, déphasage). C'est une étape essentielle de l'analyse des circuits en régime sinusoïdal.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le fonctionnement d'un filtre RC passe-bas.
Savoir établir une fonction de transfertRapport mathématique (souvent complexe) entre le signal de sortie et le signal d'entrée d'un système (Vs/Ve). en utilisant le pont diviseur de tension avec les impédances.
Identifier la pulsation de coupure (\(\omega_c\)) et la fréquence de coupure (\(f_c\)) à partir de la fonction de transfert.
Calculer le gain en décibels et le déphasage à la fréquence de coupure.

Données de l'étude

On étudie le filtre RC passe-bas représenté par le schéma ci-dessous. Le signal d'entrée est une tension sinusoïdale \(v_e(t)\) et le signal de sortie est la tension \(v_s(t)\) aux bornes du condensateur.

Schéma du Circuit

Filtre RC Passe-Bas

Composant	Symbole	Valeur
Résistance	R	10 k\(\Omega\)
Condensateur	C	100 nF

Questions à traiter

Établir la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)}\).
Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique d'un filtre du premier ordre : \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})}\).
Identifier le gain statique \(K\) et donner l'expression littérale de la pulsation de coupure \(\omega_c\).
En déduire l'expression littérale de la fréquence de coupure \(f_c\).
Calculer les valeurs numériques de \(\omega_c\) et \(f_c\) en utilisant les données fournies.
Calculer le gain en décibels \(G_{dB}\) et le déphasage \(\varphi\) (en degrés) lorsque \(\omega = \omega_c\).

Les bases : Impédances et Régime Sinusoïdal

Pour analyser un circuit en régime sinusoïdal, on remplace les tensions \(v(t)\) par leurs représentations complexes \(V(j\omega)\) et les composants R, L, C par leurs impédances complexes \(Z\).

1. Impédances Complexes
L'impédance \(Z\) est l'équivalent de la résistance en régime sinusoïdal.

Résistance (R) : \(Z_R = R\)
Condensateur (C) : \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\)
Bobine (L) : \(Z_L = jL\omega\)

Où \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)) et \(\omega\) est la pulsation (en rad/s), liée à la fréquence \(f\) (en Hz) par \(\omega = 2\pi f\).

2. Pont Diviseur de Tension
Pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série, la tension aux bornes de \(Z_2\) est donnée par la formule du pont diviseur, qui s'applique directement avec les impédances complexes : \[ V_s(j\omega) = V_e(j\omega) \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \] La fonction de transfert est donc : \[ H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \]

Correction : Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Filtre RC Passe-Bas

Question 1 : Établir la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\)

Principe

Le circuit est un simple pont diviseur de tension. La tension d'entrée \(V_e\) est appliquée à l'ensemble (Résistance + Condensateur) en série, et la tension de sortie \(V_s\) est prise aux bornes du condensateur.

Mini-Cours

Nous appliquons la formule du pont diviseur de tension en régime complexe. L'impédance "du haut" est \(Z_1 = Z_R = R\). L'impédance "du bas" (celle où on mesure la sortie) est \(Z_2 = Z_C = \frac{1}{jC\omega}\).

Remarque Pédagogique

Identifier correctement \(Z_1\) et \(Z_2\) est l'étape la plus importante. \(Z_2\) est toujours l'impédance aux bornes de laquelle la tension de sortie \(V_s\) est mesurée. \(Z_1\) est l'autre impédance en série.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" réglementaire pour ce calcul de base, la méthodologie (utilisation des impédances complexes et de la notation \(j\omega\)) est une pratique standardisée à l'international en ingénierie électrique, promue par des organismes comme l'IEC (Commission Électrotechnique Internationale).

Formule(s)

Pont diviseur de tension

H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2}

Impédances du circuit

Z_1 = R \quad ; \quad Z_2 = \frac{1}{jC\omega}

Hypothèses

Pour que ce modèle soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :

Les composants sont parfaits (résistance pure, condensateur idéal sans fuite ni résistance série).
Le circuit est en régime sinusoïdal établi (l'état transitoire de mise sous tension est terminé).
L'appareil de mesure en sortie (Voltmètre) a une impédance infinie (il ne "tire" pas de courant).

Donnée(s)

Pour cette question purement littérale, aucune valeur numérique (R=10k\(\Omega\), C=100nF) n'est nécessaire. Nous travaillons uniquement avec les symboles R et C.

Astuces

Pour simplifier une fraction complexe de type \(\frac{A}{B+A}\) (où \(A = 1/jC\omega\)), il est presque toujours plus rapide de multiplier le numérateur et le dénominateur par \(jC\omega\) pour chasser les fractions.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de référence est celui fourni dans l'énoncé. On identifie mentalement \(Z_1 = R\) et \(Z_2 = C\).

Modélisation pour le Pont Diviseur

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution des impédances

H(j\omega) = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}}

Étape 2 : Simplification (mise au même dénominateur en bas)

H(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{\frac{jRC\omega + 1}{jC\omega}}

Étape 3 : Résultat de la fonction de transfert (simplification de \(jC\omega\))

H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat n'est pas un schéma, mais une expression mathématique. Aucun schéma supplémentaire n'est requis pour cette étape.

Réflexions

Nous obtenons la fonction de transfert du circuit. On remarque que si la pulsation \(\omega\) tend vers 0 (basse fréquence), \(jRC\omega\) tend vers 0, et \(H(j\omega)\) tend vers 1. Le signal passe. Si \(\omega\) tend vers l'infini (haute fréquence), le dénominateur tend vers l'infini, et \(H(j\omega)\) tend vers 0. Le signal est bloqué. C'est bien un filtre passe-bas.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser R et \(Z_C\) dans la formule du pont diviseur. Assurez-vous que l'impédance de sortie (\(Z_2 = Z_C\)) est bien au numérateur.

Points à retenir

La méthode du pont diviseur de tension s'applique parfaitement aux impédances complexes.
\(Z_C = 1/jC\omega\)
\(H(j\omega) = Z_{sortie} / Z_{totale}\)

Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance et l'utilisation de la notation \(j\) (ou \(i\) en mathématiques) pour analyser les circuits AC ont été largement popularisés par Oliver Heaviside, un brillant physicien et mathématicien autodidacte britannique, à la fin du 19e siècle.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La fonction de transfert complexe est : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\)

A vous de jouer

En utilisant la même méthode, quelle serait la fonction de transfert \(H(j\omega)\) si la sortie \(V_s\) était prise aux bornes de la résistance R (filtre passe-haut) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Pont diviseur de tension.
Formule Essentielle : \(H(j\omega) = Z_2 / (Z_1 + Z_2)\).
Point de Vigilance Majeur : Bien identifier \(Z_1 = R\) et \(Z_2 = Z_C\).

Question 2 : Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique

Principe

La forme canonique d'un filtre passe-bas du premier ordre est une écriture standardisée qui fait apparaître le gain statique \(K\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\). L'objectif est de manipuler algébriquement notre fonction \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) pour qu'elle corresponde à la forme \(\frac{K}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})}\).

Mini-Cours

La forme canonique (forme standard) est conçue pour que le terme "constant" du dénominateur soit '1'. Cela permet une analyse et une identification immédiates des caractéristiques du filtre.

Remarque Pédagogique

Heureusement, notre calcul de la Q1 nous a directement donné la fonction de transfert avec un '1' au dénominateur. Il n'y a donc pas de factorisation compliquée à faire. Il s'agit juste de réarranger le terme en \(j\omega\).

Normes

C'est une convention d'écriture universelle en automatique, en électronique et en traitement du signal pour décrire un système du premier ordre.

Formule(s)

Notre fonction de transfert

H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}

Forme canonique (1er ordre)

H(j\omega) = \frac{K}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})}

Hypothèses

Nous supposons que le système est bien un système linéaire du premier ordre, ce qui est le cas (un seul composant réactif, le condensateur, qui introduit le terme en \(j\omega\)).

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est requise. C'est une manipulation littérale.

Astuces

L'objectif est d'isoler \(\omega\). Pour passer de \(jRC\omega\) à \(j(\frac{\omega}{\omega_c})\), on écrit simplement \(j \cdot \omega \cdot (RC) = j \cdot \omega / (1/RC)\). On fait "descendre" le terme \(RC\) au dénominateur du dénominateur.

Calcul(s)

Mise en forme

Notre fonction \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) est déjà presque sous la forme canonique. Il suffit de réécrire le terme \(jRC\omega\) comme \(j(\frac{\omega}{\omega_c})\).

jRC\omega = j \left( \frac{\omega}{\frac{1}{RC}} \right)

En substituant cela dans notre fonction :

H(j\omega) = \frac{1}{1 + j \left( \frac{\omega}{\frac{1}{RC}} \right)}

Réflexions

La mise sous forme canonique est une étape de "factorisation" qui permet d'isoler le terme \(\omega\) et de faire apparaître \(\omega_c\) au dénominateur.

Points de vigilance

Si la fonction avait été \(H(j\omega) = \frac{A}{B + jC\omega}\), il aurait fallu factoriser par \(B\) au numérateur et au dénominateur pour faire apparaître le '1' : \(H(j\omega) = \frac{A/B}{1 + j(C/B)\omega}\).

Points à retenir

La forme canonique du 1er ordre a TOUJOURS un '1' au dénominateur.
Le terme en \(j\) est de la forme \(j(\omega/\omega_c)\) ou \(j(\tau \omega)\).

Résultat Final

La fonction de transfert sous forme canonique est : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j(\frac{\omega}{1/RC})}\)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Objectif : Obtenir la forme \(\frac{K}{1 + j(\omega/\omega_c)}\).
Méthode : Isoler \(\omega\) dans le terme en \(j\).

Question 3 : Identifier le gain statique \(K\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\)

Principe

Maintenant que nous avons les deux formes, il suffit de les comparer visuellement (par "identification") pour extraire les valeurs de \(K\) et \(\omega_c\).

Mini-Cours

Le Gain Statique \(K\) est le gain du filtre lorsque la fréquence tend vers 0 (\(\omega \to 0\)). C'est la valeur "DC" (courant continu).
La Pulsation de Coupure \(\omega_c\) est la pulsation pour laquelle le gain en puissance est divisé par 2 (soit -3 dB en tension).

Remarque Pédagogique

L'identification visuelle ('par comparaison') est une technique mathématique simple et puissante, très utilisée en sciences de l'ingénieur pour analyser des formes canoniques.

Formule(s)

Notre fonction canonique

H(j\omega) = \frac{1}{1 + j \left( \frac{\omega}{\frac{1}{RC}} \right)}

Forme canonique théorique

H(j\omega) = \frac{K}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})}

Hypothèses

Nous supposons que la forme canonique théorique et notre fonction décrivent le même système, ce qui est le cas.

Astuces

Pour trouver \(K\) (gain statique) sans se tromper, il suffit de calculer \(H(j\omega)\) pour \(\omega = 0\).
\(H(j\cdot 0) = \frac{1}{1 + jRC \cdot 0} = \frac{1}{1+0} = 1\). Donc \(K=1\).

Calcul(s)

Identification de K

En comparant les numérateurs, on trouve :

\[ K = 1 \]

Identification de \(\omega_c\)

En comparant les termes en \(j\) au dénominateur, \(\frac{\omega}{\omega_c}\) et \(\frac{\omega}{1/RC}\), on trouve :

\omega_c = \frac{1}{RC}

Points à retenir

Le gain statique \(K=1\) (soit 0 dB) est typique d'un filtre passif simple. La pulsation de coupure \(\omega_c = 1/RC\) est la formule fondamentale du filtre RC.

Le saviez-vous ?

Le produit \(RC\) (Résistance \(\times\) Capacité) a la dimension d'un temps. On l'appelle la constante de temps du circuit, souvent notée \(\tau\) (tau). On a donc \(\tau = RC\) et \(\omega_c = 1/\tau\). C'est une valeur fondamentale qui décrit la "vitesse" de réaction du circuit.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Gain statique : \(K = 1\)
Pulsation de coupure : \(\omega_c = \frac{1}{RC}\)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Objectif : Extraire K et \(\omega_c\).
Méthode : Comparaison terme à terme.
Résultats Clés : \(K=1\) (gain DC), \(\omega_c = 1/RC\).

Question 4 : En déduire l'expression littérale de la fréquence de coupure \(f_c\)

Principe

La pulsation (ou "fréquence angulaire") \(\omega\), exprimée en radians par seconde (rad/s), et la fréquence \(f\), exprimée en Hertz (Hz), sont liées par une relation de proportionnalité simple impliquant \(2\pi\).

Mini-Cours

La relation universelle entre pulsation et fréquence est \(\omega = 2\pi f\). Un tour complet (une période) correspond à \(2\pi\) radians. La fréquence \(f\) est le nombre de tours par seconde, la pulsation \(\omega\) est la "vitesse angulaire" correspondante.

Remarque Pédagogique

C'est un simple changement d'unité, du 'monde des physiciens' (rad/s) au 'monde des ingénieurs' (Hz). Les deux décrivent la même "rapidité" de l'onde.

Formule(s)

Relation fondamentale

\omega = 2\pi f

Pulsation de coupure (Q3)

\omega_c = \frac{1}{RC}

Astuces

Retenez simplement \(\omega = 2\pi f\). Tout le reste en découle. Si vous avez \(\omega\) et que vous voulez \(f\), il suffit de diviser par \(2\pi\).

Calcul(s)

Application à la coupure

La relation s'applique aussi aux valeurs de coupure : \(\omega_c = 2\pi f_c\). On peut donc isoler \(f_c\).

f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}

Substitution de \(\omega_c\)

On remplace \(\omega_c\) par l'expression trouvée à la question 3 :

f_c = \frac{\left( \frac{1}{RC} \right)}{2\pi} = \frac{1}{2\pi RC}

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre \(\omega_c\) (rad/s) et \(f_c\) (Hz). La plupart des calculs de fonction de transfert se font avec \(\omega\), mais le résultat final est souvent donné en \(f\).

Points à retenir

La formule de la fréquence de coupure d'un filtre RC est \(f_c = 1 / (2\pi RC)\).

Le saviez-vous ?

Le Hertz (Hz), unité de fréquence, est nommé d'après le physicien allemand Heinrich Hertz, qui, à la fin du 19e siècle, a été le premier à prouver de manière concluante l'existence des ondes électromagnétiques.

Résultat Final

Fréquence de coupure : \(f_c = \frac{1}{2\pi RC}\)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Objectif : Convertir \(\omega_c\) en \(f_c\).
Formule : \(f = \omega / (2\pi)\).
Résultat : \(f_c = 1 / (2\pi RC)\).

Question 5 : Calcul des valeurs numériques de \(\omega_c\) et \(f_c\)

Principe

Nous appliquons les formules littérales trouvées précédemment avec les valeurs numériques des composants données dans l'énoncé.

Mini-Cours

C'est une application numérique directe. L'enjeu principal est la gestion correcte des préfixes des unités (kilo, nano) en les convertissant en puissances de 10 dans le Système International (SI).

Donnée(s)

Il est crucial de convertir les unités dans le Système International (Ohms \(\Omega\), Farads F) avant tout calcul.

Paramètre	Valeur donnée	Conversion (SI)
R	10 k\(\Omega\)	\(10 \times 10^3 \, \Omega\) (ou \(10^4 \, \Omega\))
C	100 nF	\(100 \times 10^{-9} \, F\) (ou \(10^{-7} \, F\))

Astuces

Pour les calculs de tête : \( (10 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-9}) = 10^4 \times 10^{-7} = 10^{-3} \). L'inverse (\(1/RC\)) est donc \(10^3\).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pulsation de coupure \(\omega_c\)

\omega_c = \frac{1}{RC} = \frac{1}{(10 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-9})} \] \[ \omega_c = \frac{1}{10^4 \times 10^{-7}} = \frac{1}{10^{-3}}

\omega_c = 1000 \text{ rad/s}

Étape 2 : Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\)

f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1000}{2\pi} \approx 159.15 \text{ Hz}

Réflexions

Ce filtre laissera donc passer la plupart des signaux audibles (ex: voix humaine) mais commencera à atténuer les basses fréquences (\(\approx 160\) Hz). (Note: la plupart des filtres audio coupent plutôt les *hautes* fréquences).

Points de vigilance

L'erreur n°1 est d'oublier les préfixes et de calculer \(1 / (10 \times 100)\). L'erreur n°2 est de se tromper dans les puissances de 10 (ex: \(100 \text{ nF} = 100 \times 10^{-9}\), pas \(100 \times 10^{-6}\) qui est microFarad \(\mu\)F).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Pulsation de coupure : \(\omega_c = 1000 \text{ rad/s}\)
Fréquence de coupure : \(f_c \approx 159.15 \text{ Hz}\)

A vous de jouer

Si on double la valeur de la résistance (R = 20 k\(\Omega\)), que devient la fréquence de coupure \(f_c\) ? (Indice: \(f_c\) est inversement proportionnelle à R).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Objectif : Application numérique.
Méthode : Remplacer R et C par leurs valeurs SI.
Vigilance : Préfixes (k\(\Omega \to 10^3\), nF \(\to 10^{-9}\)).

Question 6 : Gain (dB) et Déphasage \(\varphi\) à la fréquence de coupure

Principe

La fréquence de coupure est définie comme la fréquence pour laquelle la puissance du signal de sortie est divisée par deux. Cela correspond à une atténuation du gain en tension de \(1/\sqrt{2}\), soit -3 dB. Nous allons le vérifier par le calcul.

Mini-Cours

Pour un nombre complexe \(Z = a + jb\), le module est \(|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) et l'argument (phase) est \(\varphi = \arctan(b/a)\).
Le gain en décibels (dB) est \(G_{dB} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)\).
Le déphasage \(\varphi\) est \(\varphi = \arg(H(j\omega))\).

Remarque Pédagogique

Ce résultat (\(-3\) dB et \(-45^\circ\)) est universel pour *tous* les filtres passe-bas du premier ordre, quelles que soient les valeurs de R et C. C'est la définition même de la coupure.

Formule(s)

Forme canonique

H(j\omega) = \frac{1}{1 + j(\frac{\omega}{\omega_c})}

Module et Argument d'un quotient

|Z_1/Z_2| = |Z_1| / |Z_2| \quad ; \quad \arg(Z_1/Z_2) = \arg(Z_1) - \arg(Z_2)

Hypothèses

On se place exactement à la pulsation de coupure, c'est-à-dire \(\omega = \omega_c\).

Astuces

Retenez par cœur : \(20 \log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3.01\) dB. C'est "le" -3dB dont tout le monde parle. De même, le nombre complexe \(1+j\) a un module de \(\sqrt{2}\) et un angle de \(45^\circ\).

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser le nombre complexe au dénominateur, \(Z = 1+j\), dans le plan complexe. C'est le point de coordonnées (1, 1).

Plan complexe du dénominateur (1+j)

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer \(H(j\omega)\) pour \(\omega = \omega_c\)

On remplace \(\omega\) par \(\omega_c\) dans la forme canonique :

H(j\omega_c) = \frac{1}{1 + j(\frac{\omega_c}{\omega_c})} = \frac{1}{1 + j}

Étape 2 : Calcul du Module (Gain)

On calcule le module de \(H(j\omega_c)\) :

|H(j\omega_c)| = \left| \frac{1}{1 + j} \right| = \frac{|1|}{|1 + j|} \] \[ |H(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Conversion en décibels (dB) :

G_{dB} = 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] \[ G_{dB} = 20 \log_{10}(2^{-1/2}) \] \[ G_{dB} = 20 \left(-\frac{1}{2}\right) \log_{10}(2)

G_{dB} = -10 \log_{10}(2) \approx -10 \times 0.301 \approx -3.01 \text{ dB}

Étape 3 : Calcul de l'Argument (Déphasage \(\varphi\))

On calcule l'argument (l'angle) de \(H(j\omega_c)\) :

\varphi = \arg\left( \frac{1}{1 + j} \right) \] \[ \varphi = \arg(1) - \arg(1 + j)

L'argument de 1 est 0°. L'argument de (1+j) est l'angle \(\arctan(\text{partie imaginaire} / \text{partie réelle})\).

\varphi = 0 - \arctan\left(\frac{1}{1}\right) \] \[ \varphi = - \arctan(1) = -45^\circ

Réflexions

Ce résultat est fondamental. Pour n'importe quel filtre du premier ordre, à la fréquence de coupure :

Le gain en tension est divisé par \(\sqrt{2}\) (soit \(\approx 0.707\)).
Le gain en décibels chute de -3 dB.
Le déphasage est de -45° (la sortie est en retard de 1/8e de période sur l'entrée).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\log_{10}\) (log décimal) et \(\ln\) (log népérien). La formule du décibel utilise \(\log_{10}\).
Ne pas oublier le \(20\) dans \(20 \log_{10}(...)\). (On utilise \(10 \log_{10}(...)\) pour des rapports de puissance, mais \(20 \log_{10}(...)\) pour des rapports de tension ou courant).

Points à retenir

À \(\omega = \omega_c\), \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\).
À \(\omega = \omega_c\), \(G_{dB} \approx -3\) dB.
À \(\omega = \omega_c\), \(\varphi = -45^\circ\) (pour un passe-bas).

Le saviez-vous ?

Le 'B' majuscule dans 'dB' (décibel) vient du nom d'Alexander Graham Bell, l'inventeur du téléphone. Le 'déci' (d) signifie 'un dixième' : 1 Bel = 10 décibels. Le Bel s'est avéré être une unité trop grande pour un usage pratique, c'est pourquoi on utilise le décibel.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

À la fréquence de coupure (\(f = f_c\)) :
Gain : \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\)
Déphasage : \(\varphi = -45^\circ\)

A vous de jouer

Quel serait le déphasage \(\varphi\) si la fréquence était très basse (\(\omega \to 0\)) ? (Indice: regardez \(H(j\cdot 0)\) ).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 6 :

Objectif : Caractéristiques à la coupure.
Méthode : Calculer \(H(j\omega_c) = 1 / (1+j)\).
Résultats Clés : Gain \(= -3\) dB, Phase \(= -45^\circ\).

Outil Interactif : Simulateur de Diagramme de Bode

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de R et C. Le simulateur calcule la fréquence de coupure \(f_c\) et trace le diagramme de Bode (courbe de gain) correspondant.

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) (k\(\Omega\)) 10 k\(\Omega\)

Capacité (C) (nF) 100 nF

Résultats Clés

Fréq. de coupure (\(f_c\)) - Hz

Puls. de coupure (\(\omega_c\)) - rad/s

Glossaire

Fréquence de coupure (\(f_c\)): Fréquence à laquelle le gain du filtre a chuté de -3 dB par rapport à son gain maximal. C'est la frontière entre la bande passante et la bande atténuée.
Fonction de transfert (\(H(j\omega)\)): Rapport complexe entre la tension de sortie \(V_s\) et la tension d'entrée \(V_e\) en régime sinusoïdal. Elle décrit comment le circuit modifie l'amplitude (gain) et la phase (déphasage) du signal en fonction de la fréquence.
Gain (dB): Le gain en décibels est une mesure logarithmique du rapport d'amplitude : \(G_{dB} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)\). Une valeur de 0 dB signifie pas de changement, une valeur négative signifie une atténuation.
Impédance (\(Z\)): Généralisation de la résistance au régime sinusoïdal pour les condensateurs et les bobines. C'est un nombre complexe qui représente l'opposition au passage du courant alternatif.
Pulsation (\(\omega\)): Vitesse angulaire du signal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Déphasage (\(\varphi\)): Décalage angulaire (en degrés ou radians) entre le signal de sortie et le signal d'entrée. Un déphasage négatif signifie que la sortie est "en retard" sur l'entrée.

Fréquence de Coupure d’un Filtre RC Passe-Bas

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Circuit

Filtre RC Passe-Bas

Questions à traiter

Les bases : Impédances et Régime Sinusoïdal

Correction : Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Filtre RC Passe-Bas

Question 1 : Établir la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation pour le Pont Diviseur

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

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Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Identifier le gain statique \(K\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\)

Principe

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FAQ

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Question 4 : En déduire l'expression littérale de la fréquence de coupure \(f_c\)

Principe

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Question 5 : Calcul des valeurs numériques de \(\omega_c\) et \(f_c\)

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