Diagramme de Bode d'un Filtre RC Passe-Bas

Contexte : L'analyse des circuits en régime sinusoïdalAnalyse du comportement d'un circuit lorsqu'il est alimenté par une source de tension ou de courant sinusoïdale..

L'étude de la réponse en fréquence des circuits est fondamentale en électronique. Elle permet de comprendre comment un circuit réagit à différentes fréquences. Le Diagramme de BodeUn graphique de la réponse en fréquence d'un système, montrant le gain (en dB) et la phase (en degrés) en fonction de la fréquence (sur une échelle logarithmique). est l'outil principal pour cette analyse. Cet exercice se concentre sur le filtre le plus simple : le circuit RC passe-bas. Nous allons déterminer sa fonction de transfert et tracer son diagramme de Bode asymptotique pour le gain.

Remarque Pédagogique : Comprendre le diagramme de Bode d'un filtre du premier ordre est essentiel. C'est la brique de base pour analyser des filtres plus complexes, des correcteurs en automatique et comprendre la stabilité des systèmes asservis.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer la fonction de transfertRapport entre la sortie et l'entrée d'un système en régime sinusoïdal, exprimé en fonction de la pulsation \(j\omega\). \( H(j\omega) \) d'un circuit RC.
Identifier la nature du filtre (passe-bas) et sa pulsation de coupurePulsation \(\omega_c\) à laquelle le gain du filtre a chuté de 3 dB par rapport à son maximum. \( \omega_c \).
Savoir tracer le diagramme de Bode asymptotique pour le gain \( G_{dB}(\omega) \).

Données de l'étude

On considère le circuit RC série ci-dessous, alimenté par une tension sinusoïdale \( v_e(t) \). La tension de sortie \( v_s(t) \) est prise aux bornes du condensateur.

Schéma du Filtre RC Passe-Bas

Composant	Symbole	Valeur
Résistance	R	1 kΩ
Capacité	C	1 µF

Questions à traiter

Établir l'expression de la fonction de transfert complexe \( H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)} \).
Mettre \( H(j\omega) \) sous la forme canonique d'un filtre du premier ordre : \( H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \).
Identifier le gain statique \( K \) (et sa valeur en décibelsUnité logarithmique, \(G_{dB} = 20 \log |G|\).) et la pulsation de coupure \( \omega_c \). Calculer leurs valeurs numériques.
Donner les expressions asymptotiques du gain en dB, \( G_{dB}(\omega) \), pour les basses fréquences (\( \omega \ll \omega_c \)) et les hautes fréquences (\( \omega \gg \omega_c \)). Quelle est la pente de l'asymptote haute fréquence ?
Tracer le diagramme de Bode asymptotique du gain \( G_{dB}(\omega) \). On utilisera une échelle logarithmique pour les pulsations.

Les bases : Impédances et Pont Diviseur

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux outils essentiels de l'analyse de circuits en régime sinusoïdal.

1. Impédances Complexes
En régime sinusoïdal, on remplace les composants R, L, C par leurs impédances complexesRésistance généralisée d'un composant au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. \( Z \).

Résistance : \( Z_R = R \)
Condensateur : \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} \)
Bobine : \( Z_L = jL\omega \)

où \( \omega \) est la pulsation (en rad/s) et \( j^2 = -1 \).

2. Pont Diviseur de Tension
Pour deux impédances \( Z_1 \) et \( Z_2 \) en série, la tension \( V_s \) aux bornes de \( Z_2 \) est donnée par la formule du pont diviseur : \[ V_s = V_e \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \] La fonction de transfert est donc : \( H = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \)

3. Gain en Décibels (dB)
Le gain en décibels, \( G_{dB} \), est défini par : \[ G_{dB} = 20 \log_{10} |H(j\omega)| \] où \( |H(j\omega)| \) est le module (l'amplitude) de la fonction de transfert.

Correction : Diagramme de Bode d'un Filtre RC Passe-Bas

Question 1 : Établir l'expression de la fonction de transfert complexe \( H(j\omega) \).

Principe

On modélise le circuit en utilisant les impédances complexes. La tension de sortie \( V_s \) est la tension aux bornes de l'impédance \( Z_C \). Le circuit est un simple pont diviseur de tension.

Mini-Cours

La fonction de transfert \( H(j\omega) \) est le rapport de la sortie \( V_s(j\omega) \) sur l'entrée \( V_e(j\omega) \). En utilisant la formule du pont diviseur : \( H = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{serie}}} \). Ici, \( Z_{\text{sortie}} = Z_C \) et \( Z_{\text{serie}} = Z_R + Z_C \).

Remarque Pédagogique

L'utilisation du pont diviseur de tension est un réflexe à avoir. C'est la méthode la plus rapide ici. On identifie l'impédance aux bornes de laquelle on mesure la sortie (\( Z_C \)) et on la divise par la somme des impédances en série (\( Z_R + Z_C \)).

Normes

L'analyse des circuits en régime sinusoïdal (AC) utilisant la notation complexe (impédances) est une norme d'ingénierie universelle pour l'étude fréquentielle.

Formule(s)

Impédances

Z_R = R \quad ; \quad Z_C = \frac{1}{jC\omega}

Pont diviseur de tension

H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C}

Hypothèses

On suppose que le circuit est en régime sinusoïdal établi. L'amplificateur qui mesure \( V_s \) a une impédance d'entrée infinie (il ne "charge" pas le filtre).

Donnée(s)

Les données pour cette question sont littérales : une résistance \(R\) et un condensateur \(C\). Aucune valeur numérique n'est nécessaire à cette étape.

Astuces

Pour simplifier une fraction complexe de la forme \( \frac{1/B}{A + 1/B} \), multipliez toujours le numérateur et le dénominateur par \(B\). C'est plus rapide que de mettre au même dénominateur en bas.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est celui de l'énoncé, mais en remplaçant les composants par leurs impédances \(Z_R\) et \(Z_C\).

Schéma du circuit en impédances

Calcul(s)

Étape 1 : Remplacement des impédances

H(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}}

Étape 2 : Simplification (en multipliant haut et bas par \( jC\omega \))

H(j\omega) = \frac{jC\omega \cdot (\frac{1}{jC\omega})}{jC\omega \cdot (R + \frac{1}{jC\omega})} = \frac{1}{jRC\omega + 1}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat applicable pour cette question, car le résultat est une expression littérale.

Réflexions

L'expression \( \frac{1}{1 + jRC\omega} \) est la fonction de transfert standard d'un filtre passe-bas du premier ordre. On peut déjà le voir : si \( \omega \to 0 \), \( H(0) = 1 \) (le signal passe). Si \( \omega \to \infty \), \( |H(j\omega)| \to 0 \) (le signal est bloqué).

Points de vigilance

Ne pas se tromper dans les simplifications algébriques avec les nombres complexes. Multiplier le numérateur et le dénominateur par \( jC\omega \) est l'astuce la plus propre pour éliminer les fractions.

Points à retenir

La fonction de transfert d'un pont diviseur est \(Z_2 / (Z_1 + Z_2)\).
L'impédance d'un condensateur est \(1 / (jC\omega)\).

Le saviez-vous ?

Le terme "impédance" a été introduit par Oliver Heaviside en 1886. L'utilisation de \(j\) (plutôt que \(i\)) pour l'unité imaginaire a été popularisée par les ingénieurs électriciens pour éviter la confusion avec le courant \(i(t)\).

FAQ

Voici les questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega} \]

A vous de jouer

Quelle serait la fonction de transfert si la sortie était prise aux bornes de la résistance R ? (Vous pouvez utiliser 'jW' pour \(j\omega\))

Réponse attendue : jRCW / (1 + jRCW)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Outil : Pont diviseur de tension.
Impédances : \(Z_R = R\), \(Z_C = 1/jC\omega\).
Résultat : \(H = Z_C / (Z_R + Z_C)\).

Question 2 : Mettre \( H(j\omega) \) sous la forme canonique \( \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \).

Principe

La forme canonique est une écriture standardisée qui permet d'identifier immédiatement les caractéristiques clés du filtre (gain statique et pulsation de coupure) par simple "identification" terme à terme avec l'expression que nous avons trouvée.

Mini-Cours

La forme canonique \( \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \) est la signature d'un système du premier ordre de type passe-bas. \(K\) est le gain statique (le gain lorsque \( \omega = 0 \)) et \( \omega_c \) est la pulsation de coupure (là où le comportement du filtre change).

Remarque Pédagogique

L'objectif est de faire apparaître un "1" au dénominateur pour la partie réelle. Notre expression \( \frac{1}{1 + jRC\omega} \) est déjà sous cette forme ! L'identification sera donc directe.

Normes

Cette forme canonique est la représentation standard (norme de fait) pour tous les systèmes du premier ordre en électronique et en automatique.

Formule(s)

Forme trouvée

H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}

Forme canonique cible

H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse n'est requise, il s'agit d'une simple réécriture algébrique.

Donnée(s)

On utilise l'expression trouvée à la Q1 : \( H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega} \).

Astuces

Identifiez toujours le numérateur en premier (\(K\)). Ensuite, identifiez le terme en \( j\omega \) au dénominateur pour trouver la constante de temps \( \tau = RC \) ou la pulsation de coupure \( \omega_c = 1/\tau \).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma pertinent pour une identification algébrique.

Calcul(s)

Identification

En comparant les deux formes, on identifie directement :

Au numérateur : \( K = 1 \)
Au dénominateur (partie imaginaire) : \( jRC\omega = j\frac{\omega}{\omega_c} \)

Déduction de \( \omega_c \)

RC\omega = \frac{\omega}{\omega_c} \implies RC = \frac{1}{\omega_c} \implies \omega_c = \frac{1}{RC}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent.

Réflexions

Cette identification est très rapide car notre expression était déjà "propre". On a identifié le gain statique \( K=1 \) et la pulsation de coupure \( \omega_c = 1/RC \). Le produit \( \tau = RC \) est aussi appelé la "constante de temps" du circuit.

Points de vigilance

Assurez-vous que la partie réelle du dénominateur est bien '1' avant d'identifier \( \omega_c \). Si vous aviez eu \( \frac{5}{2 + j\omega} \), il aurait fallu factoriser par 2 en bas : \( \frac{5/2}{1 + j\omega/2} \). Dans ce cas, \( K=2.5 \) et \( \omega_c=2 \).

Points à retenir

Forme canonique passe-bas 1er ordre : \( \frac{K}{1 + j\omega/\omega_c} \).
La pulsation de coupure est l'inverse de la constante de temps : \( \omega_c = 1/\tau \).
Pour un filtre RC, \( \tau = RC \).

Le saviez-vous ?

La "constante de temps" \( \tau = RC \) a une signification physique directe en régime transitoire : c'est le temps nécessaire au condensateur pour se charger à 63% de la tension finale lors d'un échelon de tension.

FAQ

...

Résultat Final

La forme canonique est atteinte avec : \( K = 1 \) et \( \omega_c = \frac{1}{RC} \).

A vous de jouer

Mettre le filtre passe-haut \( H(j\omega) = \frac{R}{R + 1/jC\omega} \) sous sa forme canonique \( \frac{K \cdot j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c} \). Que vaut K ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Objectif : Obtenir la forme \( \frac{K}{1 + j\omega/\omega_c} \).
Identification : \( K=1 \) et \( \omega_c = 1/RC \).

Question 3 : Identifier et calculer le gain statique \( K \) et la pulsation de coupure \( \omega_c \).

Principe

Nous utilisons les expressions littérales trouvées à la question 2 et les valeurs numériques de l'énoncé pour effectuer l'application numérique.

Mini-Cours

Le gain statique \(K\) est le gain en "courant continu" (DC), c'est-à-dire lorsque \( \omega = 0 \). Physiquement, à \( \omega = 0 \), le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (\( Z_C \to \infty \)). Mais ici, la sortie est prise à ses bornes, donc \( V_s = V_e \), d'où \( K=1 \).
Le gain en décibels est \( G_{dB} = 20 \log_{10}(|K|) \).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de l'application numérique. Le plus important est de convertir toutes les valeurs dans les unités du Système International (Ohms, Farads) avant de calculer.

Normes

L'utilisation des préfixes SI (kilo \(10^3\), micro \(10^{-6}\), etc.) est une norme essentielle en sciences.

Formule(s)

Gain Statique

K = 1 \implies G_{dB}(0) = 20 \log_{10}(1)

Pulsation de Coupure

\omega_c = \frac{1}{RC}

Hypothèses

On suppose que les valeurs R et C données sont des valeurs idéales.

Donnée(s)

Rappel des données de l'énoncé avec les bonnes unités (Système International).

Paramètre	Symbole	Valeur (Énoncé)	Valeur (SI)
Résistance	R	1 kΩ	\( 1 \times 10^3 \) Ω
Capacité	C	1 µF	\( 1 \times 10^{-6} \) F

Astuces

Attention aux préfixes des unités ! k (kilo) = \( 10^3 \), µ (micro) = \( 10^{-6} \). Une erreur ici est la source la plus fréquente d'échec dans cet exercice. \( 10^3 \times 10^{-6} = 10^{-3} \).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire pour un calcul numérique.

Calcul(s)

Calcul du Gain Statique \( K \)

D'après Q2, \( K = 1 \). C'est un gain pur, sans unité.

Calcul du Gain Statique en Décibels \( G_{dB}(0) \)

G_{dB}(\omega \to 0) = 20 \log_{10} |K| = 20 \log_{10}(1) = 0 \text{ dB}

Calcul de la Pulsation de Coupure \( \omega_c \)

\begin{aligned} \omega_c &= \frac{1}{RC} \\ &= \frac{1}{(1 \times 10^3) \times (1 \times 10^{-6})} \\ &= \frac{1}{10^{-3}} \\ &= 1000 \text{ rad/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Réflexions

Le gain statique de 0 dB (ou 1 en linéaire) signifie qu'à très basse fréquence (proche de 0 Hz), le filtre laisse passer le signal sans l'atténuer ( \( V_s \approx V_e \) ). La pulsation de coupure à 1000 rad/s est le "coin" où le comportement du filtre change.

Points de vigilance

Ne pas confondre pulsation \( \omega_c \) (en rad/s) et fréquence \( f_c \) (en Hz). On a \( \omega_c = 2\pi f_c \). Ici, \( f_c = 1000 / (2\pi) \approx 159 \text{ Hz} \).

Points à retenir

\( \log(1) = 0 \), donc un gain de 1 équivaut à 0 dB.
Bien maîtriser les puissances de 10 : \( 1 / 10^{-3} = 10^3 \).

Le saviez-vous ?

La pulsation \( \omega = 1000 \text{ rad/s} \) est très utilisée en ingénierie car elle correspond à une fréquence \( f \approx 159 \text{ Hz} \). C'est une valeur facile à retenir pour les calculs de \( RC \).

FAQ

...

Résultat Final

Le gain statique est \( K = 1 \), soit \( G_{dB}(0) = 0 \text{ dB} \).
La pulsation de coupure est \( \omega_c = 1000 \text{ rad/s} \).

A vous de jouer

Si la résistance était \( R = 2 \text{ k}\Omega \) et la capacité \( C = 1 \text{ µF} \), que vaudrait la fréquence de coupure \( f_c \) en Hz ? (Rappel : \( \omega = 2\pi f \))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Calcul \( K_{dB} \): \( 20 \log(1) = 0 \text{ dB} \).
Calcul \( \omega_c \): \( 1 / (10^3 \times 10^{-6}) = 1000 \text{ rad/s} \).
Vigilance : Unités SI (kΩ \(\to\) Ω, µF \(\to\) F).

Question 4 : Donner les expressions asymptotiques du gain en dB.

Principe

Le tracé asymptotique consiste à simplifier l'expression du gain pour deux cas : lorsque la pulsation \( \omega \) est très petite devant \( \omega_c \) (asymptote basse fréquence) et lorsqu'elle est très grande (asymptote haute fréquence).

Mini-Cours

L'approximation logarithmique est la clé. On utilise le fait que :
1. Si \( x \to 0 \), alors \( \log(1 + x) \approx \log(1) = 0 \).
2. Si \( x \to \infty \), alors \( \log(1 + x) \approx \log(x) \).
Ici, \( x = (\omega/\omega_c)^2 \).

Remarque Pédagogique

Les asymptotes sont des droites qui "guident" la courbe réelle. Sur un diagramme de Bode (log-log pour le gain, log-lin pour la phase), ces asymptotes sont toujours des lignes droites, ce qui les rend très faciles à tracer.

Normes

Le tracé asymptotique est une méthode d'analyse graphique standardisée. La pente de -20 dB/décade (ou -6 dB/octave) est la signature d'un système du premier ordre.

Formule(s)

Expression exacte du gain en dB

G_{dB}(\omega) = 20 \log \left| \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \right| = -10 \log \left( 1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 \right)

Propriété des Logarithmes

\log(a^b) = b \cdot \log(a)

Hypothèses

On se place dans les deux cas extrêmes :
1. \( \omega \ll \omega_c \) (par exemple, \( \omega < 0.1 \omega_c \))
2. \( \omega \gg \omega_c \) (par exemple, \( \omega > 10 \omega_c \))

Donnée(s)

On part de \( G_{dB}(\omega) = -10 \log \left( 1 + (\omega/\omega_c)^2 \right) \) et \( \omega_c = 1000 \text{ rad/s} \).

Astuces

Une "décade" signifie multiplier la fréquence/pulsation par 10. Si \( \omega = 10 \omega_c \), \( \log(\omega/\omega_c) = \log(10) = 1 \). Si \( \omega = 100 \omega_c \), \( \log(\omega/\omega_c) = \log(100) = 2 \). Le gain chute de -20 dB à chaque fois.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Calcul(s)

Cas 1 : Basses Fréquences (BF) \( \omega \ll \omega_c \)

Si \( \omega \ll \omega_c \), alors \( \frac{\omega}{\omega_c} \approx 0 \), et \( \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 \approx 0 \).

G_{dB}(\omega) \approx -10 \log(1 + 0) = -10 \log(1) = 0 \text{ dB}

L'asymptote BF est une droite horizontale à 0 dB.

Cas 2 : Hautes Fréquences (HF) \( \omega \gg \omega_c \)

Si \( \omega \gg \omega_c \), alors \( \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 \) est très grand devant 1. On peut négliger le 1.

\begin{aligned} G_{dB}(\omega) &\approx -10 \log \left( \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2 \right) \\ &= -10 \times 2 \log \left( \frac{\omega}{\omega_c} \right) \\ &= -20 \log \left( \frac{\omega}{\omega_c} \right) \end{aligned}

L'asymptote HF est une droite. Sa pente est de -20 dB par décade (quand \( \omega \) est multiplié par 10, le log vaut +1, et le gain change de -20 dB).

Schéma (Après les calculs)

Voir le tracé à la question 5, qui combine ces deux asymptotes.

Réflexions

L'analyse asymptotique transforme un calcul complexe (\( -10 \log(1+x^2) \)) en deux droites très simples : une droite horizontale (\( G=0 \)) et une droite en pente (\( G = -20\log(x) \)). Les deux droites se rencontrent exactement à \( \omega = \omega_c \).

Points de vigilance

La pente est de -20 dB par décade, ce qui est équivalent à -6 dB par octave (doublement de la fréquence). Les deux notations sont utilisées. Ne pas oublier le signe "moins", car c'est un filtre passe-bas (le gain chute).

Points à retenir

Filtre du 1er ordre = pente de \(\pm\) 20 dB/décade.
Passe-bas = commence à 0 dB (ou \(K_{dB}\)) puis descend.
Passe-haut = commence par monter puis se stabilise à 0 dB (ou \(K_{dB}\)).

Le saviez-vous ?

Si le filtre était du second ordre (ex: RLC), la pente serait de -40 dB/décade. La pente en dB/décade est toujours \(-20 \times n \), où \(n\) est l'ordre du filtre (ou la différence d'ordre entre le dénominateur et le numérateur).

FAQ

...

Résultat Final

Asymptote BF (\( \omega \ll \omega_c \)) : \( G_{dB} = 0 \text{ dB} \).
Asymptote HF (\( \omega \gg \omega_c \)) : \( G_{dB} = -20 \log(\omega / \omega_c) \text{ dB} \), ce qui correspond à une pente de -20 dB/décade.

A vous de jouer

Quelle serait la pente en HF (en dB/décade) pour un filtre du second ordre passe-bas comme \( H(j\omega) = \frac{1}{(1+j\omega/\omega_c)^2} \) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Approximation BF (\(\omega \ll \omega_c\)): \( G_{dB} \approx 0 \text{ dB} \). (Droite horizontale)
Approximation HF (\(\omega \gg \omega_c\)): \( G_{dB} \approx -20 \log(\omega/\omega_c) \). (Pente de -20 dB/décade)

Question 5 : Tracer le diagramme de Bode asymptotique du gain.

Principe

On trace les deux asymptotes sur un graphique G (dB) en fonction de log(\(\omega\)). L'asymptote BF (0 dB) est tracée jusqu'à la pulsation de coupure \( \omega_c \). L'asymptote HF (-20 dB/déc.) est tracée à partir de \( \omega_c \).

Donnée(s)

Pulsation de coupure : \( \omega_c = 1000 \) rad/s (ou 1 krad/s).
Asymptote BF : 0 dB.
Asymptote HF : Pente de -20 dB/décade passant par le point (\(\omega = 1000\), G = 0 dB).

Astuces

Pour tracer la pente de -20 dB/décade : partez du point de coupure (\( \omega_c = 1000 \), G = 0 dB). Une décade plus loin (\( \omega = 10 \times \omega_c = 10000 \)), le gain vaudra -20 dB. Tracez la droite entre (1000, 0) et (10000, -20).

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de Bode asymptotique est la ligne rouge. On trace aussi la courbe réelle (en bleu) pour comparaison. Notez l'écart de -3 dB à la pulsation de coupure.

Diagramme de Bode Asymptotique (Gain)

Réflexions

Le diagramme asymptotique est une excellente approximation. La courbe réelle (en bleu) "arrondit" l'angle au niveau de la pulsation de coupure. L'erreur maximale entre l'asymptote et la courbe réelle se produit exactement à \( \omega = \omega_c \), où le gain réel est de -3 dB alors que l'asymptote est à 0 dB.

Résultat Final

Le diagramme est tracé ci-dessus, montrant une asymptote horizontale à 0 dB jusqu'à \( \omega_c = 1000 \) rad/s, suivie d'une pente de -20 dB/décade.

Outil Interactif : Simulateur de Filtre RC

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de R et C et observez en temps réel l'impact sur la fréquence de coupure et la courbe de réponse en gain.

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) 1000 Ω

Capacité (C) 1000 nF (1 µF)

Résultats Clés

Pulsation de coupure (\(\omega_c\)) - rad/s

Fréquence de coupure (\(f_c\)) - Hz

Glossaire

Diagramme de Bode: Un graphique de la réponse en fréquence d'un système, montrant le gain (en dB) et la phase (en degrés) en fonction de la fréquence (sur une échelle logarithmique).
Fonction de Transfert (\( H(j\omega) \)): Rapport complexe entre la grandeur de sortie et la grandeur d'entrée d'un système en régime sinusoïdal (par exemple, \( V_s / V_e \)).
Impédance Complexe (\( Z \)): Généralisation de la notion de résistance en régime sinusoïdal, qui inclut l'effet de déphasage des condensateurs et des bobines. \( Z_R = R \), \( Z_C = 1/(jC\omega) \).
Pulsation de coupure (\( \omega_c \)): Pulsation (en rad/s) à laquelle la puissance de sortie est la moitié de la puissance d'entrée. Pour un filtre du 1er ordre, cela correspond à une atténuation de -3 dB par rapport au gain maximum.
Décibel (dB): Unité logarithmique utilisée pour exprimer un rapport, souvent le gain. Pour un gain de tension G, le gain en dB est \( 20 \log_{10}(|G|) \).

Diagramme de Bode d’un Filtre RC Passe-Bas

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Filtre RC Passe-Bas

Questions à traiter

Les bases : Impédances et Pont Diviseur

Correction : Diagramme de Bode d'un Filtre RC Passe-Bas

Question 1 : Établir l'expression de la fonction de transfert complexe \( H(j\omega) \).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du circuit en impédances

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Mettre \( H(j\omega) \) sous la forme canonique \( \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Identifier et calculer le gain statique \( K \) et la pulsation de coupure \( \omega_c \).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Donner les expressions asymptotiques du gain en dB.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)