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Diagramme de Bode – Phase d’un Filtre RL

Exercice : Diagramme de Bode - Filtre RL

Diagramme de Bode - Phase d'un Filtre RL

Contexte : Le Diagramme de Bode (Phase)Représentation graphique de la phase (déphasage) d'une fonction de transfert en fonction de la fréquence, généralement sur une échelle logarithmique..

L'analyse des circuits en régime sinusoïdal permanent est fondamentale en électronique et en génie électrique. Les diagrammes de Bode sont un outil essentiel pour visualiser le comportement fréquentiel d'un circuit, comme un filtre. Cet exercice se concentre spécifiquement sur le tracé du diagramme de phase d'un filtre RL passe-bas simple, une compétence clé pour comprendre comment un circuit affecte le déphasage d'un signal en fonction de sa fréquence.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer la fonction de transfert d'un filtre RL, à en extraire l'expression de la phase, et à tracer son diagramme de Bode asymptotique et réel.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la fonction de transfert \(H(j\omega)\) d'un filtre RL.
  • Identifier la pulsation de coupure \(\omega_c\).
  • Déterminer l'expression de la phase \(\phi(\omega) = \text{arg}(H(j\omega))\).
  • Tracer le diagramme de Bode asymptotique et réel pour la phase.

Données de l'étude

On étudie un filtre RL passe-bas simple, composé d'une résistance \(R\) en série avec une inductance \(L\). La tension d'entrée \(V_e\) est appliquée à l'ensemble, et la tension de sortie \(V_s\) est prise aux bornes de la résistance \(R\).

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Circuit Filtre RL Passe-Bas
Entrée Tension sinusoïdale \(V_e\)
Sortie Tension \(V_s\) aux bornes de \(R\)
Schéma du Filtre RL Passe-Bas
Schéma d'un filtre RL passe-bas - Professionnel Ve L R Vs (+)
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Résistance \(R\) 100 \(\Omega\)
Inductance \(L\) 10 mH

Questions à traiter

  1. Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)}\) du circuit.
  2. Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\).
  3. Identifier le gain statique \(K\) et calculer la pulsation de coupure \(\omega_c\) (en rad/s) et la fréquence de coupure \(f_c\) (en Hz).
  4. Donner l'expression littérale de la phase \(\phi(\omega) = \text{arg}(H(j\omega))\).
  5. Calculer la valeur de la phase \(\phi(\omega)\) pour \(\omega = 0\), \(\omega = \omega_c\), et \(\omega \to +\infty\).
  6. Tracer l'approximation asymptotique (diagramme de Bode) pour la phase.

Les bases sur les Filtres et la Phase

Pour analyser un filtre en régime sinusoïdal, on utilise sa fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\). Cette fonction décrit comment le circuit modifie l'amplitude (le gain) et la phase (le déphasage) d'un signal d'entrée pour n'importe quelle pulsation \(\omega\).

1. Fonction de Transfert et Impédances
La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est le rapport de la tension de sortie complexe sur la tension d'entrée complexe : \(H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)}\). On l'obtient facilement en utilisant la règle du pont diviseur de tension avec les impédances complexes des composants : \[ Z_R = R \quad \text{(pour une résistance)} \] \[ Z_L = jL\omega \quad \text{(pour une inductance)} \]

2. Phase d'un Nombre Complexe
La fonction de transfert est un nombre complexe : \(H(j\omega) = |H(j\omega)| e^{j\phi(\omega)}\). La phase \(\phi(\omega)\) est son argument (noté \(\text{arg}(H)\)).

  • Pour un nombre complexe \(z = a + jb\), la phase est \(\phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\).
  • Pour un quotient \(H = \frac{N}{D}\), la phase est \(\text{arg}(H) = \text{arg}(N) - \text{arg}(D)\).
  • Pour un produit \(H = N \cdot D\), la phase est \(\text{arg}(H) = \text{arg}(N) + \text{arg}(D)\).

Correction : Diagramme de Bode - Phase d'un Filtre RL

Question 1 : Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\)

Principe

Le circuit est un pont diviseur de tension. Ce nom vient du fait que les deux composants (L et R) sont en série et "divisent" la tension d'entrée \(V_e\). La tension de sortie \(V_s\) est prise aux bornes de la résistance \(R\). La fonction de transfert, étant le rapport \(\frac{V_s}{V_e}\), va nous dire quelle *proportion* de la tension d'entrée se retrouve à la sortie, en fonction de la pulsation \(\omega\).

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, on utilise les impédances complexes car elles encapsulent deux informations en un seul nombre : l'opposition au passage du courant (le module, ou "Ohm") et le déphasage introduit (la phase, ou "angle"). L'impédance d'une résistance \(R\) est \(Z_R = R\) (réel pur, pas de déphasage). Celle d'une inductance \(L\) est \(Z_L = jL\omega\) (imaginaire pur, déphasage de +90°). Les lois de circuit (Ohm, Kirchhoff, pont diviseur) s'appliquent avec ces nombres complexes.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus fréquente est d'inverser les impédances. Pensez toujours : "La tension de sortie est prise aux bornes de l'impédance Zs", donc cette impédance Zs doit être au numérateur. L'impédance totale du pont, qui est la somme de toutes les impédances en série (\(Z_{total} = Z_L + Z_R\)), est au dénominateur.

Normes

Ce calcul est basé sur les lois fondamentales de l'électricité en régime sinusoïdal permanent (Loi d'Ohm généralisée aux impédances, Lois de Kirchhoff). C'est la base de toute l'analyse des circuits AC (courant alternatif) et de la théorie des filtres.

Formule(s)

Impédances complexes

\[ Z_R = R \quad | \quad Z_L = jL\omega \]

Pont diviseur de tension

\[ H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)} = \frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{Z_R}{Z_L + Z_R} \]
Hypothèses

Pour appliquer cette méthode, on suppose que :

  • Le circuit est linéaire : les valeurs de R et L ne changent pas avec la tension ou le courant. C'est crucial car cela garantit qu'un signal sinusoïdal en entrée ne sera pas "déformé" (pas de nouvelles fréquences créées) en sortie.
  • Le circuit est en régime sinusoïdal permanent : on attend que les effets transitoires de démarrage se soient dissipés. La pulsation \(\omega\) est constante.
  • Les composants (R et L) sont considérés comme idéaux : la résistance R est purement résistive et l'inductance L est purement inductive (pas de résistance interne parasite, ce qui est une simplification).
Donnée(s)

Pour cette question, nous n'utilisons que les données littérales : la résistance \(R\) et l'inductance \(L\). Nous travaillons en symbolique pour trouver une expression générale.

Astuces

Pour mémoriser la formule du pont diviseur, on peut aussi dire que le courant \(I\) dans la branche est \(I = \frac{V_e}{Z_L + Z_R}\) (Loi d'Ohm sur l'ensemble). La tension de sortie \(V_s\) est simplement la tension aux bornes de R, donc \(V_s = Z_R \cdot I\) (Loi d'Ohm sur la sortie). En remplaçant \(I\), on retrouve \(V_s = Z_R \cdot \frac{V_e}{Z_L + Z_R}\), ce qui donne \(\frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_R}{Z_L + Z_R}\).

Schéma (Avant les calculs)

On se base sur le schéma de l'énoncé. Pour l'analyse, on remplace mentalement les composants par leurs boîtes "impédances" \(Z_L\) et \(Z_R\), comme montré ci-dessous.

Schéma du Filtre RL (Impédances)
Schéma d'un filtre RL avec impédances - Professionnel Ve ZL jLω ZR R Vs (+)
Calcul(s)

Le calcul se fait en deux étapes : poser la formule du pont diviseur, puis remplacer les impédances génériques par leurs expressions complexes.

1. Application de la formule du pont diviseur

\[ H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)} = \frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{Z_R}{Z_L + Z_R} \]

2. Remplacement par les expressions des impédances

On sait que \(Z_R = R\) et \(Z_L = jL\omega\). On substitue ces valeurs dans l'équation :

\[ H(j\omega) = \frac{R}{ (jL\omega) + (R) } = \frac{R}{R + jL\omega} \]
Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour cette question, car le résultat est une expression littérale, pas une valeur numérique ou un diagramme. L'expression est la "carte d'identité" mathématique du filtre.

Réflexions

L'expression \(H(j\omega) = \frac{R}{R + jL\omega}\) montre que la fonction de transfert dépend de la pulsation \(\omega\). On peut déjà analyser les cas limites :

  • Si \(\omega = 0\) (basse fréquence, signal continu), \(Z_L = 0\). L'inductance se comporte comme un simple fil. \(H(j0) = \frac{R}{R + 0} = 1\). Le filtre laisse passer le signal sans l'atténuer (\(V_s = V_e\)).
  • Si \(\omega \to +\infty\) (haute fréquence), \(Z_L \to \infty\). L'inductance se comporte comme un circuit ouvert. \(H(j\infty) = \frac{R}{R + \infty} \to 0\). Le filtre bloque le signal.
Cela confirme bien le comportement "passe-bas". Un signal audio complexe (musique) verrait ses basses fréquences (basses, batteries) passer, mais ses hautes fréquences (cymbales, "s") atténuées.

Points de vigilance

Ne pas oublier le 'j' dans l'impédance de l'inductance, \(Z_L = jL\omega\). C'est ce terme 'j' (imaginaire pur) qui est responsable de l'introduction d'un déphasage dans le circuit. L'oublier mène à une fonction de transfert réelle \(\frac{R}{L\omega + R}\), ce qui est physiquement incorrect pour un tel circuit.

Points à retenir

La fonction de transfert d'un pont diviseur de tension est toujours \(\frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{total}}}\). C'est une des règles les plus fondamentales de l'analyse de circuits.

Le saviez-vous ?

L'opérateur 'j' (utilisé par les ingénieurs pour ne pas le confondre avec le courant 'i') représente une rotation de +90° dans le plan complexe. Il est au cœur de l'analyse en régime sinusoïdal car l'impédance d'une inductance (\(jL\omega\)) a une phase de +90°, signifiant que la tension est en avance de 90° sur le courant. Pour un condensateur (\(Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega}\)), la phase est de -90°.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Pourquoi la sortie est-elle prise sur R et pas sur L ?

C'est un choix de conception. Si la sortie était prise sur L, le pont diviseur serait \(H(j\omega) = \frac{Z_L}{Z_L + Z_R} = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\). Ce serait un filtre "passe-haut", qui bloque les basses fréquences (\(H(0)=0\)) et laisse passer les hautes (\(H(\infty)=1\)).

Pourquoi utilise-t-on \(\omega\) (pulsation) et pas \(f\) (fréquence) ?

L'impédance de l'inductance est naturellement exprimée avec \(\omega\) (car \(\omega = 2\pi f\)). Utiliser \(\omega\) simplifie les expressions littérales et évite de traîner des \(2\pi\) partout dans les calculs. C'est la convention en physique et en ingénierie des systèmes.

Et avec un condensateur (filtre RC) ?

Pour un filtre RC passe-bas (sortie sur C), \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\). La fonction de transfert serait \(H(j\omega) = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} = \frac{1/(jC\omega)}{R + 1/(jC\omega)} = \frac{1}{1 + jRC\omega}\). La structure est très similaire !

Résultat Final
La fonction de transfert est \(H(j\omega) = \frac{R}{R + jL\omega}\).
A vous de jouer

Pour valider votre compréhension, essayez de déterminer la fonction de transfert \(H(j\omega)\) si la sortie était prise aux bornes de l'inductance \(L\) (ce qui en ferait un filtre passe-haut). (Réponse pour réfléchir : \(H = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Pont diviseur de tension.
  • Formule : \(H(j\omega) = \frac{Z_R}{Z_L + Z_R} = \frac{R}{R + jL\omega}\).

Question 2 : Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique

Principe

La forme canonique d'un filtre passe-bas du premier ordre est \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). "Canonique" signifie "standard" ou "de référence". L'objectif est de manipuler algébriquement notre expression \(\frac{R}{R + jL\omega}\) pour qu'elle ressemble exactement à cette forme standard. L'étape cruciale est de faire apparaître un '1' au dénominateur (à la place du 'R') pour isoler le terme en \(j\omega\) et définir une référence "zéro" pour les basses fréquences.

Mini-Cours

La mise en forme canonique est l'étape la plus importante de l'analyse des filtres. Elle permet d'identifier immédiatement :

  • \(K\) : Le gain statique (le gain lorsque \(\omega = 0\)). C'est le gain du circuit en courant continu (DC).
  • \(\omega_c\) : La pulsation de coupure. C'est la "frontière" fréquentielle du filtre, là où son comportement bascule.
On identifie aussi parfois la constante de temps \(\tau = 1/\omega_c\), ce qui donne la forme \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\tau\omega}\). C'est la clé pour tracer les diagrammes de Bode "à vue" et comparer différents filtres entre eux.

Remarque Pédagogique

Factorisez toujours le dénominateur par le terme qui n'est pas multiplié par 'j'. Ici, \(R + jL\omega\), le terme "réel" (ou constant) est \(R\). On met donc \(R\) en facteur : \(R(1 + \frac{jL\omega}{R})\). C'est une simple manipulation mathématique qui révèle la structure profonde du filtre.

Normes

C'est une convention d'écriture standard en analyse des systèmes linéaires et en électronique pour l'étude fréquentielle. Tous les ingénieurs et techniciens utilisent cette forme pour parler le "même langage" et analyser un filtre, quelle que soit sa composition (RL, RC, etc.).

Formule(s)

Fonction de transfert de Q1

\[ H(j\omega) = \frac{R}{R + jL\omega} \]

Forme canonique cible (passe-bas 1er ordre)

\[ H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]
Hypothèses

On part de l'expression correcte de \(H(j\omega)\) trouvée à la question 1. L'algèbre est notre seul outil ici.

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire, l'opération est purement littérale. C'est ce qui la rend si puissante : le résultat est général.

Astuces

Si vous avez un doute, vérifiez que le gain statique (\(\omega=0\)) est correct. Dans la forme canonique, si \(\omega=0\), \(H(j0) = \frac{K}{1+0} = K\). Dans notre expression de Q1, \(H(j0) = \frac{R}{R+0} = 1\). On sait donc que \(K\) doit être égal à 1. Si votre factorisation ne donne pas K=1, il y a une erreur. C'est une excellente auto-vérification.

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable. C'est une étape purement mathématique.

Calcul(s)

L'objectif est de transformer \(\frac{R}{R + jL\omega}\) en \(\frac{K}{1 + j(\dots)}\). Pour cela, on force l'apparition d'un '1' au dénominateur en factorisant par \(R\).

1. Factorisation du dénominateur par R

On met \(R\) en facteur au dénominateur : \( (R + jL\omega) = R \left(\frac{R}{R} + \frac{jL\omega}{R}\right) = R \left(1 + \frac{jL\omega}{R}\right)\).

On remplace cela dans l'expression complète :

\[ H(j\omega) = \frac{R}{R \left(1 + \frac{jL\omega}{R}\right)} \]

2. Simplification

Le terme \(R\) au numérateur et le terme \(R\) factorisé au dénominateur s'annulent :

\[ H(j\omega) = \frac{R}{R \left(1 + \frac{jL\omega}{R}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{jL\omega}{R}} \]

On réorganise le terme en \(\omega\) pour correspondre à la forme \(j \frac{\omega}{\omega_c}\) (ce qui est fait en Q3) ou \(j(\tau\omega)\) :

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\left(\frac{L}{R}\right)\omega} \]
Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

L'expression \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{L}{R}\omega}\) est maintenant prête pour l'identification. On voit que \(K=1\) (ce qu'on avait deviné à l'astuce) et que le terme \(\frac{\omega}{\omega_c}\) correspond à \(\frac{L}{R}\omega\). On peut aussi l'écrire \(1 + j\omega\tau\) avec \(\tau = L/R\). C'est ce qui sera utilisé à la question suivante.

Points de vigilance

Attention à ne pas mal simplifier la fraction. Le \(R\) du numérateur se simplifie avec le \(R\) mis en facteur au dénominateur. Il reste bien '1' au numérateur, et non '0' ou 'R'. C'est une erreur de calcul fréquente au début.

Points à retenir
  • La forme canonique est la forme "standard" \(\frac{K}{1 + j\tau\omega}\) ou \(\frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\).
  • Elle s'obtient en factorisant le dénominateur par son terme constant (réel).
Le saviez-vous ?

Le terme \(\tau = \frac{L}{R}\) est appelé la "constante de temps" du circuit RL. Elle représente le temps (en secondes) que met le circuit à réagir à un échelon de tension (atteindre 63% de la valeur finale). C'est le même \(\tau\) qui apparaît en analyse temporelle. La pulsation de coupure est simplement \(\omega_c = 1/\tau\). Un \(\omega_c\) élevé (filtre "rapide", large bande passante) correspond à une constante de temps \(\tau\) faible.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Pourquoi la forme canonique est-elle si importante ?

Elle permet de comparer n'importe quel filtre du premier ordre. Qu'il soit RL ou RC, passe-bas, sa forme canonique sera similaire. Cela permet d'appliquer des méthodes de traçage de Bode génériques sans se soucier des composants exacts à l'intérieur.

Pourquoi est-ce appelé "canonique" ?

En mathématiques et en sciences, "canonique" fait référence à une forme unique, standardisée ou la plus simple pour représenter un objet. C'est la forme "de référence" que tout le monde s'accorde à utiliser.

Résultat Final
La forme canonique est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{L}{R}\omega}\).
A vous de jouer

Mettez la fonction du filtre passe-haut de Q1 (\(H = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\)) sous sa forme canonique \(\frac{K' \cdot j\frac{\omega}{\omega_c}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). (Indice : la factorisation du dénominateur est la même...)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Objectif : Obtenir \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j(\ldots)}\).
  • Méthode : Factoriser le dénominateur par \(R\).
  • Résultat : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j(L/R)\omega}\).

Question 3 : Identifier \(K\) et calculer \(\omega_c\) et \(f_c\)

Principe

On identifie les termes par comparaison (identification) directe entre la forme canonique trouvée \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{L}{R}\omega}\) et la forme canonique théorique \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). C'est comme un jeu des 7 différences : on "superpose" les deux expressions et on regarde ce qui correspond. Ensuite, on utilise les valeurs numériques pour calculer \(\omega_c\) et \(f_c\).

Mini-Cours

La pulsation de coupure \(\omega_c\) (en rad/s) est la pulsation où le comportement du filtre change (la "cassure" dans le diagramme de Bode). La fréquence de coupure \(f_c\) (en Hz) est la même information mais dans une unité différente, plus commune pour les appareils de mesure (multimètres, oscilloscopes). Le lien est toujours \(\omega = 2\pi f\). Le Hertz (Hz) signifie "cycles par seconde", tandis que le rad/s est la "vitesse angulaire" correspondante.

Remarque Pédagogique

L'identification est une étape visuelle. Il suffit de "superposer" les deux expressions :
\(H(j\omega) = \frac{\bf{K}}{1 + j \frac{\omega}{\omega_c}}\)
\(H(j\omega) = \frac{\bf{1}}{1 + j \left(\frac{L}{R}\right)\omega}\)
On voit immédiatement \(K=1\). Pour le terme en 'j', on a \(\frac{\omega}{\omega_c} = \frac{L}{R}\omega\). C'est ce que nous allons résoudre pour trouver \(\omega_c\).

Normes

Les unités doivent être celles du Système International (SI) pour que les calculs soient justes : Ohms (\(\Omega\)), Henrys (H), et Farads (F). Notre inductance est donnée en milli-Henrys (mH). L'utilisation de préfixes (milli, kilo, méga) est la norme en électronique, la conversion est donc une étape essentielle et obligatoire.

Formule(s)

Identification

\[ K = 1 \quad \text{et} \quad \frac{\omega}{\omega_c} = \frac{L}{R}\omega \]

Conversion Fréquence/Pulsation

\[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \]
Hypothèses

Les valeurs de R et L données dans l'énoncé sont correctes et stables.

Donnée(s)

Nous avons les valeurs numériques de l'énoncé, que nous convertissons immédiatement en unités SI de base :

ParamètreSymboleValeurUnité SI
Résistance\(R\)100 \(\Omega\)100 \(\Omega\)
Inductance\(L\)10 mH\(10 \times 10^{-3}\) H (ou 0.01 H)
Astuces

L'analyse dimensionnelle peut sauver des vies ! Pour \(\omega_c = \frac{R}{L}\), les unités sont \(\frac{\Omega}{H}\). Sachant que l'Ohm (\(\Omega\)) est \(\frac{V}{A}\) (loi d'Ohm) et que le Henry (H) est \(\frac{V \cdot s}{A}\) (loi de Lenz, \(V = L \frac{di}{dt}\)), on a \(\frac{V/A}{(V \cdot s)/A} = \frac{V}{A} \cdot \frac{A}{V \cdot s} = \frac{1}{s} = s^{-1}\). C'est bien l'unité d'une pulsation (rad/s), car le radian est sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable.

Calcul(s)

On procède par identification terme à terme entre notre résultat et la forme théorique.

1. Gain statique K

On compare \(H(j\omega) = \frac{\bf{1}}{1 + j(\dots)}\) à \(H(j\omega) = \frac{\bf{K}}{1 + j(\dots)}\). On en déduit :

\[ K = 1 \]

2. Pulsation de coupure \(\omega_c\)

On compare le terme imaginaire : \(j\frac{\omega}{\omega_c}\) (théorique) et \(j\left(\frac{L}{R}\right)\omega\) (notre calcul).

\[ j\frac{\omega}{\omega_c} = j\left(\frac{L}{R}\right)\omega \]

On peut simplifier par \(j\omega\) de chaque côté :

\[ \frac{j\omega}{\omega_c} = j\omega \left(\frac{L}{R}\right) \Rightarrow \frac{1}{\omega_c} = \frac{L}{R} \]

En inversant l'expression, on trouve \(\omega_c\) :

\[ \omega_c = \frac{R}{L} \]

3. Application numérique de \(\omega_c\)

On utilise \(R = 100 \, \Omega\) et \(L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.01 \text{ H}\).

\[ \omega_c = \frac{100}{0.01} = \frac{100}{1/100} = 100 \times 100 = 10000 \text{ rad/s} \]

Ce qui s'écrit aussi \(10 \text{ krad/s}\).

4. Application numérique de \(f_c\)

On utilise la formule de conversion \(f = \omega / (2\pi)\) :

\[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{10000}{2\pi} \approx 1591.549... \text{ Hz} \]

On arrondit à une valeur significative : \(\approx 1591.5 \text{ Hz}\) ou \(1.59 \text{ kHz}\).

Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

Le gain statique K=1 (adimensionnel) signifie qu'à basse fréquence, \(V_s = V_e\). En décibels, \(G_{dB} = 20 \log(K) = 20 \log(1) = 0 \text{ dB}\). Le filtre est "transparent" en DC. La pulsation de coupure à 10 krad/s (ou 1.59 kHz) est le point pivot. C'est la fréquence à laquelle le filtre commence "vraiment" à atténuer le signal et à introduire un déphasage significatif (-45°). C'est aussi là que le gain en tension a chuté à \(1/\sqrt{2}\) de sa valeur maximale (soit -3 dB).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des milli-Henrys (mH) en Henrys (H). Si vous calculez \(\frac{100}{10}\), vous obtenez 10 rad/s au lieu de 10000 rad/s. Une erreur d'un facteur 1000 ! Vérifiez toujours vos préfixes (milli, micro, kilo, ...).

Points à retenir
  • Pour un filtre RL passe-bas (sortie sur R), \(\omega_c = \frac{R}{L}\).
  • Pour un filtre RC passe-bas (sortie sur C), \(\omega_c = \frac{1}{RC}\).
  • Ne mélangez pas les deux ! Les expressions sont différentes mais le concept est le même.
Le saviez-vous ?

La fréquence de coupure \(f_c\) est parfois appelée "fréquence de cassure" ou "coin" (corner frequency). C'est la fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est divisée par deux par rapport au signal d'entrée (ce qui correspond à une atténuation de -3 dB du gain en tension, car \(P \propto V^2\) et \(20\log(1/\sqrt{2}) = -3 \text{ dB}\)).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Est-ce que \(K\) peut être autre chose que 1 ?

Oui. Si le circuit était, par exemple, un pont diviseur résistif (R1 et R2) suivi d'un filtre, le gain statique K serait \(\frac{R2}{R1+R2}\). Dans un circuit avec amplificateur (filtre actif), K peut être très grand.

Résultat Final
Le gain statique \(K=1\) (ou 0 dB), la pulsation de coupure \(\omega_c = 10 \text{ krad/s}\) et la fréquence de coupure \(f_c \approx 1.59 \text{ kHz}\).
A vous de jouer

Que deviendrait la pulsation de coupure \(\omega_c\) si l'inductance \(L\) était doublée (20 mH) ? (La résistance R reste 100 \(\Omega\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Identification : Comparer \(H = \frac{1}{1 + j\frac{L}{R}\omega}\) et \(H = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\).
  • Résultats Littéraux : \(K=1\) et \(\omega_c = R/L\).
  • Calcul Numérique : \(\omega_c = 100 / 0.01 = 10000 \text{ rad/s}\).

Question 4 : Donner l'expression littérale de la phase \(\phi(\omega)\)

Principe

La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est un nombre complexe. Sa phase \(\phi(\omega)\) (aussi appelée "argument", noté \(\text{arg}\)) représente le déphasage entre la sortie \(V_s\) et l'entrée \(V_e\). Physiquement, c'est le "retard" (ou l'avance) que le signal de sortie a par rapport au signal d'entrée. Pour trouver la phase d'un quotient \(\frac{N}{D}\), on utilise la propriété mathématique des arguments : \(\text{arg}(\frac{N}{D}) = \text{arg}(N) - \text{arg}(D)\).

Mini-Cours

Rappel sur l'argument d'un nombre complexe \(z = a + jb\) :

  • L'argument (phase) est l'angle \(\phi\) que fait le vecteur \(z\) avec l'axe des réels positifs dans le plan complexe. On le calcule avec \(\phi = \text{arg}(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\) (partie imaginaire sur partie réelle).
  • Phase d'un réel pur positif (ex: \(z=1\), \(a=1, b=0\)) : \(\arctan(0/1) = 0^\circ\).
  • Phase d'un imaginaire pur positif (ex: \(z=j\), \(a=0, b=1\)) : \(\arctan(1/0) \to +90^\circ\).
  • Phase d'un imaginaire pur négatif (ex: \(z=-j\), \(a=0, b=-1\)) : \(\arctan(-1/0) \to -90^\circ\).

Remarque Pédagogique

Notre fonction est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\).
Le numérateur est \(N = 1\). C'est un réel pur positif. Sa phase est \(\text{arg}(N) = 0^\circ\).
Le dénominateur est \(D = 1 + j\frac{\omega}{\omega_c}\). C'est de la forme \(a+jb\) avec \(a=1\) (partie réelle) et \(b=\frac{\omega}{\omega_c}\) (partie imaginaire). Sa phase est \(\text{arg}(D) = \arctan(b/a) = \arctan(\frac{\omega / \omega_c}{1})\).

Normes

C'est une application directe des propriétés mathématiques des nombres complexes. La phase est exprimée en degrés (°) ou en radians (rad), avec \(180^\circ = \pi \text{ rad}\). Les diagrammes de Bode utilisent conventionnellement les degrés.

Formule(s)

Propriété des arguments

\[ \phi(\omega) = \text{arg}(H(j\omega)) = \text{arg}(\text{Numérateur}) - \text{arg}(\text{Dénominateur}) \]

Formule de l'argument

\[ \text{arg}(a + jb) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]
Hypothèses

On utilise la forme canonique de \(H(j\omega)\) car elle est la plus simple pour ce calcul. La partie réelle \(a=1\) simplifie grandement l'expression de l'arc tangente.

Donnée(s)

Forme canonique : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\).

Astuces

Ne soyez pas intimidé par \(\arctan\). C'est juste une fonction (arc tangente, ou \(\tan^{-1}\) sur la calculatrice) qui donne l'angle à partir du rapport "partie imaginaire / partie réelle". La plupart du temps, on n'a pas besoin de la calculer, sauf pour les points clés (0, 1, \(\infty\)).

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable.

Calcul(s)

On utilise la propriété de l'argument d'un quotient : \(\text{arg}(N/D) = \text{arg}(N) - \text{arg}(D)\).

1. Décomposition de la phase

Notre fonction est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\).
Le numérateur est \(N = 1\).
Le dénominateur est \(D = 1 + j\frac{\omega}{\omega_c}\).

\[ \phi(\omega) = \text{arg}(H) = \text{arg}(1) - \text{arg}\left(1 + j\frac{\omega}{\omega_c}\right) \]

2. Calcul des arguments

On utilise la formule \(\text{arg}(a + jb) = \arctan(b/a)\).

Pour le numérateur \(N = 1\). C'est un réel pur, \(a=1, b=0\).
\(\text{arg}(1) = \arctan(0/1) = \arctan(0) = 0^\circ\).

Pour le dénominateur \(D = 1 + j\frac{\omega}{\omega_c}\). On a \(a=1\) et \(b = \frac{\omega}{\omega_c}\).
\(\text{arg}(D) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{\omega / \omega_c}{1}\right) = \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\).

3. Résultat littéral

On rassemble les deux parties :

\[ \phi(\omega) = 0 - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \]
\[ \phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \]
Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

L'expression \(\phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\) est fondamentale. Elle montre que :

  • La phase dépend uniquement du rapport \(\frac{\omega}{\omega_c}\). Tous les filtres de ce type ont la même forme de courbe de phase, juste décalée horizontalement selon leur \(\omega_c\).
  • Le signe 'moins' indique que la sortie sera toujours en retard de phase sur l'entrée (\(\phi\) sera négatif ou nul). C'est logique : l'inductance "s'oppose" au changement, ce qui "retarde" la réponse du circuit.
  • La phase n'est pas linéaire, elle suit une courbe \(\arctan\).

Points de vigilance

Le piège principal est d'oublier le signe 'moins' qui vient du fait que le terme en 'j' est au dénominateur. \(\text{arg}(1/D) = \text{arg}(1) - \text{arg}(D) = 0 - \text{arg}(D) = -\text{arg}(D)\). C'est la source la plus commune d'erreur.

Points à retenir

La phase d'un filtre passe-bas du 1er ordre \( \frac{K}{1 + j(\omega/\omega_c)} \) est toujours \(\phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\). C'est une formule à connaître par cœur, tout comme sa contrepartie pour le gain.

Le saviez-vous ?

Dans un filtre RC passe-bas (\(H = \frac{1}{1+jRC\omega}\)), la pulsation de coupure est \(\omega_c = 1/RC\). L'expression de la phase est \(\phi(\omega) = - \arctan(RC\omega) = - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})\). L'expression finale de la phase est donc identique à celle de notre filtre RL ! C'est la puissance de la forme canonique : des circuits physiquement différents peuvent avoir un comportement fréquentiel identique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Pourquoi \(\text{arg}(1) = 0^\circ\) ?

Le nombre 1 se trouve sur l'axe des réels positifs dans le plan complexe (coordonnées (1, 0)). L'angle (l'argument) entre l'axe des réels positifs et lui-même est de 0 degré.

Résultat Final
L'expression de la phase est \(\phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\).
A vous de jouer

Quelle serait la phase du filtre passe-haut \(H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c}\) ?
(Indice: \(\phi = \text{arg}(N) - \text{arg}(D)\). Le numérateur est \(j\omega/\omega_c\), un imaginaire pur positif... sa phase est \(\text{arg}(N) = +90^\circ\). La phase finale est donc \(\phi = +90^\circ - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Propriété : \(\text{arg}(N/D) = \text{arg}(N) - \text{arg}(D)\).
  • Calcul : \(\phi(\omega) = \text{arg}(1) - \text{arg}(1+j\frac{\omega}{\omega_c}) = 0 - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})\).

Question 5 : Calculer \(\phi(\omega)\) pour \(\omega = 0\), \(\omega = \omega_c\), et \(\omega \to +\infty\)

Principe

On évalue la fonction de phase \(\phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\) aux trois pulsations "asymptotiques" clés : la pulsation nulle (basse fréquence), la pulsation de coupure (le "coin"), et la pulsation infinie (haute fréquence). Ces trois points définissent les asymptotes (les limites) du diagramme de Bode et son point central.

Mini-Cours

Rappel des valeurs de la fonction \(\arctan(x)\) :

  • \(\arctan(0) = 0^\circ\). L'angle d'un nombre réel positif.
  • \(\arctan(1) = 45^\circ\). L'angle d'un nombre \(a+ja\) (parties réelle et imaginaire égales).
  • \(\arctan(+\infty) = 90^\circ\). L'angle d'un nombre imaginaire pur positif (ex: \(j\)).
Ces trois valeurs sont les seules nécessaires pour l'analyse asymptotique.

Remarque Pédagogique

Ces trois points sont les seuls dont vous avez besoin pour tracer l'allure du diagramme de phase.

  • Quand \(\omega = 0\) (très basse fréquence) : on regarde le rapport \(\frac{\omega}{\omega_c} = \frac{0}{\omega_c} = 0\).
  • Quand \(\omega = \omega_c\) (à la coupure) : on regarde le rapport \(\frac{\omega}{\omega_c} = \frac{\omega_c}{\omega_c} = 1\).
  • Quand \(\omega \to +\infty\) (très haute fréquence) : on regarde le rapport \(\frac{\omega}{\omega_c} \to \frac{+\infty}{\omega_c} \to +\infty\).
Il suffit ensuite d'appliquer \(-\arctan()\) à ces trois valeurs (0, 1, et \(+\infty\)).

Normes

Par convention, les diagrammes de Bode de phase sont tracés en degrés (°). C'est plus intuitif pour les ingénieurs de parler d'un déphasage de -45° ou -90° que de -\(\pi/4\) ou -\(\pi/2\) radians, même si les deux sont justes.

Formule(s)
\[ \phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \]
Hypothèses

L'expression de la phase est correcte.

Donnée(s)

Pas de données numériques nécessaires, on évalue la fonction littérale.

Astuces

Pensez-y physiquement.

  • À \(\omega=0\) (DC), l'inductance est un fil. Le circuit est juste une résistance, \(V_s = V_e\). Il n'y a pas de déphasage \(\rightarrow 0^\circ\).
  • À \(\omega=\infty\), l'inductance est un circuit ouvert. Le courant est nul, la tension \(V_s\) (sur R) est nulle. Le circuit est dominé par l'inductance qui impose un retard. Le déphasage tend vers celui d'un circuit RL série, soit \(-90^\circ\).
  • À \(\omega=\omega_c\), les deux "forces" s'équilibrent : l'opposition de la résistance (\(R\)) et l'opposition de l'inductance (\(|Z_L| = L\omega_c = L(R/L) = R\)) sont égales. On est pile "au milieu", le déphasage est à mi-chemin entre 0° et -90°, soit \(-45^\circ\).

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable.

Calcul(s)

Nous allons évaluer l'expression \(\phi(\omega) = - \arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\) pour trois cas spécifiques de \(\omega\).

1. Basses Fréquences (\(\omega = 0\))

On remplace \(\omega\) par 0 dans le rapport \(\frac{\omega}{\omega_c}\) :

\[ \phi(0) = - \arctan\left(\frac{0}{\omega_c}\right) = - \arctan(0) \]

L'angle dont la tangente est 0 est 0°.

\[ \phi(0) = 0^\circ \]

2. À la pulsation de coupure (\(\omega = \omega_c\))

On remplace \(\omega\) par \(\omega_c\). Le rapport \(\frac{\omega}{\omega_c}\) devient 1 :

\[ \phi(\omega_c) = - \arctan\left(\frac{\omega_c}{\omega_c}\right) = - \arctan(1) \]

L'angle dont la tangente est 1 (partie réelle = partie imaginaire) est 45°.

\[ \phi(\omega_c) = -45^\circ \]

3. Hautes Fréquences (\(\omega \to +\infty\))

On regarde la limite de \(\omega\) quand il devient très grand. Le rapport \(\frac{\omega}{\omega_c}\) tend vers l'infini :

\[ \phi(\infty) = - \arctan\left(\frac{+\infty}{\omega_c}\right) = - \arctan(+\infty) \]

L'angle dont la tangente tend vers l'infini (imaginaire pur) est 90°.

\[ \phi(\infty) = -90^\circ \]
Schéma (Après les calculs)

Ces trois points peuvent être placés sur un axe pour visualiser la future courbe :

Points Clés de la Phase
Visualisation des 3 points clés de la phase log(ω) φ 0° -45° -90° ω → 0 ω = ωc ω → ∞ φ = 0° φ = -45° φ = -90°
Réflexions

Ces trois valeurs sont la signature d'un système passe-bas du premier ordre. Le signal n'est pas déphasé à basse fréquence (le circuit est "transparent"), il est déphasé de -45° à la coupure (le signal de sortie est en retard d'un huitième de période), et il tend vers un déphasage de -90° (un "quart de cycle" de retard) à très haute fréquence.

Points de vigilance

Ne pas confondre les valeurs de \(\arctan\). \(\arctan(1)\) est \(45^\circ\) (ou \(\pi/4\) radians), pas 1 ou 90. C'est une erreur fréquente. Pensez à un triangle rectangle isocèle (deux côtés de 1) : ses angles sont 45°, 45°, 90°.

Points à retenir

Ce sont les trois points fondamentaux pour tracer la phase d'un filtre du premier ordre :

  • Asymptote Basse Fréquence : Phase(\(\omega \ll \omega_c\)) \(\to\) 0°
  • Point de Coupure : Phase(\(\omega=\omega_c\)) = -45°
  • Asymptote Haute Fréquence : Phase(\(\omega \gg \omega_c\)) \(\to\) -90°

Le saviez-vous ?

Un déphasage de -90° signifie que le signal de sortie est en "quadrature retard" par rapport à l'entrée. Si l'entrée est un \(\cos(\omega t)\), la sortie (à très haute fréquence) tendra vers un signal proportionnel à \(\cos(\omega t - 90^\circ)\), qui est identique à \(\sin(\omega t)\) (avec une amplitude très faible, bien sûr).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Pourquoi la phase est-elle de -45° et pas +45° ?

À cause du signe 'moins' dans notre formule \(\phi = -\arctan(\ldots)\), qui vient du fait que l'impédance est au dénominateur. Un filtre RC passe-bas aurait le même résultat. Un filtre RC passe-haut (sortie sur R) aurait une phase de \(+90^\circ \to +45^\circ \to 0^\circ\).

Ces valeurs sont-elles toujours les mêmes ?

Pour TOUT filtre passe-bas du premier ordre (RC, RL, ou autre), oui. C'est ce qui rend l'analyse de Bode si puissante.

Résultat Final
Les points clés de la phase sont : \(\phi(0) = 0^\circ\), \(\phi(\omega_c) = -45^\circ\), et \(\phi(\infty) = -90^\circ\).
A vous de jouer

Quels seraient les 3 points clés (BF, \(\omega_c\), HF) pour le filtre passe-haut \(\phi = +90^\circ - \arctan(\frac{\omega}{\omega_c})\) ? (Réponse : \(\phi(0) = +90^\circ\), \(\phi(\omega_c) = +45^\circ\), \(\phi(\infty) = 0^\circ\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • \(\omega = 0 \Rightarrow \frac{\omega}{\omega_c}=0 \Rightarrow \phi = -\arctan(0) = 0^\circ\)
  • \(\omega = \omega_c \Rightarrow \frac{\omega}{\omega_c}=1 \Rightarrow \phi = -\arctan(1) = -45^\circ\)
  • \(\omega \to \infty \Rightarrow \frac{\omega}{\omega_c}\to\infty \Rightarrow \phi = -\arctan(\infty) = -90^\circ\)

Question 6 : Tracer l'approximation asymptotique (diagramme de Bode)

Principe

Le diagramme de phase est tracé sur une échelle semi-logarithmique (Phase en degrés en Y, Pulsation \(\omega\) en log(X)). L'approximation asymptotique simplifiée consiste en deux demi-droites :

  • Une droite horizontale à 0° pour \(\omega < \omega_c\).
  • Une droite horizontale à -90° pour \(\omega > \omega_c\).

Une approximation plus précise (utilisée dans le simulateur) utilise une pente de -45°/décade centrée sur \(\omega_c\).

Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous montre l'allure de la phase réelle (courbe bleue) et l'approximation asymptotique la plus simple (pointillés rouges).

Diagramme de Bode (Phase) - Filtre Passe-Bas 1er Ordre
Diagramme de Bode, Phase, Asymptote et Courbe Réelle φ log(ω) 0° -45° -90° 0.1ωc ωc 10ωc
Résultat Final
Le diagramme asymptotique (simplifié) est une droite à 0° jusqu'à \(\omega_c = 10 \text{ krad/s}\), puis une droite à -90° après cette pulsation. La courbe réelle passe par -45° à \(\omega_c\).

Outil Interactif : Simulateur de Phase (Filtre 1er Ordre)

Utilisez cet outil pour voir comment la phase \(\phi\) change en fonction de la pulsation \(\omega\) et de la pulsation de coupure \(\omega_c\). Le graphique trace la courbe de phase complète pour le \(\omega_c\) sélectionné.

Paramètres d'Entrée
10 krad/s
10 krad/s
Résultats Clés
Rapport \(\omega / \omega_c\) -
Phase \(\phi\) (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que la fonction de transfert \(H(j\omega)\) ?

2. Pour un filtre RL passe-bas (sortie sur R), quelle est l'expression de \(\omega_c\) ?

3. Quelle est la phase d'un filtre passe-bas du 1er ordre à la pulsation de coupure \(\omega_c\) ?

4. Quelle est la phase d'un filtre passe-bas du 1er ordre lorsque \(\omega \to +\infty\) ?

5. La phase de l'impédance d'une inductance pure \(Z_L = jL\omega\) est...

Glossaire

Fonction de Transfert (\(H(j\omega)\))
Rapport complexe entre le signal de sortie et le signal d'entrée en régime sinusoïdal. Il décrit le gain et la phase du circuit à une pulsation \(\omega\) donnée.
Impédance Complexe (\(Z\))
Généralisation de la résistance aux circuits en régime sinusoïdal, incluant l'effet de la phase (ex: \(Z_R = R\), \(Z_L = jL\omega\)).
Pulsation de Coupure (\(\omega_c\))
Pulsation (en rad/s) où le gain du filtre a chuté de 3 dB. Pour un filtre du 1er ordre, c'est aussi là où la phase est de \(\pm 45^\circ\).
Diagramme de Bode
Ensemble de deux graphiques (gain en dB et phase en degrés) représentant la réponse d'un système en fonction de la fréquence (ou pulsation) sur une échelle logarithmique.
Phase (\(\phi\))
Le déphasage (en degrés ou radians) introduit par le circuit entre le signal de sortie et le signal d'entrée.
Exercice : Diagramme de Bode - Phase d'un Filtre RL

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