Circuits Électriques

Analyse d’un Circuit Bouchon

Exercice : Filtre RLC Parallèle (Bouchon)

Analyse d'un Circuit Bouchon

Contexte : Le Filtre RLC parallèleCircuit composé d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) montés en parallèle, alimenté par une source en régime sinusoïdal..

Cet exercice porte sur l'analyse d'un circuit RLC parallèle en régime sinusoïdal. Ce type de montage est fondamental en électronique pour réaliser des filtres. Lorsqu'il est configuré comme dans cet exercice, il agit comme un filtre coupe-bandeUn filtre qui atténue (bloque) un signal dans une plage de fréquences spécifique, tout en laissant passer les fréquences en dehors de cette plage., aussi appelé "circuit bouchon" ou "réjecteur". Son but est de bloquer (ou "boucher") le passage du courant pour une fréquence très spécifique, la fréquence de résonance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les admittances complexes, à déterminer une fréquence de résonance (dite "anti-résonance" en parallèle) et à caractériser le filtre (facteur de qualité, bande passante) pour comprendre son comportement sélectif.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'admittance complexe équivalente \( \underline{Y} \) d'un circuit RLC parallèle.
  • Déterminer la fréquence de résonance \( f_0 \) (ou anti-résonance) du circuit.
  • Calculer le facteur de qualitéGrandeur (Q) qui caractérise "l'acuité" de la résonance. Un Q élevé signifie un filtre très sélectif (bande étroite). \( Q \) du filtre.
  • Déterminer la bande passante (ou bande rejetée) \( \Delta f \).
  • Analyser le comportement du courant total pour valider l'effet "bouchon".

Données de l'étude

On considère le circuit RLC parallèle ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale \( \underline{V_e} \) de valeur efficace \( V_e = 10 \text{ V} \) et de pulsation \( \omega \) variable. Le circuit est composé des éléments suivants :

Schéma du Filtre RLC Parallèle (Circuit Bouchon)
V_e I_t R L C
Composant Symbole Valeur
Résistance R 10 k\(\Omega\)
Bobine (Inductance) L 10 mH
Condensateur (Capacité) C 10 nF

Questions à traiter

  1. Exprimer l'admittance complexe totale \( \underline{Y}(j\omega) \) du circuit en fonction de R, L, C et \(\omega\).
  2. Calculer la fréquence de résonance (ou anti-résonance) \( f_0 \). Que vaut l'admittance \( \underline{Y}_0 \) à cette fréquence ?
  3. Calculer le facteur de qualité \( Q \) du circuit.
  4. Estimer la bande passante \( \Delta f \) (bande rejetée) du filtre.
  5. Calculer le courant total \( I_t \) efficace absorbé par le circuit à la résonance (\(f = f_0\)), à très basse fréquence (\(f \to 0\)), et à très haute fréquence (\(f \to \infty\)). Conclure.

Les bases sur les Admittances en Parallèle

En régime sinusoïdal, il est souvent plus simple d'utiliser les admittances (inverse des impédances) lorsque les composants sont en parallèle.

1. Admittance ( \(\underline{Y}\) )
L'admittance complexe \( \underline{Y} \) est l'inverse de l'impédance complexe \( \underline{Z} \). \( \underline{Y} = 1 / \underline{Z} \). L'unité est le Siemens (S).

  • Résistance R : \( \underline{Y}_R = 1 / R \)
  • Bobine L : \( \underline{Y}_L = 1 / (jL\omega) = -j / (L\omega) \)
  • Condensateur C : \( \underline{Y}_C = 1 / (1 / (jC\omega)) = jC\omega \)

2. Association en Parallèle
Lorsque des composants sont en parallèle, leurs admittances s'additionnent (comme les résistances en série) : \[ \underline{Y}_{eq} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2 + \dots + \underline{Y}_n \] Pour notre circuit : \( \underline{Y}_{eq} = \underline{Y}_R + \underline{Y}_L + \underline{Y}_C \)

Correction : Analyse d'un Circuit Bouchon

Question 1 : Exprimer l'admittance complexe totale \( \underline{Y}(j\omega) \)

Principe

Cette section énonce le concept physique fondamental. Puisque les trois composants (R, L, C) sont en parallèle, la loi la plus simple à appliquer est celle des admittances : l'admittance totale est la somme des admittances de chaque branche. C'est l'équivalent de l'addition des résistances en série.

Mini-Cours

Cette section rappelle les définitions spécifiques nécessaires. Nous avons besoin des 'briques' de base : les admittances de la résistance (\( \underline{Y}_R = 1/R \)), de la bobine (\( \underline{Y}_L \)), et du condensateur (\( \underline{Y}_C \)). L'admittance totale sera la somme de ces trois briques.

Remarque Pédagogique

Cette section donne un conseil stratégique. L'information clé est *pourquoi* nous choisissons les admittances (la simplicité d'une addition) plutôt que les impédances (calcul plus lourd avec des inverses : \( 1/\underline{Z}_{eq} = 1/\underline{Z}_R + 1/\underline{Z}_L + 1/\underline{Z}_C \)).

Normes

Cette section contextualise la méthode. L'usage de la notation complexe (avec \(j\)) et des admittances est la méthode standard en ingénierie électrique (norme CEI) pour analyser les circuits en régime sinusoïdal, car elle transforme les équations différentielles en algèbre simple.

Formule(s)

Ici, nous listons les 'outils' mathématiques que nous allons utiliser. La première ligne donne les définitions de base (vues en cours) et la seconde ligne montre comment nous les assemblons (application du principe d'addition).

Admittances individuelles

\[ \underline{Y}_R = \frac{1}{R} \quad ; \quad \underline{Y}_L = \frac{1}{jL\omega} = \frac{-j}{L\omega} \quad ; \quad \underline{Y}_C = jC\omega \]

Admittance totale (Loi des nœuds en admittances)

\[ \underline{Y}(j\omega) = \underline{Y}_R + \underline{Y}_L + \underline{Y}_C \]
Hypothèses

Cette section définit le 'cadre' de notre problème. Nous supposons que les composants sont 'parfaits' (bobine purement inductive, etc.) pour que nos formules de base soient valides. C'est le modèle standard pour ce niveau d'analyse.

  • Le régime sinusoïdal permanent est établi (l'état transitoire de démarrage est terminé).
  • La source de tension est idéale (son impédance interne est nulle).
  • Les composants R, L, C sont idéaux et linéaires.
Donnée(s)

Cette section liste les informations pertinentes de l'énoncé. Pour cette première question, le calcul est purement littéral (on manipule les lettres R, L, C, \(\omega\)), donc aucune valeur numérique n'est nécessaire.

Astuces

Un conseil pratique pour la manipulation mathématique. Le 'truc' à maîtriser est de toujours séparer ce qui est réel (termes sans \(j\), liés à la dissipation d'énergie) de ce qui est imaginaire (termes avec \(j\), liés au stockage d'énergie).

Schéma (Avant les calculs)

Nous vérifions que le schéma de l'énoncé correspond à notre modèle. Il montre bien trois branches distinctes (R, L, C) connectées aux mêmes deux nœuds, confirmant le montage parallèle.

Modélisation par Admittances
V_e Y_R Y_L Y_C I_t
Calcul(s)

On applique la formule d'addition \( \underline{Y} = \underline{Y}_R + \underline{Y}_L + \underline{Y}_C \) en remplaçant chaque terme par sa définition.

Étape 1 : Somme des admittances

\[ \underline{Y}(j\omega) = \frac{1}{R} + \frac{1}{jL\omega} + jC\omega \]

Étape 2 : Séparation des parties réelle et imaginaire

On utilise l'identité mathématique \( 1/j = -j \). Le terme \( 1/R \) est réel. On regroupe les deux termes en \( j \).

\[ \begin{aligned} \underline{Y}(j\omega) &= \frac{1}{R} + \frac{-j}{L\omega} + jC\omega \\ &= \underbrace{\frac{1}{R}}_{\text{Partie Réelle (G)}} + j \underbrace{\left( C\omega - \frac{1}{L\omega} \right)}_{\text{Partie Imaginaire (B)}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

L'expression finale montre que notre circuit RLC parallèle complexe se comporte comme un circuit équivalent simple : une conductance \( G = 1/R \) en parallèle avec une seule 'boîte' réactive (susceptance) \( B = C\omega - 1/(L\omega) \).

Réflexions

Cette section interprète le résultat mathématique. Le point à maîtriser est de comprendre la signification physique de \( G = 1/R \) (dissipation d'énergie constante, indépendante de la fréquence) et \( B(\omega) \) (stockage/restitution d'énergie, qui varie avec la fréquence).

Points de vigilance

Cette section signale les erreurs classiques. L'erreur la plus fréquente est de confondre l'addition des admittances (pour le parallèle) avec l'addition des impédances (pour le série). L'inverse d'une somme n'est PAS la somme des inverses !

Points à retenir

C'est le résumé à mémoriser. Pour les circuits parallèles, la méthode des admittances est reine. La formule clé est \( \underline{Y} = G + jB \), où G est la conductance (partie réelle) et B la susceptance (partie imaginaire).

Le saviez-vous ?

Cette section donne une information culturelle ou avancée. La conductance \(G\) est ce qui consomme de la puissance active (chauffe), tandis que la susceptance \(B\) gère la puissance réactive (transfert d'énergie entre L et C sans consommation).

FAQ

Cette section répond aux questions courantes.

Pourquoi \( 1/(jL\omega) = -j/(L\omega) \) ?

C'est une astuce mathématique de base avec les nombres complexes. On multiplie le numérateur et le dénominateur par \( j \) pour chasser le \( j \) du dénominateur : \( \frac{1}{jL\omega} = \frac{j}{j \cdot jL\omega} = \frac{j}{j^2 L\omega} \). Puisque \( j^2 = -1 \), on a \( \frac{j}{-L\omega} = \frac{-j}{L\omega} \).

Résultat Final
L'admittance complexe totale est : \( \underline{Y}(j\omega) = \frac{1}{R} + j \left( C\omega - \frac{1}{L\omega} \right) \)
A vous de jouer

Si \( R=100\Omega \), \( L=10\text{mH} \), \( C=10\text{nF} \) et \( \omega = 50000 \text{ rad/s} \), que vaut la partie imaginaire \( B \) ? (\( C\omega - 1/(L\omega) \))

Détail du calcul :
Terme capacitif : \( C\omega = (10 \times 10^{-9} \text{ F}) \times (50 \times 10^3 \text{ rad/s}) = 500 \times 10^{-6} \text{ S} = 0.0005 \text{ S} \).
Terme inductif : \( 1/(L\omega) = 1 / ((10 \times 10^{-3} \text{ H}) \times (50 \times 10^3 \text{ rad/s})) = 1 / 500 = 0.002 \text{ S} \).
Susceptance \( B = 0.0005 - 0.002 = -0.0015 \text{ S} \).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Addition des admittances en parallèle.
  • Formule Essentielle : \( \underline{Y} = \underline{Y}_R + \underline{Y}_L + \underline{Y}_C \).
  • Résultat : \( \underline{Y} = 1/R + j(C\omega - 1/(L\omega)) \).

Question 2 : Calculer la fréquence de résonance \( f_0 \)

Principe

Cette section énonce le concept physique. La résonance (ou anti-résonance pour un circuit parallèle) est le moment précis où les effets de stockage d'énergie de la bobine (L) et du condensateur (C) s'annulent parfaitement.

Mini-Cours

Cette section traduit le principe en mathématiques. L'annulation des effets réactifs signifie que la partie imaginaire (Susceptance B) de l'admittance devient nulle : \( B(\omega_0) = C\omega_0 - 1/(L\omega_0) = 0 \). À ce moment, l'admittance \( \underline{Y} = G + jB \) devient \( \underline{Y}_0 = G = 1/R \). Elle est purement réelle et minimale.

Remarque Pédagogique

C'est le point clé à maîtriser. C'est l'inverse du circuit RLC série (où l'impédance Z est *minimale*). Ici, l'admittance Y est *minimale*, donc l'impédance \( Z = 1/Y \) est *maximale*. Le circuit s'oppose maximalement au courant : c'est l'effet "bouchon".

Normes

La fréquence de résonance \( f_0 \) (en Hz) ou la pulsation de résonance \( \omega_0 \) (en rad/s) est une caractéristique intrinsèque du couple (L, C), définie par la formule de Thomson. Dans ce modèle idéal, elle ne dépend pas de R.

Formule(s)

Ce sont les outils mathématiques issus du "Mini-Cours".

Condition de résonance

\[ Im(\underline{Y}) = B(\omega_0) = C\omega_0 - \frac{1}{L\omega_0} = 0 \]

Admittance à la résonance

\[ \underline{Y}_0 = \underline{Y}(j\omega_0) = 1/R \]
Hypothèses

Nous réutilisons les hypothèses de la Q1 (composants idéaux). C'est ce qui permet à la partie imaginaire de s'annuler parfaitement et à \( f_0 \) d'être indépendante de R.

Donnée(s)

Cette section extrait les valeurs de l'énoncé nécessaires pour le calcul numérique. Nous devons convertir les préfixes (milli, nano, kilo) en puissances de 10 (unités SI).

ParamètreSymboleValeur (Énoncé)Valeur (SI)
InductanceL10 mH\( 10 \times 10^{-3} \) H
CapacitéC10 nF\( 10 \times 10^{-9} \) F
RésistanceR10 k\(\Omega\)\( 10 \times 10^{3} \) \(\Omega\)
Astuces

La formule de la pulsation de résonance \( \omega_0 = 1 / \sqrt{LC} \) (formule de Thomson) est un résultat fondamental à mémoriser. Elle est identique pour les circuits RLC série et parallèle (idéaux).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons ce qui se passe : à la résonance, la bobine et le condensateur s'échangent de l'énergie (courant) entre eux. Vu de la source, ces deux courants s'annulent. Le seul courant que la source doit fournir est celui qui traverse la résistance R.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pulsation de résonance \( \omega_0 \)

On part de la condition \( C\omega_0 = 1/(L\omega_0) \). On isole \( \omega_0 \) ( \( \omega_0^2 = 1/LC \) ) puis on remplace L et C par leurs valeurs SI :
L = \(10 \times 10^{-3}\) H
C = \(10 \times 10^{-9}\) F

\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{(10 \times 10^{-3}) \times (10 \times 10^{-9})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{100 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{10^2 \times 10^{-12}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-10}}} \\ &= \frac{1}{10^{-5}} = 10^5 \text{ rad/s} \\ \Rightarrow \omega_0 &= 100 \times 10^3 \text{ rad/s} \text{ (ou 100 krad/s)} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la fréquence de résonance \( f_0 \)

On convertit la pulsation \( \omega_0 \) (en rad/s) en fréquence \( f_0 \) (en Hz) en utilisant la relation \( \omega = 2\pi f \).

\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{100 \times 10^3}{2\pi} \approx 15915 \text{ Hz} \\ \Rightarrow f_0 &\approx 15.9 \text{ kHz} \end{aligned} \]

Étape 3 : Admittance à la résonance \( \underline{Y}_0 \)

Comme vu dans le "Mini-Cours", à la résonance, \( \underline{Y}_0 = 1/R \). On utilise \( R = 10 \text{ k}\Omega = 10 \times 10^3 \Omega \).

\[ \begin{aligned} \underline{Y}_0 &= \frac{1}{R} + j(0) = \frac{1}{R} \\ &= \frac{1}{10 \times 10^3 \text{ \(\Omega\)}} = \frac{1}{10^4} \text{ S} = 10^{-4} \text{ S} \\ \Rightarrow \underline{Y}_0 &= 0.1 \times 10^{-3} \text{ S} = 0.1 \text{ mS} \text{ (purement réelle)} \end{aligned} \]
Réflexions

Interprétons les résultats : la fréquence "bloquée" est 15.9 kHz. À ce point, l'admittance (facilité à laisser passer le courant) est à son minimum (0.1 mS). Cela veut dire que l'impédance (difficulté à laisser passer le courant) est maximale et vaut \( Z_{max} = 1 / Y_0 = R = 10 \text{ k}\Omega \).

Points de vigilance

Attention aux unités ! C'est la source d'erreur n°1. mH = \(10^{-3}\), nF = \(10^{-9}\), k\(\Omega\) = \(10^3\). Notez aussi que \( \sqrt{10^{-12}} = 10^{-6} \), pas \( 10^{-24} \). Et n'oubliez pas le \( 2\pi \) pour passer de \(\omega_0\) à \(f_0\).

Points à retenir

Résumé à mémoriser :
1. La formule de Thomson : \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \).
2. En parallèle, à \( f_0 \), l'admittance \( \underline{Y} \) est MINIMALE et réelle (\( \underline{Y}_0 = 1/R \)).
3. En parallèle, à \( f_0 \), l'impédance \( \underline{Z} \) est MAXIMALE et réelle (\( \underline{Z}_0 = R \)).

Le saviez-vous ?

Les circuits bouchons sont utilisés dans les récepteurs radio (comme les anciens postes) pour "rejeter" une station radio indésirable (un brouilleur) tout en laissant passer les autres. Ils sont l'opposé des circuits d'accord (RLC série) qui sélectionnent une station.

FAQ

...

Pourquoi la résistance R ne change-t-elle pas f0 ?

Dans ce modèle idéal, R détermine "l'amplitude" de la résonance (la valeur de l'impédance max), mais pas sa "position" (la fréquence). Les composants L et C sont seuls responsables de la fréquence à laquelle leurs effets s'annulent.

Résultat Final
La fréquence de résonance est \( f_0 \approx 15.9 \text{ kHz} \). À cette fréquence, l'admittance est minimale et vaut \( \underline{Y}_0 = 0.1 \text{ mS} \).
A vous de jouer

Que deviendrait \( f_0 \) si on doublait la capacité C (passant à 20 nF) ? (Indice: \( f_0 \) est proportionnel à \( 1/\sqrt{C} \))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Anti-résonance ( \(Im(\underline{Y})=0\) ).
  • Formule Essentielle : \( f_0 = 1 / (2\pi\sqrt{LC}) \).
  • Résultat : \( f_0 \approx 15.9 \text{ kHz} \), \( \underline{Y}_0 = 1/R = 0.1 \text{ mS} \).

Question 3 : Calculer le facteur de qualité \( Q \)

Principe

Le facteur de qualité \( Q \) est un chiffre (sans unité) qui mesure à quel point un filtre est "sélectif" ou "aigu". Pour notre circuit bouchon, un \( Q \) élevé signifie que le pic d'impédance est très étroit, rejetant une bande de fréquence très fine.

Mini-Cours

Physiquement, \( Q \) représente (à un facteur \( 2\pi \) près) le rapport entre l'énergie stockée (qui oscille entre L et C) et l'énergie dissipée par R à chaque cycle. Plus R est grande (dissipe peu), plus Q est élevé. C'est l'inverse du circuit série où Q augmente si R est *petite*.

Remarque Pédagogique

Pour maîtriser le sujet, retenez la dualité Série/Parallèle :
- RLC Série : \( Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0} \) (Q est grand si R est petit).
- RLC Parallèle : \( Q = \frac{R}{L\omega_0} = RC\omega_0 \) (Q est grand si R est grand).

Normes

\( Q \) est une grandeur sans dimension. Par convention, on parle de résonance si \( Q > 0.5 \). Un circuit est dit "sélectif" ou de "haute qualité" si \( Q \gg 1 \) (par exemple, \( Q \ge 10 \)).

Formule(s)

Ces trois formules sont mathématiquement équivalentes. On choisit la plus simple en fonction des données dont on dispose.

Facteur de qualité (RLC Parallèle)

\[ Q = R \cdot C \cdot \omega_0 = \frac{R}{L \cdot \omega_0} = R \sqrt{\frac{C}{L}} \]
Hypothèses

Ces formules sont valides pour le modèle RLC parallèle idéal où R est la seule composante dissipative.

Donnée(s)

Nous rassemblons toutes les valeurs de l'énoncé (en SI) et le résultat \(\omega_0\) de la Q2.

ParamètreSymboleValeur
RésistanceR\( 10 \times 10^3 \text{ \(\Omega\)} \)
InductanceL\( 10 \times 10^{-3} \text{ H} \)
CapacitéC\( 10 \times 10^{-9} \text{ F} \)
Pulsation de résonance\(\omega_0\)\( 10^5 \text{ rad/s} \)
Astuces

Utilisez la formule qui vous semble la plus simple. \( Q = RC\omega_0 \) est souvent très direct si on a déjà calculé \(\omega_0\). La formule \( Q = R \sqrt{C/L} \) est élégante car elle ne dépend pas de \(\omega_0\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons \( Q \). Un \( Q \) élevé (ex: 100) signifie un pic d'impédance très fin, comme une aiguille. Un \( Q \) faible (ex: 1) signifie un pic large et arrondi, comme une colline.

Calcul(s)

Nous allons calculer \( Q \) avec deux formules différentes pour vérifier la cohérence de nos résultats.

Méthode 1 : \( Q = RC\omega_0 \)

On remplace R, C et \(\omega_0\) par leurs valeurs SI :

\[ \begin{aligned} Q &= (10 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-9}) \times (10^5) \end{aligned} \]

On groupe les puissances de 10 :

\[ \begin{aligned} Q &= (10 \times 10 \times 100) \times (10^3 \times 10^{-9} \times 10^5) \\ &= 10000 \times 10^{3-9+5} = 10^4 \times 10^{-1} \\ \Rightarrow Q &= 10 \end{aligned} \]

Méthode 2 (Vérification) : \( Q = R \sqrt{C/L} \)

On remplace R, C et L :

\[ \begin{aligned} Q &= (10 \times 10^3) \times \sqrt{\frac{10 \times 10^{-9}}{10 \times 10^{-3}}} \\ &= 10^4 \times \sqrt{1 \times 10^{-9 - (-3)}} = 10^4 \times \sqrt{10^{-6}} \\ &= 10^4 \times 10^{-3} \\ \Rightarrow Q &= 10 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La courbe de réponse (Impédance vs Fréquence) aura un pic très aigu centré sur \( f_0 \), car \( Q = 10 \) est bien supérieur à 1, ce qui confirme un filtre très sélectif.

Réflexions

Un facteur de qualité de 10 est considéré comme élevé. Cela signifie que notre filtre est très sélectif : il va rejeter très efficacement les fréquences autour de 15.9 kHz, mais laisser passer celles qui en sont éloignées.

Points de vigilance

Le piège principal est d'utiliser la formule du RLC série (\( Q = L\omega_0 / R \)). Cela donnerait \( Q = (10 \times 10^{-3} \times 10^5) / 10^4 = 1000 / 10000 = 0.1 \), ce qui est l'inverse du bon résultat. Retenez : R au numérateur pour le parallèle, R au dénominateur pour le série.

Points à retenir
  • Formule de \( Q \) (parallèle) : \( Q = RC\omega_0 = R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L} \).
  • Un \( Q \) élevé (\( \gg 1 \)) signifie une grande sélectivité (filtre étroit).
  • Pour un RLC parallèle, \( Q \) est proportionnel à R (plus R est grande, plus le filtre est sélectif).
Le saviez-vous ?

Dans les circuits réels, la bobine a une résistance interne \( r \). Cette résistance est en série avec L, ce qui complique le modèle. Cette résistance \( r \) limite le facteur de qualité maximal atteignable, même si R est infinie.

FAQ

...

Que se passe-t-il si R est très grande (infinie) ?

Si \( R \to \infty \) (circuit ouvert, un "LC" parallèle idéal), le facteur de qualité \( Q \to \infty \). L'impédance à la résonance \( Z_0 = R \) devient infinie. Le circuit "bouche" parfaitement le courant à \( f_0 \). C'est le "bouchon parfait".

Résultat Final
Le facteur de qualité du circuit est \( Q = 10 \).
A vous de jouer

Que deviendrait \( Q \) si on gardait L et C mais qu'on réduisait R à \( 1 \text{ k}\Omega \) ? (Indice : \( Q \) est proportionnel à R).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Sélectivité du filtre.
  • Formule Essentielle : \( Q = R \sqrt{C/L} \).
  • Résultat : \( Q = 10 \).

Question 4 : Estimer la bande passante \( \Delta f \)

Principe

La bande passante \( \Delta f \) (ou bande rejetée) est l'intervalle de fréquences pour lequel le filtre est "actif". C'est la "largeur" du pic d'impédance (ou du creux d'admittance).

Mini-Cours

La bande passante est liée aux deux autres caractéristiques du filtre ( \( f_0 \) et \( Q \) ) par une relation très simple lorsque \( Q \) est élevé ( \( Q \ge 2 \) ), ce qui est notre cas (\( Q = 10 \)). La bande passante est simplement la fréquence centrale divisée par le facteur de qualité.

Remarque Pédagogique

La relation \( \Delta f = f_0 / Q \) est cruciale. Elle montre que \( \Delta f \) et \( Q \) sont inversement proportionnels. Si on veut un filtre très sélectif ( \( Q \) grand ), on doit accepter une bande passante très étroite ( \( \Delta f \) petit ). C'est un compromis fondamental en filtrage.

Normes

La bande passante est formellement définie comme l'intervalle \( \Delta f = f_2 - f_1 \) entre les "fréquences de coupure" \( f_1 \) et \( f_2 \). Pour un circuit bouchon, ce sont les fréquences où l'impédance est tombée à \( Z_{max} / \sqrt{2} \) (ou la puissance est divisée par 2, soit -3 dB).

Formule(s)

L'outil mathématique pour cette question est la formule d'approximation pour \( Q \) élevé.

Bande Passante (pour Q élevé)

\[ \Delta f = \frac{f_0}{Q} \]
Hypothèses

Nous utilisons l'hypothèse (vérifiée à la Q3) que notre facteur de qualité \( Q = 10 \) est suffisamment élevé pour que cette formule simple soit très précise.

Donnée(s)

Nous n'avons pas besoin de nouvelles données, nous utilisons les résultats des questions 2 et 3.

ParamètreSymboleValeur
Fréquence de résonance\(f_0\)15915 Hz
Facteur de qualité\(Q\)10
Astuces

Grâce à la formule \( \Delta f = f_0 / Q \), il n'est pas nécessaire de calculer les fréquences de coupure \( f_1 \) et \( f_2 \) (qui sont approximativement \( f_0 - \Delta f/2 \) et \( f_0 + \Delta f/2 \)) pour trouver la largeur de bande \( \Delta f \).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la largeur du pic d'impédance, mesurée à "mi-hauteur" (enfin, à \( 1/\sqrt{2} \) de la hauteur maximale, pour être précis).

Définition de la Bande Passante (Impédance)
f (Hz) |Z| f_0 Z_max = R R/\u221A2 f_1 f_2 \u0394f = f_0 / Q
Calcul(s)

Calcul de \( \Delta f \)

On applique la formule en utilisant les valeurs de \( f_0 \) et \( Q \) calculées précédemment :
\( f_0 = 15915 \text{ Hz} \) (de la Q2)
\( Q = 10 \) (de la Q3)

\[ \begin{aligned} \Delta f &= \frac{f_0}{Q} \\ &= \frac{15915 \text{ Hz}}{10} \\ \Rightarrow \Delta f &= 1591.5 \text{ Hz} \end{aligned} \]
Réflexions

Interprétation : la bande de fréquence qui est "fortement rejetée" (où l'impédance est supérieure à \( R/\sqrt{2} \)) est large d'environ 1.6 kHz. Elle est centrée sur 15.9 kHz et s'étend approximativement de \( f_1 \approx 15.1 \text{ kHz} \) à \( f_2 \approx 16.7 \text{ kHz} \).

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser \( f_0 \) en Hz pour obtenir \( \Delta f \) en Hz. Si vous utilisez \( \omega_0 \) (en rad/s), vous obtiendrez la bande passante \( \Delta \omega = \omega_0 / Q \) en rad/s.

Points à retenir

La relation \( \Delta f = f_0 / Q \) (ou \( Q = f_0 / \Delta f \) ) est l'une des plus importantes en filtrage pour caractériser un circuit résonant. Elle lie les trois paramètres fondamentaux.

Le saviez-vous ?

En modifiant R, on modifie \( Q \) et donc \( \Delta f \) sans changer \( f_0 \). C'est une propriété clé utilisée dans les égaliseurs audio : \( f_0 \) sélectionne la note à ajuster, et \( Q \) (parfois appelé "Width") ajuste la largeur de la correction (combien de notes voisines sont affectées).

FAQ

...

Cette formule est-elle toujours exacte ?

C'est une approximation pour \( Q > 2 \). La formule exacte pour les fréquences de coupure est plus complexe. Mais pour \( Q=10 \), l'erreur de cette approximation est inférieure à 1%, elle est donc excellente pour la pratique.

Résultat Final
La bande passante (rejetée) du filtre est \( \Delta f \approx 1592 \text{ Hz} \) (ou 1.6 kHz).
A vous de jouer

Si un filtre a \( f_0 = 1000 \text{ Hz} \) et \( \Delta f = 50 \text{ Hz} \), que vaut son facteur de qualité \( Q \) ? (Indice : \( Q = f_0 / \Delta f \))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Bande passante (largeur du pic de réjection).
  • Formule Essentielle : \( \Delta f = f_0 / Q \).
  • Résultat : \( \Delta f \approx 1.6 \text{ kHz} \).

Question 5 : Calculer le courant total \( I_t \) à différentes fréquences

Principe

Cette section vérifie notre compréhension du filtre en regardant le courant total \( I_t \). Nous allons appliquer la loi d'Ohm (\( \underline{I}_t = \underline{V}_e / \underline{Z} = \underline{V}_e \cdot \underline{Y} \)) dans trois cas : à la résonance (\( f_0 \)), et aux deux extrêmes (\( f \to 0 \) et \( f \to \infty \)).

Mini-Cours

Rappel du comportement asymptotique des composants :
1. Si \( f \to 0 \) (continu) : \( \omega \to 0 \). La bobine (\( \underline{Z}_L = jL\omega \to 0 \)) se comporte comme un court-circuit. Le condensateur (\( \underline{Z}_C = 1/jC\omega \to \infty \)) se comporte comme un circuit ouvert.
2. Si \( f \to \infty \) (très haute fréq.) : \( \omega \to \infty \). La bobine (\( \underline{Z}_L \to \infty \)) est un circuit ouvert. Le condensateur (\( \underline{Z}_C \to 0 \)) est un court-circuit.

Remarque Pédagogique

En observant le schéma, on peut prédire :
- À \( f \to 0 \), la bobine L devient un court-circuit, donc le courant total \( I_t \) sera infini (limité seulement par la source).
- À \( f \to \infty \), le condensateur C devient un court-circuit, donc le courant total \( I_t \) sera aussi infini.
- À \( f_0 \), L et C s'annulent, le circuit vaut R. Le courant sera minimal (\( V_e / R \)).
Le courant est donc très élevé partout, *sauf* autour de \( f_0 \) : c'est bien un coupe-bande.

Normes

L'analyse asymptotique (à 0 et \(\infty\)) est une méthode standard pour identifier rapidement la nature d'un filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande).

Formule(s)

Nous utilisons la loi d'Ohm en module (pour les valeurs efficaces) et l'expression du module de l'admittance \( \underline{Y} \).

Loi d'Ohm

\[ I_t = V_e \cdot |\underline{Y}| \]

Module de l'admittance

\[ |\underline{Y}| = \sqrt{ \left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left( C\omega - \frac{1}{L\omega} \right)^2 } \]
Hypothèses

Nous utilisons l'hypothèse d'une source de tension idéale (de l'énoncé), qui peut fournir un courant infini. En pratique, le courant serait limité par la résistance interne de la source.

Donnée(s)

Nous avons besoin de la tension efficace de la source et des valeurs déjà calculées.

ParamètreSymboleValeur
Tension efficace\(V_e\)10 V (de l'énoncé)
RésistanceR\( 10 \text{ k}\Omega \) (de l'énoncé)
Admittance à \(f_0\)\(Y_0\)\( 0.1 \text{ mS} \) (de la Q2)
Astuces

Pour l'analyse asymptotique, identifiez quel composant "domine" (a l'admittance la plus grande) :
- \( f \to 0 \) : La bobine (admittance \( \to \infty \)) domine.
- \( f \to \infty \) : Le condensateur (admittance \( \to \infty \)) domine.
- \( f = f_0 \) : La résistance (admittance \( 1/R \)) domine, car L et C s'annulent.

Schéma (Avant les calculs)

On s'attend à une courbe de courant \( I_t(f) \) qui a la forme d'un "U", avec un minimum (un "creux") très bas à \( f_0 \), et qui remonte vers l'infini de chaque côté.

Calcul(s)

Nous appliquons la loi d'Ohm \( I_t = V_e \cdot |\underline{Y}| \) dans les trois cas.

Cas 1 : À la résonance (\( f = f_0 \))

Nous avons déjà calculé à la Q2 que \( |\underline{Y}(j\omega_0)| = Y_0 = 1/R = 0.1 \text{ mS} \).
\( V_e = 10 \text{ V} \)
\( Y_0 = 0.1 \times 10^{-3} \text{ S} \)

\[ \begin{aligned} I_{t,min} &= V_e \cdot Y_0 = 10 \text{ V} \times (0.1 \times 10^{-3} \text{ S}) \\ &= 1 \times 10^{-3} \text{ A} \\ \Rightarrow I_{t,min} &= 1 \text{ mA} \end{aligned} \]

Cas 2 : Basse fréquence (\( f \to 0 \Rightarrow \omega \to 0 \))

Comme vu dans le "Mini-Cours", le terme \( 1/(L\omega) \) domine et tend vers l'infini.

\[ \begin{aligned} \lim_{\omega \to 0} |\underline{Y}| &= \lim_{\omega \to 0} \sqrt{ \left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left( C\omega - \frac{1}{L\omega} \right)^2 } \to \infty \\ \Rightarrow I_t &= V_e \cdot |\underline{Y}| \to 10 \text{ V} \times \infty \to \infty \text{ (court-circuit par L)} \end{aligned} \]

Cas 3 : Haute fréquence (\( f \to \infty \Rightarrow \omega \to \infty \))

Comme vu dans le "Mini-Cours", le terme \( C\omega \) domine et tend vers l'infini.

\[ \begin{aligned} \lim_{\omega \to \infty} |\underline{Y}| &= \lim_{\omega \to \infty} \sqrt{ \left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left( C\omega - \frac{1}{L\omega} \right)^2 } \to \infty \\ \Rightarrow I_t &= V_e \cdot |\underline{Y}| \to 10 \text{ V} \times \infty \to \infty \text{ (court-circuit par C)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La courbe de \( I_t(f) \) confirme notre analyse : le courant est très élevé (infini en théorie) à basse et haute fréquence, et chute à une valeur minimale (mais non nulle) de 1 mA à la fréquence de résonance. C'est la signature parfaite du filtre coupe-bande.

Réflexions

Le circuit "bouche" bien le passage du courant à la fréquence \( f_0 = 15.9 \text{ kHz} \). Le rapport entre le courant hors résonance (infini) et le courant à la résonance (1 mA) est (théoriquement) infini, montrant une excellente réjection.

Points de vigilance

En pratique, la source de tension a une résistance interne \( R_g \), et la bobine une résistance \( r \). Le courant ne sera jamais infini. Il sera limité par ces résistances parasites (par ex. \( I_t(f \to 0) \approx V_e / r \)). Notre modèle idéal est une simplification.

Points à retenir
  • Un filtre RLC parallèle est un filtre coupe-bande (circuit bouchon).
  • Il présente une impédance MAXIMALE (et un courant MINIMAL) à \( f_0 \).
  • Il laisse passer (court-circuite) les très basses et très hautes fréquences.
Le saviez-vous ?

Ce type de filtre est aussi utilisé dans les alimentations à découpage pour "boucher" les harmoniques (fréquences parasites) générées par la commutation, afin de ne pas polluer le réseau électrique.

FAQ

...

Que signifie \( I_t \to \infty \)?

Cela signifie que le circuit se comporte comme un court-circuit à ces fréquences. La bobine est un court-circuit pour le continu (\(f=0\)), et le condensateur est un court-circuit pour les très hautes fréquences. Le courant n'est limité que par la source d'alimentation.

Résultat Final
\( I_t(f_0) = 1 \text{ mA} \) (minimum).
\( I_t(f \to 0) \to \infty \).
\( I_t(f \to \infty) \to \infty \).
Le circuit est bien un filtre coupe-bande.
A vous de jouer

Si le courant minimal est de 1 mA et que \( Q=10 \), quel est (approximativement) le courant dans la bobine \( I_L \) à la résonance ? (Indice : \( I_L \approx Q \cdot I_{t,min} \))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Comportement coupe-bande (Bouchon).
  • Analyse : \( I_t \) est min à \( f_0 \) et max (infini théorique) à \( f=0 \) et \( f=\infty \).
  • Résultat : \( I_{t,min} = V_e / R = 1 \text{ mA} \).

Outil Interactif : Simulateur de Filtre Bouchon

Utilisez les curseurs pour faire varier la Résistance (R) et la Capacité (C) et observez en temps réel comment la fréquence de résonance \(f_0\) et le facteur de qualité \(Q\) sont affectés. L'inductance L est fixe à 10 mH.

Paramètres d'Entrée (L = 10 mH)
10 k\(\Omega\)
10 nF
Résultats Clés
Fréquence Résonance \(f_0\) (kHz) -
Facteur de Qualité \(Q\) -
Bande Passante \(\Delta f\) (kHz) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À la fréquence de résonance (anti-résonance), un circuit RLC parallèle idéal :

2. Un filtre RLC parallèle (circuit bouchon) est un filtre de type :

3. Dans un circuit RLC parallèle, si on augmente la valeur de la résistance R (L et C constants) :

4. Si un filtre RLC parallèle a un \( Q = 20 \) et une \( f_0 = 100 \text{ kHz} \), sa bande passante \( \Delta f \) est :

5. Que se passe-t-il pour le courant total \( I_t \) d'un circuit bouchon idéal si la fréquence tend vers l'infini (\( f \to \infty \)) ?

Glossaire

Admittance (\( \underline{Y} \))
Inverse de l'impédance (\( \underline{Y} = 1 / \underline{Z} \)). Mesure la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant. Unité : Siemens (S).
Anti-résonance
Phénomène de résonance dans un circuit parallèle, caractérisé par une impédance maximale et une admittance minimale.
Bande Passante (\( \Delta f \))
Plage de fréquences pour laquelle le filtre a un comportement spécifique (par ex. atténuation). Pour un coupe-bande, c'est la largeur de la bande rejetée.
Circuit Bouchon
Nom commun du filtre RLC parallèle, car il "bouche" le passage du courant à la fréquence de résonance.
Facteur de Qualité (\( Q \))
Grandeur sans dimension qui mesure la sélectivité (l'acuité) de la résonance. Plus \( Q \) est élevé, plus le filtre est étroit.
Susceptance (B)
Partie imaginaire de l'admittance (\( \underline{Y} = G + jB \)). Représente l'énergie réactive stockée.
Filtre RLC Parallèle : Analyse d'un Circuit Bouchon

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