Calcul de la Surtension à la Résonance

Contexte : Le Circuit RLC SérieUn circuit composé d'une Résistance (R), d'une Inductance (L) et d'un Condensateur (C) connectés en série, alimenté par une tension alternative. en Régime Sinusoïdal.

Le phénomène de résonancePhénomène se produisant à la pulsation \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) où les réactances s'annulent. L'impédance est minimale (Z=R) et le courant est maximal (I=E/R). dans les circuits RLC est fondamental en électricité et en électronique. Il se produit lorsque les effets de l'inductance et de la capacité s'annulent mutuellement, conduisant à une impédance minimale et à un courant maximal. Une conséquence spectaculaire de cette résonance, dans les circuits à faible amortissement, est la surtensionPhénomène à la résonance où la tension aux bornes de L et C (\(U_L\), \(U_C\)) devient \(Q\) fois supérieure à la tension d'alimentation \(E\). : les tensions aux bornes de l'inductance (L) et du condensateur (C) peuvent devenir bien supérieures à la tension d'alimentation. Cet exercice vise à quantifier ce phénomène.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la fréquence de résonance, le facteur de qualité (Q)Nombre sans dimension (Q) qui mesure l'acuité de la résonance. Si Q > 1, il y a surtension., et à démontrer le phénomène de surtension aux bornes du condensateur, un concept crucial en électronique de puissance et en radiofréquences (filtrage, antennes).

Objectifs Pédagogiques

Calculer la pulsation et la fréquence de résonance d'un circuit RLC série.
Déterminer le facteur de qualité (Q) du circuit.
Calculer la tension aux bornes du condensateur à la résonance et la comparer à la tension d'alimentation pour quantifier la surtension.

Données de l'étude

On étudie un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdale \(e(t)\) de valeur efficace \(E = 10 \text{ V}\) et de pulsation \(\omega\) variable.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Circuit	RLC Série
Alimentation \(E\) (efficace)	\(10 \text{ V}\)
Fréquence	Variable

Schéma du Circuit RLC Série

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	\(R\)	20	Ω
Inductance	\(L\)	100	mH
Capacité	\(C\)	10	\(\mu\text{F}\)
Tension Efficace	\(E\)	10	V

Questions à traiter

Calculer la pulsation de résonance \(\omega_0\) et la fréquence de résonance \(f_0\).
Calculer l'impédanceOpposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe Z = R + jX. totale \(Z_0\) du circuit à la résonance.
Calculer le courant efficace \(I_0\) dans le circuit à la résonance.
Calculer le facteur de qualité \(Q\).
Calculer la tension efficace \(U_C\) aux bornes du condensateur à la résonance. Conclure sur le phénomène de surtension.

Les bases sur la Résonance RLC Série

Un circuit RLC série entre en résonancePhénomène se produisant à la pulsation \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) où les réactances s'annulent. L'impédance est minimale (Z=R) et le courant est maximal (I=E/R). lorsque les réactancesPartie imaginaire de l'impédance (X). X_L = ωL et X_C = -1/ωC. inductive et capacitive s'annulent. L'impédance est alors minimale (et purement résistive) et le courant est maximal.

1. Impédance et Résonance
L'impédance complexe du circuit est : \[ \underline{Z} = R + jX_L + jX_C = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) \] La résonance (en pulsation \(\omega_0\)) se produit quand la partie imaginaire est nulle : \(\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0\). \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

2. Facteur de Qualité (Q)
Le facteur de qualité \(Q\) mesure 'l'acuité' de la résonance. Il est défini comme le rapport entre la réactance (inductive ou capacitive) à la résonance et la résistance. \[ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R \omega_0 C} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \]

Correction : Calcul de la Surtension à la Résonance (Circuit RLC Série)

Question 1 : Calcul de la pulsation et fréquence de résonance

Principe

L'objectif est de trouver la pulsation \(\omega_0\) (puis la fréquence \(f_0\)) pour laquelle les effets de l'inductance (\(X_L = \omega L\)) et de la capacité (\(X_C = -1/\omega C\)) s'annulent mutuellement.

Mini-Cours

La résonance est atteinte lorsque la partie imaginaire de l'impédance est nulle. On pose donc \(\omega_0 L = 1/(\omega_0 C)\), ce qui mène directement à \(\omega_0^2 = 1/(LC)\) et donc à la formule de la pulsation de résonance.

Remarque Pédagogique

C'est la toute première étape de toute analyse de résonance. Elle définit le point de fonctionnement central du circuit. La fréquence de résonance ne dépend que de L et C, pas de R.

Normes

Ce calcul relève des lois fondamentales de l'électrocinétique en régime sinusoïdal. Aucune norme spécifique n'est requise, ce sont les définitions de base.

Formule(s)

Pulsation de résonance (\(\omega_0\))

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Fréquence de résonance (\(f_0\))

f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}

Hypothèses

On suppose que les composants (R, L, C) sont parfaits (idéaux) et que leurs valeurs sont constantes, indépendantes de la fréquence ou de la température.

Résistance pure, Inductance pure, Capacité pure.
Régime sinusoïdal permanent établi.

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs de L et C de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Inductance	L	100	mH
Capacité	C	10	\(\mu\text{F}\)

Astuces

L'erreur la plus fréquente est l'oubli de conversion des unités. Pensez toujours à convertir en unités du Système International (Henry [H] et Farad [F]) avant tout calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On se réfère au schéma de l'énoncé. On cherche la pulsation \(\omega\) pour laquelle les tensions aux bornes de L et C, étant en opposition de phase, ont la même amplitude et s'annulent.

Schéma du Circuit RLC Série

Calcul(s)

On procède en trois étapes : conversion des unités, calcul de \(\omega_0\), puis calcul de \(f_0\).

Étape 1 : Conversion des unités

\begin{aligned} L &= 100 \text{ mH} = 100 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.1 \text{ H} \\ C &= 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la pulsation de résonance (\(\omega_0\))

On remplace L et C par leurs valeurs en Henry (H) et Farad (F) dans la formule.

\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(0.1) \times (10 \times 10^{-6})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(0.1 \times 10) \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 \times 10^{-6}}}\end{aligned}

La racine de \(10^{-6} \text{ est } 10^{-3} \text{ (car } (10^{-3})^2 = 10^{-6}\):

\begin{aligned} \\ &= \frac{1}{10^{-3}} \\ \text{Et } 1 / 10^{-3} = 10^3: \\ \Rightarrow \omega_0 &= 1000 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la fréquence de résonance (\(f_0\))

On divise la pulsation (en rad/s) par \(2\pi\) pour obtenir la fréquence (en Hz).

\begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{1000}{2\pi} \\ \Rightarrow f_0 &\approx 159.15 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser ce résultat sur la courbe de l'impédance \(Z\) en fonction de la pulsation \(\omega\). La résonance est le point où \(Z\) est minimale.

Impédance \(Z(\omega)\) vs Pulsation \(\omega\)

Réflexions

La fréquence propre du circuit est d'environ 159 Hz. C'est à cette fréquence, et uniquement à celle-ci, que l'impédance sera minimale et que le courant sera maximal. C'est la fréquence "préférée" du circuit.

Points de vigilance

Ne pas confondre pulsation \(\omega\) (en rad/s) et fréquence \(f\) (en Hz). La plupart des formules de base (réactance, résonance) utilisent \(\omega\). L'oubli de la racine carrée est aussi une erreur classique.

Points à retenir

La formule de la pulsation de résonance \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) est l'une des plus importantes de l'électronique. Elle ne dépend que des composants réactifs L et C.

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de résonance qui permet à un poste de radio de "syntoniser" ou "sélectionner" une seule fréquence (la station que vous voulez écouter) parmi les milliers d'ondes radio présentes dans l'air. Le circuit LC de l'antenne est ajusté (en variant C) pour entrer en résonance à la fréquence de la station désirée.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pulsation de résonance est \(\omega_0 = 1000 \text{ rad/s}\) et la fréquence est \(f_0 \approx 159.15 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Recalculez \(\omega_0\) si la capacité \(C\) est doublée pour atteindre \(20 \, \mu\text{F}\) (gardez L = 0.1 H).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Annulation des réactances.
Formule Essentielle : \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Point de Vigilance Majeur : Conversion des unités (mH \(\rightarrow\) H, \(\mu\)F \(\rightarrow\) F).

Question 2 : Calcul de l'impédance à la résonance

Principe

À la pulsation de résonance \(\omega_0\), la partie imaginaire de l'impédance totale \(\underline{Z}\) est nulle. L'impédance se réduit donc à sa partie réelle.

Mini-Cours

L'impédance complexe est \(\underline{Z} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\). À \(\omega = \omega_0\), le terme entre parenthèses vaut zéro par définition. Il ne reste que \(\underline{Z}(\omega_0) = R\).

Remarque Pédagogique

À la résonance, le circuit RLC série est équivalent à une simple résistance R. C'est l'impédance la plus faible que le circuit puisse présenter, quelle que soit la fréquence.

Normes

N/A. Définition de base de l'impédance à la résonance.

Formule(s)

Impédance à la résonance (\(Z_0\))

Z_0 = Z(\omega_0) = R

Hypothèses

On se place à la pulsation \(\omega = \omega_0 = 1000 \text{ rad/s}\) calculée précédemment.

Composants parfaits.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est la résistance R.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	20	Ω

Astuces

Pas d'astuce particulière. Le résultat est direct. C'est une question de compréhension : à la résonance, Z = R.

Schéma (Avant les calculs)

Le circuit RLC à \(\omega_0\) se comporte comme le circuit simple ci-dessous.

Schéma équivalent à la résonance

Calcul(s)

Application directe

Z_0 = R = 20 \, \Omega

Schéma (Après les calculs)

La courbe d'impédance de la Q1 confirme bien que le minimum de \(Z\) est égal à \(R\).

Impédance \(Z(\omega)\) vs Pulsation \(\omega\)

Réflexions

L'impédance est purement résistive (\(Z_0 = R\)). Cela signifie que le déphasage entre la tension totale \(e(t)\) et le courant \(i(t)\) est nul. Tension et courant sont en phase, comme dans un circuit purement résistif.

Points de vigilance

Ne pas croire que l'impédance est nulle. Elle est *minimale*. Elle ne serait nulle que si la résistance R était nulle (circuit LC parfait, ce qui est impossible en pratique).

Points à retenir

À la résonance série : \(Z_0 = R\).
L'impédance est minimale.
Le déphasage tension/courant est nul.

Le saviez-vous ?

Dans un circuit RLC *parallèle*, c'est l'inverse ! À la résonance, l'impédance est *maximale* (théoriquement infinie si R est nulle). C'est pourquoi on les appelle aussi "circuits bouchons", car ils "bouchent" le passage du courant à la fréquence de résonance.

FAQ

...

Résultat Final

L'impédance totale à la résonance est \(Z_0 = 20 \, \Omega\).

A vous de jouer

Si la résistance du circuit était de \(50 \, \Omega\), que vaudrait \(Z_0\) à la résonance ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Annulation des réactances \(X_L + X_C = 0\).
Formule Essentielle : \(Z_0 = R\).

Question 3 : Calcul du courant à la résonance

Principe

Maintenant que nous connaissons l'impédance minimale \(Z_0\) à la résonance, nous pouvons calculer le courant \(I_0\) en appliquant simplement la loi d'Ohm avec la tension d'alimentation \(E\).

Mini-Cours

La loi d'Ohm en régime sinusoïdal s'écrit \(E = Z \times I\) (avec des valeurs efficaces). À la résonance, \(Z = Z_0 = R\). Le courant \(I_0\) est donc maximal car l'impédance \(Z\) est minimale.

Remarque Pédagogique

Ce courant \(I_0\) est le courant maximal que le générateur peut fournir à ce circuit, quelle que soit la fréquence. Le circuit est "transparent" à la résonance, seule la résistance R limite le courant.

Normes

Loi d'Ohm généralisée.

Formule(s)

Courant à la résonance (\(I_0\))

I_0 = \frac{E}{Z_0} = \frac{E}{R}

Hypothèses

On se place toujours à \(\omega = \omega_0\). La tension \(E\) est la valeur efficace.

Régime sinusoïdal permanent.

Donnée(s)

Données nécessaires : \(E\) et \(R\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension efficace	E	10	V
Résistance	R	20	Ω

Astuces

Puisque \(Z_0 = R\), le calcul est très simple. Assurez-vous d'utiliser la tension efficace \(E\) pour obtenir un courant efficace \(I_0\).

Schéma (Avant les calculs)

On reprend le schéma équivalent de la Q2. Le problème se réduit à un simple circuit résistif.

Schéma équivalent à la résonance

Calcul(s)

Application de la loi d'Ohm

On remplace E par sa valeur (10 V) et R par sa valeur (20 \(\Omega\)).

\begin{aligned} I_0 &= \frac{E}{R} \\ &= \frac{10 \text{ V}}{20 \, \Omega} \\ \Rightarrow I_0 &= 0.5 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce courant \(I_0\) est le pic de la courbe de résonance du courant \(I(\omega)\).

Courant \(I(\omega)\) vs Pulsation \(\omega\)

Réflexions

Le courant efficace dans le circuit est de 0.5 A. C'est ce courant qui traverse R, L, et C (puisqu'ils sont en série). C'est avec ce courant que nous allons calculer les tensions à leurs bornes.

Points de vigilance

Bien utiliser l'impédance à la résonance (\(Z_0 = R\)) et non l'impédance à une autre fréquence. Si la fréquence était différente, il faudrait calculer \(Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}\), ce qui donnerait un \(Z > R\) et donc un \(I < I_0\).

Points à retenir

À la résonance série : \(I_0 = E/R\).
Le courant est maximal.

Le saviez-vous ?

Si la résistance R était très faible (par ex. \(1 \, \Omega\)), le courant de résonance serait \(I_0 = 10\text{V} / 1\Omega = 10 \text{ A}\). C'est pourquoi la résonance peut être dangereuse dans les circuits de puissance : un courant très élevé peut apparaître si l'on n'y prend pas garde, détruisant les composants ou faisant sauter les protections.

FAQ

...

Résultat Final

Le courant efficace à la résonance est \(I_0 = 0.5 \text{ A}\).

A vous de jouer

Si la tension d'entrée \(E\) était de \(20 \text{ V}\) (avec R=20 \(\Omega\)), que vaudrait le courant \(I_0\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm à la résonance.
Formule Essentielle : \(I_0 = E / R\).

Question 4 : Calcul du facteur de qualité

Principe

[Rôle : Poser l'objectif physique ou logique de la question, le "pourquoi" avant le "comment".]

Le facteur de qualité QNombre sans dimension (\(Q = \omega_0 L / R\)) qui mesure l'acuité de la résonance. Si \(Q > 1\), il y a surtension. est un nombre sans dimension qui caractérise l'acuité de la résonance. Plus Q est élevé, plus la résonance est "pointue" (le pic de courant est étroit) et plus la surtension sera importante.

Mini-Cours

Il existe trois formules équivalentes pour calculer Q à la résonance : \[ Q = \frac{\omega_0 L}{R} \] \[ Q = \frac{1}{R \omega_0 C} \] \[ Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \] Utiliser l'une ou l'autre doit donner le même résultat. La première est souvent la plus simple si on a déjà \(\omega_0\).

Remarque Pédagogique

On peut voir Q comme le rapport entre l'énergie stockée dans les composants réactifs (L et C) et l'énergie dissipée par la résistance (R) à chaque cycle. Un Q élevé signifie que le circuit stocke beaucoup d'énergie par rapport à ce qu'il dissipe.

Normes

N/A. Définition standard du facteur de qualité.

Formule(s)

Facteur de Qualité (Q)

Q = \frac{\omega_0 L}{R}

Hypothèses

Les valeurs de R, L, et \(\omega_0\) sont celles calculées ou données précédemment.

Donnée(s)

Nous avons besoin de \(\omega_0\), L, et R.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pulsation de résonance	ω₀	1000	rad/s
Inductance	L	0.1	H
Résistance	R	20	Ω

Astuces

Pour vérifier, on peut calculer Q avec l'autre formule : \(Q = 1 / (R \omega_0 C) = 1 / (20 \times 1000 \times 10 \times 10^{-6}) = 1 / (20 \times 10^{-2}) = 1 / 0.2 = 5\). Le résultat est identique.

Schéma (Avant les calculs)

Q est directement lié à l'étroitesse de la courbe de résonance (voir schéma Q3). Un Q plus élevé donnerait un pic plus haut et plus étroit.

Calcul(s)

Application de la formule

On remplace \(\omega_0\), L et R par leurs valeurs respectives.

\begin{aligned} Q &= \frac{\omega_0 L}{R} \\ &= \frac{1000 \times 0.1}{20} \\ &= \frac{100}{20} \\ \Rightarrow Q &= 5 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Q=5. C'est un nombre sans dimension.

Réflexions

Un facteur de qualité de 5 est supérieur à 1 (\(Q > 1\)), ce qui indique que le circuit est "sélectif" et qu'un phénomène de surtension est à prévoir. C'est la clé de la question suivante.

Points de vigilance

Vérifier que Q est sans dimension. Si vous obtenez des Ohms ou des Farads, c'est qu'il y a une erreur dans la formule ou les unités. \(\omega L\) est en \(\Omega\), R est en \(\Omega\). \(\Omega / \Omega\) est bien sans dimension.

Points à retenir

\(Q = \omega_0 L / R = 1 / (R \omega_0 C)\).
Si \(Q > 1\), il y a résonance "aiguë" et surtension.
Si \(Q < 1\), la résonance est "floue" et il n'y a pas de surtension.

Le saviez-vous ?

Des circuits résonants de très haute qualité, comme les cavités supraconductrices utilisées dans les accélérateurs de particules (comme au CERN), peuvent avoir des facteurs de qualité \(Q\) dépassant \(10^9\) (un milliard) !

FAQ

...

Résultat Final

Le facteur de qualité est \(Q = 5\).

A vous de jouer

Si la résistance \(R\) était diminuée à \(10 \, \Omega\), que vaudrait le nouveau facteur de qualité \(Q'\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Acuité de la résonance.
Formule Essentielle : \(Q = \omega_0 L / R\).
Interprétation : Prédit la surtension.

Question 5 : Calcul de la tension \(U_C\) et conclusion

Principe

C'est le point culminant. Nous allons calculer la tension aux bornes du condensateur (\(U_C\)) en utilisant le courant de résonance \(I_0\) et la réactance du condensateur à \(\omega_0\). Nous comparerons ensuite \(U_C\) à la tension d'entrée \(E\) pour quantifier la surtension.

Mini-Cours

Par la loi d'Ohm aux bornes de C : \(U_C = Z_C \times I\). En module (valeurs efficaces) et à la résonance : \(U_C = X_C(\omega_0) \times I_0\). Avec \(X_C(\omega_0) = 1/(\omega_0 C)\) et \(I_0 = E/R\). Donc \(U_C = \frac{1}{\omega_0 C} \times \frac{E}{R} = \left(\frac{1}{R \omega_0 C}\right) \times E\). On reconnaît \(Q = 1/(R \omega_0 C)\), d'où la formule magique : \(U_C = Q \times E\).

Remarque Pédagogique

[Rôle : Donner une stratégie, un conseil méthodologique pour aborder le problème efficacement.]

Le phénomène de surtensionPhénomène à la résonance où la tension aux bornes de L et C (\(U_L\), \(U_C\)) devient \(Q\) fois supérieure à la tension d'alimentation \(E\). est la conséquence directe d'un facteur de qualité \(Q > 1\). La tension aux bornes de C (et aussi de L) devient \(Q\) fois plus grande que la tension qui alimente l'ensemble du circuit !

Normes

[Rôle : Spécifier les règlements ou standards professionnels qui encadrent le calcul.]

N/A. Application des lois fondamentales.

Formule(s)

Tension Condensateur (Méthode 1)

U_C = I_0 \times X_C = I_0 \times \left( \frac{1}{\omega_0 C} \right)

Tension Condensateur (Méthode 2)

U_C = Q \times E

Hypothèses

On est à la résonance, \(\omega = \omega_0\).

Donnée(s)

Nous avons toutes les valeurs nécessaires.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant de résonance	I₀	0.5	A
Pulsation de résonance	ω₀	1000	rad/s
Capacité	C	10 \(\times 10^{-6}\)	F
Facteur de Qualité	Q	5	(sans)
Tension d'entrée	E	10	V

Astuces

La méthode \(U_C = Q \times E\) est la plus rapide et la plus élégante. Elle montre directement le lien entre Q et la surtension. On peut utiliser la première méthode pour vérifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la tension \(u_c(t)\) sur le schéma de l'énoncé, spécifiquement à la pulsation \(\omega_0\).

Calcul(s)

Méthode 1 : Calcul direct

On calcule d'abord la réactance du condensateur \(X_C\) à la pulsation \(\omega_0\), puis on applique la loi d'Ohm \(U_C = X_C \times I_0\).

1. Réactance X_C :

\begin{aligned} \\ X_C &= \frac{1}{\omega_0 C} \\ &= \frac{1}{1000 \times (10 \times 10^{-6})} \\ &= \frac{1}{10^3 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^4 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{1}{10^{-2}} \\ \Rightarrow X_C &= 100 \, \Omega \end{aligned}

2. Tension U_C :

\begin{aligned} U_C &= I_0 \times X_C \\ &= 0.5 \text{ A} \times 100 \, \Omega \\ \Rightarrow U_C &= 50 \text{ V} \end{aligned}

Méthode 2 : Utilisation de Q

On utilise la formule directe qui lie la surtension au facteur de qualité Q.

\begin{aligned} U_C &= Q \times E \\ &= 5 \times 10 \text{ V} \\ \Rightarrow U_C &= 50 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel (vecteurs de tension) à la résonance. \(\underline{U}_L\) et \(\underline{U}_C\) sont opposés et bien plus grands que \(\underline{E}\).

Diagramme de Fresnel à la résonance

Réflexions

Conclusion : La tension d'alimentation est \(E = 10 \text{ V}\), mais à la résonance, la tension aux bornes du condensateur monte à \(U_C = 50 \text{ V}\) ! Elle est 5 fois supérieure à la tension d'entrée. C'est le phénomène de surtension à la résonance. Le rapport \(U_C / E = 50 / 10 = 5\), ce qui est bien égal au facteur de qualité \(Q\).

Points de vigilance

Ce phénomène peut être dangereux. Si un condensateur est conçu pour une tension nominale de 20V et qu'il est placé dans ce circuit, il sera détruit à la résonance ! Il en va de même pour l'inductance, qui subit aussi \(U_L = Q \times E = 50 \text{ V}\).

Points à retenir

La surtension aux bornes de C (et de L) à la résonance est donnée par \(U_C = U_L = Q \times E\).
Ce phénomène n'apparaît que si \(Q > 1\).
Les tensions \(\underline{U}_L\) et \(\underline{U}_C\) s'annulent, la tension totale reste \(\underline{E} = \underline{U}_R\).

Le saviez-vous ?

Nikola Tesla a utilisé ce principe de résonance pour créer des tensions extraordinairement élevées. Sa fameuse "Bobine Tesla" est un transformateur à résonance qui utilise deux circuits LC couplés pour générer des arcs électriques de plusieurs millions de volts, transformant une tension d'entrée de quelques kilovolts.

FAQ

...

Résultat Final

La tension efficace aux bornes du condensateur est \(U_C = 50 \text{ V}\). C'est 5 fois la tension d'alimentation : il y a surtension.

A vous de jouer

Si on garde \(Q=5\) mais qu'on alimente le circuit avec \(E = 2 \text{ V}\), quelle sera la tension \(U_C\) à la résonance ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Surtension.
Formule Essentielle : \(U_C = Q \times E\).
Conséquence : Risque pour les composants.

Outil Interactif : Simulateur de Surtension

Explorez comment la résistance (R) et la tension d'entrée (E) influencent le facteur de qualité (Q) et la surtension (\(U_C\)) à la résonance. Le simulateur trace aussi la courbe de résonance du courant. (L et C sont fixés à 0.1 H et 10 µF, donc \(\omega_0 = 1000 \text{ rad/s}\)).

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) (Ω) 20 Ω

Tension d'Entrée (E) (V) 10 V

Résultats Clés (à la résonance)

Facteur de Qualité (Q) -

Courant de Résonance \(I_0\) (A) -

Surtension \(U_C\) (V) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'arrive-t-il à l'impédance d'un circuit RLC série à la résonance ?

Elle est minimale et vaut R.
Elle est maximale.
Elle est nulle.

2. Quelle est l'une des formules correctes du facteur de qualité Q ?

\(Q = R / (\omega_0 L)\)
\(Q = E / R\)
\(Q = (\omega_0 L) / R\)

5. Si on double la résistance R (de 20 à 40 Ω), que devient le facteur de qualité Q ?

Il double (Q=10).
Il est divisé par 2 (Q=2.5).
Il ne change pas (Q=5).

Glossaire

Résonance (RLC Série): Phénomène se produisant à la pulsation \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) où les réactances s'annulent. L'impédance est minimale (Z=R) et le courant est maximal (I=E/R).
Facteur de Qualité (Q): Nombre sans dimension (\(Q = \omega_0 L / R\)) qui mesure l'acuité de la résonance. Si \(Q > 1\), il y a surtension.
Surtension: Phénomène à la résonance où la tension aux bornes de L et C (\(U_L\), \(U_C\)) devient \(Q\) fois supérieure à la tension d'alimentation \(E\).
Impédance (\(\underline{Z}\)): Opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe \(\underline{Z} = R + jX\), où R est la résistance et X la réactance.
Réactance (X): Partie imaginaire de l'impédance. Réactance inductive \(X_L = \omega L\) (positive) et réactance capacitive \(X_C = -1/(\omega C)\) (négative).