Circuits Électriques

Analyse d’un Déphaseur RC

Analyse d'un Déphaseur RC

Analyse d'un Déphaseur : Circuit RC

Contexte : Le Régime Sinusoïdal ForcéL'étude des circuits électriques alimentés par une source de tension ou de courant qui varie de manière sinusoïdale (comme le courant domestique)..

En électronique, il est souvent nécessaire de modifier la phase d'un signal, c'est-à-dire de le "retarder" ou de "l'avancer" dans le temps. Le circuit RC, composé d'une simple résistance (R) et d'un condensateur (C), est le moyen le plus fondamental pour y parvenir. Il agit comme un filtre qui non seulement atténue certaines fréquences mais introduit aussi un décalage de phase entre la tension de sortie et la tension d'entrée. Cet exercice vise à analyser ce comportement en utilisant l'outil des impédances complexesUne généralisation de la résistance pour les circuits en régime sinusoïdal. Elle prend en compte la résistance et le déphasage introduits par les bobines et les condensateurs..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un circuit simple en régime sinusoïdal, à calculer sa fonction de transfertUne fonction mathématique qui décrit comment un circuit (ou système) modifie l'amplitude et la phase d'un signal d'entrée pour produire le signal de sortie., et à interpréter physiquement ses résultats (gain, phase, fréquence de coupure). C'est la base de l'analyse de tous les filtres analogiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'impédance complexe d'une résistance et d'un condensateur.
  • Appliquer le concept de pont diviseur de tension en notation complexe.
  • Déterminer la fonction de transfert \(\underline{H}(j\omega)\) d'un circuit RC.
  • Calculer la pulsation de coupure \(\omega_c\) à -3 dB.
  • Analyser le gain et la phase d'un filtre passe-bas du premier ordre.

Données de l'étude

On étudie le circuit RC simple ci-dessous, alimenté par une tension sinusoïdale \(v_e(t)\) de pulsation \(\omega\). On souhaite analyser la tension de sortie \(v_s(t)\) aux bornes du condensateur.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Résistance (R) \(10 \text{ k}\Omega\)
Condensateur (C) \(100 \text{ nF}\)
Tension d'entrée \(v_e(t)\) (sinusoïdale)
Tension de sortie \(v_s(t)\) (aux bornes de C)
Schéma du Circuit Déphaseur RC
ve(t) ve(t) R C vs(t)
Paramètre Description ou Formule Valeur Unité
R Résistance 10 k\(\Omega\)
C Capacité 100 nF

Questions à traiter

  1. Déterminer les impédances complexes \(\underline{Z}_R\) de la résistance et \(\underline{Z}_C\) du condensateur en fonction de \(\omega\).
  2. En utilisant le pont diviseur de tension, exprimer la fonction de transfert complexe \(\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e}\).
  3. Mettre \(\underline{H}(j\omega)\) sous la forme \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). En déduire l'expression de la pulsation de coupure \(\omega_c\) en fonction de R et C.
  4. Calculer la valeur numérique de la pulsation de coupure \(\omega_c\), puis de la fréquence de coupure \(f_c\).
  5. Calculer le gain \(G_{dB}\) (en dB) et la phase \(\phi\) (en degrés) du circuit à cette pulsation de coupure \(\omega_c\).

Les bases sur les Impédances Complexes

Pour analyser les circuits en régime sinusoïdal (AC), on remplace les tensions \(v(t)\) par leurs phaseurs (nombres complexes) \(\underline{V}\) et les composants R, L, C par leurs impédances complexes \(\underline{Z}\).

1. Résistance (R)
La tension et le courant sont en phase. L'impédance est un nombre réel et ne dépend pas de la fréquence. \[ \underline{Z}_R = R \]

2. Condensateur (C)
Le courant est en avance de 90° (\(\pi/2\)) sur la tension. L'impédance est un nombre imaginaire pur qui dépend de la pulsation \(\omega\). \[ \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \] (Rappel : \(1/j = -j\))

3. Bobine (L)
La tension est en avance de 90° (\(\pi/2\)) sur le courant. L'impédance est un nombre imaginaire pur. \[ \underline{Z}_L = jL\omega \]

Correction : Analyse d'un Déphaseur RC

Question 1 : Déterminer les impédances complexes \(\underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_C\).

Principe

Cette première étape consiste à "traduire" notre circuit du domaine temporel (avec \(v(t)\)) vers le domaine complexe (ou fréquentiel, avec \(\underline{V}\)). Pour cela, on remplace chaque composant passif (R et C) par son "obstacle" équivalent au passage d'un courant alternatif, c'est-à-dire son impédance complexe \(\underline{Z}\).

Mini-Cours

L'impédance \(\underline{Z}\) est définie par la loi d'Ohm généralisée : \(\underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I}\).

  • Pour une résistance R, la tension et le courant sont toujours en phase. Son impédance est donc réelle et vaut \(R\).
  • Pour un condensateur C, la relation est \(i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}\). En notation complexe, cela devient \(\underline{I} = C (j\omega \underline{V})\), soit \(\underline{V} = \frac{1}{jC\omega} \underline{I}\). Par identification, on trouve \(\underline{Z}_C\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante. Si les impédances sont fausses, tout le reste de l'analyse le sera. Retenez simplement : \(R \rightarrow R\) et \(C \rightarrow 1/(jC\omega)\). La notation \(\omega\) (pulsation en rad/s) est la "vitesse" de rotation du signal, liée à la fréquence \(f\) (en Hz) par \(\omega = 2\pi f\).

Normes

Il n'y a pas de "norme" au sens réglementaire ici, mais une convention de notation universellement acceptée en électricité et en électronique pour l'analyse des circuits en régime sinusoïdal (notation complexe issue de la transformation de Steinmetz).

Formule(s)

Ce sont les définitions directes des impédances à connaître par cœur.

Impédance de la résistance

\[ \underline{Z}_R = R \]

Impédance du condensateur

\[ \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} \]
Hypothèses

On se place dans le cadre d'une analyse en régime sinusoïdal établi (ou permanent). On suppose que la source de tension est parfaite (pas de résistance interne) et que les composants (R et C) sont idéaux et linéaires.

Donnée(s)

Pour cette question, nous n'avons pas besoin des valeurs numériques, juste des noms des composants (R et C) et de la pulsation \(\omega\).

Astuces

Pour se souvenir que \(\underline{Z}_C = 1/(jC\omega)\) (et non \(jC\omega\)), pensez à la physique : un condensateur bloque le courant continu (\(\omega=0\)). Si \(\omega=0\), alors \(|\underline{Z}_C| \rightarrow \infty\). C'est bien le cas de \(1/(jC\cdot 0)\). Si vous aviez pris \(jC\omega\), l'impédance serait nulle, ce qui est faux.

Schéma (Avant les calculs)

On redessine le circuit en remplaçant les composants par leurs "boîtes" d'impédance \(\underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_C\).

Modélisation du circuit en impédances complexes
Ve Ve ZR ZC Vs
Calcul(s)

Il s'agit d'une application directe des formules de définition du mini-cours. Il n'y a pas de calcul à proprement parler, juste une identification.

Étape 1 : Impédance de la résistance R

\[ \underline{Z}_R = R \]

Étape 2 : Impédance du condensateur C

\[ \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} \]
Schéma (Après les calculs)

Non pertinent pour cette étape, le schéma d'avant calcul est suffisant. On peut cependant visualiser ces impédances dans le plan de Fresnel (ou plan complexe).

Représentation des impédances (Plan de Fresnel)
Re (Réel) Im (Imaginaire) ZR = R ZC = -j/(Cω)
Réflexions

\(\underline{Z}_R\) est un nombre réel positif : la résistance ne déphase pas le courant, elle ne fait que s'y "opposer". \(\underline{Z}_C\) est un nombre imaginaire pur négatif (car \(1/j = -j\)). Cela signifie que le condensateur introduit un déphasage de -90° (ou \(-\pi/2\) radians) entre la tension à ses bornes et le courant qui le traverse. C'est la propriété fondamentale qui va permettre de "décaler la phase" du signal.

Points de vigilance

Ne jamais oublier le \(j\) ! L'impédance de C n'est pas \(1/(C\omega)\) mais bien \(1/(jC\omega)\). Ce \(j\) est la clé de tout, c'est lui qui porte l'information de déphasage. Omettre le \(j\) est l'erreur la plus fréquente et elle fausse toute l'analyse de la phase.

Points à retenir
  • L'impédance d'une résistance est \(\underline{Z}_R = R\).
  • L'impédance d'un condensateur est \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}\).
  • \(\omega\) est la pulsation en \(\text{rad/s}\).
Le saviez-vous ?

Le \(j\) utilisé en électricité (au lieu du \(i\) des mathématiciens) a été popularisé par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric. Il a choisi \(j\) pour éviter la confusion avec le courant, déjà noté \(i\) (pour intensité). Cette notation est devenue la norme en ingénierie électrique.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi l'impédance de C dépend de \(\omega\) et pas celle de R ?

Physiquement, une résistance s'oppose au courant de la même manière, qu'il soit continu ou alternatif. Un condensateur, en revanche, se comporte différemment : il bloque le continu (\(\omega=0\), impédance infinie) et laisse passer d'autant plus facilement le courant que la fréquence est élevée (\(\omega \rightarrow \infty\), impédance nulle). L'impédance doit donc dépendre de \(\omega\).

Qu'est-ce que \(j\) ?

\(j\) est le nombre complexe tel que \(j^2 = -1\). En mathématiques, il est noté \(i\). C'est un outil mathématique qui permet de représenter à la fois une amplitude (le module du nombre complexe) et une phase (l'argument du nombre complexe) en un seul nombre.

Résultat Final
Les impédances complexes sont : \(\underline{Z}_R = R\) et \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}\).
A vous de jouer

Quelle serait l'impédance totale \(\underline{Z}_{eq}\) de ce circuit (l'impédance "vue" par la source \(v_e\)) ? (Les deux composants sont en série).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Traduction R, C en impédances \(\underline{Z}\).
  • Formule Essentielle : \(\underline{Z}_R = R\) et \(\underline{Z}_C = 1/(jC\omega)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le \(j\) pour \(\underline{Z}_C\).

Question 2 : Exprimer la fonction de transfert complexe \(\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e}\).

Principe

Maintenant que le circuit est en "mode impédance", on peut utiliser toutes les lois de l'électricité classique (loi d'Ohm, Millman, Thévenin...) mais en utilisant les impédances complexes. La "fonction de transfert" \(\underline{H}(j\omega)\) est simplement le rapport entre la tension de sortie \(\underline{V}_s\) et la tension d'entrée \(\underline{V}_e\). Le moyen le plus rapide ici est de reconnaître un pont diviseur de tensionUne configuration de circuit simple où deux impédances en série "divisent" la tension d'entrée. La tension aux bornes d'une des impédances est une fraction de la tension totale..

Mini-Cours

Pont Diviseur de Tension :
Pour deux impédances \(\underline{Z}_1\) et \(\underline{Z}_2\) en série, alimentées par une tension \(\underline{V}_e\), la tension \(\underline{V}_s\) aux bornes de \(\underline{Z}_2\) est donnée par : \[ \underline{V}_s = \underline{V}_e \cdot \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2} \] La fonction de transfert est donc : \[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2} \]

Remarque Pédagogique

Le pont diviseur est un schéma fondamental. Ici, \(\underline{Z}_1\) est la résistance R (\(\underline{Z}_R\)) et \(\underline{Z}_2\) est le condensateur C (\(\underline{Z}_C\)), car la tension de sortie \(\underline{V}_s\) est prise à ses bornes. Il suffit d'appliquer la formule.

Normes

N/A (C'est une loi fondamentale de l'électricité, pas une norme.)

Formule(s)

Formule du pont diviseur de tension

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{Z}_{\text{sortie}}}{\underline{Z}_{\text{série}}} = \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C} \]
Hypothèses

On suppose que le courant \(i\) qui traverse R est le même que celui qui traverse C (montage série). On suppose aussi que rien n'est branché en sortie (la tension \(\underline{V}_s\) est mesurée "à vide"), sinon l'impédance de l'appareil de mesure modifierait le pont diviseur.

Donnée(s)

On utilise les résultats de la Question 1 :

  • \(\underline{Z}_R = R\)
  • \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}\)
Astuces

La fonction de transfert est toujours "Impédance aux bornes de laquelle on mesure" divisée par "Somme des impédances en série". Si on avait mesuré la tension aux bornes de R, la fonction de transfert aurait été \(\frac{\underline{Z}_R}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la Question 1 est le bon : on identifie \(\underline{Z}_1 = \underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_2 = \underline{Z}_C\).

Identification du Pont Diviseur
Ve Ve Z1 = ZR Z2 = ZC Vs
Calcul(s)

On applique la formule du pont diviseur en remplaçant \(\underline{Z}_{\text{sortie}}\) par \(\underline{Z}_C\) et \(\underline{Z}_{\text{série}}\) par la somme \(\underline{Z}_R + \underline{Z}_C\).

Étape 1 : Application de la formule

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{V}_s}{\underline{V}_e} = \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C} \]

Étape 2 : Remplacement par les expressions

On remplace \(\underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_C\) par leurs expressions trouvées à la Q1.

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut représenter la fonction de transfert comme une "boîte noire" qui transforme \(\underline{V}_e\) en \(\underline{V}_s\).

La Fonction de Transfert H(jω)
H(jω) Ve Vs
Réflexions

L'expression \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1/(jC\omega)}{R + 1/(jC\omega)}\) est la "réponse" brute de la question. Elle est correcte, mais peu élégante et difficile à analyser. La prochaine question consistera à la simplifier pour la rendre "parlante", c'est-à-dire pour faire apparaître des termes physiquement identifiables.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'inverser le pont diviseur : écrire \(\frac{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C}{\underline{Z}_C}\) (ce qui serait \(\underline{V}_e / \underline{V}_s\)) ou \(\frac{\underline{Z}_R}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C}\) (ce qui serait la tension aux bornes de R). Vérifiez toujours quelle est la tension de sortie \(\underline{V}_s\) et aux bornes de quel composant (\(\underline{Z}_2\)) elle est prise.

Points à retenir
  • La formule du pont diviseur de tension est \(\underline{V}_s = \underline{V}_e \cdot \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\).
  • La fonction de transfert est le rapport \(\underline{H} = \underline{V}_s / \underline{V}_e\).
  • Pour ce circuit : \(\underline{Z}_1 = \underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_2 = \underline{Z}_C\).
Le saviez-vous ?

Le concept de "fonction de transfert" est central en automatique et en traitement du signal, bien au-delà de l'électricité. Il décrit le comportement de n'importe quel système linéaire (un amortisseur de voiture, un système de chauffage, un filtre audio...) en montrant comment il réagit aux différentes fréquences d'excitation.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Et si le circuit n'est pas un pont diviseur simple ?

Si le circuit est plus complexe (ex: plusieurs branches en parallèle), on ne peut pas toujours utiliser le pont diviseur. Il faut alors utiliser des méthodes plus générales comme la loi des nœuds (Théorème de Millman) ou la loi des mailles, toujours en utilisant les impédances complexes.

Que représente \(\underline{H}(j\omega)\) concrètement ?

C'est un nombre complexe qui dépend de la fréquence \(\omega\). Son module \(|\underline{H}(j\omega)|\) vous dit de combien la tension est amplifiée ou atténuée (le Gain). Son argument \(\text{arg}(\underline{H}(j\omega))\) vous dit de quel angle (la Phase) la tension de sortie est décalée par rapport à l'entrée.

Résultat Final
La fonction de transfert est : \(\underline{H}(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}}\).
A vous de jouer

Quelle serait la fonction de transfert \(\underline{H}'(j\omega)\) si on avait pris la tension de sortie \(\underline{V}_s'\) aux bornes de la résistance R ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Pont diviseur de tension complexe.
  • Formule Essentielle : \(\underline{H} = \underline{Z}_2 / (\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2)\).
  • Application : \(\underline{H} = \underline{Z}_C / (\underline{Z}_R + \underline{Z}_C)\).

Question 3 : Mettre \(\underline{H}(j\omega)\) sous forme canonique et identifier \(\omega_c\).

Principe

L'expression \(\frac{1/(jC\omega)}{R + 1/(jC\omega)}\) est mathématiquement correcte mais peu pratique. L'objectif est de la "nettoyer" pour la mettre sous une forme standard, appelée "forme canonique". Pour un filtre du premier ordre comme celui-ci, la forme canonique est \( \frac{K}{1 + j(\omega/\omega_c)} \) (pour un passe-bas) ou \( \frac{K \cdot j(\omega/\omega_c)}{1 + j(\omega/\omega_c)} \) (pour un passe-haut). Cette forme fait apparaître directement le gain statique \(K\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\).

Mini-Cours

Forme Canonique (Passe-Bas 1er Ordre) : \[ \underline{H}(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \] Où :

  • \(K\) est le gain statique (gain lorsque \(\omega \rightarrow 0\)). Pour notre circuit, on s'attend à \(K=1\) (le condensateur se comporte comme un circuit ouvert, \(\underline{V}_s = \underline{V}_e\)).
  • \(\omega_c\) est la pulsation de coupure. C'est la pulsation à laquelle le gain a chuté de 3 dB par rapport au gain statique.
L'objectif est de manipuler notre expression pour la faire ressembler exactement à celle-ci.

Remarque Pédagogique

L'astuce mathématique pour passer de \(\frac{1/(jC\omega)}{R + 1/(jC\omega)}\) à la forme canonique est de se débarrasser des fractions au dénominateur. Pour cela, on multiplie le numérateur ET le dénominateur par le même terme, ici \(jC\omega\). Cela ne change pas la valeur de la fraction (c'est comme multiplier par 1).

Normes

N/A (Convention mathématique et d'ingénierie pour la standardisation de l'écriture des fonctions de transfert.)

Formule(s)

Expression de départ (Q2)

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \]

Forme canonique cible

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que celles des questions précédentes.

Donnée(s)

On part uniquement de l'expression de \(\underline{H}(j\omega)\) trouvée à la Q2.

Astuces

Pour obtenir un "1" dans une somme (comme le "1" dans \(1 + j... \)), on factorise par l'autre terme. Par exemple, dans \(A + B\), si on veut un 1, on factorise par A : \(A \cdot (1 + B/A)\). C'est ce qu'on fait implicitement ici en factorisant le dénominateur \(1 + jRC\omega\) par 1.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire pour cette étape de manipulation algébrique.

Calcul(s)

Étape 1 : Expression de départ

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \]

Étape 2 : Simplification (Multiplier haut et bas par \(jC\omega\))

Pour simplifier cette fraction "complexe", l'astuce est de multiplier le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) par le même terme, ici \((jC\omega)\). Cela ne change pas la valeur de la fraction.

\[ \underline{H}(j\omega) = \frac{\frac{1}{jC\omega} \cdot (jC\omega)}{(R + \frac{1}{jC\omega}) \cdot (jC\omega)} \]

Au numérateur :

\[ \frac{1}{jC\omega} \cdot (jC\omega) = 1 \]

Au dénominateur (on applique la distributivité) :

\[ R \cdot (jC\omega) + \frac{1}{jC\omega} \cdot (jC\omega) = jRC\omega + 1 \]

On obtient donc :

\[ \begin{aligned} \underline{H}(j\omega) &= \frac{1}{jRC\omega + 1} \\ \underline{H}(j\omega) &= \frac{1}{1 + jRC\omega} \end{aligned} \]

Étape 3 : Identification de \(\omega_c\)

On compare l'expression obtenue à la forme canonique cible : \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\) (Obtenu) \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\) (Cible) Par identification terme à terme, on voit que :

\[ jRC\omega = j\frac{\omega}{\omega_c} \]

En simplifiant par \(j\omega\) des deux côtés, on a :

\[ RC = \frac{1}{\omega_c} \]

Et donc, en inversant :

\[ \omega_c = \frac{1}{RC} \]
Schéma (Après les calculs)

Non pertinent. On a trouvé la relation algébrique.

Réflexions

On a trouvé \(\omega_c = 1/RC\). Le terme \( \tau = RC \) est appelé la "constante de temps" du circuit. On a donc \(\omega_c = 1/\tau\). C'est une relation fondamentale pour tous les circuits RC du premier ordre. La pulsation de coupure est l'inverse de la constante de temps. Plus la constante de temps est grande (plus le circuit est "lent" à réagir), plus la pulsation de coupure est basse (il "coupe" les fréquences plus tôt).

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est de se tromper dans l'identification. Assurez-vous que l'expression est bien sous la forme \(1 + j \cdot \text{quelquechose}\). Parfois, on obtient \(\frac{K}{A + jB}\). Il faut alors factoriser A au dénominateur pour obtenir \(\frac{K/A}{1 + j(B/A)}\) avant d'identifier \(\omega_c\).

Points à retenir
  • La forme canonique d'un filtre passe-bas du 1er ordre est \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j(\omega/\omega_c)}\).
  • La pulsation de coupure de ce circuit RC est \(\omega_c = 1/RC\).
  • La constante de temps est \(\tau = RC\). On a \(\omega_c = 1/\tau\).
Le saviez-vous ?

La "constante de temps" \(\tau = RC\) a une signification physique très concrète en régime transitoire (quand on applique un échelon de tension, pas une sinusoïde). C'est le temps nécessaire pour que le condensateur se charge à 63% de la tension finale. Il y a un lien direct entre le comportement transitoire (lent/rapide) et le comportement fréquentiel (coupe bas/coupe haut).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi l'appelle-t-on "forme canonique" ?

"Canonique" signifie "qui suit une règle, une forme standard". Utiliser cette forme permet aux ingénieurs de reconnaître immédiatement le type de filtre (passe-bas, passe-haut...), son ordre (1er, 2e...), son gain statique et sa fréquence de coupure, sans avoir à refaire tous les calculs.

Qu'est-ce que ce "gain statique" de 1 signifie ?

Le gain statique est le gain à \(\omega = 0\) (courant continu). Pour notre circuit, si \(\omega=0\), \(\underline{Z}_C = 1/(jC \cdot 0) \rightarrow \infty\). Le condensateur est un circuit ouvert. Aucun courant ne passe, donc il n'y a pas de chute de tension dans R. \(\underline{V}_s\) (aux bornes de C) est donc égale à \(\underline{V}_e\). Le rapport \(\underline{V}_s / \underline{V}_e = 1\). Notre formule \(\underline{H}(j\cdot 0) = \frac{1}{1 + 0} = 1\) confirme bien ce comportement physique.

Résultat Final
La fonction de transfert est \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\). Par identification avec \(\frac{1}{1 + j(\omega/\omega_c)}\), on trouve \(\omega_c = \frac{1}{RC}\).
A vous de jouer

Si on avait pris la sortie aux bornes de R (Q2 A vous de jouer), la fonction était \(\underline{H}'(j\omega) = \frac{R}{R+1/(jC\omega)}\). Mettez-la sous forme canonique \( \frac{K \cdot j(\omega/\omega_c)}{1 + j(\omega/\omega_c)} \). Que vaut \(\omega_c\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Mise en forme canonique d'un filtre passe-bas.
  • Formule Essentielle : \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j(\omega/\omega_c)}\).
  • Résultat : \(\omega_c = 1/RC\).

Question 4 : Calculer la valeur numérique de \(\omega_c\) et \(f_c\).

Principe

Maintenant que nous avons les formules littérales (avec les lettres R et C), il est temps de passer à l'application numérique. Nous allons utiliser les valeurs de R et C fournies dans l'énoncé pour calculer la valeur chiffrée de la pulsation de coupure \(\omega_c\). Ensuite, nous la convertirons en fréquence de coupure \(f_c\) (en Hertz), qui est plus parlante dans la pratique.

Mini-Cours

Relation Pulsation (rad/s) et Fréquence (Hz) :

  • La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est la vitesse angulaire du phaseur. Elle est utilisée dans les calculs (\(j\omega\)).
  • La fréquence \(f\) (en Hertz) est le nombre de cycles (tours) par seconde. C'est l'unité la plus courante (ex: 50 Hz pour le secteur).
Un tour complet fait \(2\pi\) radians. Donc, pour \(f\) tours par seconde, la vitesse angulaire est \(\omega = 2\pi \cdot f\). Inversement, \(f = \omega / (2\pi)\). Cette relation s'applique aussi à la coupure : \[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \]

Remarque Pédagogique

L'étape la plus critique ici est la gestion des unités et des puissances de 10. Les composants sont donnés en kilo-Ohms (\(k\Omega\)) et nano-Farads (\(nF\)). Il est impératif de tout convertir en unités de base du Système International (Ohms \(\Omega\), Farads \(F\)) avant de faire le calcul.

Normes

N/A (Application numérique.)

Formule(s)

Formule de la pulsation de coupure (Q3)

\[ \omega_c = \frac{1}{RC} \]

Formule de conversion en fréquence

\[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \]
Hypothèses

Les valeurs des composants R et C sont supposées exactes (pas de tolérance).

Donnée(s)

Ce sont les valeurs de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité (SI)
RésistanceR \(10 \text{ k}\Omega\) \(10 \times 10^3 \, \Omega = 10^4 \, \Omega\)
CapacitéC \(100 \text{ nF}\) \(100 \times 10^{-9} \, \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}\)
Astuces

Lorsqu'on multiplie des puissances de 10, on additionne les exposants : \(10^A \times 10^B = 10^{A+B}\). Ici, on aura \(R \times C = (10^4) \times (10^{-7}) = 10^{4-7} = 10^{-3}\). C'est un moyen très rapide et sûr de faire le calcul de tête. Le produit \(k \times n\) (\(10^3 \times 10^{-9}\)) donne \(\mu\) (\(10^{-6}\)), mais ici on a \(10k \times 100n\), donc le calcul est plus simple.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser l'axe des fréquences (ou pulsations) avec la coupure \(\omega_c\) qui sépare la "bande passante" (où le filtre laisse passer) de la "bande coupée" (où il atténue).

Position de la pulsation de coupure
ω 0 ωc = ? Bande Passante Bande Coupée
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la constante de temps \(\tau = RC\)

On commence par calculer le produit \(RC\) en utilisant les valeurs en unités SI.

On insère les valeurs numériques. \(R = 10 \text{ k}\Omega = 10 \times 10^3 \, \Omega = 10^4 \, \Omega\).
\(C = 100 \text{ nF} = 100 \times 10^{-9} \, \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}\).

\[ \begin{aligned} \tau = RC &= (10 \times 10^3 \, \Omega) \times (100 \times 10^{-9} \, \text{F}) \\ &= (10^4) \times (100 \times 10^{-9}) \end{aligned} \]

Note : \(100 \times 10^{-9} = 10^2 \times 10^{-9} = 10^{-7}\). On a donc :

\[ \begin{aligned} \tau &= 10^4 \times (1 \times 10^{-7}) \\ &= 10^{4-7} = 10^{-3} \, \text{s} \\ \tau &= 1 \, \text{ms} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de \(\omega_c\)

On utilise la formule \(\omega_c = 1/\tau\).

\[ \begin{aligned} \omega_c &= \frac{1}{\tau} = \frac{1}{10^{-3} \, \text{s}} \\ \omega_c &= 10^3 \, \text{rad/s} = 1000 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de \(f_c\)

On utilise la formule de conversion \(f_c = \omega_c / (2\pi)\).

\[ \begin{aligned} f_c &= \frac{1000}{2\pi} \\ f_c &\approx \frac{1000}{2 \times 3.14159} \\ f_c &\approx \frac{1000}{6.283} \approx 159.15 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant mettre à jour notre schéma de l'axe des fréquences avec la valeur trouvée.

Position de la pulsation de coupure
ω 0 ωc = 1000 Bande Passante Bande Coupée
Réflexions

Ce circuit "laisse passer" les signaux dont la pulsation est inférieure à 1000 rad/s (ou fréquence < 159 Hz) et "coupe" (atténue) ceux qui sont au-dessus. C'est pourquoi on l'appelle un filtre passe-bas. Cette valeur de 159 Hz est typique des filtres audio ou des alimentations.

Points de vigilance

L'erreur N°1 : Les Unités ! Si vous calculez \(\frac{1}{10 \times 100}\), vous obtenez 0.001. C'est faux. Si vous calculez \(\frac{1}{(10 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-9})}\) = \(\frac{1}{10^4 \times 10^{-7}}\) = \(\frac{1}{10^{-3}}\) = 1000. C'est juste. Ne mélangez jamais les k\(\Omega\), nF, \(\Omega\), F. TOUT en \(\Omega\) et F.

Points à retenir
  • Conversion des préfixes : \(k \rightarrow 10^3\), \(n \rightarrow 10^{-9}\), \(\mu \rightarrow 10^{-6}\), \(m \rightarrow 10^{-3}\).
  • Calcul : \(\omega_c = 1/RC\).
  • Conversion fréquence : \(f_c = \omega_c / (2\pi)\).
Le saviez-vous ?

Le produit RC a la dimension d'un temps. On peut le vérifier : \([\text{Ohms}] \times [\text{Farads}]\). Par définition, \(U=RI \Rightarrow R = U/I\). Et \(I = C (dU/dt) \Rightarrow C = I / (dU/dt)\). \( [R] \times [C] = [U/I] \times [I / (U/T)] = [U/I] \times [I \cdot T / U] \). Les \(U\) et les \(I\) s'annulent, il reste \([T]\), une constante de tempsLe temps caractéristique d'un système. Pour un circuit RC, c'est le temps \(\tau = RC\)..

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Je dois apprendre \(\omega_c = 1/RC\) ou \(f_c = 1/(2\pi RC)\) ?

Apprenez \(\omega_c = 1/RC\). C'est la relation la plus directe qui sort des calculs avec \(j\omega\). La formule pour \(f_c\) s'en déduit trivialement en divisant par \(2\pi\). Essayer d'apprendre les deux est une source d'erreur (oubli du \(2\pi\)).

Résultat Final
La pulsation de coupure est \(\omega_c = 1000 \text{ rad/s}\).
La fréquence de coupure est \(f_c \approx 159 \text{ Hz}\).
A vous de jouer

Si on double la valeur de la résistance (R = 20 k\(\Omega\)), que devient la fréquence de coupure \(f_c\) ? (Attention, on demande \(f_c\), pas \(\omega_c\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Application numérique et conversion \(\omega \rightarrow f\).
  • Formule Essentielle : \(\omega_c = 1/RC\) et \(f_c = \omega_c / (2\pi)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Unités SI ! \(k\Omega \rightarrow \Omega\), \(nF \rightarrow F\).

Question 5 : Calculer le gain \(G_{dB}\) et la phase \(\phi\) à \(\omega = \omega_c\).

Principe

C'est la définition même de la pulsation de coupure. Nous allons évaluer notre fonction de transfert \(\underline{H}(j\omega)\) en remplaçant \(\omega\) par la valeur \(\omega_c\) que nous venons de trouver. Cela va nous donner un nombre complexe spécifique. Nous calculerons ensuite le module (pour le gain) et l'argument (pour la phase) de ce nombre complexe. On s'attend à trouver un gain de -3 dB et une phase de -45°, car c'est la définition d'un filtre passe-bas du premier ordre à sa coupure.

Mini-Cours

Pour un nombre complexe \(\underline{Z} = a + jb\) :

  • Son Module est \(|\underline{Z}| = \sqrt{a^2 + b^2}\). C'est sa "longueur" ou "amplitude".
  • Son Argument (Phase) est \(\phi = \text{arg}(\underline{Z}) = \text{arctan}(b/a)\). C'est son "angle".
Pour notre fonction de transfert \(\underline{H}(j\omega)\) :
  • Le Gain (en échelle linéaire) est le module \(G = |\underline{H}(j\omega)|\).
  • Le Gain en dB est \(G_{dB} = 20 \cdot \log_{10}(G)\).
  • La Phase est l'argument \(\phi = \text{arg}(\underline{H}(j\omega))\).

Remarque Pédagogique

Le calcul est bien plus simple si on utilise la forme canonique. On cherche à calculer \(\underline{H}(j\omega_c)\). On sait que \(\underline{H}(j\omega) = \frac{1}{1 + j(\omega/\omega_c)}\). Si on remplace \(\omega\) par \(\omega_c\), le rapport \(\omega/\omega_c\) devient \(\omega_c/\omega_c = 1\). Le calcul devient donc trivial !

Normes

La conversion en décibels (dB) avec \(20 \cdot \log_{10}(\cdot)\) est la norme pour les grandeurs de champ (comme la tension). Pour les grandeurs de puissance, on utilise \(10 \cdot \log_{10}(\cdot)\).

Formule(s)

Fonction de transfert à la coupure

\[ \underline{H}(j\omega_c) = \frac{1}{1 + j(\omega_c/\omega_c)} = \frac{1}{1+j} \]

Gain en dB

\[ G_{dB} = 20 \cdot \log_{10}\left(|\underline{H}(j\omega_c)|\right) \]

Phase en degrés

\[ \phi = \text{arg}\left(\underline{H}(j\omega_c)\right) \]
Hypothèses

Les mêmes que précédemment. On utilise les résultats des questions 1 à 4.

Donnée(s)

On n'a pas besoin des valeurs numériques de R, C, ou \(\omega_c\). Le calcul est purement symbolique grâce à la forme canonique.

Astuces

Propriétés des nombres complexes :

  • Module d'une fraction : \(|Z_1 / Z_2| = |Z_1| / |Z_2|\)
  • Argument d'une fraction : \(\text{arg}(Z_1 / Z_2) = \text{arg}(Z_1) - \text{arg}(Z_2)\)
Ici, \(\underline{H} = 1 / (1+j)\). \(\text{arg}(1) = 0^\circ\). \(\text{arg}(1+j) = \text{arctan}(1/1) = 45^\circ\). Donc \(\phi = 0^\circ - 45^\circ = -45^\circ\).

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser le nombre complexe \(\underline{H}(j\omega_c) = 1/(1+j)\) dans le plan complexe. On peut aussi le calculer : \(\frac{1}{1+j} = \frac{1 \cdot (1-j)}{(1+j) \cdot (1-j)} = \frac{1-j}{1^2 - (j)^2} = \frac{1-j}{1 - (-1)} = \frac{1-j}{2} = 0.5 - 0.5j\).

\(\underline{H}(j\omega_c)\) dans le plan complexe
Re Im O 1+j 1 j H(jωc) -45°
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du Gain linéaire G (Module)

On calcule le module de \(\underline{H}(j\omega_c) = \frac{1}{1+j}\). On calcule le module (la "longueur") de ce nombre complexe. Le module d'une fraction est la fraction des modules : \(|Z_1 / Z_2| = |Z_1| / |Z_2|\).

\[ |\underline{H}(j\omega_c)| = \left| \frac{1}{1+j} \right| = \frac{|1|}{|1+j|} \]

Où \(|1| = 1\).
Et \(|1+j| = \sqrt{(\text{Partie Réelle})^2 + (\text{Partie Imaginaire})^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).

\[ |\underline{H}(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \]

Étape 2 : Calcul du Gain en dB

On applique la formule de conversion en décibels. On utilise les propriétés des logarithmes : \(\log(A^B) = B \cdot \log(A)\) et \(\log(1/A) = -\log(A)\).

\[ G_{dB} = 20 \cdot \log_{10}\left(|\underline{H}(j\omega_c)|\right) = 20 \cdot \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]

Car \(1/\sqrt{2} = 2^{-1/2}\), on peut utiliser les propriétés du logarithme :

\[ \begin{aligned} G_{dB} &= 20 \cdot \log_{10}(2^{-1/2}) \\ &= 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{10}(2) \\ &= -10 \cdot \log_{10}(2) \end{aligned} \]

Sachant que \(\log_{10}(2) \approx 0.301\)...

\[ G_{dB} \approx -10 \cdot 0.301 \approx -3.01 \, \text{dB} \]

Étape 3 : Calcul de la Phase \(\phi\)

On calcule l'argument (l'angle) de \(\underline{H}(j\omega_c) = \frac{1}{1+j}\). La règle est : \(\text{arg}(Z_1 / Z_2) = \text{arg}(Z_1) - \text{arg}(Z_2)\).

\[ \phi = \text{arg}\left(\frac{1}{1+j}\right) = \text{arg}(1) - \text{arg}(1+j) \]

L'argument d'un réel positif comme 1 est \(0^\circ\).
L'argument de \(1+j\) est \(\text{arctan}\left(\frac{\text{Partie Imaginaire}}{\text{Partie Réelle}}\right) = \text{arctan}\left(\frac{1}{1}\right)\).

\[ \begin{aligned} \phi &= 0 - \text{arctan}(1) \\ \phi &= -45^\circ \text{ (ou } -\pi/4 \text{ rad)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ces résultats sont visualisés sur les diagrammes de Bode (graphiques du gain en dB et de la phase en fonction de la fréquence).

Diagrammes de Bode (Gain et Phase)
Diagramme de Bode (Gain) log(ω) G (dB) 0 dB -3 dB ωc Diagramme de Bode (Phase) log(ω) Φ (°) 0° -45° -90° ωc
Réflexions

Les résultats \(G_{dB} = -3 \text{ dB}\) et \(\phi = -45^\circ\) sont les caractéristiques fondamentales d'un filtre passe-bas du premier ordre à sa fréquence de coupure.

  • -3 dB : Le gain de \(1/\sqrt{2}\) signifie que l'amplitude de la tension de sortie est \(V_s = V_e / \sqrt{2} \approx 0.707 \cdot V_e\). Elle a perdu environ 30% de son amplitude. En termes de puissance (proportionnelle à \(V^2\)), la puissance de sortie est \(P_s = P_e / (\sqrt{2})^2 = P_e / 2\). La fréquence de coupure est la fréquence à laquelle le filtre a laissé passer la moitié de la puissance du signal.
  • -45° : Le déphasage est exactement à mi-chemin entre le déphasage à basse fréquence (0°) et le déphasage à haute fréquence (-90°). La sortie est "en retard" de 45° (un huitième de cycle) sur l'entrée.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\log_{10}\) (logarithme décimal, sur la calculatrice) et \(\ln\) (logarithme népérien). La formule du dB utilise toujours \(\log_{10}\).
Ne pas oublier le \(\text{arctan}\). L'argument de \(a+jb\) n'est pas \(b/a\), mais \(\text{arctan}(b/a)\). Une erreur fréquente est de confondre la valeur et l'angle.

Points à retenir
  • À la pulsation de coupure \(\omega_c\), un filtre passe-bas du 1er ordre a toujours :
  • Un gain de \(G = 1/\sqrt{2} \approx 0.707\).
  • Un gain en décibels de \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\).
  • Une phase de \(\phi = -45^\circ\).
Le saviez-vous ?

Pourquoi -3 dB ? C'est une convention d'ingénieur. L'oreille humaine perçoit les sons sur une échelle logarithmique. Une division de la puissance par 2 (ce qui est significatif) correspond à une chute de 3 dB. On a donc décidé que la "coupure" d'un filtre se situait là où la puissance est divisée par 2, ce qui correspond à -3 dB pour le gain en tension.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi la phase est-elle négative ?

Une phase négative signifie que la sortie est en retard sur l'entrée. C'est logique : le condensateur a besoin de temps pour se charger et se décharger. La tension à ses bornes (\(V_s\)) ne peut donc pas "suivre" instantanément la tension d'entrée (\(V_e\)), elle est toujours un peu en retard. Ce retard est maximal à haute fréquence (-90°).

Le gain peut-il être de 0.707 et -3 dB en même temps ?

Oui. Ce sont deux façons de mesurer la même chose. 0.707 est le gain linéaire (un rapport d'amplitude), -3 dB est le gain logarithmique (en décibels). Les deux sont liés par la formule \(G_{dB} = 20 \cdot \log_{10}(G)\). Si vous tapez \(20 \cdot \log_{10}(0.707)\) sur votre calculatrice, vous trouverez (environ) -3.

Résultat Final
À la pulsation de coupure \(\omega_c\), le gain est de \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\) et la phase est de \(\phi = -45^\circ\).
A vous de jouer

Que vaudraient le gain en dB et la phase pour un signal d'entrée de pulsation \(\omega = 0\) (courant continu) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Définition de la coupure.
  • Formule Essentielle : \(\underline{H}(j\omega_c) = \frac{1}{1+j}\).
  • Résultat : Gain = \(-3 \text{ dB}\), Phase = \(-45^\circ\).

Outil Interactif : Simulateur de Filtre RC

Utilisez ce simulateur pour voir comment les valeurs de R et C influencent la fréquence de coupure et la réponse en phase du filtre. Le graphique montre la phase en fonction de la fréquence (échelle logarithmique).

Paramètres d'Entrée
10 kΩ
100 nF
Résultats Clés
Constante de temps (\(\tau\)) -
Fréq. de Coupure (\(f_c\)) -
Phase à \(f_c\) -45 °

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la fréquence \(\omega\) d'un signal augmente, que fait l'impédance \(\underline{Z}_C\) d'un condensateur ?

2. Notre circuit est un filtre passe-bas. Qu'est-ce que cela signifie ?

3. On double la Résistance (R \(\times\) 2) et on double la Capacité (C \(\times\) 2). Que devient la fréquence de coupure \(f_c\) ?

4. À très haute fréquence (\(\omega \rightarrow \infty\)), quel est le déphasage \(\phi\) introduit par ce circuit ?

5. Le gain à la coupure est de -3 dB. Cela signifie que l'amplitude de la tension de sortie \(V_s\) vaut...

Glossaire

Fonction de Transfert (\(\underline{H}(j\omega)\))Rapport complexe \(\underline{V}_s / \underline{V}_e\) qui décrit comment le circuit modifie l'amplitude et la phase du signal d'entrée à une pulsation \(\omega\) donnée.
Une fonction mathématique qui décrit comment un circuit (ou système) modifie l'amplitude et la phase d'un signal d'entrée pour produire le signal de sortie.
Impédance Complexe (\(\underline{Z}\))Généralisation de la résistance au régime sinusoïdal. \(\underline{Z}\) est un nombre complexe. Son module \(|\underline{Z}|\) est l'impédance (en \(\Omega\)), son argument est le déphasage tension-courant.
Une généralisation de la résistance pour les circuits en régime sinusoïdal. Elle prend en compte la résistance et le déphasage introduits par les bobines et les condensateurs.
Phase (\(\phi\))
L'angle (en degrés ou radians) qui représente le décalage temporel entre deux signaux sinusoïdaux, typiquement entre la sortie (\(V_s\)) et l'entrée (\(V_e\)). Une phase négative signifie un retard de la sortie.
Pont Diviseur de Tension
Une configuration de circuit simple où deux impédances en série (\(\underline{Z}_1\), \(\underline{Z}_2\)) "divisent" la tension d'entrée (\(\underline{V}_e\)). La tension aux bornes de \(\underline{Z}_2\) est \(\underline{V}_s = \underline{V}_e \cdot \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2}\).
Pulsation (\(\omega\))
La vitesse de "rotation" du signal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Pulsation de Coupure (\(\omega_c\))
La pulsation (en rad/s) qui marque la frontière entre la bande passante et la bande coupée du filtre. Pour un filtre du 1er ordre, c'est la pulsation à laquelle le gain a chuté de 3 dB et la phase est de \(\pm\)45°.
Analyse d'un Déphaseur : Circuit RC

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