Méthode des Deux Wattmètres - Exercice corrigé

Contexte : L'analyse des systèmes triphasésSystème de production et de distribution d'énergie électrique composé de trois tensions sinusoïdales de même fréquence, déphasées de 120° les unes par rapport aux autres..

La mesure de la puissance dans les circuits triphasés est fondamentale en génie électrique. La méthode des deux wattmètres est une technique standard et ingénieuse qui permet de mesurer la puissance active totale (et de déduire la puissance réactive) dans n'importe quel système triphasé à trois fils, qu'il soit équilibré ou non.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à interpréter les lectures de deux wattmètres pour déterminer les puissances active (\(P_T\)) et réactive (\(Q_T\)) totales, ainsi que le facteur de puissanceRapport de la puissance active (P) à la puissance apparente (S). Il mesure l'efficacité avec laquelle l'énergie électrique est convertie en travail utile. (\(\cos \phi\)) d'une charge.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le montage de la méthode des deux wattmètres.
Calculer la puissance active totale \(P_T\) à partir des lectures \(W_1\) et \(W_2\).
Calculer la puissance réactive totale \(Q_T\) à partir des lectures \(W_1\) et \(W_2\).
Déterminer la puissance apparente \(S_T\) et le facteur de puissance \(\cos \phi\).
Identifier la nature (inductive ou capacitive) de la charge.

Données de l'étude

On étudie une charge triphasée équilibrée, montée en étoile, alimentée par un réseau triphasé 400V / 50Hz. On utilise la méthode des deux wattmètres pour mesurer les puissances.

Fiche Technique du Réseau

Caractéristique	Valeur
Système	Triphasé équilibré (3 fils)
Tension de ligne (\(U_L\))	400 V
Fréquence (\(f\))	50 Hz

Schéma du Montage (Méthode des Deux Wattmètres)

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(W_1\)	Lecture du Wattmètre 1 (sur L1)	5000	W
\(W_2\)	Lecture du Wattmètre 2 (sur L3)	2000	W

Questions à traiter

Calculer la puissance active totale (\(P_T\)) consommée par la charge.
Calculer la puissance réactive totale (\(Q_T\)) consommée par la charge.
Calculer la puissance apparente totale (\(S_T\)) de la charge.
Calculer le facteur de puissance (\(\cos \phi\)) de la charge.
Déterminer la nature de la charge (inductive ou capacitive).

Les bases sur la Méthode des Deux Wattmètres

Cette méthode repose sur le théorème de Blondel, qui stipule qu'il faut N-1 wattmètres pour mesurer la puissance d'un système à N fils. Pour un système triphasé à 3 fils (comme le nôtre), 2 wattmètres suffisent.

1. Calcul de la Puissance Active Totale (\(P_T\))
La puissance active totale est la somme algébrique simple des lectures des deux wattmètres. \[ P_T = W_1 + W_2 \]

2. Calcul de la Puissance Réactive Totale (\(Q_T\))
Pour un système équilibré, la puissance réactive totale est proportionnelle à la différence des lectures. \[ Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2) \] (Cette convention suppose que \(W_1\) est le wattmètre "en avance" ou "supérieur". Si \(W_1 < W_2\), \(Q_T\) sera négative, indiquant une charge capacitive.)

Correction : Méthode des Deux Wattmètres

Question 1 : Calculer la puissance active totale (\(P_T\))

Principe

La puissance active totale (\(P_T\)) dans un système triphasé à trois fils est, par définition (théorème de Blondel), la somme algébrique des indications des deux wattmètres.

Mini-Cours

Quelle que soit la charge (équilibrée ou non, sinusoïdale ou non), tant qu'il y a 3 fils, la puissance active instantanée totale est \(p(t) = p_1(t) + p_2(t)\). En régime sinusoïdal, cela se traduit directement en puissance moyenne (active) : \(P_T = P_1 + P_2\). Les wattmètres mesurent directement \(P_1 = W_1\) et \(P_2 = W_2\).

Remarque Pédagogique

C'est le calcul le plus direct. Il n'y a pas de piège ici. Il suffit d'additionner les deux valeurs lues sur les appareils de mesure.

Normes

[Application directe des lois fondamentales de l'électrotechnique (Théorème de Blondel).]

Formule(s)

La formule pour la puissance active totale est :

\[ P_T = W_1 + W_2 \]

Hypothèses

On suppose que les wattmètres sont idéaux et correctement branchés. Les lectures \(W_1\) et \(W_2\) sont les valeurs moyennes mesurées.

Régime sinusoïdal permanent établi.

Donnée(s)

Les lectures des wattmètres fournies dans l'énoncé sont utilisées :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Lecture 1	\(W_1\)	5000	W
Lecture 2	\(W_2\)	2000	W

Astuces

Ne vous laissez pas perturber par \(\sqrt{3}\) ou d'autres facteurs pour le calcul de \(P_T\). C'est une simple addition.

Schéma (Avant les calculs)

Nous utilisons les deux valeurs mesurées, \(W_1\) et \(W_2\), comme entrées directes pour notre calcul.

Addition des Puissances

Calcul(s)

Application numérique directe de la formule. On additionne simplement les deux lectures des wattmètres.

Étape 1 : Formule de base

\[ P_T = W_1 + W_2 \]

Étape 2 : Remplacement par les valeurs de l'énoncé

P_T = 5000 \text{ W} + 2000 \text{ W}

Étape 3 : Résultat de l'addition

P_T = 7000 \text{ W}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique représentant la puissance active totale consommée par la charge.

Résultat PT

Réflexions

La puissance active totale est de 7000 W (ou 7 kW). C'est la puissance "utile" qui est convertie en travail (rotation du moteur) ou en chaleur (effet Joule).

Points de vigilance

C'est une simple addition. Ne pas confondre avec le calcul de \(Q_T\) ou \(S_T\). La puissance active est toujours \(W_1 + W_2\), même si la charge est déséquilibrée.

Points à retenir

La puissance active (réelle) se calcule avec la somme : \(P_T = W_1 + W_2\).

Le saviez-vous ?

Le théorème de Blondel (1893) est la base de cette méthode. Il énonce qu'il faut \(N-1\) wattmètres pour mesurer la puissance totale d'un système à \(N\) fils, d'où 2 wattmètres pour nos 3 phases (3 fils).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

La puissance active totale est \(P_T = 7000 \text{ W}\).

A vous de jouer

Si les lectures étaient \(W_1 = 6000\) W et \(W_2 = 3000\) W, que vaudrait \(P_T\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Somme des lectures.
Formule Essentielle : \(P_T = W_1 + W_2\).

Question 2 : Calculer la puissance réactive totale (\(Q_T\))

Principe

Pour une charge triphasée équilibrée, la puissance réactive totale (\(Q_T\)) peut être déterminée en utilisant la différence des lectures des deux wattmètres, multipliée par \(\sqrt{3}\).

Mini-Cours

La formule est \(Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2)\). Le signe du résultat nous renseignera sur la nature de la charge (inductive ou capacitive). Par convention, \(Q > 0\) signifie que la charge consomme du réactif (charge inductive).

Remarque Pédagogique

C'est la deuxième formule clé de cette méthode. Le \(\sqrt{3}\) est crucial et provient des déphasages de 120° entre les tensions/courants dans le calcul vectoriel.

Normes

[Formule standard pour la mesure de \(Q_T\) en triphasé équilibré avec 2 wattmètres.]

Formule(s)

La formule pour la puissance réactive totale (charge équilibrée) est :

Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2)

Hypothèses

L'hypothèse la plus importante ici est que la charge est équilibrée. Si elle ne l'était pas, cette formule simple ne serait pas valide.

Donnée(s)

Mêmes données que pour la Q1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Lecture 1	\(W_1\)	5000	W
Lecture 2	\(W_2\)	2000	W

Astuces

Assurez-vous de faire \((W_1 - W_2)\) et non \((W_2 - W_1)\). L'ordre est important pour le signe de \(Q_T\), qui détermine si la charge est inductive ou capacitive.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul prend la différence des lectures et l'amplifie par \(\sqrt{3}\).

Calcul de QT

Calcul(s)

Application numérique de la formule de \(Q_T\). Nous commençons par calculer la différence, puis nous multiplions par \(\sqrt{3}\).

Étape 1 : Formule pour charge équilibrée

Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2)

Étape 2 : Remplacement de W1 et W2

Q_T = \sqrt{3} (5000 \text{ W} - 2000 \text{ W})

Étape 3 : Calcul de la différence

Q_T = \sqrt{3} (3000 \text{ W})

Étape 4 : Utilisation de la valeur de \(\sqrt{3}\)

Q_T \approx 1.73205 \times 3000 \text{ W}

Étape 5 : Résultat du produit (arrondi)

Q_T \approx 5196 \text{ VAR}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est la puissance réactive totale. [Note : Le schéma est identique à celui de Q1, seul le contenu change]

Résultat QT

Réflexions

La puissance réactive totale est de 5196 VAR (ou 5.2 kVAR). C'est la puissance "magnétisante" nécessaire au fonctionnement des bobinages (moteurs, transformateurs).

Points de vigilance

Cette formule \(Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2)\) ne fonctionne que pour les systèmes équilibrés ! Si la charge n'est pas équilibrée, on ne peut pas calculer \(Q_T\) aussi simplement.

Points à retenir

La puissance réactive (charge équilibrée) se calcule avec la différence : \(Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2)\).

Le saviez-vous ?

Si le facteur de puissance est 0.5 (\(\phi = 60^\circ\)), l'une des lectures de wattmètre sera nulle (ex: \(W_2 = U_L I_L \cos(30^\circ - 60^\circ) = U_L I_L \cos(-30^\circ)\) et \(W_1 = U_L I_L \cos(30^\circ + 60^\circ) = U_L I_L \cos(90^\circ) = 0\)).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

La puissance réactive totale est \(Q_T \approx 5196 \text{ VAR}\) (soit 5.2 kVAR).

A vous de jouer

Avec les données du "A vous de jouer" précédent (\(W_1 = 6000\) W et \(W_2 = 3000\) W), que vaut \(Q_T\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Différence des lectures (pour charge équilibrée).
Formule Essentielle : \(Q_T = \sqrt{3} (W_1 - W_2)\).

Question 3 : Calculer la puissance apparente totale (\(S_T\))

Principe

La puissance apparente (\(S_T\)) est l'hypoténuse du triangle des puissances, formé par la puissance active (\(P_T\)) et la puissance réactive (\(Q_T\)). On la calcule à l'aide du théorème de Pythagore.

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, les trois puissances (Active P, Réactive Q, Apparente S) sont liées par la relation \(S^2 = P^2 + Q^2\). \(S\) représente la puissance "totale" que le réseau doit fournir, incluant la puissance utile (P) et la puissance d'échange (Q). Son unité est le Volt-Ampère (VA).

Remarque Pédagogique

Nous avons déjà calculé les deux "côtés" du triangle (P et Q). Cette étape consiste simplement à trouver "l'hypoténuse" (S).

Normes

[Relation fondamentale du triangle des puissances en régime sinusoïdal.]

Formule(s)

La formule du triangle des puissances est :

S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}

Hypothèses

Cette relation est valide car nous sommes en régime sinusoïdal. On utilise les valeurs de \(P_T\) et \(Q_T\) calculées précédemment.

Donnée(s)

Données issues des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance Active	\(P_T\)	7000	W
Puissance Réactive	\(Q_T\)	5196	VAR

Astuces

N'oubliez pas de mettre les valeurs au carré avant de les additionner, puis de prendre la racine carrée du total.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du triangle des puissances que nous allons résoudre.

Triangle des Puissances (Pythagore)

Calcul(s)

Application numérique du théorème de Pythagore avec \(P_T\) et \(Q_T\) que nous venons de calculer.

Étape 1 : Formule (Théorème de Pythagore)

S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}

Étape 2 : Remplacement de P_T et Q_T

S_T = \sqrt{(7000)^2 + (5196)^2}

Étape 3 : Calcul des carrés

S_T = \sqrt{49 000 000 + 26 998 416}

Étape 4 : Somme des carrés

S_T = \sqrt{75 998 416}

Étape 5 : Calcul de la racine carrée

S_T \approx 8717.7 \text{ VA}

Schéma (Après les calculs)

Le triangle des puissances est maintenant complet.

Triangle des Puissances (Résolu)

Réflexions

La puissance apparente totale est de 8718 VA (ou 8.72 kVA). C'est cette valeur qui dimensionne les câbles et les transformateurs, car ils doivent supporter le courant total, que celui-ci serve à produire du travail (P) ou juste à magnétiser (Q).

Points de vigilance

Ne mélangez pas les unités ! P est en Watts (W), Q en Volt-Ampères Réactifs (VAR), et S en Volt-Ampères (VA). N'additionnez jamais P et Q directement (sauf vectoriellement).

Points à retenir

La puissance apparente est la "somme vectorielle" de P et Q.
Formule : \(S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}\).

Le saviez-vous ?

Les fournisseurs d'électricité facturent principalement la puissance active \(P_T\) (en kWh) mais pénalisent les industries si leur puissance réactive \(Q_T\) est trop élevée (car cela nécessite des câbles plus gros pour transporter un courant inutile).

FAQ

[Aucune FAQ spécifique pour ce calcul simple.]

Résultat Final

La puissance apparente totale est \(S_T \approx 8718 \text{ VA}\) (soit 8.72 kVA).

A vous de jouer

Avec \(P_T = 9000\) W et \(Q_T = 5196.15\) VAR, que vaut \(S_T\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Triangle des puissances (Pythagore).
Formule Essentielle : \(S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}\).

Question 4 : Calculer le facteur de puissance (\(\cos \phi\))

Principe

Le facteur de puissance (FP ou \(\cos \phi\)) est le rapport entre la puissance active (utile) \(P_T\) et la puissance apparente (totale) \(S_T\). Il représente l'efficacité de la charge.

Mini-Cours

Dans le triangle des puissances, \(\phi\) est l'angle de déphasage entre la tension et le courant. Par trigonométrie de base : \(\cos(\phi) = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{P_T}{S_T}\). Un \(\cos \phi\) de 1 (ou 100%) est parfait (charge purement résistive). Un \(\cos \phi\) de 0 est purement réactif (inductance ou condensateur pur).

Remarque Pédagogique

Nous avons déjà calculé \(P_T\) et \(S_T\). Il ne reste qu'à faire une simple division.

Normes

[Définition standard du facteur de puissance en électrotechnique.]

Formule(s)

La formule du facteur de puissance est :

\cos \phi = \frac{P_T}{S_T}

Hypothèses

On utilise les valeurs de \(P_T\) et \(S_T\) calculées précédemment.

Donnée(s)

Données issues des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance Active	\(P_T\)	7000	W
Puissance Apparente	\(S_T\)	\(\approx 8717.7\)	VA

Astuces

Le facteur de puissance est un nombre sans unité, toujours compris entre 0 et 1. Si vous trouvez un résultat en dehors de cet intervalle, votre calcul de P ou S est incorrect.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche le cosinus de l'angle \(\phi\) dans le triangle des puissances.

Angle φ du Triangle

Calcul(s)

Application numérique de la définition du facteur de puissance, en divisant la puissance active \(P_T\) par la puissance apparente \(S_T\).

Étape 1 : Définition du facteur de puissance

\cos \phi = \frac{P_T}{S_T}

Étape 2 : Remplacement par les valeurs P_T et S_T

\cos \phi = \frac{7000 \text{ W}}{8717.7 \text{ VA}}

Étape 3 : Résultat de la division (sans unité)

\cos \phi \approx 0.803

Schéma (Après les calculs)

[Pas de schéma supplémentaire, le résultat est une valeur numérique.]

Réflexions

Le facteur de puissance est d'environ 0.803. Cela signifie que la charge n'est pas parfaitement efficace : seulement 80.3% de la puissance apparente fournie est convertie en puissance active utile. Les 19.7% restants sont de la puissance réactive.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(\cos \phi\) (le facteur de puissance) avec \(\phi\) (l'angle de déphasage). Pour trouver \(\phi\), il faudrait faire \(\arccos(0.803) \approx 36.6^\circ\).

Points à retenir

Le facteur de puissance mesure l'efficacité.
Formule : \(\cos \phi = P_T / S_T\).

Le saviez-vous ?

Une autre façon de trouver l'angle \(\phi\) (et donc \(\cos \phi\)) est d'utiliser \(\tan \phi = Q_T / P_T\). Ici, \(\tan \phi = 5196 / 7000 \approx 0.742\). \(\arctan(0.742) \approx 36.6^\circ\). Et \(\cos(36.6^\circ) \approx 0.803\). Les deux méthodes fonctionnent !

FAQ

[Aucune FAQ spécifique.]

Résultat Final

Le facteur de puissance est \(\cos \phi \approx 0.803\).

A vous de jouer

Avec \(P_T = 9000\) W et \(S_T = 10392.3\) VA, que vaut \(\cos \phi\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Efficacité de la puissance.
Formule Essentielle : \(\cos \phi = P_T / S_T\).

Question 5 : Déterminer la nature de la charge (inductive ou capacitive)

Principe

La nature de la charge (inductive ou capacitive) est déterminée par le signe de la puissance réactive \(Q_T\). Par convention :

Si \(Q_T > 0\), la charge consomme du réactif : elle est inductive.
Si \(Q_T < 0\), la charge fournit du réactif : elle est capacitive.

Mini-Cours

Les charges inductives (moteurs, bobines) ont besoin d'un champ magnétique pour fonctionner, elles "absorbent" donc du réactif (\(Q > 0\)). Les charges capacitives (condensateurs) ont l'effet inverse, elles "fournissent" du réactif (\(Q < 0\)).

Remarque Pédagogique

Nous avons déjà calculé \(Q_T\). Il suffit de regarder son signe. On peut aussi le déduire de la comparaison de \(W_1\) et \(W_2\) (avec notre convention de formule) :

Si \(W_1 > W_2 \implies (W_1 - W_2) > 0 \implies Q_T > 0 \implies\) Inductive.
Si \(W_1 < W_2 \implies (W_1 - W_2) < 0 \implies Q_T < 0 \implies\) Capacitive.
Si \(W_1 = W_2 \implies (W_1 - W_2) = 0 \implies Q_T = 0 \implies\) Résistive.

Normes

[Convention standard CEI pour le signe de la puissance réactive.]

Formule(s)

Analyse du signe de \(Q_T\) et de la différence \((W_1 - W_2)\).

Hypothèses

[On utilise la convention de signe établie et la formule de \(Q_T\) pour charge équilibrée.]

Donnée(s)

Nous avons deux façons de voir :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance Réactive	\(Q_T\)	+5196	VAR
Lectures	\(W_1, W_2\)	5000, 2000	W

Astuces

La plupart des charges industrielles (moteurs) sont inductives. Il est donc très fréquent de trouver \(W_1 > W_2\) et \(Q_T > 0\).

Schéma (Avant les calculs)

On compare simplement les deux lectures.

Comparaison W1 vs W2

Calcul(s)

Il ne s'agit pas d'un calcul mais d'une observation basée sur les résultats précédents. Nous analysons le signe de \(Q_T\) et la relation entre \(W_1\) et \(W_2\).

Observation 1 (basée sur Q2)

Q_T \approx +5196 \text{ VAR}

Comme \(Q_T\) est positif, la charge consomme du réactif.

Observation 2 (basée sur les données)

W_1 = 5000 \text{ W} \] \[ W_2 = 2000 \text{ W}

Comme \(W_1 > W_2\), la différence \((W_1 - W_2)\) est positive. Cela confirme que \(Q_T\) est positive.

Conclusion

La charge est Inductive.

Schéma (Après les calculs)

Le triangle des puissances se dessine avec Q vers le haut (convention), confirmant une charge inductive.

Triangle des Puissances (Nature)

Réflexions

La charge est inductive. Cela signifie qu'elle consomme de la puissance réactive. Le courant est en retard sur la tension (déphasage \(\phi \approx +36.6^\circ\)). C'est le cas typique d'un atelier contenant des moteurs électriques.

Points de vigilance

Attention à la convention de formule ! Si vous aviez utilisé \(Q_T = \sqrt{3} (W_2 - W_1)\), vous auriez trouvé -5196 VAR. La physique est la même, mais la convention "Q < 0 = Inductif" devrait alors être utilisée. Il est plus simple de s'en tenir à une convention (ex: \(W_1 - W_2\)) et de se rappeler "Q positif = Inductif".

Points à retenir

\(Q_T > 0 \implies\) Inductif (consomme du réactif).
\(Q_T < 0 \implies\) Capacitif (fournit du réactif).
\(Q_T = 0 \implies\) Résistif.

Le saviez-vous ?

Pour corriger un mauvais facteur de puissance (trop inductif), les industries installent des batteries de condensateurs, qui agissent comme une charge capacitive (\(Q < 0\)) pour "annuler" le \(Q > 0\) des moteurs. L'objectif est de ramener \(Q_T\) le plus près possible de 0.

FAQ

[Aucune FAQ spécifique.]

Résultat Final

La puissance réactive \(Q_T\) est positive (+5196 VAR), la charge est donc inductive.

A vous de jouer

Si \(W_1 = 3000\) W et \(W_2 = 3000\) W, que vaut le facteur de puissance \(\cos \phi\) ? (Nature = Résistive)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Signe de \(Q_T\).
Règle : \(Q_T > 0 \Leftrightarrow\) Inductif ; \(Q_T < 0 \Leftrightarrow\) Capacitif.

Outil Interactif : Simulateur des Deux Wattmètres

Utilisez les curseurs pour modifier les lectures \(W_1\) et \(W_2\) et observez en temps réel l'impact sur les puissances \(P_T\) et \(Q_T\), ainsi que sur le diagramme des puissances.

Paramètres d'Entrée

Lecture Wattmètre 1 (\(W_1\)) (W) 5000 W

Lecture Wattmètre 2 (\(W_2\)) (W) 2000 W

Résultats Clés (Charge Équilibrée)

Puissance Active Totale (\(P_T\)) -

Puissance Réactive Totale (\(Q_T\)) -

Glossaire

Puissance Active (\(P\)): La puissance réelle consommée par la charge et convertie en travail ou en chaleur. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (\(Q\)): La puissance "magnétisante" échangée entre la source et la charge, nécessaire au fonctionnement des bobines et condensateurs. Unité : Volt-Ampère Réactif (VAR).
Puissance Apparente (\(S\)): La puissance totale que le réseau doit fournir, combinaison vectorielle de P et Q. Unité : Volt-Ampère (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos \phi\)): Rapport \(\frac{P}{S}\). Mesure l'efficacité de la charge. Un F=1 est parfait (résistif). Un F<1 indique une charge réactive.
Charge Inductive: Une charge qui consomme de la puissance réactive (\(Q > 0\)), comme un moteur ou un transformateur. Le courant est en retard sur la tension.
Charge Capacitive: Une charge qui fournit de la puissance réactive (\(Q < 0\)), comme une batterie de condensateurs. Le courant est en avance sur la tension.