Circuits Électriques

Calcul de la valeur efficace d’un signal carré

Exercice : Valeur Efficace d'un Signal Carré

Calcul de la valeur efficace d'un signal carré

Contexte : Le Régime SinusoïdalAnalyse des circuits électriques lorsque les sources sont des fonctions sinusoïdales du temps. et la Valeur EfficaceLa valeur efficace (ou RMS) d'un courant ou d'une tension variable est la valeur du courant continu ou de la tension continue qui produirait la même dissipation de puissance moyenne dans une résistance..

En analyse de circuits électriques, la valeur efficace (RMS) est une notion capitale. Elle permet de quantifier la "puissance" d'un signal périodique, qu'il soit sinusoïdal ou non. Contrairement à la valeur moyenne, qui peut être nulle, la valeur efficace est toujours positive et représente l'équivalent en tension continue qui dissiperait la même énergie dans une résistance. Cet exercice se concentre sur le calcul de cette valeur pour un signal carré non symétrique, une compétence fondamentale pour comprendre les alimentations à découpage et les onduleurs.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer le calcul de la valeur efficace en étapes logiques : calculer le carré du signal, puis la moyenne de ce nouveau signal, et enfin prendre la racine. Cela permet de bien comprendre la définition \( V_{\text{eff}} = \sqrt{\text{moy}(v^2)} \).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la définition mathématique de la valeur efficace (RMS).
  • Faire la distinction claire entre valeur moyenne et valeur efficace.
  • Calculer la valeur moyenne d'un signal périodique non symétrique.
  • Calculer la valeur efficace d'un signal carré en utilisant la définition (méthode de l'intégrale ou des aires).
  • Visualiser l'impact de l'élévation au carré d'un signal.

Données de l'étude

On s'intéresse au signal de tension périodique \(v(t)\) décrit ci-dessous. Ce signal est de forme carrée mais n'est pas symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Sujet d'étude Signal périodique \(v(t)\)
Type de signal Signal carré non symétrique (deux niveaux)
Objectif Calcul de la valeur moyenne et de la valeur efficace
Signal de tension périodique \(v(t)\)
t (ms) v(t) 10 20 (T) 30 40 +10V -5V
Paramètre Description Valeur Unité
\(V_H\) Tension à l'état haut 10 V
\(V_L\) Tension à l'état bas -5 V
\(T\) Période du signal 20 ms
\(t_H\) Durée de l'état haut (par période) 10 ms
\(t_L\) Durée de l'état bas (par période) 10 ms

Questions à traiter

  1. Calculer la valeur moyenne \(V_{\text{moy}}\) du signal \(v(t)\).
  2. Donner l'expression mathématique de \(v(t)^2\).
  3. Dessiner le signal \(v(t)^2\) sur deux périodes.
  4. Calculer la valeur moyenne de \(v(t)^2\), notée \(\text{moy}(v^2)\).
  5. En déduire la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\) de \(v(t)\).

Les bases sur la Valeur Efficace

En électrotechnique, on utilise deux grandeurs principales pour caractériser un signal périodique : sa valeur moyenne et sa valeur efficace. Elles n'ont pas la même signification physique.

1. Valeur Moyenne (Composante DC)
La valeur moyenne d'un signal \(v(t)\) sur une période \(T\) est la moyenne algébrique de ses valeurs. Elle représente la "composante continue" du signal. Pour un calcul, on calcule l'aire algébrique (positive ou négative) sous la courbe sur une période, que l'on divise par la période. \[ V_{\text{moy}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v(t) \,dt \]

2. Valeur Efficace (RMS)
La valeur efficace (Root Mean Square) est liée à l'énergie. C'est la racine carrée de la moyenne du signal élevé au carré. Elle représente la valeur d'une tension continue qui produirait le même échauffement (effet Joule) dans une résistance. \[ V_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v(t)^2 \,dt} \] On la calcule donc en 3 étapes : (1) Élever le signal au carré, (2) Calculer la moyenne de ce nouveau signal, (3) Prendre la racine carrée du résultat.

Correction : Calcul de la valeur efficace d'un signal carré

Question 1 : Calculer la valeur moyenne \(V_{\text{moy}}\) du signal \(v(t)\).

Principe

La valeur moyenne est l'aire algébrique totale sous la courbe sur une période, divisée par la durée de cette période. Pour un signal carré, l'intégrale se simplifie en une somme d'aires de rectangles.

Mini-Cours

Pour un signal défini par morceaux comme celui-ci, la valeur moyenne est la somme pondérée de chaque niveau de tension, où la pondération est le temps passé à ce niveau (son rapport cycliqueLe rapport entre la durée de l'état haut et la période totale du signal. Ici, 10ms / 20ms = 0.5.). La formule générale \(\frac{1}{T} \int v(t) dt\) devient \(\frac{1}{T} \sum (V_i \cdot t_i)\).

Remarque Pédagogique

N'oubliez pas que l'aire est "algébrique". L'aire sous l'axe des abscisses (quand \(v(t)\) est négatif) doit être comptée négativement. C'est la principale différence avec le calcul de la valeur efficace.

Conventions

Nous utilisons la définition standard de l'ingénieur pour la valeur moyenne, parfois appelée "composante DC". Les unités doivent être cohérentes : si la période est en millisecondes (ms), les durées des paliers doivent aussi l'être.

Formule(s)

Pour un signal carré à deux niveaux, la formule de l'intégrale se simplifie comme suit :

Formule de la valeur moyenne (par aires)

\[ V_{\text{moy}} = \frac{1}{T} \left( V_H \cdot t_H + V_L \cdot t_L \right) \]
Hypothèses

Nous supposons que le signal est parfaitement périodique et que les transitions (montées et descentes) sont instantanées (temps de montée nul).

  • Signal parfaitement carré.
  • Période \(T = t_H + t_L\).
Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs pertinentes de l'énoncé pour ce calcul.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension Haute\(V_H\)10V
Tension Basse\(V_L\)-5V
Durée état haut\(t_H\)10ms
Durée état bas\(t_L\)10ms
Période\(T\)20ms
Astuces

Puisque les durées \(t_H\) et \(t_L\) sont en millisecondes et la période \(T\) aussi, le rapport \(\frac{t_i}{T}\) est sans dimension. On peut donc ignorer le \(10^{-3}\) dans les calculs tant qu'on reste cohérent. \(\frac{t_H}{T} = \frac{10}{20} = 0.5\). La valeur moyenne est simplement \(0.5 \cdot V_H + 0.5 \cdot V_L\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est suffisant. On identifie deux rectangles : un de hauteur +10V et largeur 10ms (Aire = +100 V.ms), et un de hauteur -5V et largeur 10ms (Aire = -50 V.ms).

Aires à sommer pour la valeur moyenne
t v(t) T/2 T Aire 1 (+) Aire 2 (-) +10V -5V
Calcul(s)

On applique la formule de la valeur moyenne en utilisant la méthode des aires, qui est une simplification de l'intégrale pour un signal carré.

Étape 1 : Poser la formule

C'est la définition de la moyenne pour un signal carré, où l'on somme les aires des rectangles (Hauteur \(\times\) Largeur) et on divise par la largeur totale (la Période T).

\[ V_{\text{moy}} = \frac{1}{T} \left( V_H \cdot t_H + V_L \cdot t_L \right) \]

Cette formule représente l'aire totale (partie haute + partie basse) divisée par la période totale.

Étape 2 : Remplacer par les valeurs numériques

On prend les valeurs du tableau des données : \(T = 20 \text{ ms}\), \(V_H = 10 \text{ V}\), \(t_H = 10 \text{ ms}\), \(V_L = -5 \text{ V}\), et \(t_L = 10 \text{ ms}\).

On insère ces valeurs directement dans la formule posée à l'étape 1.

\[ V_{\text{moy}} = \frac{1}{20 \text{ ms}} \left( (10 \text{ V} \cdot 10 \text{ ms}) + (-5 \text{ V} \cdot 10 \text{ ms}) \right) \]

Notez bien l'inclusion du signe négatif pour \(V_L\), car la valeur moyenne est algébrique.

Étape 3 : Calculer les aires (termes dans la parenthèse)

On calcule séparément l'aire du rectangle positif (état haut) et celle du rectangle négatif (état bas).

\[ \begin{aligned} \text{Aire 1 (positive)} &= 10 \text{ V} \cdot 10 \text{ ms} = 100 \text{ V.ms} \\ \text{Aire 2 (négative)} &= -5 \text{ V} \cdot 10 \text{ ms} = -50 \text{ V.ms} \end{aligned} \]

L'aire totale sur une période est la somme de ces deux aires : \(100 \text{ V.ms} - 50 \text{ V.ms} = 50 \text{ V.ms}\).

Étape 4 : Finaliser le calcul

On additionne les aires et on divise par la période. On remplace la parenthèse par l'aire totale \(50 \text{ V.ms}\) et on divise par \(T=20 \text{ ms}\).

\[ \begin{aligned} V_{\text{moy}} &= \frac{1}{20} \left( 100 - 50 \right) \\ V_{\text{moy}} &= \frac{50}{20} \\ \Rightarrow V_{\text{moy}} &= 2.5 \text{ V} \end{aligned} \]

Le résultat final est une tension de 2.5 Volts, ce qui est la composante continue du signal.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(V_{\text{moy}} = 2.5 \text{ V}\) peut être représenté comme une ligne horizontale sur le graphique du signal. C'est la composante continue (DC) de \(v(t)\).

Réflexions

Le signal passe plus de temps à une tension positive (+10V) qu'à une tension négative (-5V) *en termes d'amplitude*. Non, il passe autant de temps (10ms) à chaque niveau, mais le niveau positif est plus "fort" (10V) que le niveau négatif n'est "bas" (-5V). Il est donc logique que la moyenne soit positive, tirée vers le haut. Si un voltmètre DC était branché sur ce signal, il afficherait 2.5V.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier le signe "moins" de \(V_L\). Si on avait fait \((10 \cdot 10) + (5 \cdot 10)\), on aurait trouvé 7.5V, ce qui est la moyenne de la valeur absolue, pas la valeur moyenne algébrique.

Points à retenir

Si vous ne deviez retenir que quelques points clés de cette question, ce seraient ceux-là.

  • La valeur moyenne est la moyenne "algébrique".
  • Pour un signal carré, \(\int \rightarrow \sum \text{Aires}\).
  • \(V_{\text{moy}} = \sum (\alpha_i \cdot V_i)\) où \(\alpha_i\) est le rapport cyclique du palier \(i\). Ici : \(0.5 \cdot 10\text{V} + 0.5 \cdot (-5\text{V}) = 2.5\text{V}\).
Le saviez-vous ?

En musique électronique, la "composante DC" (valeur moyenne) est souvent filtrée car elle ne produit pas de son (c'est une pression constante sur le haut-parleur) mais elle consomme de l'énergie et peut endommager l'équipement.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Pourquoi les "ms" (millisecondes) s'annulent ?

Parce qu'on divise une "Aire" (en V.ms) par une "Période" (en ms). L'unité résultante est \(\frac{\text{V.ms}}{\text{ms}} = \text{V}\), ce qui est bien une tension. On peut aussi tout convertir en secondes (\(10 \cdot 10^{-3}\) s) mais le résultat final sera identique.

Et si le rapport cyclique n'était pas de 50% ?

La formule s'applique toujours. Si \(t_H = 8\text{ms}\) et \(t_L = 12\text{ms}\) (T=20ms toujours), le calcul serait : \(V_{\text{moy}} = \frac{1}{20} [ (10 \cdot 8) + (-5 \cdot 12) ] = \frac{80 - 60}{20} = 1 \text{ V}\).

Résultat Final
La valeur moyenne du signal \(v(t)\) est \(V_{\text{moy}} = 2.5 \text{ V}\).
A vous de jouer

En gardant \(T=20\text{ms}\) et \(t_H=t_L=10\text{ms}\), quelle serait la valeur moyenne si \(V_H = +10\text{V}\) et \(V_L = -10\text{V}\) (signal symétrique) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Valeur Moyenne (Composante DC).
  • Formule Essentielle : \(V_{\text{moy}} = \frac{1}{T} \sum (V_i \cdot t_i)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier les signes négatifs (calcul algébrique).

Question 2 : Donner l'expression mathématique de \(v(t)^2\).

Principe

Pour trouver l'expression de \(v(t)^2\), il faut élever au carré les valeurs que prend \(v(t)\) sur chaque intervalle de temps de sa période. C'est la première étape du calcul de la valeur efficace (le "S" de "Square" dans "RMS").

Mini-Cours

Le signal \(v(t)\) est défini par morceaux (piecewise) : \[ v(t) = \begin{cases} V_H & \text{pour } 0 < t < t_H \\ V_L & \text{pour } t_H < t < T \end{cases} \] En élevant au carré, on obtient un nouveau signal, \(v^2(t)\), qui est aussi périodique et défini par morceaux : \[ v^2(t) = \begin{cases} V_H^2 & \text{pour } 0 < t < t_H \\ V_L^2 & \text{pour } t_H < t < T \end{cases} \]

Remarque Pédagogique

La chose la plus importante à noter est que le carré d'un nombre négatif est un nombre positif. Le signal \(v^2(t)\) sera donc toujours positif (ou nul).

Normes

Il n'y a pas de "norme" ici, mais une convention mathématique simple : \((-a)^2 = a^2\).

Formule(s)

Il s'agit d'une application directe des valeurs de l'énoncé.

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que pour la Q1 s'appliquent.

Donnée(s)

On utilise les mêmes données que pour la Q1.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension Haute\(V_H\)10V
Tension Basse\(V_L\)-5V
Intervalles\(t_H, t_L\)10, 10ms
Astuces

Attention aux unités ! Si \(v(t)\) est en Volts (V), \(v(t)^2\) est en Volts carrés (V²). Ce n'est pas une unité physique courante, mais elle est essentielle pour l'étape intermédiaire du calcul RMS.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire pour cette étape, c'est un calcul algébrique simple.

Calcul(s)

On doit trouver la valeur de \(v(t)^2\) pour chaque intervalle de temps où \(v(t)\) a une valeur constante.

Étape 1 : Calcul pour l'état haut (\(0 < t < 10\text{ms}\))

Pendant cet intervalle, \(v(t) = V_H = 10 \text{ V}\). On élève cette valeur au carré.

Le calcul est simple pour le niveau haut :

\[ v(t)^2 = (V_H)^2 = (10 \text{ V})^2 = 10 \times 10 = 100 \text{ V}^2 \]

La nouvelle valeur pour cet intervalle est donc 100 V².

Étape 2 : Calcul pour l'état bas (\(10\text{ms} < t < 20\text{ms}\))

Pendant cet intervalle, \(v(t) = V_L = -5 \text{ V}\). On élève cette valeur au carré, en faisant attention au signe.

C'est le point clé : le carré d'un nombre négatif devient positif.

\[ v(t)^2 = (V_L)^2 = (-5 \text{ V})^2 = (-5) \times (-5) = 25 \text{ V}^2 \]

La nouvelle valeur pour ce deuxième intervalle est 25 V². Notez qu'elle est positive.

Le carré d'un nombre négatif est toujours positif. Le nouveau signal est donc toujours positif.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma est l'objet de la question suivante.

FAQ

...

L'unité V² (Volt carré) a-t-elle un sens physique ?

Pas directement. On ne mesure jamais des "Volts carrés". C'est une étape de calcul purement mathématique. L'étape finale (la racine carrée) nous ramènera à des Volts, une unité physiquement cohérente pour la valeur efficace.

Résultat Final
L'expression de \(v(t)^2\) est un signal périodique de période 20ms défini par : \[ v^2(t) = \begin{cases} 100 \text{ V}^2 & \text{pour } 0 < t < 10\text{ms} \\ 25 \text{ V}^2 & \text{pour } 10\text{ms} < t < 20\text{ms} \end{cases} \]
A vous de jouer

Si le signal bas était \(V_L = 0\text{V}\) (signal unipolaire), quelle serait la valeur de \(v(t)^2\) pendant l'état bas ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Étape "Square" (Carré) de RMS.
  • Opération : Élever chaque palier de tension au carré.
  • Point de Vigilance Majeur : \((-V_L)^2 = +V_L^2\). Le signal \(v^2(t)\) est toujours positif.

Question 3 : Dessiner le signal \(v(t)^2\) sur deux périodes.

Principe du tracé

Cette question est une application graphique directe des résultats de la Question 2. Nous allons tracer un signal carré qui a la même période (20ms) et les mêmes durées (10ms) que l'original, mais dont les niveaux de tension sont les valeurs *au carré* que nous avons calculées :

  • De 0 à 10ms, le signal vaut \(V_H^2 = 100 \text{ V}^2\).
  • De 10ms à 20ms, le signal vaut \(V_L^2 = 25 \text{ V}^2\).
  • Ce motif se répète de 20ms à 40ms pour la deuxième période.
Schéma Résultant

Voici le tracé du signal \(v^2(t)\). C'est un signal carré qui est maintenant entièrement positif.

Signal de tension au carré \(v^2(t)\)
t (ms) v²(t) (V²) 0 10 20 (T) 30 40 100 25
Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal dessiner le palier bas. Il ne doit pas être à 0V² ou à -25V². Puisque \((-5)^2 = +25\), le palier bas du nouveau signal est à +25V², au-dessus de l'axe des abscisses.

Résultat Final
Le schéma du signal \(v^2(t)\) a été tracé (voir ci-dessus). C'est un signal carré oscillant entre 100V² et 25V².

Question 4 : Calculer la valeur moyenne de \(v(t)^2\), notée \(\text{moy}(v^2)\).

Principe

C'est la deuxième étape "Moyenne" (le "M" de "RMS"). Le principe est identique à la Q1 : on calcule l'aire sous le nouveau signal \(v^2(t)\) sur une période, et on divise par la période \(T\).

Mini-Cours

On applique la même formule que pour la valeur moyenne, mais en utilisant les valeurs de \(v^2(t)\) au lieu de \(v(t)\). \[ \text{moy}(v^2) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v(t)^2 \,dt \] Pour notre signal carré, cela devient : \[ \text{moy}(v^2) = \frac{1}{T} \left( V_H^2 \cdot t_H + V_L^2 \cdot t_L \right) \]

Remarque Pédagogique

Puisque le signal \(v^2(t)\) est toujours positif, les deux "aires" (de 0 à 10ms et de 10ms à 20ms) s'additionnent. Il n'y a pas de soustraction ici.

Normes

C'est la définition mathématique de la moyenne d'une fonction périodique.

Formule(s)

Moyenne du signal au carré (par aires)

\[ \text{moy}(v^2) = \frac{1}{T} \left( (\text{Niveau 1})^2 \cdot t_1 + (\text{Niveau 2})^2 \cdot t_2 \right) \]
Hypothèses

Mêmes hypothèses que précédemment.

Donnée(s)

On utilise les valeurs calculées à la Q2.

ParamètreSymboleValeurUnité
Niveau Haut de \(v^2\)\(V_H^2\)100V²
Niveau Bas de \(v^2\)\(V_L^2\)25V²
Durées\(t_H, t_L\)10, 10ms
Période\(T\)20ms
Astuces

Comme pour la Q1, on peut utiliser l'astuce des rapports cycliques. \(\text{moy}(v^2) = (\alpha_H \cdot V_H^2) + (\alpha_L \cdot V_L^2)\), où \(\alpha_H = \alpha_L = 0.5\). Le calcul devient : \((0.5 \cdot 100) + (0.5 \cdot 25)\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la Q3 est la référence. On doit calculer l'aire des deux rectangles positifs et en faire la moyenne.

Calcul(s)

On utilise la même méthode que pour la Q1 (moyenne des aires), mais en appliquant aux valeurs du signal au carré, \(v^2(t)\).

Étape 1 : Poser la formule

La moyenne de \(v^2(t)\) est l'aire sous la courbe de \(v^2(t)\) divisée par la période \(T\).

La formule est la même que pour la Q1, mais appliquée aux valeurs de \(v^2\).

\[ \text{moy}(v^2) = \frac{1}{T} \left( (V_H^2) \cdot t_H + (V_L^2) \cdot t_L \right) \]

On va maintenant remplacer chaque terme par sa valeur.

Étape 2 : Remplacer par les valeurs numériques

De la Q2, on sait que \(V_H^2 = 100 \text{ V}^2\) et \(V_L^2 = 25 \text{ V}^2\). Les durées et la période sont inchangées.

L'équation devient :

\[ \text{moy}(v^2) = \frac{1}{20 \text{ ms}} \left( (100 \text{ V}^2 \cdot 10 \text{ ms}) + (25 \text{ V}^2 \cdot 10 \text{ ms}) \right) \]

Nous avons une somme d'aires (en V².ms) divisée par un temps (en ms).

Étape 3 : Calculer les aires (termes dans la parenthèse)

Cette fois, les deux aires sont positives.

On calcule l'aire du premier rectangle (niveau 100 V²) et du second (niveau 25 V²).

\[ \begin{aligned} \text{Aire 1 (carré)} &= 100 \text{ V}^2 \cdot 10 \text{ ms} = 1000 \text{ V}^2\text{.ms} \\ \text{Aire 2 (carré)} &= 25 \text{ V}^2 \cdot 10 \text{ ms} = 250 \text{ V}^2\text{.ms} \end{aligned} \]

L'aire totale sous la courbe de \(v^2(t)\) est la somme des deux : \(1000 + 250 = 1250 \text{ V}^2\text{.ms}\).

Étape 4 : Finaliser le calcul

On additionne les aires et on divise par la période. On remplace la parenthèse par l'aire totale \(1250 \text{ V}^2\text{.ms}\) et on divise par \(T=20 \text{ ms}\).

\[ \begin{aligned} \text{moy}(v^2) &= \frac{1}{20} \left( 1000 + 250 \right) \\ \text{moy}(v^2) &= \frac{1250}{20} \\ \Rightarrow \text{moy}(v^2) &= 62.5 \text{ V}^2 \end{aligned} \]

Le résultat est la moyenne du carré, exprimée en V². C'est l'avant-dernière étape.

Schéma (Après les calculs)

On peut tracer cette valeur moyenne (62.5 V²) comme une ligne horizontale sur le graphe de \(v^2(t)\). Cette ligne représente la "hauteur moyenne" du signal \(v^2(t)\).

Réflexions

La moyenne du signal au carré est de 62.5 V². C'est cette valeur qui est directement proportionnelle à la puissance moyenne dissipée dans une résistance. \(P_{\text{moy}} = \frac{\text{moy}(v^2)}{R}\).

Points de vigilance

L'erreur classique est de calculer la moyenne de \(v(t)\) (Q1, 2.5V) et de simplement l'élever au carré. \((V_{\text{moy}})^2 = (2.5\text{V})^2 = 6.25 \text{ V}^2\). Ceci est **totalement différent** de \(\text{moy}(v^2) = 62.5 \text{ V}^2\). C'est le point le plus important : \(\text{moy}(v^2) \neq (\text{moy}(v))^2\).

Points à retenir
  • La moyenne du carré n'est PAS le carré de la moyenne.
  • Le calcul est une moyenne pondérée des *carrés* des tensions.
Le saviez-vous ?

La différence entre \(\text{moy}(v^2)\) et \((V_{\text{moy}})^2\) est liée à la "partie alternative" du signal (la variance). On a la relation (Théorème de Huygens) : \(V_{\text{eff}}^2 = V_{\text{moy}}^2 + V_{\text{eff,AC}}^2\), où \(V_{\text{eff,AC}}\) est la valeur efficace de la composante alternative seule. Ici, \(62.5 = (2.5)^2 + V_{\text{eff,AC}}^2\), donc \(V_{\text{eff,AC}}^2 = 56.25\).

FAQ

...

Pourquoi cette valeur est-elle si différente de \((V_{\text{moy}})^2\) ?

Parce que la fonction "carré" \(f(x)=x^2\) n'est pas linéaire. Elle donne beaucoup plus de "poids" aux grandes valeurs (10V devient 100) qu'aux petites (-5V devient 25). La moyenne est donc fortement tirée vers le haut par les pics de tension, qu'ils soient positifs ou négatifs.

Résultat Final
La valeur moyenne du signal \(v(t)^2\) est \(\text{moy}(v^2) = 62.5 \text{ V}^2\).
A vous de jouer

Pour le signal symétrique (+10V, -10V) de la Q1, quelle serait la valeur de \(\text{moy}(v^2)\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Étape "Mean" (Moyenne) de RMS.
  • Opération : Calculer la moyenne du signal \(v^2(t)\) (toujours positif).
  • Point de Vigilance Majeur : \(\text{moy}(v^2) \neq (V_{\text{moy}})^2\).

Question 5 : En déduire la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\) de \(v(t)\).

Principe

C'est la dernière étape "Racine" (le "R" de "RMS" - Root Mean Square). On a calculé la moyenne du carré (Mean Square) à la Q4. Il suffit maintenant de prendre la racine carrée (Root) de ce résultat pour obtenir la valeur efficace.

Mini-Cours

La définition complète est \( V_{\text{eff}} = \sqrt{\text{moy}(v^2)} \). Nous avons déjà calculé \(\text{moy}(v^2) = 62.5 \text{ V}^2\). L'opération finale est donc une simple application de la racine carrée.

Remarque Pédagogique

Cette étape finale permet de revenir à une unité cohérente. La racine carrée de V² (Volts carrés) donne bien des V (Volts). La valeur efficace est donc une tension, directement comparable à une tension continue.

Normes

C'est la définition standard de la valeur efficace (norme IEC 60050-131).

Formule(s)

Définition de la Valeur Efficace

\[ V_{\text{eff}} = \sqrt{\text{moy}(v^2)} \]
Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la Q4.

ParamètreSymboleValeurUnité
Moyenne du carré\(\text{moy}(v^2)\)62.5V²
Astuces

Une calculatrice est nécessaire ici. N'oubliez pas que \(\sqrt{x}\) est la même chose que \(x^{0.5}\).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire pour cette étape finale.

Calcul(s)

C'est la dernière étape, "Root" (Racine). On applique la définition de la valeur efficace en utilisant le résultat de la Q4.

Étape 1 : Poser la formule

La valeur efficace (Root) est la racine carrée (Root) de la valeur que nous venons de calculer (Mean Square).

\[ V_{\text{eff}} = \sqrt{\text{moy}(v^2)} \]

On prend le résultat de la Q4 et on applique la fonction racine carrée.

Étape 2 : Remplacer par la valeur calculée

On a trouvé à la question 4 que \(\text{moy}(v^2) = 62.5 \text{ V}^2\).

L'opération à effectuer est donc :

\[ V_{\text{eff}} = \sqrt{62.5} \]

Prendre la racine de V² (Volts-carrés) donnera un résultat en V (Volts).

Étape 3 : Calcul final

En utilisant une calculatrice, on trouve la racine carrée.

\[ \begin{aligned} V_{\text{eff}} &\approx 7.90569... \text{ V} \\ \Rightarrow V_{\text{eff}} &\approx 7.91 \text{ V} \text{ (arrondi à 2 décimales)} \end{aligned} \]

Cette valeur de 7.91 V est la tension efficace RMS du signal.

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant tracer les deux valeurs calculées sur le graphe original : \(V_{\text{moy}} = 2.5 \text{ V}\) (la composante DC) et \(V_{\text{eff}} = 7.91 \text{ V}\) (la valeur RMS).

Réflexions

Nous avons trois valeurs clés pour ce signal :

  • Amplitude crête-à-crête : \(10 - (-5) = 15 \text{ V}\).
  • Valeur moyenne : \(2.5 \text{ V}\).
  • Valeur efficace : \(7.91 \text{ V}\).
Chacune décrit une propriété différente du signal. Si cette tension était appliquée à une ampoule (résistance), elle brillerait comme si elle était alimentée par une tension continue de 7.91V, mais un voltmètre DC n'indiquerait que 2.5V.

Points de vigilance

Ne pas prendre la racine carrée trop tôt ! \(\sqrt{\text{moy}(v^2)}\) n'est pas \(\text{moy}(\sqrt{v^2})\) (ce qui serait la moyenne de la valeur absolue). L'ordre RMS (Carré, Moyenne, Racine) est strict.

Points à retenir
  • La valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré.
  • \(V_{\text{eff}}\) est toujours positive et est liée à la puissance dissipée.
  • Pour ce signal, \(V_{\text{eff}} \approx 7.91 \text{ V}\).
Le saviez-vous ?

La tension de 230V que vous avez chez vous est une valeur efficace ! La tension sinusoïdale réelle oscille entre \(+325\text{V}\) et \(-325\text{V}\) (\(230 \times \sqrt{2}\)). On utilise 230V car c'est ce qui compte pour la puissance des appareils.

FAQ

...

La valeur efficace peut-elle être plus petite que la valeur moyenne ?

Oui, mais seulement pour des signaux très spécifiques. Par exemple, un signal DC pur de 10V a \(V_{\text{moy}} = 10\text{V}\) et \(V_{\text{eff}} = 10\text{V}\) (ils sont égaux). Si on ajoute une petite ondulation AC, \(V_{\text{eff}}\) sera toujours légèrement supérieure à \(|V_{\text{moy}}|\). \(V_{\text{eff}} \ge |V_{\text{moy}}|\) est toujours vrai.

Résultat Final
La valeur efficace (RMS) du signal \(v(t)\) est \(V_{\text{eff}} \approx 7.91 \text{ V}\).
A vous de jouer

Pour le signal symétrique (+10V, -10V) avec \(\text{moy}(v^2) = 100 \text{ V}^2\), quelle est la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Étape "Root" (Racine) de RMS.
  • Opération : \(V_{\text{eff}} = \sqrt{\text{moy}(v^2)}\).
  • Résultat : \(V_{\text{eff}}\) est une tension (en V) qui représente la "puissance" du signal.

Outil Interactif : Simulateur de Signal Carré (Rapport Cyclique 50%)

Utilisez les curseurs pour modifier les niveaux de tension haut (\(V_H\)) et bas (\(V_L\)) du signal. Le simulateur calcule en temps réel la valeur moyenne et la valeur efficace correspondantes, en supposant un rapport cyclique de 50% (le signal passe autant de temps en haut qu'en bas).

Paramètres d'Entrée
10 V
-5 V
Résultats Clés
Valeur Efficace (V_eff) (V) -
Valeur Moyenne (V_moy) (V) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la définition mathématique correcte de la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\) ?

2. Un signal est une tension continue (DC) parfaite de 10V. Quelle est sa valeur efficace ?

3. Que signifie l'acronyme RMS en anglais ?

4. Pour un signal carré parfaitement symétrique (qui oscille entre +A et -A), quelle est la valeur moyenne ?

5. Pour ce même signal carré parfaitement symétrique (oscillant entre +A et -A), quelle est la valeur efficace ?

Glossaire

Valeur Efficace (RMS)
La valeur efficace (Root Mean Square) d'un courant ou d'une tension variable est la valeur du courant continu ou de la tension continue qui produirait la même dissipation de puissance moyenne (chaleur) dans une résistance donnée.
Valeur Moyenne
La valeur moyenne d'un signal périodique est l'intégrale du signal sur une période, divisée par la période. Elle représente la composante continue (DC) du signal.
Rapport Cyclique (\(\alpha\))
Pour un signal carré, c'est le rapport entre le temps passé à l'état haut et la période totale (\(\alpha = t_H / T\)). Dans cet exercice, le rapport cyclique était de 0.5 (ou 50%).
Signal Périodique
Un signal qui se répète à l'identique à intervalles de temps réguliers. Cet intervalle est appelé la Période (T).
Limite élastique (\(f_y\))
La contrainte maximale qu'un matériau peut subir avant de commencer à se déformer de manière permanente. (Terme générique du modèle)
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface au sein d'un matériau. (Terme générique du modèle)
Exercice : Valeur Efficace d'un Signal Carré

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