Impédance d'une Ligne de Transmission

Contexte : L'analyse des lignes de transmissionUn guide physique (comme un câble coaxial ou une paire torsadée) qui transporte l'énergie électromagnétique d'un point à un autre. en régime sinusoïdal.

Cet exercice porte sur l'analyse d'une ligne de transmission coaxiale sans pertes (\(R=0, G=0\)) opérant à haute fréquence. Lorsqu'une ligne n'est pas terminée par son impédance caractéristiqueL'impédance qu'une ligne de transmission infiniment longue présenterait à sa source. Notée \(Z_c\)., il se produit des réflexions d'ondes. Nous allons calculer l'impédance d'entrée de cette ligne, le coefficient de réflexion et le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS) pour une charge donnée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les équations fondamentales des lignes de transmission en régime sinusoïdal pour caractériser l'adaptation d'impédance entre une ligne et sa charge.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le coefficient de réflexionRapport complexe entre l'amplitude de l'onde réfléchie et l'onde incidente à un point donné (généralement la charge). \(\Gamma_R\) à la charge.
Déterminer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS ou SWR).
Calculer la constante de phaseMesure du déphasage de l'onde par unité de longueur. Notée \(\beta\) et mesurée en rad/m. \(\beta\) et la longueur électrique \(\beta l\).
Calculer l'impédance d'entréeL'impédance vue à l'entrée de la ligne de transmission, qui dépend de \(Z_c\), \(Z_R\), et de la longueur de la ligne. \(Z_{in}\) d'une ligne sans pertes.

Données de l'étude

On étudie une ligne de transmission coaxiale sans pertes (\(R=0, G=0\)) opérant à une fréquence de 100 MHz. La ligne est connectée à une charge \(Z_R\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de ligne	Coaxiale
Modèle	Sans pertes (\(R=0, G=0\))
Fréquence de travail (\(f\))	100 MHz

Modèle de la ligne de transmission et sa charge

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance caractéristique	\(Z_c\)	50	\(\Omega\)
Impédance de charge	\(Z_R\)	\(75 + j25\)	\(\Omega\)
Fréquence de travail	\(f\)	\(100 \times 10^6\)	Hz
Longueur physique	\(l\)	1.2	m
Vitesse de propagation	\(v\)	\(2 \times 10^8\)	m/s

Questions à traiter

Calculer le coefficient de réflexion complexe \(\Gamma_R\) au niveau de la charge.
Calculer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS) sur la ligne.
Calculer la constante de phase \(\beta\) (ou nombre d'onde).
Calculer la longueur électrique de la ligne, \(\beta l\), en radians et en degrés.
Calculer l'impédance d'entrée \(Z_{in}\) vue depuis le générateur.

Les bases sur les Lignes de Transmission

Pour une ligne sans pertes (\(R=G=0\)), l'impédance caractéristique \(Z_c = \sqrt{L/C}\) est une valeur réelle. La constante de propagation est un imaginaire pur : \(\gamma = \alpha + j\beta = 0 + j\beta\). L'onde se propage sans atténuation.

1. Coefficient de Réflexion (\(\Gamma_R\))
Il quantifie la désadaptation d'impédance à la charge. C'est le rapport de l'amplitude complexe de l'onde réfléchie sur l'onde incidente. \[ \Gamma_R = \frac{Z_R - Z_c}{Z_R + Z_c} \]

2. Impédance d'Entrée (\(Z_{in}\))
Pour une ligne sans pertes de longueur \(l\) et de constante de phase \(\beta\), l'impédance vue à l'entrée est donnée par : \[ Z_{in} = Z_c \frac{Z_R + j Z_c \tan(\beta l)}{Z_c + j Z_R \tan(\beta l)} \]

Correction : Impédance d'une Ligne de Transmission

Question 1 : Calculer le coefficient de réflexion complexe \(\Gamma_R\)

Principe

Le coefficient de réflexion \(\Gamma_R\) mesure la fraction de l'onde incidente qui est réfléchie par la charge. Il est nul si \(Z_R = Z_c\) (adaptation parfaite) et a une magnitude de 1 si la charge est un circuit ouvert, un court-circuit ou une impédance purement réactive.

Mini-Cours

La formule \(\Gamma_R = (Z_R - Z_c) / (Z_R + Z_c)\) est fondamentale. Le résultat est un nombre complexe, qui donne à la fois le rapport d'amplitude (par sa magnitude \(|\Gamma_R|\)) et le déphasage à la réflexion (par son angle \(\phi\)).

Remarque Pédagogique

Manipuler les nombres complexes est essentiel ici. L'utilisation de la forme rectangulaire (\(a+jb\)) est souvent plus simple pour les additions et soustractions, tandis que la forme polaire (\(r \angle \phi\)) est utile pour les multiplications et divisions.

Normes

Ce calcul est universel et ne dépend pas d'une norme spécifique, mais il est à la base de toutes les analyses de circuits RF (Radio Fréquence) et hyperfréquence.

Formule(s)

La seule formule nécessaire est celle du coefficient de réflexion à la charge.

\Gamma_R = \frac{Z_R - Z_c}{Z_R + Z_c}

Hypothèses

Nous utilisons les valeurs données dans l'énoncé, en supposant qu'elles sont exactes et constantes à la fréquence de travail \(f\).

Ligne sans pertes.
Régime sinusoïdal établi.

Donnée(s)

Les deux valeurs clés pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance caractéristique	\(Z_c\)	\(50\)	\(\Omega\)
Impédance de charge	\(Z_R\)	\(75 + j25\)	\(\Omega\)

Astuces

Pour la division de nombres complexes \(\frac{a+jb}{c+jd}\), multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (\(c-jd\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est celui de l'interface entre la ligne (avec son impédance \(Z_c\)) et la charge (\(Z_R\)), où la réflexion se produit.

Interface Ligne-Charge

Calcul(s)

Nous effectuons la substitution directe et simplifions le nombre complexe étape par étape.

Étape 1 : Calcul du numérateur (\(Z_R - Z_c\))

On commence par calculer le numérateur de la fraction, \(Z_R - Z_c\), en soustrayant les parties réelles.

\[ Z_R - Z_c = (75 + j25) - 50 = 25 + j25 \]

Le numérateur est donc \(25 + j25\).

Étape 2 : Calcul du dénominateur (\(Z_R + Z_c\))

Ensuite, on calcule le dénominateur, \(Z_R + Z_c\), en additionnant les parties réelles.

\[ Z_R + Z_c = (75 + j25) + 50 = 125 + j25 \]

Le dénominateur est \(125 + j25\). Nous avons maintenant la fraction \(\Gamma_R = \frac{25 + j25}{125 + j25}\).

Étape 3 : Division des nombres complexes

Pour diviser, on met 25 en facteur pour simplifier, puis on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (\(5 - j\)) pour éliminer la partie imaginaire au dénominateur.

\begin{aligned} \Gamma_R &= \frac{25 + j25}{125 + j25} \\ &= \frac{25(1 + j)}{25(5 + j)} \\ &= \frac{1 + j}{5 + j} \\ &= \frac{(1 + j)(5 - j)}{(5 + j)(5 - j)} \\ &= \frac{(5 - j + j5 - j^2)}{5^2 - j^2} \\ &= \frac{(5 + 1) + j(5 - 1)}{25 + 1} \\ &= \frac{6 + j4}{26} \\ &= \frac{6}{26} + j\frac{4}{26} \\ &= \frac{3}{13} + j\frac{2}{13} \end{aligned}

Le résultat est \(\frac{3}{13} + j\frac{2}{13}\), ce qui est la forme rectangulaire (a+jb) de \(\Gamma_R\).

Étape 4 : Forme polaire (Optionnel mais utile)

Pour trouver le TOS (Taux d'Ondes Stationnaires) à la question suivante, nous avons besoin de la magnitude (le module) de \(\Gamma_R\), calculée avec \(|\Gamma_R| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

\begin{aligned} |\Gamma_R| &= \sqrt{(\frac{3}{13})^2 + (\frac{2}{13})^2} \\ &= \sqrt{\frac{9 + 4}{169}} \\ &= \sqrt{\frac{13}{169}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{13}} \\ &\approx 0.277 \end{aligned}

La magnitude est \(\sqrt{1/13}\) ou environ 0.277. C'est cette valeur qui sera utilisée pour le TOS.

On calcule aussi l'angle (l'argument) de \(\Gamma_R\) avec \(\phi = \arctan(b/a)\) pour connaître le déphasage à la réflexion.

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{2/13}{3/13}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \\ &\approx 33.69^\circ \end{aligned}

L'angle de réflexion est d'environ 33.7 degrés.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat peut être visualisé sur une Abaque de SmithUn diagramme graphique complexe utilisé en ingénierie RF pour visualiser l'impédance d'une ligne de transmission et les paramètres d'adaptation.. Notre point \(\Gamma_R\) se situerait dans le premier quadrant.

Visualisation (Conceptuelle)

Réflexions

Un coefficient de réflexion de \(|\Gamma_R| \approx 0.277\) signifie que 27.7% de l'amplitude de la tension (et \((0.277)^2 \approx 7.7\%\) de la puissance) est réfléchie par la charge. Ce n'est pas une adaptation parfaite, mais ce n'est pas non plus une désadaptation totale.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est le calcul avec les nombres complexes. Vérifiez bien les signes, en particulier lors de la multiplication par le conjugué. \(j^2 = -1\) !

Points à retenir

La formule \(\Gamma_R = (Z_R - Z_c) / (Z_R + Z_c)\) est l'une des plus importantes de la théorie des lignes. La magnitude \(|\Gamma_R|\) est toujours comprise entre 0 (adaptation parfaite) et 1 (réflexion totale).

Le saviez-vous ?

Les ingénieurs RF utilisent quotidiennement l'Abaque de Smith, un outil graphique inventé par Phillip Smith, qui permet de résoudre ces équations complexes visuellement sans calculatrice.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

\(\Gamma_R = 3/13 + j(2/13) \approx 0.231 + j0.154 \approx 0.277 \angle 33.69^\circ\)

A vous de jouer

Que vaudrait \(\Gamma_R\) (en valeur réelle) si la charge était une simple résistance \(Z_R = 100 \Omega\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Coefficient de Réflexion (désadaptation).
Formule Essentielle : \(\Gamma_R = (Z_R - Z_c) / (Z_R + Z_c)\).
Point de Vigilance Majeur : Calculs avec nombres complexes.

Question 2 : Calculer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

Principe

Le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS), ou VSWR (Voltage Standing Wave Ratio) en anglais, est une mesure directe de la qualité de l'adaptation d'impédance. Il compare la tension maximale à la tension minimale le long de la ligne. Un TOS de 1.0 est parfait.

Mini-Cours

Le TOS est directement lié à la magnitude du coefficient de réflexion \(|\Gamma_R|\). Il est défini comme \(TOS = V_{max} / V_{min}\). On peut démontrer que cela équivaut à la formule simple \(TOS = (1 + |\Gamma_R|) / (1 - |\Gamma_R|)\). C'est une valeur toujours réelle et \(\ge 1\).

Remarque Pédagogique

Notez que le TOS ne dépend que de la *magnitude* de \(\Gamma_R\), pas de son angle. Deux charges différentes peuvent avoir le même TOS tant qu'elles ont le même \(|\Gamma_R|\) (elles se situent sur le même cercle centré sur l'abaque de Smith).

Normes

En télécommunications, un TOS inférieur à 1.5 est souvent considéré comme bon, et en dessous de 1.2 comme excellent. Un TOS élevé (ex: > 3) peut endommager les émetteurs de puissance.

Formule(s)

Formule du TOS

TOS = \frac{1 + |\Gamma_R|}{1 - |\Gamma_R|}

Hypothèses

La seule hypothèse est que le calcul de \(|\Gamma_R|\) de la question 1 est correct.

Utilisation de la magnitude de \(\Gamma_R\).

Donnée(s)

Provenant de la Question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Magnitude de \(\Gamma_R\)	\(\|\Gamma_R\|\)	\(\approx 0.277\) (ou \(1/\sqrt{13}\))	Sans unité

Astuces

Si on vous donne le TOS, vous pouvez retrouver \(|\Gamma_R|\) en inversant la formule : \(|\Gamma_R| = (TOS - 1) / (TOS + 1)\).

Schéma (Avant les calculs)

Le TOS se manifeste par des "ventres" (max) et des "nœuds" (min) de tension le long de la ligne.

Onde Stationnaire (Tension)

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution de \(|\Gamma_R|\)

On insère la valeur approximative de \(|\Gamma_R|\) (calculée à la Q1) dans la formule du TOS.

\begin{aligned} TOS &= \frac{1 + 0.27735}{1 - 0.27735} \\ &= \frac{1.27735}{0.72265} \\ &\approx 1.7676 \end{aligned}

Le calcul donne un TOS d'environ 1.7676.

Étape 2 : Calcul avec la fraction exacte (plus précis)

Pour éviter les erreurs d'arrondi, il est préférable d'utiliser la valeur fractionnaire exacte \(|\Gamma_R| = 1/\sqrt{13}\).

\begin{aligned} TOS &= \frac{1 + 1/\sqrt{13}}{1 - 1/\sqrt{13}} \\ &= \frac{(\sqrt{13} + 1) / \sqrt{13}}{(\sqrt{13} - 1) / \sqrt{13}} \\ &= \frac{\sqrt{13} + 1}{\sqrt{13} - 1} \\ &\approx \frac{3.6055 + 1}{3.6055 - 1} \\ &\approx \frac{4.6055}{2.6055} \\ &\approx 1.7676 \end{aligned}

Le résultat confirme la valeur de 1.7676. On arrondit généralement à 1.77.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un nombre unique, 1.77. On dit "le TOS est de 1.77:1". Il n'y a pas de schéma pour ce résultat seul, il *décrit* le schéma de l'onde stationnaire vu précédemment.

Valeur du TOS

Réflexions

Un TOS de 1.77 est acceptable pour des applications générales, mais pourrait être problématique pour un émetteur de haute puissance qui nécessite une adaptation très précise (par exemple, un TOS < 1.2) pour éviter que la puissance réfléchie ne l'endommage.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(\Gamma_R\) (un nombre complexe) et \(|\Gamma_R|\) (sa magnitude, un nombre réel positif). Le TOS n'utilise *que* la magnitude \(|\Gamma_R|\). Assurez-vous aussi que \(TOS \ge 1\). Si vous trouvez \(TOS < 1\), vous avez inversé le numérateur et le dénominateur.

Points à retenir

\(TOS = 1\) : Adaptation parfaite.
\(TOS = \infty\) : Réflexion totale (court-circuit, circuit ouvert).
Le TOS est une mesure scalaire de la désadaptation.

Le saviez-vous ?

Le "Return Loss" (Perte de Retour), mesuré en décibels (dB), est une autre façon d'exprimer la désadaptation. Il est défini par \(RL = -20 \log_{10}(|\Gamma_R|)\). Pour notre exercice, \(RL = -20 \log_{10}(0.277) \approx 11.1\) dB.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS) est d'environ 1.77.

A vous de jouer

Si un collègue vous dit que \(|\Gamma_R| = 0.5\), quel est le TOS ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Taux d'Ondes Stationnaires (mesure d'adaptation).
Formule Essentielle : \(TOS = (1 + |\Gamma_R|) / (1 - |\Gamma_R|)\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser \(|\Gamma_R|\), pas \(\Gamma_R\). \(TOS \ge 1\).

Question 3 : Calculer la constante de phase \(\beta\)

Principe

La constante de phase \(\beta\), aussi appelée "nombre d'onde", décrit comment la phase de l'onde sinusoïdale change à mesure qu'elle se propage le long de la ligne. Elle est mesurée en radians par mètre (rad/m).

Mini-Cours

Pour une ligne sans pertes, l'onde se propage à une vitesse \(v\) qui est constante et ne dépend pas de la fréquence (pas de dispersion). La relation entre la pulsation \(\omega\) (en rad/s), la vitesse \(v\) (en m/s) et \(\beta\) (en rad/m) est \(\beta = \omega / v\). On sait aussi que \(\omega = 2\pi f\).

Remarque Pédagogique

La constante de phase \(\beta\) est cruciale car c'est elle qui intervient dans le terme \(\tan(\beta l)\) pour le calcul de l'impédance d'entrée. Elle détermine comment la ligne "transforme" l'impédance de charge.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une définition fondamentale de la physique des ondes.

Formule(s)

Pulsation (vitesse angulaire)

\omega = 2 \pi f

Constante de phase

\beta = \frac{\omega}{v} = \frac{2 \pi f}{v}

Hypothèses

Nous supposons que la vitesse de propagation \(v\) est constante (ligne sans pertes, milieu non dispersif).

\(v\) est la vitesse de l'onde sur la ligne, pas la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)).

Donnée(s)

Les données nécessaires pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de travail	\(f\)	\(100 \times 10^6\)	Hz
Vitesse de propagation	\(v\)	\(2 \times 10^8\)	m/s

Astuces

On peut aussi définir la longueur d'onde sur la ligne : \(\lambda = v / f\). Dans ce cas, \(\beta = 2\pi / \lambda\). C'est une relation très utile à retenir. Pour notre exercice : \(\lambda = (2 \times 10^8) / (100 \times 10^6) = 2\) mètres.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser \(\beta\) comme le nombre de radians que l'onde "parcourt" en 1 mètre d'espace.

Propagation de l'onde

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

On convertit d'abord la fréquence \(f\) (en Hz) en pulsation \(\omega\) (en rad/s) en utilisant la formule \(\omega = 2\pi f\).

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi (100 \times 10^6 \text{ Hz}) \\ &= 2\pi \times 10^8 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation est de \(2\pi \times 10^8\) rad/s.

Étape 2 : Calcul de la constante de phase \(\beta\)

On utilise ensuite la relation \(\beta = \omega / v\) en divisant la pulsation par la vitesse de propagation donnée.

\begin{aligned} \beta &= \frac{\omega}{v} \\ &= \frac{2\pi \times 10^8 \text{ rad/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} \\ &= \pi \text{ rad/m} \end{aligned}

On obtient une constante de phase \(\beta\) de \(\pi\) rad/m. C'est une valeur simple qui facilitera les calculs suivants.

Schéma (Après les calculs)

La longueur d'onde \(\lambda = 2\pi/\beta = 2\pi/\pi = 2\) mètres. Cela signifie que l'onde effectue un cycle complet de \(360^\circ\) (ou \(2\pi\) radians) tous les 2 mètres.

Longueur d'onde \(\lambda\)

Réflexions

Un \(\beta = \pi\) rad/m est une valeur très pratique pour les calculs. Elle signifie que chaque mètre de ligne correspond à un déphasage de \(\pi\) radians, soit 180°. Notre ligne de 1.2 m aura donc un déphasage de 1.2\(\pi\) radians.

Points de vigilance

Attention aux unités. La fréquence doit être en Hertz (Hz), pas en MégaHertz (MHz), pour être cohérente avec \(v\) en m/s. \(100 \text{ MHz} = 100 \times 10^6 \text{ Hz}\).

Points à retenir

\(\beta = \omega/v\)
\(\beta = 2\pi/\lambda\)
\(\omega = 2\pi f\)

Le saviez-vous ?

La vitesse de propagation \(v = 2 \times 10^8\) m/s est typique pour un câble coaxial. Elle est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide (\(c \approx 3 \times 10^8\) m/s) à cause du diélectrique (isolant) entre le conducteur central et le blindage. Le rapport \(v/c\) est appelé "facteur de vélocité".

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La constante de phase est \(\beta = \pi\) rad/m (environ 3.1416 rad/m).

A vous de jouer

Si la fréquence double (\(f = 200\) MHz) et que \(v\) reste la même, que devient \(\beta\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Constante de Phase (déphasage par mètre).
Formule Essentielle : \(\beta = \omega/v = 2\pi f / v\).
Point de Vigilance Majeur : Unités (MHz \(\rightarrow\) Hz).

Question 4 : Calculer la longueur électrique \(\beta l\)

Principe

La longueur électrique n'est pas une longueur physique, mais une mesure du déphasage total que l'onde subit en parcourant la ligne. C'est un angle (en radians ou degrés) qui est l'argument de la fonction \(\tan(\beta l)\) dans la formule de \(Z_{in}\).

Mini-Cours

Le calcul est simple : on multiplie la constante de phase \(\beta\) (en rad/m) par la longueur physique \(l\) (en m). Le résultat \(\beta l\) est un angle en radians. Pour le convertir en degrés, on utilise la relation \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\).

Remarque Pédagogique

La transformation d'impédance est périodique. Puisque \(\tan(x)\) est périodique de période \(\pi\), l'impédance d'entrée sera la même si on ajoute \(\pi\) à \(\beta l\) (ce qui correspond à ajouter une demi-longueur d'onde, \(\lambda/2\), à la ligne).

Normes

Pas de norme, c'est un calcul de base.

Formule(s)

Longueur électrique (radians)

\theta = \beta \cdot l

Conversion (degrés)

\theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180^\circ}{\pi}

Hypothèses

Les valeurs de \(\beta\) et \(l\) sont correctes.

\(\beta = \pi\) rad/m
\(l = 1.2\) m

Donnée(s)

Provenant de l'énoncé et de la Question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante de phase	\(\beta\)	\(\pi\)	rad/m
Longueur physique	\(l\)	\(1.2\)	m

Astuces

Il est souvent utile de penser en termes de longueurs d'onde. Nous avons vu que \(\lambda = 2\) m. La longueur \(l=1.2\) m est donc \(l = 1.2 / 2 = 0.6 \lambda\). La longueur électrique est \(\beta l = (2\pi/\lambda) \cdot (0.6\lambda) = 1.2\pi\) radians. Cela confirme le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Nous localisons la longueur \(l=1.2\) m sur l'axe de la ligne, par rapport à la longueur d'onde \(\lambda=2\) m.

Position sur la Ligne

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul en radians

On multiplie la constante de phase \(\beta\) (en rad/m) par la longueur physique \(l\) (en m) pour obtenir la longueur électrique \(\beta l\) en radians.

\begin{aligned} \beta l &= (\pi \text{ rad/m}) \times (1.2 \text{ m}) \\ &= 1.2\pi \text{ rad} \\ &\approx 3.7699 \text{ rad} \end{aligned}

La longueur électrique est de \(1.2\pi\) radians.

Étape 2 : Calcul en degrés

Pour une meilleure intuition (et pour utiliser le mode DEG de la calculatrice), on convertit les radians en degrés en multipliant par \(180/\pi\).

\begin{aligned} \theta_{\text{deg}} &= (1.2\pi \text{ rad}) \times \left( \frac{180^\circ}{\pi \text{ rad}} \right) \\ &= 1.2 \times 180^\circ \\ &= 216^\circ \end{aligned}

Le déphasage total le long de la ligne est de 216 degrés.

Schéma (Après les calculs)

Un angle de 216° est dans le troisième quadrant d'un cercle trigonométrique.

Angle \(\beta l\)

Réflexions

Connaître l'angle \(\beta l = 216^\circ\) est l'étape finale avant de pouvoir calculer l'impédance d'entrée. La valeur \(\tan(216^\circ)\) sera positive, car \(216^\circ\) est dans le 3ème quadrant, où la tangente est positive (\(\tan(216^\circ) = \tan(216^\circ - 180^\circ) = \tan(36^\circ)\)).

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est dans le bon mode (Radians ou Degrés) lorsque vous calculez \(\tan(\beta l)\). Si vous utilisez \(\beta l = 1.2\pi\), utilisez le mode Radians. Si vous utilisez \(216^\circ\), utilisez le mode Degrés. Le résultat sera le même.

Points à retenir

La longueur électrique \(\beta l\) est un angle.
Elle est essentielle pour la formule de \(Z_{in}\).
\(l = \lambda/4 \implies \beta l = (2\pi/\lambda)(\lambda/4) = \pi/2 = 90^\circ\) (ligne quart d'onde).
\(l = \lambda/2 \implies \beta l = (2\pi/\lambda)(\lambda/2) = \pi = 180^\circ\) (ligne demi-onde).

Le saviez-vous ?

Une ligne "quart d'onde" (\(\beta l = 90^\circ\)) a la propriété remarquable d'être un "inverseur d'impédance" : \(Z_{in} = Z_c^2 / Z_R\). C'est très utilisé pour adapter les impédances.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La longueur électrique est \(\beta l = 1.2\pi\) rad, ce qui équivaut à \(216^\circ\).

A vous de jouer

Quelle est la longueur électrique (en radians) d'une ligne "quart d'onde" (\(l = \lambda/4\))? (Rappel: \(\beta = 2\pi/\lambda\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Longueur Électrique (déphasage total).
Formule Essentielle : \(\theta = \beta \cdot l\).
Point de Vigilance Majeur : Mode Radian vs Degré pour \(\tan(\beta l)\).

Question 5 : Calculer l'impédance d'entrée \(Z_{in}\)

Principe

L'impédance d'entrée \(Z_{in}\) est l'impédance que le générateur "voit" à l'entrée de la ligne. La ligne agit comme un transformateur d'impédance, "ramenant" l'impédance de charge \(Z_R\) à une nouvelle valeur \(Z_{in}\) à son entrée.

Mini-Cours

Nous appliquons la formule complète pour la ligne sans pertes. C'est le point culminant de l'exercice, qui combine tous les résultats précédents : \(Z_c\), \(Z_R\), et \(\beta l\). Le calcul implique des additions, multiplications et divisions de nombres complexes.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est fastidieux mais mécanique. Soyez très organisé. Calculez \(\tan(\beta l)\) d'abord. Ensuite, calculez le numérateur \(Z_R + j Z_c \tan(\beta l)\). Puis le dénominateur \(Z_c + j Z_R \tan(\beta l)\). Enfin, effectuez la division et multipliez par \(Z_c\).

Normes

Ce calcul est essentiel pour l'adaptation d'impédance. L'objectif est souvent de concevoir un circuit (un "stub" ou un adaptateur) pour que l'impédance \(Z_{in}\) vue par la source soit \(Z_g = Z_{in}^*\) (conjugué) pour un transfert de puissance maximal.

Formule(s)

Impédance d'Entrée (Ligne sans pertes)

Z_{in} = Z_c \frac{Z_R + j Z_c \tan(\beta l)}{Z_c + j Z_R \tan(\beta l)}

Hypothèses

Toutes les données et résultats précédents sont corrects.

\(Z_c = 50 \Omega\)
\(Z_R = 75 + j25 \Omega\)
\(\beta l = 1.2\pi\) rad (ou \(216^\circ\))

Donnée(s)

Valeur de la tangente nécessaire.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tangente de \(\beta l\)	\(\tan(\beta l)\)	\(\tan(216^\circ) \approx 0.7265\)	Sans unité

Astuces

Avant de vous lancer, vérifiez les cas particuliers. Si \(l = \lambda/2\) (\(\beta l = 180^\circ\)), alors \(\tan(\beta l)=0\) et \(Z_{in} = Z_R\). La ligne est "transparente". Si \(l = \lambda/4\) (\(\beta l = 90^\circ\)), \(\tan(\beta l)=\infty\) et la formule devient \(Z_{in} = Z_c^2 / Z_R\).

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul vise à trouver l'impédance équivalente de l'ensemble "ligne + charge" à l'entrée.

Calcul de \(Z_{in}\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer \(t = \tan(\beta l)\)

Premièrement, on calcule la valeur de la tangente de la longueur électrique. On peut utiliser soit les radians (\(1.2\pi\)) soit les degrés (\(216^\circ\)).

t = \tan(1.2\pi) = \tan(216^\circ) \approx 0.7265

Cette valeur \(t \approx 0.7265\) sera utilisée dans les étapes suivantes.

Étape 2 : Calculer le numérateur (\(Num = Z_R + j Z_c t\))

On calcule le terme au numérateur de la formule de \(Z_{in}\). On substitue \(Z_R\), \(Z_c\), et \(t\).

\begin{aligned} Num &= (75 + j25) + j(50)(0.7265) \\ &= 75 + j25 + j36.327 \\ &= 75 + j61.327 \end{aligned}

Le numérateur est un nombre complexe : \(75 + j61.327\).

Étape 3 : Calculer le dénominateur (\(Den = Z_c + j Z_R t\))

On calcule le terme au dénominateur. Attention au \(j \times j = j^2 = -1\) lors de la multiplication de \(j \times (Z_R) \times t\).

\begin{aligned} Den &= 50 + j(75 + j25)(0.7265) \\ &= 50 + j(75 \times 0.7265) + j^2(25 \times 0.7265) \\ &= 50 + j54.49 - 18.16 \\ &= 31.84 + j54.49 \end{aligned}

Le dénominateur est un nombre complexe : \(31.84 + j54.49\).

Étape 4 : Division et multiplication finale

Finalement, on calcule \(Z_{in} = Z_c \times (Num / Den)\). On effectue d'abord la division complexe (en multipliant par le conjugué du dénominateur) puis on multiplie le résultat par \(Z_c = 50\).

\begin{aligned} Z_{in} &= 50 \times \left( \frac{75 + j61.327}{31.84 + j54.49} \right) \\ &= 50 \times \left( \frac{(75 + j61.327)(31.84 - j54.49)}{(31.84)^2 + (54.49)^2} \right) \\ &= 50 \times \left( \frac{(2388 + 3341) + j(1953 - 4086)}{1013.8 + 2969} \right) \\ &= 50 \times \left( \frac{5729 - j2133}{3982.8} \right) \\ &= 50 \times (1.438 - j0.535) \\ &\approx 71.9 - j26.8 \Omega \end{aligned}

L'impédance d'entrée finale vue par la source est \(Z_{in} \approx 71.9 - j26.8 \Omega\).

Schéma (Après les calculs)

L'impédance finale a une partie réelle de 71.9 \(\Omega\) et une partie capacitive (car -j) de 26.8 \(\Omega\).

Impédance d'Entrée (Résultat)

Réflexions

La ligne a transformé l'impédance \(75 + j25 \Omega\) (résistive et inductive) en \(71.9 - j26.8 \Omega\) (résistive et capacitive). C'est cet effet de transformation qui est la base des circuits d'adaptation RF.

Points de vigilance

Encore une fois, le calcul complexe est la source d'erreur n°1. \(j \times (a+jb) = ja + j^2b = -b + ja\). Ne pas oublier le \(j^2 = -1\) est vital, comme dans le calcul du dénominateur à l'étape 3.

Points à retenir

La formule de \(Z_{in}\) est l'outil principal pour l'analyse de ligne.
Une ligne sans pertes peut transformer une charge inductive en une impédance capacitive (et vice-versa) en fonction de sa longueur \(\beta l\).

Le saviez-vous ?

L'abaque de Smith permet de faire ce calcul graphiquement. On place le point \(Z_R\), on lit son \(\Gamma_R\), puis on "tourne" sur un cercle (le cercle de TOS constant) d'un angle correspondant à \(\beta l\) "vers le générateur" pour lire \(Z_{in}\) à la fin.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'impédance d'entrée de la ligne est \(Z_{in} \approx 71.9 - j26.8 \Omega\).

A vous de jouer

Utilisez l'astuce de la ligne quart d'onde (\(l = \lambda/4 \implies \beta l = 90^\circ\)). Si \(Z_R = 100 \Omega\) (pure), que vaut \(Z_{in}\) ? (Formule: \(Z_{in} = Z_c^2 / Z_R\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Transformation d'impédance.
Formule Essentielle : \(Z_{in} = Z_c \frac{Z_R + j Z_c \tan(\beta l)}{Z_c + j Z_R \tan(\beta l)}\).
Point de Vigilance Majeur : Calculs complexes, \(j^2 = -1\).

Outil Interactif : \(Z_{in}\) vs Longueur

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'impédance d'entrée (partie réelle et imaginaire) change lorsque vous variez la longueur de la ligne (\(l\)) et la partie réelle de la charge (\(Z_R\)).

Paramètres d'Entrée

Longueur \(l\) (m) 1.2 m

\(Z_R\) (Partie Réelle) (\(\Omega\)) 75 \(\Omega\)

Résultats Clés (à \(l\) = 1.2 m)

\(Z_{in}\) (Réelle) (\(\Omega\)) -

\(Z_{in}\) (Imaginaire) (\(\Omega\)) -

Glossaire

Impédance caractéristique (\(Z_c\)): L'impédance qu'une ligne de transmission infiniment longue présenterait à sa source. Pour une ligne sans pertes, \(Z_c = \sqrt{L/C}\) et est réelle.
Coefficient de réflexion (\(\Gamma_R\)): Rapport complexe entre l'amplitude de l'onde réfléchie et l'onde incidente au point de réflexion (généralement la charge). \(\Gamma_R = (Z_R - Z_c) / (Z_R + Z_c)\).
Taux d'Ondes Stationnaires (TOS / SWR): Mesure scalaire de la désadaptation, \(TOS = V_{max}/V_{min} = (1 + |\Gamma_R|) / (1 - |\Gamma_R|)\). Une valeur de 1.0 est parfaite.
Constante de phase (\(\beta\)): Mesure du déphasage de l'onde par unité de longueur, en radians/mètre. \(\beta = \omega/v = 2\pi/\lambda\).
Impédance d'entrée (\(Z_{in}\)): L'impédance "vue" à l'entrée de la ligne. Elle dépend de \(Z_c\), \(Z_R\), et de la longueur électrique \(\beta l\) de la ligne.

Impédance d’une Ligne de Transmission

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Modèle de la ligne de transmission et sa charge

Questions à traiter

Les bases sur les Lignes de Transmission

Correction : Impédance d'une Ligne de Transmission

Question 1 : Calculer le coefficient de réflexion complexe \(\Gamma_R\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Interface Ligne-Charge

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation (Conceptuelle)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Onde Stationnaire (Tension)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Valeur du TOS

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la constante de phase \(\beta\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Propagation de l'onde

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Longueur d'onde \(\lambda\)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer la longueur électrique \(\beta l\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)