Conception d'un Filtre Audio (RC)

Contexte : La conception d'un CrossoverFiltre électronique permettant de séparer les fréquences audio pour les diriger vers les haut-parleurs adaptés (woofer pour les graves, tweeter pour les aigus). audio.

Vous êtes ingénieur du son et vous devez concevoir un circuit simple pour protéger un haut-parleur de graves (woofer) des fréquences trop élevées qui pourraient altérer la qualité du son. Pour cela, nous allons étudier un filtre passif RC de type "Passe-Bas" qui laisse passer les basses fréquences et atténue les aigus.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers l'analyse d'un circuit en régime sinusoïdal permanent. Vous apprendrez à manipuler les nombres complexes pour calculer des impédances et à tracer un diagramme de Bode simplifié.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe du diviseur de tension en régime complexe.
Calculer la fréquence de coupure d'un filtre RC.
Dimensionner un condensateur pour une application audio spécifique.

Données de l'étude

Le circuit est composé d'une résistance \(R\) en série avec un condensateur \(C\). La tension de sortie est prélevée aux bornes du condensateur.

Schéma Électrique

Filtre RC Passe-Bas (Symbole US)

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(R\)	Résistance du filtre	1.0	\(k\Omega\)
\(V_{e_{max}}\)	Amplitude tension entrée	10	V
\(f_{cible}\)	Fréquence de coupure visée	1000	Hz

Questions à traiter

Exprimer la fonction de transfert \(H(j\omega) = \underline{V_s} / \underline{V_e}\).
Déterminer l'expression littérale de la fréquence de coupure \(f_c\).
Calculer la valeur de la capacité \(C\) nécessaire pour obtenir \(f_c = 1000 \text{ Hz}\).
Calculer l'amplitude de sortie pour une basse fréquence (\(f = 100 \text{ Hz}\)).
Calculer l'amplitude de sortie à la fréquence de coupure (\(f = 1000 \text{ Hz}\)).

Les bases sur l'Analyse de Circuits

Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser la notation complexe.

1. Impédances Complexes
En régime sinusoïdal, les composants se comportent comme des résistances complexes :

Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
Condensateur : \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}\) (avec \(\omega = 2\pi f\))

2. Diviseur de Tension
Pour deux impédances en série, la tension se partage proportionnellement : \[ \underline{V_s} = \underline{V_e} \times \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2} \]

Correction : Conception d'un Filtre Audio (RC)

Question 1 : Fonction de Transfert

Principe

Nous cherchons à établir la relation mathématique entre la sortie et l'entrée. C'est la "carte d'identité" du filtre qui nous dira comment il réagit à chaque fréquence.

Mini-Cours

La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est le rapport des amplitudes complexes. Si le module \(|H|\) est proche de 1, le signal passe. S'il est proche de 0, le signal est bloqué.

Remarque Pédagogique

L'utilisation des nombres complexes permet de transformer des équations différentielles difficiles en simples équations algébriques. Le \(j\) n'est qu'un outil mathématique pour gérer le déphasage.

Normes

En électronique analogique, on utilise la notation de Laplace (\(p\) ou \(s\)) ou de Fourier (\(j\omega\)) selon le contexte. Ici, nous sommes en régime sinusoïdal établi, donc \(j\omega\) est la norme.

Formule(s)

Loi du diviseur de tension (complexe)

\underline{V_s} = \underline{V_e} \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C}

Hypothèses

On suppose que le courant de sortie est nul (amplificateur suiveur ou impédance de charge infinie en aval), pour appliquer le diviseur de tension sans perturbation.

Donnée(s)

Pas de données numériques ici, on travaille en littéral.

Symbole	Signification
\(\underline{Z}_R\)	Impédance de la résistance
\(\underline{Z}_C\)	Impédance du condensateur

Astuces

Pour simplifier des fractions complexes du type \(\frac{1/A}{B + 1/A}\), multipliez numérateur et dénominateur par \(A\). Cela évite les fractions à étages.

Schéma (Avant les calculs)

On identifie le circuit comme un diviseur de tension où \(R\) est l'impédance "haute" et \(C\) l'impédance "basse".

Modèle Diviseur d'Impédances

Calcul(s)

Étape 1 : Expression du rapport \(\underline{V_s} / \underline{V_e}\)

Nous commençons par substituer les impédances complexes des composants (\(\underline{Z}_R = R\) et \(\underline{Z}_C = 1/jC\omega\)) dans la formule du diviseur de tension :

\begin{aligned} H(j\omega) &= \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}} \\ &= \frac{\underline{Z}_C}{\underline{Z}_R + \underline{Z}_C} \\ &= \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \end{aligned}

Étape 2 : Simplification algébrique

Afin d'éliminer la fraction à étages au dénominateur et d'obtenir une forme canonique, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le terme \(jC\omega\) :

\begin{aligned} H(j\omega) &= \frac{\frac{1}{jC\omega} \times (jC\omega)}{(R + \frac{1}{jC\omega}) \times (jC\omega)} \\ &= \frac{1}{R \cdot jC\omega + 1} \\ &= \frac{1}{1 + jRC\omega} \end{aligned}

Le résultat final est la fonction de transfert sous sa forme la plus simple, idéale pour l'analyse en régime sinusoïdal. On reconnaît la constante de temps \(\tau = RC\).

Réflexions

On observe que lorsque \(\omega\) (la fréquence) est très petit, le terme \(jRC\omega\) est négligeable et \(H \approx 1\). Le signal passe (Graves). Si \(\omega\) est très grand, le dénominateur devient grand et \(H \rightarrow 0\). Le signal est coupé (Aigus). C'est bien un passe-bas.

Points de vigilance

Ne pas oublier le \(j\) au dénominateur. Une erreur de signe ou d'oubli de \(j\) fausserait le calcul du module et de la phase plus tard.

Points à retenir

La structure \(1/(1+jx)\) est typique d'un filtre passe-bas du 1er ordre.
Le produit \(RC\) a la dimension d'un temps (constante de temps \(\tau\)).

Le saviez-vous ?

Ce type de filtre est appelé "filtre du premier ordre" car la puissance de \(\omega\) la plus élevée au dénominateur est 1. Cela implique une pente d'atténuation de -20dB/décade.

FAQ

Résultat Final

\( H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega} \)

A vous de jouer

Quelle serait l'expression si on inversait R et C (C en série, R en parallèle) ? (Réponse : \(jRC\omega / (1+jRC\omega)\), c'est un passe-haut).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : Forme canonique d'un passe-bas du 1er ordre : \( H = \frac{1}{1 + j \omega / \omega_c} \).

Question 2 : Expression de la fréquence de coupure

Principe

La fréquence de coupure est la frontière conventionnelle entre "ça passe" et "ça coupe". Mathématiquement, c'est le moment où la puissance du signal est divisée par 2.

Mini-Cours

Le module d'un nombre complexe \(Z = a + jb\) est \(|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Ici, le dénominateur est \(1 + jRC\omega\), donc son module est \(\sqrt{1^2 + (RC\omega)^2}\).

Remarque Pédagogique

La fréquence de coupure n'est pas une "muraille" où le son s'arrête net. C'est un point de repère sur une courbe progressive.

Normes

Par convention, la fréquence de coupure \(f_c\) correspond à une atténuation de \(-3 \text{ dB}\), soit un gain en tension de \(1/\sqrt{2} \approx 0.707\).

Formule(s)

|H(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1^2 + (RC\omega)^2}}

Hypothèses

On cherche la fréquence \(\omega_c\) telle que \(|H(\omega_c)| = H_{max} / \sqrt{2}\). Comme \(H_{max}=1\) (aux basses fréquences), on cherche \(|H|=1/\sqrt{2}\).

Donnée(s)

On reprend l'expression de \(H(j\omega)\) trouvée à la question 1.

Astuces

Pour que \(\frac{1}{\sqrt{1+X^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), il suffit que \(X^2 = 1\), soit \(X=1\). C'est souvent plus rapide que de tout développer.

Calcul(s)

Étape 1 : Égalité des modules

Nous appliquons la convention de coupure, qui stipule que le module du gain doit être égal à \(1/\sqrt{2}\) :

\begin{aligned} |H(\omega_c)| &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{1 + (RC\omega_c)^2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{aligned}

Étape 2 : Résolution pour la pulsation \(\omega_c\)

En égalisant les termes sous la racine au carré, nous obtenons l'équation définissant la pulsation de coupure :

\begin{aligned} 1 + (RC\omega_c)^2 &= 2 \\ (RC\omega_c)^2 &= 1 \\ RC\omega_c &= 1 \\ \omega_c &= \frac{1}{RC} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en fréquence \(f_c\)

On utilise la relation fondamentale entre pulsation et fréquence (\(f = \omega / 2\pi\)) pour obtenir l'expression en Hertz :

\begin{aligned} f_c &= \frac{\omega_c}{2\pi} \\ &= \frac{1}{2\pi RC} \end{aligned}

C'est l'expression littérale finale de la fréquence de coupure, qui dépend uniquement de \(R\) et \(C\).

Réflexions

La fréquence de coupure est inversement proportionnelle à R et C. Pour couper plus bas (plus de graves), il faut augmenter R ou C.

Points de vigilance

Ne confondez pas la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). Le facteur \(2\pi\) est crucial !

Points à retenir

\(\omega_c = 1/\tau\)
\(f_c = 1/(2\pi\tau)\)

Le saviez-vous ?

La bande passante à -3dB est la plage de fréquence [0, \(f_c\)].

FAQ

Résultat Final

\( f_c = \frac{1}{2\pi RC} \)

A vous de jouer

Si \(R\) double, comment évolue la fréquence de coupure ? Essayez avec \(R=2000\) et \(C\) inchangé, \(f_c\) est divisée par ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : La fréquence de coupure ne dépend que des composants : \(f_c = \frac{1}{2\pi RC}\).

Question 3 : Dimensionnement du condensateur

Principe

En ingénierie, on part souvent de la contrainte (la fréquence voulue) pour choisir les composants. C'est le problème inverse de l'analyse.

Mini-Cours

Dimensionner un circuit, c'est choisir les valeurs de R, L ou C pour obtenir le comportement souhaité. Souvent, on fixe R (selon l'impédance d'entrée voulue) et on calcule C.

Remarque Pédagogique

Toujours vérifier l'ordre de grandeur. Un condensateur de 1 Farad est énorme, un condensateur de 1 pF est minuscule.

Normes

Les valeurs de composants ne sont pas arbitraires, elles suivent souvent des séries normalisées (E12, E24), mais ici nous calculerons la valeur théorique exacte.

Formule(s)

Formule de fc inversée

C = \frac{1}{2\pi R f_c}

Hypothèses

On suppose les composants idéaux et précis.

Donnée(s)

Variable	Valeur
\(R\)	\(1000 \, \Omega\) (\(1 k\Omega\))
\(f_c\)	\(1000 \, \text{Hz}\)

Astuces

Pensez à convertir \(k\Omega\) en \(\Omega\) (\(\times 10^3\)) avant de calculer. Le résultat sera en Farads, qu'il faudra convertir en \(\mu F\) ou \(nF\) pour être lisible.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma spécifique nécessaire ici, c'est une application numérique de la formule précédente.

Calcul(s)

Étape 1 : Application numérique (Unités SI)

Nous utilisons la formule dérivée de la Q2 pour isoler \(C\). Il est impératif d'utiliser les unités de base du Système International (SI) : Ohms (\(\Omega\)) et Hertz (\(\text{Hz}\)).

\begin{aligned} C &= \frac{1}{2\pi R f_c} \\ &= \frac{1}{2 \times \pi \times (1000) \times (1000)} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 10^6} \text{ F} \end{aligned}

Étape 2 : Résultat brut en Farads

Nous effectuons le calcul numérique en utilisant \(\pi \approx 3.14159\). Le résultat est en Farads :

\begin{aligned} C &\approx \frac{1}{6.283 \times 10^6} \\ &\approx 0.15915 \times 10^{-6} \text{ F} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en NanoFarads

Pour que la valeur soit pratique en électronique, nous la convertissons en NanoFarads (\(1 \text{ nF} = 10^{-9} \text{ F}\)) :

\begin{aligned} C &= 0.15915 \times 10^{-6} \text{ F} \\ &= 159.15 \times 10^{-9} \text{ F} \\ &\approx 159 \text{ nF} \end{aligned}

Le calcul montre que la capacité requise est d'environ 159 nanofarads.

Réflexions

159 nF est une valeur cohérente pour de l'audio. Si on avait trouvé 0.0001 pF ou 1000 F, il y aurait eu une erreur.

Points de vigilance

Attention aux puissances de 10 ! \(1 k\Omega = 10^3 \Omega\). Le résultat doit toujours être en Farads (F) avant de le convertir en nF ou \(\mu F\).

Points à retenir

Savoir manipuler les préfixes nano (\(10^{-9}\)), micro (\(10^{-6}\)) et milli (\(10^{-3}\)).

Le saviez-vous ?

Dans la série E12 (valeurs standard à 10%), la valeur la plus proche serait 150 nF ou 180 nF. Choisir l'une ou l'autre décalerait légèrement la fréquence de coupure réelle.

FAQ

Résultat Final

Il faut choisir un condensateur de \(159 \text{ nF}\).

A vous de jouer

Quelle serait la valeur de C si on voulait couper à 500 Hz (une octave plus bas) ? (Réponse : 318 nF, le double).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Pour diminuer la fréquence de coupure, il faut augmenter C.

Question 4 : Amplitude à basse fréquence (100 Hz)

Principe

On vérifie le comportement du filtre loin de sa zone de transition. On s'attend à ce que le signal passe presque sans atténuation car 100 Hz < 1000 Hz.

Mini-Cours

Le gain d'un filtre passe-bas tend vers 1 (0 dB) lorsque \(f \ll f_c\). C'est la "bande passante".

Remarque Pédagogique

Calculer des points précis permet de tracer mentalement le diagramme de Bode.

Normes

N/A

Formule(s)

Module du gain

|H| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_c})^2}}

Hypothèses

On considère que la tension d'entrée est sinusoïdale d'amplitude 10V. On calcule l'amplitude de sortie en régime établi.

Donnée(s)

Variable	Valeur
\(V_e\)	10 V
\(f\)	100 Hz
\(f_c\)	1000 Hz

Astuces

Le rapport \(f/f_c\) vaut ici 0.1. Son carré est 0.01. C'est très petit devant 1.

Schéma (Avant les calculs)

On imagine que le condensateur a une impédance très grande à basse fréquence, donc il ne "court-circuite" pas le signal vers la masse.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du Gain \(|H|\)

Nous substituons les fréquences données dans la formule du module de gain pour déterminer le facteur d'atténuation :

\begin{aligned} |H| &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_c})^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{100}{1000})^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + (0.1)^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1.01}} \end{aligned}

Étape 2 : Résultat numérique et tension de sortie \(V_s\)

Nous calculons le gain exact et multiplions par l'amplitude d'entrée (\(V_e = 10 \text{ V}\)) :

\begin{aligned} |H| &\approx 0.9950 \\ V_s &= |H| \times V_e \\ &\approx 0.9950 \times 10 \text{ V} \\ &= 9.95 \text{ V} \end{aligned}

Le résultat montre une atténuation négligeable pour les fréquences considérées comme "graves" par ce filtre.

Réflexions

Comme prévu, à 100 Hz (une décade en dessous de la coupure), le gain est quasiment de 1 (0.995). Le filtre est "transparent" pour les basses fréquences : le woofer recevra toute la puissance.

Points de vigilance

Ne pas confondre le rapport des fréquences \(f/f_c\) avec le rapport inverse.

Points à retenir

Bien en dessous de \(f_c\), l'atténuation est négligeable.

Le saviez-vous ?

L'erreur commise en approximant le gain à 1 est ici de moins de 0.5%. C'est souvent négligeable dans les applications audio grand public.

FAQ

Résultat Final

\(V_s \approx 9.95 \text{ V}\).

A vous de jouer

Calculez le gain si \(f = 10 \text{ Hz}\). (Arrondir à 3 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : En basse fréquence (\(f \ll f_c\)), \(V_s \approx V_e\).

Question 5 : Amplitude à la fréquence de coupure (1000 Hz)

Principe

Nous étudions le point critique du filtre. C'est le point de bascule entre la bande passante et la bande atténuée.

Mini-Cours

À la fréquence de coupure, la réactance du condensateur \(1/C\omega\) est égale en magnitude à la résistance \(R\).

Remarque Pédagogique

C'est la définition même de la fréquence de coupure que nous utilisons pour éviter de refaire le calcul complet.

Normes

Atténuation standard de 3dB.

Formule(s)

Gain à fc

|H(f_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}}

Hypothèses

Le circuit se comporte exactement comme prévu par le modèle théorique.

Donnée(s)

Variable	Valeur
\(V_e\)	10 V
Facteur	\(1/\sqrt{2} \approx 0.707\)

Astuces

Pas besoin de refaire tout le calcul avec la racine carrée ! Rappelez-vous de la définition de \(f_c\) : à cette fréquence précise, le gain vaut toujours \(0.707\).

Schéma (Visualisation)

Atténuation à fc

Calcul(s)

Étape 1 : Détermination du gain

Puisque nous sommes à la fréquence de coupure (\(f = f_c\)), le gain du filtre est, par définition, de \(1/\sqrt{2}\) :

\begin{aligned} |H(f=f_c)| &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f_c}{f_c})^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + 1^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la tension de sortie \(V_s\)

Nous multiplions le gain (qui est approximativement \(0.707\)) par l'amplitude d'entrée (\(V_e = 10 \text{ V}\)) :

\begin{aligned} V_s &= |H(f_c)| \times V_e \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \times 10 \text{ V} \\ &\approx 0.7071 \times 10 \text{ V} \\ &= 7.071 \text{ V} \end{aligned}

À 1000 Hz, la tension de sortie est réduite à 7,07 V, ce qui confirme l'atténuation de -3 dB.

Réflexions

Le signal commence à être significativement atténué.

Points de vigilance

Attention, le déphasage est ici de \(-45^\circ\), ce qui peut être important si on recombine ce signal avec celui d'un autre haut-parleur (tweeter).

Points à retenir

À \(f_c\), Amplitude \(\times 0.707\).
À \(f_c\), Puissance \(\div 2\).

Le saviez-vous ?

Cette atténuation de facteur 0.707 correspond à -3 décibels (dB). En puissance (qui est proportionnelle au carré de la tension, \(V^2\)), cela signifie que la puissance est divisée exactement par 2.

FAQ

Résultat Final

\(V_s \approx 7.07 \text{ V}\).

A vous de jouer

Quelle est l'amplitude si on est à \(10 \times f_c\) (10 kHz) ? (Réponse approx : 1V, gain \(\approx 0.1\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : À \(f_c\), l'amplitude est multipliée par \(0.707\) et la phase est décalée de \(-45^\circ\).

Outil Interactif : Simulateur de Diagramme de Bode

Modifiez la résistance et la capacité pour voir comment la courbe de réponse du filtre évolue.

Paramètres du Circuit

Résistance \(R\) (\(k\Omega\)) 1 \(k\Omega\)

Capacité \(C\) (\(nF\)) 159 \(nF\)

Résultats Clés

Fréquence de Coupure \(f_c\) -

Constante de temps \(\tau\) -

Glossaire

Impédance (\(Z\)): Extension de la notion de résistance aux circuits alternatifs. Elle combine résistance et réactance. Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)): Vitesse angulaire de la grandeur sinusoïdale, exprimée en radians par seconde. \(\omega = 2\pi f\).
Gain: Rapport entre l'amplitude du signal de sortie et celle du signal d'entrée. \(G = |V_s| / |V_e|\).
Décibel (dB): Unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport de deux puissances. Pour les tensions : \(G_{dB} = 20 \log(V_s/V_e)\).

Conception d’un Filtre Audio (RC)

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma Électrique

Filtre RC Passe-Bas (Symbole US)

Questions à traiter

Les bases sur l'Analyse de Circuits

Correction : Conception d'un Filtre Audio (RC)

Question 1 : Fonction de Transfert

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modèle Diviseur d'Impédances

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Expression de la fréquence de coupure

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Dimensionnement du condensateur

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Amplitude à basse fréquence (100 Hz)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?