Le Multivibrateur Astable à Transistors

Contexte : Électronique Analogique - Génération de signaux carrés.

Le multivibrateur astable est un circuit oscillateur fondamental en électronique qui ne possède aucun état stable, d'où son nom. Il bascule continuellement entre deux états instables, produisant ainsi un signal carré périodique sans besoin de signal d'entrée externe. Ce montage utilise deux Transistors BipolairesComposant semi-conducteur utilisé comme interrupteur ou amplificateur. Ici en mode commutation (saturé/bloqué). fonctionnant en commutation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre la charge et décharge des condensateurs dans un circuit RC et comment ce phénomène transitoire pilote la commutation des transistors.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de fonctionnement d'un oscillateur astable.
Calculer la période et la fréquence d'oscillation.
Analyser le rôle du circuit RC dans la temporisation.

Données de l'étude

On considère un multivibrateur astable symétrique composé de deux transistors NPN identiques \(T_1\) et \(T_2\), de deux condensateurs \(C_1\) et \(C_2\), et de quatre résistances. Le circuit est alimenté par une tension continue \(V_{\text{CC}}\).

Fiche Technique / Données

Composant / Paramètre	Valeur
Tension d'alimentation (\(V_{\text{CC}}\))	12 \(\text{V}\)
Résistances de collecteur (\(R_{\text{C}1} = R_{\text{C}2}\))	1 \(\text{k}\Omega\)
Résistances de base (\(R_{\text{B}1} = R_{\text{B}2}\))	47 \(\text{k}\Omega\)
Condensateurs (\(C_1 = C_2\))	10 \(\mu\text{F}\)
Tension \(V_{\text{BE}_{\text{sat}}}\)Tension Base-Émetteur lorsque le transistor est saturé (passant).	0.7 \(\text{V}\)

Schéma du Système

[Image of schéma multivibrateur astable transistors]

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance Base	\(R_{\text{B}}\)	47	\(\text{k}\Omega\)
Capacité	\(C\)	10	\(\mu\text{F}\)

Questions à traiter

Calcul de la constante de temps \(\tau\).
Calcul de la période d'oscillation \(T\).
Calcul de la fréquence \(f\).
Effet d'une asymétrie des composants.
Impact de la modification de \(R_{\text{B}}\) sur la fréquence.

Les bases théoriques

Le multivibrateur astable repose sur la charge et la décharge alternée de deux condensateurs à travers des résistances. Lorsque \(T_1\) est passant (saturé), \(C_1\) se décharge, ce qui maintient \(T_2\) bloqué. Une fois \(C_1\) déchargé, \(T_2\) devient passant, \(C_2\) se décharge et bloque \(T_1\).

Loi de charge d'un condensateur
La tension aux bornes d'un condensateur en charge ou décharge suit une loi exponentielle.

V_{\text{C}}(t) = V_{\text{final}} + (V_{\text{initial}} - V_{\text{final}}) \cdot e^{-t/\tau}

Où :

\(\tau = R \cdot C\) est la constante de temps.

Condition d'oscillation
Pour que le circuit oscille, le gain des transistors doit être suffisant pour assurer la saturation.

\beta \cdot R_{\text{C}} > R_{\text{B}}

Une condition empirique courante est \(R_{\text{B}} \approx 10 \cdot R_{\text{C}}\) à \(50 \cdot R_{\text{C}}\).

Période d'un astable symétrique
Si le circuit est symétrique (\(R_{\text{B}1}=R_{\text{B}2}=R\), \(C_1=C_2=C\)), la période est simplifiée.

T \approx 1.386 \cdot R_{\text{B}} \cdot C

Où :

\(T\) est la période totale (\(\text{s}\)).
\(R_{\text{B}}\) est la résistance de base (\(\Omega\)).

Correction : Le Multivibrateur Astable à Transistors

Question 1 : Calcul de la constante de temps

Principe

La durée de l'état bloqué d'un transistor est déterminée par la décharge du condensateur connecté à sa base à travers la résistance \(R_{\text{B}}\). La constante de temps associée est donc \(\tau = R_{\text{B}} \cdot C\). Cette constante représente la vitesse à laquelle le condensateur réagit.

Mini-Cours

La constante de temps \(\tau\) (tau) s'exprime en secondes. Elle indique le temps nécessaire pour atteindre environ 63% de la charge finale ou 37% de la décharge totale.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas avec la charge rapide via \(R_{\text{C}}\). C'est la décharge lente via \(R_{\text{B}}\) qui fixe le timing du clignotement. C'est donc \(R_{\text{B}}\) qu'il faut utiliser pour le calcul.

Normes

Les valeurs de résistances et condensateurs suivent généralement les séries normalisées E12 ou E24 (ex: 47k, 10µF).

Formule(s)

Formule utilisée

\tau = R_{\text{B}} \cdot C

Hypothèses

On considère les composants comme idéaux, sans courants de fuite.

\(R_{\text{B}} = 47 \text{ k}\Omega\)
\(C = 10 \mu\text{F}\)

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	\(R_{\text{B}}\)	47 000	\(\Omega\)
Condensateur	\(C\)	0.00001	\(\text{F}\)

Astuces

Astuce de conversion : \(\text{k}\Omega \times \mu\text{F} = \text{milli-secondes (ms)}\). Donc \(47 \times 10 = 470 \text{ ms}\). Cela évite de manipuler trop de zéros.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit RC de base

Calcul(s)

Conversion des unités

Il est impératif de convertir les unités en unités du Système International (SI) pour que la formule fonctionne directement en secondes :

\(R_{\text{B}} = 47 \text{ k}\Omega = 47 \times 10^3 \Omega\)
\(C = 10 \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F}\)

Application numérique

On remplace maintenant les symboles par les valeurs numériques converties :

\begin{aligned} \tau &= R_{\text{B}} \times C \\ \tau &= (47 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-6}) \\ \tau &= 47 \times 10 \times 10^{3-6} \quad \text{(on regroupe les puissances)} \\ \tau &= 470 \times 10^{-3} \text{ s} \\ \tau &= 0.47 \text{ s} \end{aligned}

Le résultat obtenu est de 0.47 seconde, soit 470 millisecondes.

Schéma (Charge du condensateur)

Évolution exponentielle de la tension

Réflexions

Une constante de temps de 0.47 seconde signifie que le processus est assez lent à l'échelle humaine, ce qui est parfait pour visualiser un clignotement.

Points de vigilance

Attention aux puissances de 10 lors de la conversion (kilo = \(10^3\), micro = \(10^{-6}\)). Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(\tau\) détermine l'échelle de temps du circuit.
Plus R ou C est grand, plus le phénomène est lent.

Le saviez-vous ?

La constante de temps \(\tau\) apparaît dans de nombreux domaines de la physique : charge d'un condensateur, refroidissement d'un café, décroissance radioactive...

FAQ

Pourquoi négliger \(R_{\text{C}}\) dans ce calcul ?

Car \(R_{\text{C}}\) (1\(\text{k}\Omega\)) est beaucoup plus faible que \(R_{\text{B}}\) (47\(\text{k}\Omega\)). La charge via \(R_{\text{C}}\) est donc 47 fois plus rapide que la décharge via \(R_{\text{B}}\), on la considère instantanée en première approximation.

\(\tau = 470 \text{ ms}\)

A vous de jouer
Si \(C = 100 \mu\text{F}\), que vaut \(\tau\) (en secondes) ?

📝 Mémo
Tau = R x C. "Rien ne court" (moyen mnémotechnique pour RC).

Question 2 : Calcul de la Période T

Principe

La période totale \(T\) est la somme des durées des deux états instables (haut et bas). Pour un montage symétrique où les composants sont identiques des deux côtés, la durée de l'état haut \(t_1\) est égale à la durée de l'état bas \(t_2\). La période totale est donc \(T = t_1 + t_2 = 2 \times t_1\).

Mini-Cours

La tension aux bornes du condensateur doit passer de \(-V_{\text{CC}}\) à environ \(0.7\text{V}\) pour débloquer le transistor. L'équation de charge \(v(t) = V_{\text{final}} + (V_{\text{initial}} - V_{\text{final}})e^{-t/\tau}\) montre que le temps nécessaire pour cette transition est \(t \approx \tau \ln(2)\).

Remarque Pédagogique

Le facteur \(\ln(2) \approx 0.69\) est crucial. Il signifie que la période ne dépend que de 69% de la constante de temps \(\tau\) pour chaque demi-cycle.

Normes

Les temps sont toujours exprimés en secondes (s) dans le système international pour assurer la cohérence des calculs de fréquence par la suite.

Formule(s)

Formule de la période

T = 2 \cdot \ln(2) \cdot \tau \approx 1.386 \cdot R_{\text{B}} \cdot C

Hypothèses

On suppose :

Montage parfaitement symétrique.
Tension de saturation \(V_{\text{CEsat}} \approx 0\text{V}\).
Tension de seuil base-émetteur \(V_{\text{BE}} \approx 0\text{V}\) devant \(V_{\text{CC}}\) pour simplifier le logarithme.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante de temps	\(\tau\)	0.47	\(\text{s}\)
Facteur Logarithmique	\(\ln(2)\)	0.693	-

Astuces

Pour une estimation rapide de tête : \(T \approx 1.4 \times \tau\). C'est facile à retenir car \(\sqrt{2} \approx 1.414\) (bien que ce soit une coïncidence).

Schéma (Chronogramme)

Allure de Vc (Tension Collecteur)

Calcul(s)

Détail du calcul

On applique la formule en remplaçant \(\tau\) par la valeur calculée à la Question 1 (0.47s) et \(\ln(2)\) par sa valeur approchée (0.693) :

\begin{aligned} T &= 2 \times \ln(2) \times \tau \\ T &\approx 2 \times 0.6931 \times 0.47 \\ T &= 1.3862 \times 0.47 \\ T &\approx 0.6515 \text{ s} \end{aligned}

Le résultat donne une période totale d'environ 0.65 seconde.

Schéma (Résultat)

La période couvre un cycle complet "ON-OFF".

Réflexions

La période est d'environ 650 millisecondes. Cela correspond à un clignotement bien visible, ni trop rapide (effet stroboscopique), ni trop lent (impression d'arrêt).

Points de vigilance

N'oubliez pas le facteur 2 ! Une seule constante de temps ne correspond qu'à une demi-période (le temps qu'un seul transistor reste bloqué).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(T \approx 1.4 RC\) pour un astable symétrique.

Le saviez-vous ?

Ce principe de basculement est utilisé dans les circuits intégrés comme le célèbre NE555 en mode astable.

FAQ

La tension d'alimentation \(V_{\text{CC}}\) influence-t-elle la période ?

Très peu. Dans la formule théorique complète, les termes \(V_{\text{CC}}\) s'annulent car ils apparaissent au numérateur et au dénominateur du logarithme. En pratique, une légère variation existe à cause des jonctions.

\(T \approx 651 \text{ ms}\)

A vous de jouer
Si \(\tau = 1\text{s}\), que vaut \(T\) (en secondes) ?

📝 Mémo
T = 1.4 x Tau. Facile à retenir.

Question 3 : Calcul de la Fréquence

Principe

La fréquence correspond au nombre de cycles complets (périodes) par seconde. C'est l'inverse mathématique de la période temporelle \(T\). Elle quantifie la vitesse du clignotement.

Mini-Cours

La relation fondamentale entre temps et fréquence est \(f = 1/T\) avec \(T\) en secondes et \(f\) en Hertz (Hz).

Remarque Pédagogique

Une fréquence de 1 Hz signifie un battement par seconde. Pour un signal sonore audible, il faut généralement \(f > 20 \text{ Hz}\).

Normes

L'unité SI est le Hertz (Hz), symbole Hz.

Formule(s)

Formule de la fréquence

f = \frac{1}{T}

Hypothèses

On utilise la période calculée à la question précédente, supposée constante et stable.

\(T \approx 0.6515 \text{ s}\)

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Période	\(T\)	0.6515	\(\text{s}\)

Astuces

Si \(T < 1\), alors \(f > 1\). Si \(T > 1\), alors \(f < 1\). Ici 0.65 < 1, donc on attend logiquement une fréquence supérieure à 1 Hz.

Schéma (Comparaison Fréquence)

Calcul(s)

Détail du calcul

On divise 1 par la période \(T\) obtenue précédemment :

\begin{aligned} f &= \frac{1}{T} \\ f &= \frac{1}{0.6515} \\ f &\approx 1.5349... \text{ Hz} \end{aligned}

Le résultat est d'environ 1.54 oscillations par seconde.

Schéma (Résultat)

Valeur calculée précise.

Réflexions

1.5 Hz est une fréquence standard pour la signalisation visuelle d'alerte (clignotants de voiture, balises de chantier).

Points de vigilance

Attention : Si \(T\) était en millisecondes (ms), il faudrait le convertir en secondes (s) avant de diviser 1 par T. Sinon le résultat serait en kHz (kiloHertz).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(f = 1/T\).
Petit T = Grande f.

Le saviez-vous ?

Heinrich Hertz a été le premier à prouver expérimentalement l'existence des ondes électromagnétiques, d'où le nom de l'unité de fréquence.

FAQ

Quelle est la fréquence maximale possible pour ce montage ?

Elle est limitée par les temps de commutation des transistors et les capacités parasites du montage. En pratique, on peut atteindre quelques centaines de kHz voire MHz avec des composants adaptés.

\(f \approx 1.54 \text{ Hz}\)

A vous de jouer
Si \(T=0.5\text{s}\), que vaut \(f\) ?

📝 Mémo
L'inverse de T donne la cadence.

Question 4 : Asymétrie et Rapport Cyclique

Principe

Si les composants des deux branches ne sont pas identiques (notamment si \(C_1 \neq C_2\)), les temps de charge et décharge diffèrent pour chaque côté. Le signal de sortie n'est plus carré (temps haut = temps bas) mais devient rectangulaire asymétrique.

Mini-Cours

Le rapport cyclique \(\alpha\) (alpha) est défini par \(\alpha = \frac{t_{\text{Haut}}}{T_{\text{Total}}}\). Si \(C_1 > C_2\), alors la constante de temps associée à \(C_1\) sera plus grande, donc l'état qu'elle contrôle durera plus longtemps.

Remarque Pédagogique

L'asymétrie est très utile pour générer des impulsions brèves, par exemple pour commander un stroboscope (flash bref, pause longue) ou pour une commande PWM simplifiée.

Normes

Le rapport cyclique est souvent exprimé en pourcentage (%). 50% correspond à un signal carré parfait.

Formule(s)

Formules de temps partiels

t_1 \approx 0.69 R_{\text{B}2} C_1 \quad \text{et} \quad t_2 \approx 0.69 R_{\text{B}1} C_2

Hypothèses

Calculons un exemple concret avec des valeurs modifiées pour comprendre l'impact :

\(R_{\text{B}1} = R_{\text{B}2} = 47 \text{ k}\Omega\)
\(C_1 = 20 \mu\text{F}\) (doublé)
\(C_2 = 10 \mu\text{F}\) (standard)

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(C_1\)	\(20 \times 10^{-6} \text{ F}\)
\(C_2\)	\(10 \times 10^{-6} \text{ F}\)

Astuces

Le condensateur connecté à la base d'un transistor contrôle le temps de repos (OFF) de CE transistor. Donc \(C_1\) contrôle le temps de blocage de \(T_2\).

Schéma (Signal Asymétrique)

Signal rectangulaire avec un rapport cyclique > 50%.

Calcul(s)

Application numérique détaillée

On calcule d'abord les temps \(t_1\) et \(t_2\) avec les nouvelles valeurs de capacités :

\begin{aligned} t_1 (\text{associé à } C_1) &= 0.693 \times 47000 \times 20 \cdot 10^{-6} \approx 0.65 \text{ s} \\ t_2 (\text{associé à } C_2) &= 0.693 \times 47000 \times 10 \cdot 10^{-6} \approx 0.33 \text{ s} \\ T_{\text{total}} &= 0.65 + 0.33 = 0.98 \text{ s} \\ \alpha &= \frac{t_1}{T_{\text{total}}} = \frac{0.65}{0.98} \approx 0.66 \text{ (soit 66\%)} \end{aligned}

On observe que \(t_1\) est deux fois plus long que \(t_2\), ce qui est logique puisque \(C_1\) est deux fois plus grand que \(C_2\).

Schéma (Résultat)

On obtient un signal déséquilibré (2/3 de temps haut).

Réflexions

On constate que doubler un condensateur double la durée de son état associé et change le rapport cyclique de 50% à 66%.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre rapport cyclique et fréquence. Ici la période a changé (0.98s vs 0.65s), donc la fréquence a baissé.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Asymétrie des composants = Asymétrie du signal.
Rapport cyclique \(\neq\) 50%.

Le saviez-vous ?

En modulation de largeur d'impulsion (PWM), on fait varier dynamiquement le rapport cyclique pour contrôler la puissance envoyée à une charge (ex: vitesse d'un moteur).

FAQ

Peut-on avoir 99% de rapport cyclique ?

Oui, théoriquement, avec un très gros condensateur d'un côté et un très petit de l'autre. En pratique, il faut s'assurer que le temps court reste suffisant pour la commutation des transistors.

\(\alpha \approx 66\text{\%}\)

A vous de jouer
Quel est le rapport cyclique en % si \(t_{\text{haut}}=3\text{s}\) et la période totale \(T=4\text{s}\) ?

📝 Mémo
C1 et C2 différents = Signal rectangulaire (pas carré).

Question 5 : Variation de Résistance

Principe

On étudie l'impact d'une modification des résistances de base \(R_{\text{B}}\) sur la fréquence d'oscillation. Puisque la période \(T\) est proportionnelle à \(R_{\text{B}}\), la fréquence \(f\) est inversement proportionnelle à \(R_{\text{B}}\). Augmenter la résistance ralentit le processus.

Mini-Cours

La résistance freine le courant de charge du condensateur vers la base. Plus \(R\) est grande, plus le courant est faible, et plus le condensateur met du temps à atteindre le seuil de commutation.

Remarque Pédagogique

C'est le moyen le plus simple et le plus courant de faire un oscillateur à fréquence variable : on remplace les résistances fixes \(R_{\text{B}}\) par un double potentiomètre.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique, mais il faut respecter les limites de courant du transistor.

Formule(s)

Loi de proportionnalité

f_{\text{new}} = f_{\text{initial}} \times \frac{R_{\text{ancien}}}{R_{\text{nouveau}}}

Hypothèses

On suppose qu'on double la valeur des deux résistances de base simultanément : \(R_{\text{new}} = 2 \times R_{\text{old}} = 2 \times 47\text{k}\Omega = 94 \text{k}\Omega\).

Donnée(s)

Paramètre	Action
\(R_{\text{B}}\)	Doublée (\(\times 2\))

Astuces

Règle de trois simple : Double Résistance = Double Temps = Demi Fréquence.

Schéma (Variation)

Relation inverse entre Résistance et Fréquence.

Calcul(s)

Détail du calcul

Si on double la résistance, le temps pour charger le condensateur double aussi. Voyons l'impact sur la fréquence :

\begin{aligned} T_{\text{new}} &\approx 1.386 \cdot (2 R_{\text{B}}) \cdot C \\ T_{\text{new}} &= 2 \cdot (1.386 \cdot R_{\text{B}} \cdot C) = 2 \cdot T_{\text{initial}} \\ f_{\text{new}} &= \frac{1}{T_{\text{new}}} = \frac{1}{2 T_{\text{initial}}} \\ f_{\text{new}} &= \frac{1}{2} f_{\text{initial}} \\ f_{\text{new}} &= \frac{1.54}{2} = 0.77 \text{ Hz} \end{aligned}

La nouvelle fréquence est exactement la moitié de l'ancienne.

Schéma (Résultat)

On obtient une oscillation plus lente.

Réflexions

La fréquence sera divisée par deux. Le clignotement sera deux fois plus lent. C'est intuitif : plus on résiste au passage du courant, plus le condensateur met de temps à se remplir/vider.

Points de vigilance

Attention : Si on augmente trop \(R_{\text{B}}\), le courant de base \(I_{\text{B}}\) devient trop faible. La condition de saturation \(\beta I_{\text{B}} > I_{\text{C}}\) risque de ne plus être respectée, et le transistor ne commutera plus (l'oscillation s'arrête).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(f\) est inversement proportionnelle à \(R\).

Le saviez-vous ?

C'est le principe de base des sirènes de police électroniques "deux tons" : on bascule périodiquement entre deux valeurs de résistance pour changer la tonalité.

FAQ

Peut-on mettre une résistance nulle ?

Non ! Cela détruirait le transistor car le courant de base deviendrait théoriquement infini (court-circuit direct vers la base), et cela empêcherait le fonctionnement du circuit RC.

\(f_{\text{new}} = 0.5 \times f_{\text{initial}}\)

A vous de jouer
Si \(f_{\text{init}}=100\text{Hz}\) et on double R, quelle est la nouvelle fréquence ?

📝 Mémo
Plus de résistance = Moins de fréquence. C'est l'inverse.

Schéma Bilan de l'Exercice

Ce schéma résume l'ensemble des grandeurs calculées, les états finaux et la configuration du système.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :

🔑
Point Clé 1 : Oscillation libre
L'astable oscille tout seul, sans signal d'entrée, grâce à l'instabilité créée par le retour capacitif.
📐
Point Clé 2 : Formule de la Période
\(T \approx 1.4 R_{\text{B}} C\). Ne pas oublier le facteur 1.4 (2 x ln(2)).
⚠️
Point Clé 3 : Condition de Saturation
Il faut impérativement \(\beta R_{\text{C}} > R_{\text{B}}\) pour que les transistors saturent et bloquent correctement.
💡
Point Clé 4 : Applications
Utilisé pour les clignotants, les générateurs de signaux carrés, les horloges simples.

"L'astable est le cœur battant de l'électronique analogique simple."

🎛️ Simulateur Interactif

Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur la période et la fréquence.

Paramètres

Résistance \(R_{\text{B}}\) (k\(\Omega\)) : 47

Capacité \(C\) (\(\mu\text{F}\)) : 10

Période T (ms) : -

Fréquence f (Hz) : -

📝 Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la forme du signal de sortie d'un multivibrateur astable ?

Carrée / Rectangulaire
Sinusoïdale
Triangulaire

2. Si on augmente la résistance de base \(R_{\text{B}}\), que fait la fréquence ?

Elle augmente
Elle diminue

📚 Glossaire

Astable: Circuit électronique qui n'a aucun état stable et bascule continuellement entre deux états instables, produisant une oscillation.
Saturation: État d'un transistor où le courant collecteur est maximum et la tension Vce est proche de 0V. Il agit comme un interrupteur fermé.
Blocage: État d'un transistor où aucun courant ne circule (Ic=0). Il agit comme un interrupteur ouvert.
Constante de Temps: Produit R x C qui caractérise la vitesse de charge ou de décharge d'un condensateur.
Collecteur: Une des trois broches du transistor bipolaire (avec la Base et l'Émetteur). C'est généralement là qu'on récupère le signal de sortie dans ce montage.