Analyse Circuit Capacité Commutée
Contexte : Phénomènes Transitoires et Émulation de Résistance.
Les circuits à capacité commutéeTechnique utilisant des condensateurs et des interrupteurs pour simuler des résistances. sont fondamentaux dans la conception de circuits intégrés (CMOS), notamment pour réaliser des filtres analogiques précis sans utiliser de résistances physiques encombrantes. Cet exercice explore comment un condensateur commuté à haute fréquence peut se comporter comme une résistance équivalente.
Remarque Pédagogique : Comprendre ce principe est essentiel pour l'analyse des convertisseurs analogique-numérique (CAN) et des filtres actifs intégrés. Les résistances physiques en technologie CMOS occupent une surface de silicium prohibitive et sont peu précises (±20%). Les capacités commutées résolvent ce problème élégamment.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le transfert de charge discret étape par étape.
- Dériver l'expression de la résistance équivalente à partir des principes physiques.
- Analyser l'influence de la fréquence de commutation sur le comportement macroscopique du circuit.
Données de l'étude
On considère un condensateur \(C\) connecté alternativement à une source de tension \(V_{\mathrm{in}}\) et à une charge via deux interrupteurs \(S_1\) et \(S_2\) commandés par des horloges non-recouvrantes à la fréquence \(f_{\mathrm{s}}\).
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Tension d'entrée \(V_{\mathrm{in}}\) | \( 5 \, \mathrm{V} \) |
| Fréquence d'horloge \(f_{\mathrm{s}}\) | \( 100 \, \mathrm{kHz} \) |
| Capacité \(C\) | \( 10 \, \mathrm{pF} \) |
Schéma du Circuit
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Période d'échantillonnage | \(T_{\mathrm{s}}\) | 10 | \(\mu\mathrm{s}\) |
| Capacité Parasite (négligée) | \(C_{\mathrm{p}}\) | 0 | \(\mathrm{pF}\) |
Questions à traiter
- Calculer la charge \(Q\) accumulée par le condensateur pendant la phase \(\phi_1\).
- Déterminer la charge transférée vers la sortie pendant la phase \(\phi_2\).
- En déduire l'expression du courant moyen \(I_{\mathrm{moy}}\).
- Établir l'expression de la résistance équivalente \(R_{\mathrm{eq}}\).
- Calculer la valeur numérique de \(R_{\mathrm{eq}}\).
Les bases théoriques
Dans ce contexte, le circuit fonctionne en temps discret. Le transfert de charge se fait paquet par paquet, un peu comme on remplirait un réservoir avec un seau d'eau au lieu d'un tuyau continu.
Loi fondamentale du condensateur
La relation entre la charge, la capacité et la tension.
Charge Électrique
Où :
- \(Q\) est la charge en Coulombs (\(\mathrm{C}\))
- \(C\) est la capacité en Farads (\(\mathrm{F}\))
Définition du courant électrique
Le courant est un débit de charges électriques par unité de temps.
Courant Moyen
Où :
- \(\Delta Q\) est la quantité de charge transférée
- \(\Delta t\) est la durée du cycle (période \(T_{\mathrm{s}}\))
Loi d'Ohm généralisée
L'analogie résistive permet de simplifier l'étude.
Résistance Équivalente
Correction : Analyse Circuit Capacité Commutée
Question 1 : Charge accumulée (\(\phi_1\))
Principe
Pendant la phase \(\phi_1\), l'interrupteur \(S_1\) est fermé et \(S_2\) est ouvert. Le condensateur est connecté directement à la source de tension \(V_{\mathrm{in}}\). Le générateur impose une différence de potentiel qui déplace les électrons jusqu'à ce que la tension aux bornes du condensateur soit égale à \(V_{\mathrm{in}}\).
Mini-Cours
Un condensateur idéal se charge instantanément si la résistance série est nulle (hypothèse idéale). La relation fondamentale est \(Q = C \times V\). Physiquement, les charges s'accumulent sur les armatures, créant un champ électrostatique interne qui s'oppose à la tension externe jusqu'à l'équilibre.
Remarque Pédagogique
On suppose ici que le temps de charge est négligeable devant la demi-période d'horloge \(T_{\mathrm{s}}/2\). En réalité, il faut que la constante de temps \(\tau = R_{\mathrm{on}}C\) (où \(R_{\mathrm{on}}\) est la résistance de l'interrupteur) soit très petite, typiquement \(5\tau < T_{\mathrm{s}}/2\), pour que la charge soit complète (à 99.3%). C'est le principe de l'échantillonnage instantané.
Normes
Notation standard IEEE pour les circuits discrets : \(\phi_1\) et \(\phi_2\) désignent les phases d'horloge non-recouvrantes.
Formule(s)
Formule utilisée
Calcul de la charge
Hypothèses
Pour appliquer cette loi :
- Régime permanent établi pour chaque phase (condensateur totalement chargé).
- Condensateur initialement déchargé (ou cycle établi stable).
- Interrupteurs idéaux (résistance nulle à l'état passant, infinie à l'état bloqué).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Entrée | \(V_{\mathrm{in}}\) | \( 5 \) | \(\mathrm{V}\) |
| Capacité | \(C\) | \( 10 \) | \(\mathrm{pF}\) |
Astuces
N'oubliez pas de convertir les picoFarads (\(10^{-12}\)) pour le calcul final. Astuce : \(1 \, \mathrm{pF} \times 1 \, \mathrm{V} = 1 \, \mathrm{pC}\).
Schéma : Phase de Charge (φ1)
Calcul(s)
Conversion(s)
Pour effectuer ce calcul, nous devons d'abord convertir la capacité en unités SI standard (Farad) pour éviter les erreurs d'ordre de grandeur.
Conversion pF → F
Maintenant que les unités sont cohérentes, nous pouvons procéder au calcul principal.
Calcul Principal
Application numérique
On applique la formule fondamentale du condensateur en remplaçant par les valeurs numériques.
Ce résultat correspond à la quantité d'électricité stockée sur les plaques du condensateur à la fin de la phase d'acquisition.
Réflexions
C'est la charge stockée sur les armatures à la fin de la phase 1. Cette quantité d'énergie potentielle est maintenant prête à être transférée.
Points de vigilance
Attention aux unités : pC (picoCoulombs) est l'unité standard ici. Ne confondez pas avec nC (nano) ou µC (micro).
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(Q=CV\) : la charge est proportionnelle à la tension appliquée.
- La tension aux bornes du condensateur suit instantanément \(V_{\mathrm{in}}\) en théorie idéale.
Le saviez-vous ?
1 Coulomb est une quantité énorme de charge pour de l'électronique basse puissance. C'est pourquoi on travaille en pC (un millième de milliardième de Coulomb).
FAQ
Pourquoi S2 doit-il être ouvert ?
Pour éviter un court-circuit entre l'entrée et la sortie et pour isoler la phase de prélèvement. Si S1 et S2 étaient fermés en même temps, la source serait directement connectée à la sortie, annulant l'effet "résistif" contrôlé.
A vous de jouer
Si Vin = 10V, quelle est la charge ?
📝 Mémo
Charge = Capacité × Tension.
Question 2 : Transfert de charge (\(\phi_2\))
Principe
En phase \(\phi_2\), \(S_1\) s'ouvre d'abord, puis \(S_2\) se ferme (horloge non-recouvrante). Le condensateur, chargé à \(Q_1\), est maintenant connecté à la sortie. On suppose que la sortie est une "terre virtuelle" (comme l'entrée d'un AOP en configuration inverseuse) ou une charge qui absorbe le courant, ramenant la tension du condensateur à 0V.
Mini-Cours
Conservation de la charge : La charge accumulée ne peut pas disparaître. Elle doit s'écouler quelque part. Si la tension finale aux bornes du condensateur est nulle (décharge complète), toute la charge est transférée vers la charge.
Non-recouvrement : Il est crucial qu'il y ait un temps mort où les deux interrupteurs sont ouverts pour éviter que le courant ne passe directement de l'entrée à la sortie.
Remarque Pédagogique
Imaginez le condensateur comme un "seau" d'eau que l'on remplit en phase 1 et que l'on vide totalement en phase 2. Le volume d'eau transféré est exactement le volume du seau.
Normes
Loi des mailles et loi des nœuds (Kirchhoff) appliquées aux phases transitoires.
Formule(s)
Variation de charge
Hypothèses
On suppose une décharge complète :
- \(V_{\mathrm{final,C}} \approx 0 \, \mathrm{V}\) (cas d'un intégrateur idéal ou court-circuit virtuel).
- Pas de fuite de courant dans les interrupteurs (impédance d'entrée infinie de l'étage suivant).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge Initiale | \(Q_1\) | \( 50 \, \mathrm{pC} \) |
| Charge Finale | \(Q_{\mathrm{fin}}\) | \( 0 \, \mathrm{pC} \) |
Astuces
Si la tension finale n'est pas nulle (ex: tension parasite \(V_x\)), la charge transférée serait seulement \(\Delta Q = C(V_{\mathrm{in}} - V_x)\).
Schéma : Phase de Transfert (φ2)
Calcul(s)
Calcul de la charge transférée
Le transfert de charge correspond à la différence entre la charge initiale (Q1) et la charge finale (0).
Cette valeur positive confirme que 50 pC ont quitté le condensateur pour aller vers la charge.
Réflexions
Toute la charge accumulée est "poussée" vers la suite du circuit. C'est ce transfert qui constitue le courant électrique.
Points de vigilance
Ne pas confondre charge totale et courant. Ici on parle d'une quantité statique (Coulombs), pas encore d'un débit (Ampères). Le débit dépendra de la vitesse à laquelle on répète ce transfert.
Points à Retenir
Dans un circuit à capacité commutée idéal, le transfert de charge est égal à \(C \cdot V_{\mathrm{in}}\) à chaque cycle complet.
Le saviez-vous ?
Ce principe est utilisé dans les alimentations à découpage (pompes de charge) pour doubler ou inverser des tensions sans bobines encombrantes.
FAQ
Et si le condensateur ne se vide pas complètement ?
Alors \(\Delta Q\) serait plus faible (\(Q_{\mathrm{in}} - Q_{\mathrm{restant}}\)), ce qui signifierait que le courant moyen serait plus faible, et donc la résistance équivalente calculée plus tard serait plus élevée.
A vous de jouer
Si la charge résiduelle était de 10 pC, quel serait le transfert ?
📝 Mémo
Transfert = Avant - Après.
Question 3 : Expression du Courant Moyen
Principe
Le courant est physiquement défini comme un débit de charge électrique. Ici, le transfert est discret (paquets de charges délivrés périodiquement), mais à l'échelle macroscopique (sur un temps long devant \(T_{\mathrm{s}}\)), cela ressemble à un courant continu moyen constant.
Mini-Cours
Définition du courant : En continu, \(I = \frac{dQ}{dt}\). En discret, on utilise la moyenne sur une période \(T\) : \(I_{\mathrm{moy}} = \frac{\Delta Q}{T}\). C'est exactement le même principe que pour calculer le débit moyen d'une rivière si on la vide seau par seau.
Remarque Pédagogique
C'est comme transporter de l'eau avec des seaux. Si vous versez un seau de 10L toutes les minutes, le débit moyen est de 10L/min, même si l'eau ne coule pas en un filet continu. Plus vous allez vite (fréquence élevée), plus le débit (courant) est grand.
Normes
Système International (SI) : Courant en Ampères (A), Temps en secondes (s), Fréquence en Hertz (Hz).
Formule(s)
Relation Fréquence-Période
Courant Moyen
Hypothèses
On suppose que la fréquence \(f_{\mathrm{s}}\) est suffisamment élevée pour qu'on puisse parler de "moyenne" vis-à-vis de la constante de temps du circuit aval (le lissage est effectué par les composants suivants).
Donnée(s)
| Variable | Signification |
|---|---|
| \(\Delta Q\) | Charge transférée par cycle (\(C \cdot V_{\mathrm{in}}\)) |
| \(f_{\mathrm{s}}\) | Fréquence de commutation |
Astuces
Remplacer \(1/T\) par \(f\) simplifie souvent l'écriture dans les circuits à horloge et permet de voir immédiatement la proportionnalité.
Calcul(s)
Dérivation de l'expression
Partons de la définition du courant moyen, qui est la charge transférée divisée par la durée du transfert.
Nous substituons ensuite \(\Delta Q\) par son expression en fonction de la capacité et de la tension (trouvée à la Q2).
On observe que le courant est directement proportionnel à la fréquence de commutation et à la capacité.
Réflexions
On voit ici que le courant est linéairement proportionnel à la tension \(V_{\mathrm{in}}\), à la capacité \(C\) et à la fréquence \(f_{\mathrm{s}}\). C'est une observation fondamentale pour la suite.
Points de vigilance
Ce n'est pas un courant continu "lisse". Il contient de fortes composantes harmoniques à la fréquence \(f_{\mathrm{s}}\). Un filtrage est nécessaire si on veut l'utiliser comme signal continu pur.
Points à Retenir
Le courant moyen augmente si on commute plus vite (plus de "seaux" par seconde) ou si le condensateur est plus gros (plus gros "seaux").
Le saviez-vous ?
C'est exactement ainsi que les capteurs tactiles capacitifs de votre téléphone détectent votre doigt : en mesurant le changement de transfert de charge causé par la capacité de votre corps.
FAQ
Est-ce que le courant dépend de la résistance interne des interrupteurs ?
Non, tant que cette résistance est assez faible pour permettre une charge complète (5 constants de temps) pendant la durée de la phase active. Si la résistance est trop grande, la charge n'est pas complète, et l'équation devient fausse.
A vous de jouer
Si C, V et f doublent tous simultanément, par quel facteur est multiplié le courant ?
📝 Mémo
Débit = Volume x Fréquence.
Question 4 : Résistance Équivalente \(R_{\mathrm{eq}}\)
Principe
Puisque nous avons établi que le courant moyen est proportionnel à la tension d'entrée (\(I \propto V\)), le circuit se comporte, vue de l'entrée, exactement comme une résistance linéaire ohmique. Le but est de trouver la valeur de cette résistance "virtuelle".
Mini-Cours
Loi d'Ohm : Pour tout dipôle passif linéaire, la résistance est le rapport constant entre la tension à ses bornes et le courant qui le traverse : \(R = \frac{U}{I}\). Si ce rapport est constant (indépendant de U), alors le dipôle est équivalent à une résistance.
Remarque Pédagogique
C'est une "résistance simulée". Il n'y a pas de matériau résistif dissipant de la chaleur par effet Joule de la manière classique. Cependant, d'un point de vue énergétique, l'énergie est dissipée lors de la charge et de la décharge des condensateurs dans les résistances parasites des interrupteurs. Le bilan énergétique est donc similaire.
Normes
Unité : Ohm (\(\Omega\)). Symbole normalisé \(R_{\mathrm{eq}}\).
Formule(s)
Identification
Hypothèses
On suppose le comportement linéaire validé par les questions précédentes (indépendance de C et f par rapport à V).
Donnée(s)
On reprend le résultat analytique de la Question 3 : \(I_{\mathrm{moy}} = C \cdot V_{\mathrm{in}} \cdot f_{\mathrm{s}}\).
Astuces
Pour vérifier votre formule par l'analyse aux limites : si \(f=0\) (on arrête de commuter), le courant devient nul. Or, un courant nul pour une tension donnée correspond à une résistance infinie (circuit ouvert). La formule \(1/(Cf)\) donne bien l'infini si \(f=0\).
Calcul(s)
Substitution
Nous cherchons la résistance équivalente \(R_{\mathrm{eq}}\) en appliquant la définition de la loi d'Ohm :
En remplaçant \(I_{\mathrm{moy}}\) par l'expression dérivée à la question 3, nous obtenons :
Le terme \(V_{\mathrm{in}}\) s'annule au numérateur et au dénominateur :
Le terme \(V_{\mathrm{in}}\) s'annule, ce qui prouve que la résistance est une propriété intrinsèque du circuit (indépendante de la tension appliquée), dépendant uniquement de C et f.
Réflexions
La résistance est inversement proportionnelle à la fréquence et à la capacité. Plus on commute vite, plus le courant passe facilement, plus la résistance équivalente est faible.
Points de vigilance
Cette équivalence n'est valable que pour des fréquences de signal d'entrée bien inférieures à la fréquence de commutation \(f_{\mathrm{s}}\) (critère de Nyquist-Shannon). Si \(V_{\mathrm{in}}\) change trop vite, l'approximation de la "moyenne" ne tient plus.
Points à Retenir
Formule coeur des filtres à capacités commutées : \(R_{\mathrm{eq}} = \frac{1}{C f_{\mathrm{s}}}\).
Le saviez-vous ?
Dans un circuit intégré, une résistance de 1 MΩ en polysilicium prendrait une place énorme sur la puce. Un condensateur commuté équivalent est 100 fois plus petit ! C'est la raison principale de l'invention de cette technologie.
FAQ
Est-ce que cette résistance fait du bruit thermique ?
Oui, le bruit "kT/C" associé à l'échantillonnage se manifeste comme un bruit blanc, similaire mathématiquement au bruit thermique (Johnson-Nyquist) d'une résistance réelle de même valeur.
A vous de jouer
Si on veut doubler la résistance, comment modifier la fréquence (sans toucher C) ?
📝 Mémo
Vite = Faible Résistance. Lent = Forte Résistance.
Question 5 : Calcul Numérique de \(R_{\mathrm{eq}}\)
Principe
Application numérique directe de la formule trouvée précédemment avec les valeurs du cahier des charges. C'est l'étape de validation quantitative.
Mini-Cours
Analyse dimensionnelle : Vérifions les unités pour s'assurer de la cohérence physique.
L'inverse de Siemens est bien des Ohms (\(\Omega\)), unité de la résistance.
Remarque Pédagogique
L'utilisation des puissances de 10 est cruciale ici pour ne pas se tromper de zéro. Il est conseillé de tout mettre en notation scientifique avant le calcul.
Normes
Utilisation des préfixes SI (kilo, Méga, Giga) pour rendre le résultat lisible.
Formule(s)
Hypothèses
Composants idéaux et valeurs exactes.
Donnée(s)
| Grandeur | Valeur brute | Notation Scientifique |
|---|---|---|
| \(C\) | \( 10 \, \mathrm{pF} \) | \(10 \times 10^{-12} \, \mathrm{F}\) |
| \(f_{\mathrm{s}}\) | \( 100 \, \mathrm{kHz} \) | \(100 \times 10^{3} \, \mathrm{Hz} = 10^5 \, \mathrm{Hz}\) |
Astuces
Simplifiez les puissances avant de toucher à la calculatrice : \(10^{-12} \times 10^5 = 10^{-7}\). Ensuite, \(10 \times 10^{-7} = 10^{-6}\).
Calcul(s)
Exécution
On remplace les valeurs dans la formule :
Le résultat final de \(10^6 \Omega\) se convertit en 1 MΩ (Mégaohm).
Réflexions
On obtient une résistance très élevée (1 MégaOhm). C'est typique de ces circuits. Obtenir une telle résistance avec un courant continu demanderait un fil très long et fin, ou un matériau spécifique.
Points de vigilance
Une erreur classique est d'oublier le facteur \(10^{-12}\) du pico, donnant un résultat totalement faux (ex: 1 Ohm). Toujours vérifier l'ordre de grandeur.
Points à Retenir
Ordre de grandeur à connaître : pF \(\times\) kHz \(\rightarrow\) M\(\Omega\).
Le saviez-vous ?
Ce type de résistance est très précise (0.1%) car elle dépend du ratio de capacités et d'une fréquence d'horloge (quartz). La valeur absolue d'une capacité en silicium varie de 20%, mais le ratio entre deux capacités voisines est précis à 0.1%. C'est pourquoi on utilise cette technique pour les filtres.
FAQ
Peut-on faire une résistance variable ?
Oui, très facilement ! Il suffit de changer la fréquence d'horloge pour changer la valeur de la résistance dynamiquement, ce qui permet de faire des filtres accordables électroniquement.
A vous de jouer
Si je veux 2 MΩ avec la même capacité, quelle fréquence choisir ?
📝 Mémo
Calcul terminé et cohérent. Le circuit émule parfaitement une résistance de 1MΩ.
Schéma Bilan : Équivalence
Le circuit commuté se comporte macroscopiquement comme une résistance.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Synthèse sur les capacités commutées :
-
🔑
Principe : Transfert de charge discret \(\approx\) Courant continu moyen.
-
📐
Formule Clé : \(R_{\mathrm{eq}} = \frac{1}{C \cdot f_{\mathrm{s}}}\).
-
⚠️
Condition : La fréquence du signal d'entrée doit être très inférieure à \(f_{\mathrm{s}}\) (Théorème de Shannon).
-
💡
Avantage : Précision et intégration facile dans les puces CMOS.
🎛️ Simulateur : Influence des paramètres sur Req
Modifiez la fréquence et la capacité pour voir l'évolution de la résistance équivalente.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si on double la fréquence d'horloge, que devient la résistance équivalente ?
2. Quel phénomène doit-on éviter dans ce type de circuit ?
📚 Glossaire
- Horloge non-recouvrante
- Deux signaux d'horloge qui ne sont jamais à l'état haut en même temps pour éviter les courts-circuits.
- Repliement (Aliasing)
- Distorsion du signal qui apparait si la fréquence d'échantillonnage est trop faible.
- Capacité Parasite
- Capacité indésirable inhérente à la structure des composants réels.
- AOP
- Amplificateur Opérationnel, souvent utilisé avec ces circuits pour faire des intégrateurs.
- CMOS
- Technologie de fabrication de circuits intégrés dominante.
Le Saviez-vous ?
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