Circuits Électriques

Analyse de Circuit RLC par la Méthode des Nœuds

Exercice : Potentiels aux Nœuds en Sinusoïdal

Analyse de Circuit RLC par la Méthode des Nœuds

Contexte : L'analyse de circuits en régime sinusoïdalÉtat d'un circuit électrique où les tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps, à une fréquence constante..

La méthode des potentiels aux nœuds est un outil puissant pour analyser les circuits électriques. Elle simplifie des schémas complexes en un système d'équations plus facile à résoudre. En régime sinusoïdal, nous étendons cette méthode en utilisant les notions d'impédanceGénéralisation de la résistance aux circuits en courant alternatif. C'est un nombre complexe Z = R + jX. et d'admittanceInverse de l'impédance (Y = 1/Z). Elle facilite les calculs dans la méthode des nœuds. complexes. Cet exercice vous guidera dans l'application de cette technique pour déterminer les tensions et courants dans un circuit RLC.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à transformer un circuit du domaine temporel au domaine fréquentiel (phasoriel), à poser correctement les équations nodales avec des nombres complexes, et à résoudre le système pour trouver les potentiels inconnus.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les impédances complexes des résistances, inductances et capacités.
  • Appliquer la loi des nœuds (loi des courants de Kirchhoff) en régime sinusoïdal.
  • Mettre en équation un circuit en utilisant la méthode des potentiels aux nœuds.
  • Manipuler les nombres complexes pour résoudre le système d'équations et trouver les potentiels des nœuds.
  • Calculer un courant de branche à partir des potentiels de nœuds.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale \(e(t)\) et une source de courant sinusoïdal \(i_s(t)\). Le circuit fonctionne en régime sinusoïdal établi à la pulsation \(\omega\).

Schéma du Circuit Électrique
~ e(t) R₁ A L R₂ B C iₛ(t) M (Masse)
Visualisation 3D du Circuit
Paramètre Description Expression Temporelle Valeur / Phasor
e(t) Source de tension \(10\sqrt{2} \cos(1000t)\) \(\underline{E} = 10 \angle 0^\circ \text{ V}\)
iₛ(t) Source de courant \(2\sqrt{2} \cos(1000t + 90^\circ)\) \(\underline{I_s} = 2 \angle 90^\circ \text{ A}\)
R₁ Résistance 1 - \(5 \, \Omega\)
R₂ Résistance 2 - \(10 \, \Omega\)
L Inductance - \(10 \text{ mH}\)
C Capacité - \(25 \, \mu\text{F}\)
\(\omega\) Pulsation - \(1000 \text{ rad/s}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les impédances complexes \(\underline{Z}_{\text{R1}}\), \(\underline{Z}_{\text{R2}}\), \(\underline{Z}_L\) et \(\underline{Z}_C\).
  2. En choisissant le nœud M comme référence (potentiel 0), écrire les équations des potentiels aux nœuds A et B.
  3. Résoudre le système d'équations pour trouver les potentiels complexes \(\underline{V}_A\) et \(\underline{V}_B\).
  4. Calculer le courant complexe \(\underline{I}_L\) traversant l'inductance L.

Les bases sur la Méthode des Nœuds en Sinusoïdal

La méthode des potentiels aux nœuds repose sur la Loi des Courants de Kirchhoff (LCK), qui stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud est nulle. En régime sinusoïdal, on applique cette loi en utilisant les phaseursUn nombre complexe qui représente l'amplitude et la phase d'une sinusoïde. Il permet de transformer les équations différentielles en équations algébriques. de courant et les admittances.

1. Impédances et Admittances Complexes
Chaque composant passif est représenté par son impédance complexe \(\underline{Z}\) :

  • Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
  • Inductance : \(\underline{Z}_L = jL\omega\)
  • Capacité : \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}\)
L'admittance \(\underline{Y}\) est l'inverse de l'impédance : \(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\).

2. Loi des Nœuds en formalisme complexe
Pour un nœud 'k' quelconque, la LCK s'écrit : \(\sum \underline{I}_{\text{entrant}} = 0\). En utilisant les potentiels de nœuds, l'équation pour un nœud \(k\) est : \[ \underline{V}_k \cdot \sum_{\substack{i \\ i \neq k}} \underline{Y}_{ki} - \sum_{\substack{j \\ j \neq k}} \underline{V}_j \cdot \underline{Y}_{kj} = \sum \underline{I}_{\text{sources vers k}} \] Où \(\underline{Y}_{ki}\) est l'admittance de la branche entre le nœud \(k\) et le nœud \(i\), et \(\underline{I}_{\text{sources vers k}}\) est la somme des courants des sources connectées au nœud \(k\).

Correction : Analyse de Circuit RLC par la Méthode des Nœuds

Question 1 : Calcul des impédances complexes

Principe (le concept physique)

Pour analyser un circuit en régime sinusoïdal, on quitte le domaine temporel pour le domaine fréquentiel. Chaque composant (résistance, inductance, capacité) s'oppose au passage du courant d'une manière qui dépend de la fréquence. Cette opposition est appelée "impédance". C'est une généralisation de la résistance pour les courants alternatifs.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'impédance, notée \(\underline{Z}\), est un nombre complexe. Sa partie réelle \(R\) représente la dissipation d'énergie (chaleur), et sa partie imaginaire \(X\), appelée réactance, représente l'énergie stockée et restituée par les composants (inductances et capacités). Pour une inductance, la réactance est positive (\(X_L = L\omega\)), tandis que pour une capacité, elle est négative (\(X_C = -1/C\omega\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape est toujours la même : convertir toutes les valeurs des composants en impédances complexes à la pulsation \(\omega\) donnée. Soyez particulièrement attentif aux unités : les millihenrys (mH) et microfarads (µF) doivent être convertis en Henrys (H) et Farads (F) avant tout calcul.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de calcul d'impédance sont des piliers fondamentaux de l'électrotechnique, définis et utilisés dans toutes les normes internationales, comme celles de la Commission Électrotechnique Internationale (CEI).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédance d'une résistance

\[ \underline{Z}_R = R \]

Impédance d'une inductance

\[ \underline{Z}_L = jL\omega \]

Impédance d'une capacité

\[ \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les composants du circuit (R, L, C) sont considérés comme idéaux et linéaires.
  • Le circuit est en régime sinusoïdal permanent, ce qui signifie que les phénomènes transitoires de démarrage se sont estompés.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(R_1 = 5 \, \Omega\) ; \(R_2 = 10 \, \Omega\)
  • \(L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}\)
  • \(C = 25 \, \mu\text{F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F}\)
  • \(\omega = 1000 \text{ rad/s}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Notez que lorsque \(\omega = 1000\), les préfixes "milli" (\(10^{-3}\)) et "kilo" (\(10^3\)) s'annulent. Ainsi, pour \(L = 10 \text{ mH}\), \(L\omega = 10 \times 10^{-3} \times 1000 = 10\). De même, pour \(C = 25 \, \mu\text{F}\), \(C\omega = 25 \times 10^{-6} \times 1000 = 0.025\).

Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec composants symboliques
R₁, L, C, R₂
Calcul(s) (l'application numérique)

Impédance de R₁ et R₂

\[ \underline{Z}_{\text{R1}} = 5 \, \Omega \quad ; \quad \underline{Z}_{\text{R2}} = 10 \, \Omega \]

Impédance de L

\[ \begin{aligned} \underline{Z}_L &= j \times (10 \times 10^{-3}) \times 1000 \\ &= j10 \, \Omega \end{aligned} \]

Impédance de C

\[ \begin{aligned} \underline{Z}_C &= \frac{1}{j \times (25 \times 10^{-6}) \times 1000} \\ &= \frac{1}{j 0.025} \\ &= -j40 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec impédances complexes
5Ω, j10Ω, -j40Ω, 10Ω
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les résultats montrent que les résistances ont une impédance purement réelle. L'inductance a une impédance imaginaire positive, ce qui signifie qu'elle s'oppose aux variations de courant. La capacité a une impédance imaginaire négative, s'opposant aux variations de tension. À cette fréquence, la capacité a une impédance quatre fois plus grande en magnitude que l'inductance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les unités (mH, µF) en unités de base (H, F). Une autre erreur est d'oublier l'opérateur \(j\) pour les inductances et capacités, ou de se tromper dans son signe (\(j\) pour L, \(-j\) pour C).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'impédance d'une inductance augmente avec la fréquence.
  • L'impédance d'une capacité diminue avec la fréquence.
  • L'impédance d'une résistance est indépendante de la fréquence.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'impédance a été introduit par Oliver Heaviside en 1886. En utilisant les nombres complexes, il a transformé des équations différentielles complexes (dans le domaine temporel) en simples équations algébriques (dans le domaine fréquentiel), simplifiant radicalement l'analyse des circuits AC.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'impédance d'une inductance est-elle \(jL\omega\) ?

Cela vient de la relation tension-courant \(v(t) = L \frac{di(t)}{dt}\). En régime sinusoïdal, la dérivée d'une sinusoïde est une autre sinusoïde déphasée de +90°, ce qui correspond à une multiplication par \(j\) dans le domaine complexe.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\(\underline{Z}_{\text{R1}} = 5 \, \Omega\) ; \(\underline{Z}_{\text{R2}} = 10 \, \Omega\) ; \(\underline{Z}_L = j10 \, \Omega\) ; \(\underline{Z}_C = -j40 \, \Omega\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Recalculez l'impédance de l'inductance L si la pulsation \(\omega\) était de 2000 rad/s.

Question 2 : Écriture des équations aux nœuds

Principe (le concept physique)

Le principe fondamental est la conservation de la charge électrique. La Loi des Courants de Kirchhoff (LCK) stipule qu'à tout instant, la somme des courants qui arrivent à un point de connexion (un nœud) doit être égale à la somme des courants qui en repartent. Il n'y a pas d'accumulation de charges dans un nœud.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans la méthode des potentiels aux nœuds, on applique la LCK à chaque nœud dont le potentiel est inconnu. On exprime chaque courant de branche en fonction des potentiels des nœuds à ses extrémités et de l'admittance de la branche, en utilisant la loi d'Ohm généralisée : \(\underline{I} = (\underline{V}_{\text{départ}} - \underline{V}_{\text{arrivée}}) \cdot \underline{Y}_{\text{branche}}\). L'utilisation des admittances (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)) est préférable car elle évite les fractions.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La méthode est systématique : 1. Choisissez un nœud de référence (la masse, potentiel 0). 2. Identifiez les autres nœuds principaux (\(N-1\) équations pour \(N\) nœuds). 3. Pour chaque nœud, écrivez que la somme des courants qui en sortent est nulle. Soyez très rigoureux avec les signes : un courant de source est positif s'il entre dans le nœud, négatif s'il en sort.

Normes (la référence réglementaire)

La Loi des Courants de Kirchhoff est, avec la loi des tensions, l'une des deux lois fondamentales sur lesquelles repose toute l'analyse des circuits électriques. Elle est universelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un nœud \(\underline{V}_k\), l'équation générale est :

\[\underline{V}_k \left( \sum \underline{Y}_{\text{connectées à k}} \right) - \sum \left( \underline{V}_{\text{voisin}} \cdot \underline{Y}_{\text{commune}} \right) = \sum \underline{I}_{\text{sources entrant dans k}}\]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le nœud M est la référence de potentiel, \(\underline{V}_M = 0\text{ V}\).
  • Les fils de connexion ont une impédance nulle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\underline{Y}_{\text{R1}} = 0.2 \, \text{S}\)
  • \(\underline{Y}_{\text{R2}} = 0.1 \, \text{S}\)
  • \(\underline{Y}_{L} = -j0.1 \, \text{S}\)
  • \(\underline{Y}_{C} = j0.025 \, \text{S}\)
  • \(\underline{E} = 10\text{ V}\) ; \(\underline{I}_s = j2\text{ A}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour le nœud A, la somme des admittances connectées est \(\underline{Y}_{\text{R1}} + \underline{Y}_{\text{R2}} + \underline{Y}_{L}\). L'admittance commune avec le voisin B est \(\underline{Y}_{\text{R2}}\). La source de tension est traitée comme une source de courant équivalente \(\underline{E} \cdot \underline{Y}_{\text{R1}}\) entrant dans le nœud.

Schéma (Avant les calculs)
Courants sortant des nœuds A et B
I₁I_LI₂I₂I_CI_sAB
Calcul(s) (l'application numérique)

Mise en équation du nœud A

\[ \begin{aligned} \frac{\underline{V}_A - \underline{E}}{\underline{Z}_{\text{R1}}} + \frac{\underline{V}_A}{\underline{Z}_L} + \frac{\underline{V}_A - \underline{V}_B}{\underline{Z}_{\text{R2}}} &= 0 \\ \underline{V}_A (\underline{Y}_{\text{R1}} + \underline{Y}_L + \underline{Y}_{\text{R2}}) - \underline{V}_B \underline{Y}_{\text{R2}} &= \underline{E} \underline{Y}_{\text{R1}} \\ \underline{V}_A (0.2 - j0.1 + 0.1) - \underline{V}_B (0.1) &= 10 \times 0.2 \\ \underline{V}_A (0.3 - j0.1) - 0.1 \underline{V}_B &= 2 \quad \mathbf{(\text{Eq. 1})} \end{aligned} \]

Mise en équation du nœud B

\[ \begin{aligned} \frac{\underline{V}_B - \underline{V}_A}{\underline{Z}_{\text{R2}}} + \frac{\underline{V}_B}{\underline{Z}_C} - \underline{I}_s &= 0 \\ -\underline{V}_A \underline{Y}_{\text{R2}} + \underline{V}_B (\underline{Y}_{\text{R2}} + \underline{Y}_C) &= \underline{I}_s \\ -\underline{V}_A (0.1) + \underline{V}_B (0.1 + j0.025) &= j2 \\ -0.1 \underline{V}_A + (0.1 + j0.025) \underline{V}_B &= j2 \quad \mathbf{(\text{Eq. 2})} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La formulation des équations ne change pas le schéma physique, mais on peut le représenter comme un système matriciel.

\[ \begin{pmatrix} 0.3 - j0.1 & -0.1 \\ -0.1 & 0.1 + j0.025 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline{V}_A \\ \underline{V}_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ j2 \end{pmatrix} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé un problème de circuit complexe en un système de deux équations linéaires à deux inconnues. C'est le principal avantage de la méthode des nœuds : elle fournit une procédure systématique pour arriver à un système mathématique solvable, quelle que soit la complexité du circuit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est la gestion des signes. En appliquant la convention "somme des courants sortants = 0", un courant de source qui entre dans le nœud (comme \(\underline{I}_s\)) doit être mis au second membre de l'équation avec un signe positif. De même, la source de tension est convertie en une source de courant \(\underline{E}/\underline{Z}_{\text{R1}}\) qui "pousse" vers le nœud A.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La structure de l'équation pour un nœud est toujours la même : (Potentiel du nœud) x (Somme des admittances qui y sont connectées) - (Somme des [Potentiel voisin x Admittance commune]) = (Somme des courants des sources entrant dans le nœud).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode des nœuds est la base de la plupart des logiciels de simulation de circuits électroniques, comme SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis). Ces logiciels résolvent numériquement des systèmes matriciels bien plus grands, mais basés sur les mêmes principes de la LCK.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi est-il plus simple d'utiliser les admittances ?

L'utilisation des admittances permet de poser les équations directement sous la forme d'une somme de produits, comme montré dans la section "Formule(s)". Cela évite de manipuler des fractions complexes lors de la mise en équation, ce qui réduit les risques d'erreur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les deux équations du système sont :
1) \(\underline{V}_A (0.3 - j0.1) - 0.1 \underline{V}_B = 2\)
2) \(-0.1 \underline{V}_A + (0.1 + j0.025) \underline{V}_B = j2\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Comment l'équation 2 changerait-elle si la source de courant \(\underline{I}_s\) sortait du nœud B au lieu d'y entrer ?

Question 3 : Résolution du système et calcul de \(\underline{V}_A\) et \(\underline{V}_B\)

Principe (le concept physique)

La résolution du système d'équations consiste à trouver la seule et unique paire de potentiels \(\underline{V}_A\) et \(\underline{V}_B\) qui satisfait simultanément la loi des courants aux deux nœuds. Physiquement, cela correspond à l'état d'équilibre stable du circuit en régime sinusoïdal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un système de N équations linéaires à N inconnues peut être résolu par plusieurs méthodes mathématiques. La substitution consiste à isoler une variable dans une équation et à la remplacer dans l'autre. La méthode de Cramer utilise les déterminants et est particulièrement efficace pour les systèmes 2x2 ou 3x3. Pour des systèmes plus grands, des méthodes numériques comme l'élimination de Gauss-Jordan sont utilisées.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La manipulation des nombres complexes est la principale difficulté ici. Je vous conseille de maîtriser la conversion entre la forme rectangulaire (\(a+jb\)) et la forme polaire (\(M \angle \theta\)). La multiplication et la division sont beaucoup plus simples en forme polaire, tandis que l'addition et la soustraction ne peuvent se faire qu'en forme rectangulaire.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes de résolution de systèmes linéaires sont des outils mathématiques standards et ne dépendent pas de normes d'ingénierie spécifiques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un système \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_A \\ V_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \), les solutions par la méthode de Cramer sont :

Déterminant principal du système

\[ \Delta = ad - bc \]

Solution pour \(\underline{V}_A\)

\[ \underline{V}_A = \frac{ed - bf}{\Delta} \]

Solution pour \(\underline{V}_B\)

\[ \underline{V}_B = \frac{af - ec}{\Delta} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le déterminant du système \(\Delta\) est non nul, ce qui garantit l'existence d'une solution unique. C'est toujours le cas pour un circuit passif bien posé.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
\[ a = 0.3 - j0.1 \quad b = -0.1 \quad e = 2 \]\[ c = -0.1 \quad d = 0.1 + j0.025 \quad f = j2 \]
Astuces (Pour aller plus vite)

Utilisez une calculatrice scientifique capable de gérer les nombres complexes. Cela élimine le risque d'erreurs de calcul manuel, qui sont très fréquentes. Si vous le faites à la main, calculez d'abord le déterminant \(\Delta\), puis les numérateurs pour \(\underline{V}_A\) et \(\underline{V}_B\) séparément avant d'effectuer la division finale.

Schéma (Avant les calculs)

Le système d'équations est déjà la représentation la plus claire avant le calcul.

\[ \begin{pmatrix} 0.3 - j0.1 & -0.1 \\ -0.1 & 0.1 + j0.025 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline{V}_A \\ \underline{V}_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ j2 \end{pmatrix} \]
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du déterminant \(\Delta\)

\[ \begin{aligned} \Delta &= (0.3 - j0.1)(0.1 + j0.025) - (-0.1)(-0.1) \\ &= (0.03 + j0.0075 - j0.01 - j^2 0.0025) - 0.01 \\ &= 0.03 - j0.0025 + 0.0025 - 0.01 \\ &= 0.0225 - j0.0025 \end{aligned} \]

Calcul de \(\underline{V}_A\)

\[ \begin{aligned} \underline{V}_A &= \frac{2(0.1 + j0.025) - (-0.1)(j2)}{\Delta} \\ &= \frac{0.2 + j0.05 + j0.2}{0.0225 - j0.0025} \\ &= \frac{0.2 + j0.25}{0.0225 - j0.0025} \\ &= \frac{0.320 \angle 51.34^\circ}{0.0226 \angle -6.34^\circ} \approx 14.16 \angle 57.68^\circ \text{ V} \end{aligned} \]

Calcul de \(\underline{V}_B\)

\[ \begin{aligned} \underline{V}_B &= \frac{(0.3 - j0.1)(j2) - 2(-0.1)}{\Delta} \\ &= \frac{j0.6 - j^2 0.2 + 0.2}{0.0225 - j0.0025} \\ &= \frac{0.4 + j0.6}{0.0225 - j0.0025} \\ &= \frac{0.721 \angle 56.31^\circ}{0.0226 \angle -6.34^\circ} \approx 31.90 \angle 62.65^\circ \text{ V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel (Phasoriel) des Potentiels
ReImV_AV_B
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les résultats sont des nombres complexes (phaseurs). Le module (ex: 14.16 V) représente l'amplitude de la tension sinusoïdale au nœud A. L'argument (ex: 57.68°) représente le déphasage de cette tension par rapport à la source de référence \(\underline{E}\). Les deux tensions sont en avance de phase sur la source \(\underline{E}\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La division de nombres complexes est une source majeure d'erreurs. \(\frac{a+jb}{c+jd} \neq \frac{a}{c} + j\frac{b}{d}\). Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (\(c-jd\)) ou, plus simplement, passer en forme polaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La résolution d'un système d'équations est une étape purement mathématique, mais le résultat a une signification physique profonde : c'est l'état d'équilibre du circuit. Maîtrisez la méthode de Cramer pour les systèmes 2x2.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le mathématicien suisse Gabriel Cramer a publié sa règle pour résoudre les systèmes d'équations en 1750. Bien que d'autres l'aient peut-être découverte avant, c'est son nom qui est resté attaché à cette méthode élégante et puissante.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie physiquement l'angle de phase ?

L'angle de phase représente le décalage temporel entre deux ondes sinusoïdales. Un angle positif de 57.68° signifie que la tension \(v_A(t)\) atteint son maximum avant la tension de référence \(e(t)\). Le décalage temporel \(\Delta t\) est donné par \(\Delta t = \text{phase (rad)} / \omega\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\(\underline{V}_A \approx 14.16 \angle 57.68^\circ \text{ V}\)
\(\underline{V}_B \approx 31.90 \angle 62.65^\circ \text{ V}\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Sans refaire tout le calcul, si la source de tension \(\underline{E}\) était de \(20 \angle 0^\circ \text{ V}\) (le double), que deviendrait le terme "2" dans la matrice de la source ?

Question 4 : Calcul du courant \(\underline{I}_L\)

Principe (le concept physique)

Une fois que les potentiels en chaque point du circuit sont connus, on peut déterminer le courant circulant dans n'importe quelle branche en appliquant la loi d'Ohm généralisée. Le courant est simplement la conséquence de la différence de potentiel aux bornes d'un composant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi d'Ohm en régime sinusoïdal s'écrit \(\underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I}\). Par conséquent, le courant \(\underline{I}\) dans une branche est le rapport de la différence de potentiel \(\Delta \underline{V}\) entre ses extrémités sur l'impédance \(\underline{Z}\) de la branche : \(\underline{I} = \Delta \underline{V} / \underline{Z}\). Le sens du courant est du potentiel le plus élevé vers le potentiel le plus bas.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour trouver le courant dans une branche reliant deux nœuds X et Y, calculez toujours \(\Delta \underline{V} = \underline{V}_X - \underline{V}_Y\). Le résultat \(\underline{I} = (\underline{V}_X - \underline{V}_Y)/\underline{Z}\) vous donnera le courant circulant de X vers Y. Si le résultat a un angle proche de 180°, cela signifie que le courant circule en réalité de Y vers X.

Normes (la référence réglementaire)

La loi d'Ohm, formulée par Georg Ohm, est la relation la plus fondamentale en génie électrique, valable en courant continu comme en régime sinusoïdal avec les impédances.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \underline{I}_{\text{branche}} = \frac{\underline{V}_{\text{départ}} - \underline{V}_{\text{arrivée}}}{\underline{Z}_{\text{branche}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les valeurs des potentiels \(\underline{V}_A\) et de l'impédance \(\underline{Z}_L\) calculées précédemment sont correctes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\underline{V}_A \approx 14.16 \angle 57.68^\circ \text{ V}\)
  • \(\underline{V}_M = 0 \text{ V}\) (par définition de la référence)
  • \(\underline{Z}_L = j10 \, \Omega = 10 \angle 90^\circ \, \Omega\)
Astuces (Pour aller plus vite)

La division par \(j10\) est très simple en polaire. Diviser par \(j\) (qui est \(1 \angle 90^\circ\)) revient à soustraire 90° à la phase. Donc, il suffit de diviser le module par 10 et de soustraire 90° à l'angle de \(\underline{V}_A\).

Schéma (Avant les calculs)
Branche de l'inductance
V_AZ_LV_M = 0
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du courant \(\underline{I}_L\)

\[ \begin{aligned} \underline{I}_L &= \frac{\underline{V}_A - \underline{V}_M}{\underline{Z}_L} = \frac{\underline{V}_A}{j10} \\ &= \frac{14.16 \angle 57.68^\circ}{10 \angle 90^\circ} \\ &= \frac{14.16}{10} \angle (57.68^\circ - 90^\circ) \\ &= 1.416 \angle -32.32^\circ \text{ A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel pour la branche L
ReImV_AI_L90°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant \(\underline{I}_L\) a une amplitude de 1.416 A et est en retard de 32.32° par rapport à la source de tension de référence. Fait important, on peut vérifier que \(\underline{I}_L\) est en retard de 90° sur \(\underline{V}_A\) (\(57.68^\circ - (-32.32^\circ) \approx 90^\circ\)), ce qui est la propriété fondamentale d'une inductance : le courant est toujours en quadrature retard sur la tension à ses bornes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous trompez pas dans la différence de potentiel. Le courant de A vers M est \(\underline{V}_A - \underline{V}_M\). Le courant de M vers A serait \(\underline{V}_M - \underline{V}_A\), soit l'opposé. Assurez-vous également d'utiliser l'impédance et non l'admittance pour ce calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Une fois les potentiels de nœuds connus, n'importe quelle tension ou courant dans le circuit peut être déterminé par de simples applications de la loi d'Ohm généralisée ou des lois de Kirchhoff. La résolution des potentiels de nœuds est l'étape la plus difficile ; le reste en découle directement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette relation de déphasage de 90° dans les inductances et capacités est à l'origine de la notion de "puissance réactive". C'est une puissance qui est échangée entre la source et le composant à chaque cycle sans être consommée, contrairement à la "puissance active" dissipée par une résistance.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment convertir le résultat en expression temporelle \(i_L(t)\) ?

On utilise la transformation inverse : \(i_L(t) = \text{Module} \times \sqrt{2} \times \cos(\omega t + \text{Phase})\). Ici, cela donnerait \(i_L(t) = 1.416 \sqrt{2} \cos(1000t - 32.32^\circ)\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\[ \underline{I}_L \approx 1.416 \angle -32.32^\circ \text{ A} \]
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Calculez le courant \(\underline{I}_C\) qui traverse le condensateur C (de B vers M).

Outil Interactif : Influence de la Fréquence

Utilisez le simulateur ci-dessous pour observer comment l'amplitude (le module) du potentiel au nœud A, \(|\underline{V}_A|\), change lorsque vous variez la fréquence du circuit. Notez comment les impédances de l'inductance et de la capacité sont affectées.

Paramètres d'Entrée
159 Hz
Résultats Clés
Impédance L, \(|\underline{Z}_L|\) (\(\Omega\)) -
Impédance C, \(|\underline{Z}_C|\) (\(\Omega\)) -
Potentiel Nœud A, \(|\underline{V}_A|\) (V) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de l'admittance ?

2. Si la fréquence d'un circuit augmente, que devient l'impédance d'une capacité idéale ?

3. Dans la méthode des potentiels aux nœuds, on applique directement :

Admittance (\(\underline{Y}\))
Inverse de l'impédance (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)), exprimée en Siemens (S). C'est une mesure de la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant.
Impédance (\(\underline{Z}\))
Opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. C'est un nombre complexe qui généralise la notion de résistance.
Nœud
Point de connexion dans un circuit où au moins trois conducteurs se rencontrent.
Phaseur
Nombre complexe représentant une grandeur sinusoïdale. Il contient l'information sur l'amplitude (module) et la phase (argument) de la sinusoïde.
Régime sinusoïdal
État d'un circuit où toutes les tensions et tous les courants sont des fonctions sinusoïdales du temps, à la même fréquence que les sources.
Exercice : Méthode des Potentiels aux Nœuds

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