Analyse de Circuits Résistifs
1. Présentation du Problème et Contexte Physique
1.1 Définition du Sujet
Ce dossier technique traite de l'étude théorique d'un réseau résistif tridimensionnel. Le système étudié est un cube parfait dont l'armature est constituée de conducteurs ohmiques. Ce problème, souvent qualifié de "classique" dans l'enseignement supérieur (CPGE, Licence de Physique, Écoles d'Ingénieurs), est l'archétype des problèmes qui ne peuvent être résolus par une simple réduction série/parallèle intuitive.
La configuration spatiale est la suivante :
Nous considérons une structure cubique comportant 8 sommets (nœuds) et 12 arêtes (branches). Chaque arête est matérialisée par un conducteur ohmique (résistance) de valeur strictement identique, notée \(R\).
1.2 Problématique Scientifique
L'objectif est de déterminer la résistance équivalente de Thévenin (\(R_{\text{eq}}\)) vue entre deux sommets diamétralement opposés du cube (par exemple, entre le sommet d'entrée A [coordonnées 0,0,0] et le sommet de sortie G [coordonnées 1,1,1]).
Pourquoi ce problème est-il complexe ?
Contrairement aux circuits planaires usuels, le cube ne présente pas de branches qui soient "simplement" en série ou en parallèle au premier regard. Le courant injecté en A se divise, circule dans les trois dimensions de l'espace à travers de multiples chemins interconnectés, avant de converger en G. La résolution brute par les lois de Kirchhoff (Loi des nœuds et des mailles) mènerait à un système d'équations linéaires lourd (matrice 8x8). L'enjeu de cette étude est de démontrer comment l'exploitation des symétries géométriques et électriques permet de réduire ce problème complexe en un schéma élémentaire résoluble mentalement.
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⚡ Nature des Composants
Dipôles passifs linéaires invariants par le temps (LTI).
Le système est purement résistif (partie réelle de l'impédance uniquement). Il dissipe de l'énergie sous forme thermique (Effet Joule) sans stockage d'énergie magnétique ou électrostatique. La relation tension-courant est strictement linéaire : \(u(t) = R \cdot i(t)\).
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📐 Topologie & Théorie des Graphes
Graphe cubique 3-régulier non orienté.
Le circuit correspond aux arêtes d'un hexaèdre régulier. Il possède 8 sommets (degré 3 : chaque nœud connecte 3 branches) et 12 arêtes. C'est une structure hautement symétrique appartenant au groupe de symétrie \(O_h\) (48 isométries).
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🔍 Méthode Analytique Privilégiée
Réduction par Équipotentialité.
L'approche matricielle (Lois de Kirchhoff systématiques) étant trop lourde (système 8x8), on exploite l'invariance par rotation autour de la grande diagonale pour identifier les nœuds de même potentiel et les fusionner virtuellement.
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🎯 Grandeur Cible
Résistance de Thévenin (\(R_{\text{eq}}\)).
On cherche la valeur du dipôle unique équivalent qui, placé entre A et G, consommerait la même puissance active que l'ensemble du réseau pour un même courant total \(I\).
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✅ Pré-requis Fondamentaux
Électrocinétique DC & Raisonnement Spatial.
Maîtrise de la Loi d'Ohm locale et globale. Compréhension de la conservation de la charge (Nœuds) et de l'énergie (Mailles). Capacité à projeter une forme 3D en un graphe 2D.
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⚠️ Point Critique (Difficulté)
La difficulté majeure réside dans le saut conceptuel : accepter que des points physiquement distincts dans l'espace soient électriquement identiques (même potentiel) uniquement par argument de symétrie, sans calcul préalable.
Ce problème classique teste votre capacité à visualiser les potentiels dans l'espace et à utiliser les propriétés de symétrie pour simplifier un circuit qui semble complexe au premier abord.
Note Pédagogique : "Ne tentez pas d'appliquer directement les formules série/parallèle classiques ici. Le circuit est maillé de manière complexe. La clé réside dans l'identification des nœuds équipotentiels."
2. Objectifs Pédagogiques et Compétences Visées
Cet exercice dépasse le simple cadre du calcul de résistances. Il est conçu pour développer une intuition physique profonde sur la topologie des circuits et l'exploitation des invariants. À l'issue de ce module, l'apprenant devra maîtriser les compétences suivantes :
A. Analyse Topologique et Symétries
La capacité à visualiser et simplifier la géométrie d'un problème avant toute mise en équation.
- Détection des Invariants : Savoir identifier l'axe de symétrie principal d'un circuit (ici la diagonale AG) et repérer les éléments invariants par rotation ou réflexion.
- Identification des Plans Équipotentiels : Comprendre pourquoi des points situés à des positions géométriquement équivalentes par rapport aux bornes d'alimentation se trouvent nécessairement au même potentiel électrique.
- Réduction Dimensionnelle : Être capable de projeter mentalement ou graphiquement une structure 3D complexe (le cube) en un graphe 2D planaire plus simple (schéma en couches) sans perdre d'information électrique.
B. Méthodologie de Simplification des Circuits
L'application rigoureuse des théorèmes de réduction pour transformer un problème complexe en sous-problèmes élémentaires.
- Technique des Nœuds Fictifs : Maîtriser la méthode consistant à connecter virtuellement des nœuds équipotentiels (court-circuit virtuel). Comprendre que cette opération ne modifie pas les courants dans les branches, car aucun courant ne circule dans le fil de connexion (\(I = \Delta V / R = 0/R = 0\)).
- Regroupement Parallèle : Savoir recalculer la résistance équivalente d'un groupe d'arêtes connectées entre deux plans équipotentiels (ex: 3 résistances \(R\) en parallèle donnent \(R/3\)).
- Modélisation par Blocs : Être capable de redessiner le schéma électrique final sous la forme d'une simple chaîne de dipôles équivalents en série.
C. Maîtrise des Lois Fondamentales (DC)
La consolidation des acquis sur les lois de Kirchhoff dans un contexte non trivial.
- Conservation de la Charge (Loi des Nœuds) : Appliquer la division des courants non pas par des formules toutes faites (diviseur de courant), mais par un raisonnement physique sur la répartition des flux (ex: "1 courant se divise en 3 tuyaux identiques").
- Additivité des Tensions (Loi des Mailles) : Savoir sommer les chutes de potentiel le long d'un chemin unique traversant le circuit, en comprenant que la tension totale est indépendante du chemin choisi (propriété conservative du champ électrique).
- Bilan de Puissance : Vérifier la cohérence d'un résultat en comparant la puissance totale dissipée par le circuit complexe (\(\sum R_i I_i^2\)) avec celle du modèle équivalent (\(R_{\text{eq}} I_{\text{tot}}^2\)).
3. Données Techniques Approfondies et Hypothèses de Modélisation
Cette étude porte sur la caractérisation d'un réseau résistif spatial. Contrairement aux circuits planaires classiques, la topologie cubique impose une analyse tridimensionnelle des potentiels. Les calculs reposent sur les lois fondamentales de l'électrocinétique en Régime Stationnaire (DC), en supposant l'établissement complet des champs électriques et magnétiques.
SPÉCIFICATIONS TECHNIQUES - COMPOSANTS PASSIFS
SECTION 1 : CARACTÉRISTIQUES DES RÉSISTANCES (R1 à R12)
Le circuit est constitué d'un assemblage de 12 dipôles ohmiques discrets.
• Technologie : Film Métallique (Metal Film) pour haute stabilité.
• Valeur Nominale : \(R = 1.000 \text{ k}\Omega\) (Série E96).
• Tolérance : ±0.1% (Classe de précision laboratoire).
• Puissance Nominale (\(P_n\)) : \(0.25 \text{ W}\) à \(70^\circ\text{C}\).
• Tension Limite : \(250 \text{ V}_{\text{rms}}\).
• Dérive Thermique (TCR) : \(\pm 15 \text{ ppm}/^\circ\text{C}\) (Négligée dans le modèle théorique).
SECTION 2 : SOURCE D'ALIMENTATION (GÉNÉRATEUR)
Modélisation par une source de courant idéale (Source de Norton).
• Intensité de consigne : \(I_{\text{source}} = 1.00 \text{ mA}\) (Réglable).
• Impédance de sortie : \(Z_{\text{out}} \to \infty\) (Courant constant quelle que soit la charge).
• Mode de connexion : Injection ponctuelle aux sommets opposés (Diagonale Spatiale).
SECTION 3 : CONDITIONS LIMITES ET ENVIRONNEMENT
• Température ambiante : \(T_{\text{amb}} = 25^\circ\text{C} \pm 2^\circ\text{C}\).
• Fréquence du signal : \(f = 0 \text{ Hz}\) (DC). Effets capacitifs parasites (\(C_p\)) et inductifs (\(L_s\)) des connexions considérés nuls.
• Méthode de mesure : Kelvin 4 fils pour éliminer la résistance des contacts.
A. Cadre Théorique et Contraintes Physiques
Pour garantir la validité du modèle mathématique \(U=RI\), nous posons les hypothèses suivantes, communément admises en électrocinétique théorique :
- Linéarité Parfaite : Les matériaux conducteurs suivent la loi d'Ohm locale \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\). Aucune non-linéarité due à l'échauffement (effet Joule) n'est prise en compte (hypothèse de petits signaux).
- Régime Quasi-Stationnaire (ARQS) : Les dimensions du circuit (\(L \approx 10 \text{ cm}\)) sont négligeables devant la longueur d'onde du signal (ici infinie en DC). La propagation est instantanée.
- Nœuds Ponctuels : Les jonctions (sommets) sont mathématiquement ponctuelles. Il n'y a pas de chute de tension ou de résistance de contact aux soudures.
- Symétrie Structurelle : La géométrie est parfaite. Aucune asymétrie de câblage ne vient perturber la répartition théorique des courants.
B. Grandeurs Dimensionnelles du Problème
| Grandeur Physique | Notation Symbolique | Valeur de Référence | Unité SI | Rôle dans le Modèle |
|---|---|---|---|---|
| Résistance d'arête | \(R\) | \(1000\) | \(\Omega\) (Ohms) | Paramètre constant du système passif. |
| Courant d'injection | \(I_{\text{tot}}\) | \(1 \times 10^{-3}\) | A (Ampères) | Excitation (Input) du système. |
| Tension aux bornes | \(U_{\text{AG}}\) | Calculée | V (Volts) | Réponse (Output) du système. |
| Puissance dissipée | \(P_{\text{joule}}\) | Calculée | W (Watts) | Contrainte thermique. |
Vue Topologique 2D (Graphe Planaire)
Analyse Graphique : Le cube peut être représenté comme un graphe planaire (sans croisement d'arêtes) en le projetant sur un plan (diagramme de Schlegel). Cette vue met en évidence les "couches" successives de nœuds depuis l'entrée A (centre ou périphérie) vers la sortie G, facilitant la compréhension des distances électriques.
Schéma Électrique Équivalent (Simplifié)
Modèle Réduit : Grâce aux symétries, le réseau complexe 3D se réduit électriquement à trois résistances fictives montées en série. Ce schéma est l'objectif final de la démonstration mathématique à suivre.
Modélisation du Flux de Courant
Note sur la répartition : Ce schéma fonctionnel montre comment le courant global "voit" le cube : comme une succession de trois "boîtes noires" (Groupes 1, 2 et 3) à traverser séquentiellement.
C. Bilan Structurel des Nœuds et Branches (Théorie des Graphes) :
Une analyse préliminaire des nœuds du réseau permet de classer les sommets par "distance électrique" par rapport à l'entrée A.
| Classe de Nœuds | Sommets Concernés | Distance Graphique (Sauts) | Nombre de Nœuds | Potentiel Théorique |
|---|---|---|---|---|
| Niveau 0 (Source) | A | 0 | 1 | \(V_A\) (Max) |
| Niveau 1 (Adjacents) | B, D, E | 1 | 3 | \(V_1\) (Identique) |
| Niveau 2 (Intermédiaires) | C, F, H | 2 | 3 | \(V_2\) (Identique) |
| Niveau 3 (Puits) | G | 3 | 1 | \(V_G\) (Min) |
| Bilan Total | - | 8 Sommets | - | |
*Note : La "distance graphique" correspond au nombre minimal d'arêtes à parcourir depuis la source A.
D. Stratégie de Résolution (Méthodologie)
Pour résoudre ce problème de manière élégante et éviter la lourdeur d'un système de 8 équations à 8 inconnues (méthode des nœuds classique), nous appliquerons la méthodologie suivante :
- Analyse des symétries : Identifier les plans de symétrie du cube passant par l'axe AG pour prouver l'équipotentialité des nœuds de même rang.
- Répartition des courants (Loi des nœuds) : Suivre le cheminement du courant \(I_{\text{tot}}\) depuis l'entrée et observer sa division aux différents embranchements.
- Calcul des chutes de tension (Loi d'Ohm) : Déterminer la différence de potentiel \(U = R \cdot i\) sur chaque arête d'un chemin unique allant de A à G.
- Sommation (Loi des mailles) : Additionner ces chutes de tension partielles pour obtenir la tension totale \(U_{\text{AG}}\).
- Identification : Comparer le résultat à la forme macroscopique \(U_{\text{AG}} = R_{\text{eq}} \cdot I_{\text{tot}}\) pour extraire \(R_{\text{eq}}\).
4. Fondements Théoriques et Physiques
La résolution de ce problème repose sur trois piliers de l'électrocinétique. Il est crucial de comprendre non seulement leurs formules, mais aussi leur origine physique et leurs limites de validité dans le cadre de l'ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires).
A. La Loi d'Ohm : Une approche microscopique
Bien que souvent résumée par \(U=RI\), la loi d'Ohm est une loi phénoménologique statistique résultant des interactions microscopiques.
Interprétation Physique :
Dans un conducteur, les électrons libres sont accélérés par le champ électrique \(\vec{E}\). S'ils étaient seuls, leur vitesse augmenterait indéfiniment. En réalité, ils subissent des collisions incessantes avec les ions du réseau cristallin (modèle de Drude). Ces chocs agissent comme une force de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse. La "Résistance" est la mesure macroscopique de cette friction interne.
Formulation Locale (Vectorielle)
Où \(\vec{j}\) est le vecteur densité de courant et \(\sigma\) la conductivité du matériau. En intégrant sur la géométrie du conducteur (longueur \(L\), section \(S\)), on retrouve la loi macroscopique : \[ U_{AB} = \frac{L}{\sigma S} \cdot I = R \cdot I \]
Aspect Énergétique : La résistance transforme de manière irréversible l'énergie potentielle électrostatique des charges en énergie thermique (chaleur). C'est l'Effet Joule, manifestation de l'augmentation de l'entropie du système.
B. Loi des Nœuds (Conservation de la Charge)
Première loi de Kirchhoff, elle découle directement de l'équation de conservation de la charge en électromagnétisme.
Équation de Continuité
En régime stationnaire (DC), la densité de charge \(\rho\) est constante dans le temps (\(\partial \rho / \partial t = 0\)). Le flux du vecteur densité de courant \(\vec{j}\) à travers une surface fermée entourant un nœud est donc nul.
Traduction pour les circuits :
Un nœud est un point mathématique sans dimension physique capable de stocker des charges (pas de capacité parasite). Par conséquent, tout électron qui y entre doit instantanément en sortir par un autre chemin.
Analogie Hydraulique : Un raccord de tuyauterie ne peut ni créer ni détruire de l'eau, ni la stocker. Le débit total entrant égale le débit total sortant.
C. Loi des Mailles (Potentiel Conservatif)
Seconde loi de Kirchhoff, elle exprime le caractère conservatif du champ électrique électrostatique.
Fondement Électromagnétique :
En l'absence de champ magnétique variable (\(\partial \vec{B} / \partial t = \vec{0}\)), l'équation de Maxwell-Faraday se réduit à \(\vec{\text{rot }} \vec{E} = \vec{0}\). Cela implique que le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire \(V\) (\(\vec{E} = -\vec{\text{grad }} V\)).
Conséquence Topologique :
La circulation du champ électrique le long d'une courbe fermée (une maille) est nulle. En termes de circuit, cela signifie que si vous parcourez une boucle fermée et additionnez les variations de potentiel (montées et chutes de tension), le total doit être zéro. Le potentiel électrique est une fonction d'état : sa valeur en un point ne dépend pas du chemin parcouru pour l'atteindre.
Analogie Mécanique : Si vous faites une randonnée en montagne et revenez à votre point de départ, la somme algébrique de tous les dénivelés (montées positives et descentes négatives) est strictement nulle.
D. Le Principe de Curie (Symétrie)
"Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits."
Dans notre problème :
• La Cause : La géométrie du cube (invariante par rotation de 120° autour de la diagonale) et l'injection du courant.
• L'Effet : La distribution des potentiels et des courants dans les branches.
Si deux nœuds B et D sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe d'alimentation, alors l'état électrique en B doit être identique à l'état électrique en D. D'où \(V_B = V_D\). C'est ce principe puissant qui permet de "factoriser" le problème sans calculs.
Correction : Analyse de Circuits Résistifs
Question 1 : Distribution du courant à l'entrée (Nœud A)
Principe et Raisonnement Géométrique
La première étape de la résolution consiste à déterminer comment le courant total \(I_{\text{tot}}\), injecté par le générateur au sommet A, se répartit dans les arêtes adjacentes. Ce problème de répartition ne peut être résolu par les méthodes classiques (diviseur de courant) car nous ne connaissons pas encore la résistance équivalente du reste du circuit.
L'Argument de Symétrie (Le cœur du problème) :
Imaginez que vous êtes un observateur placé sur l'axe de la grande diagonale A-G. Si vous faites tourner le cube sur lui-même de 120° (un tiers de tour), le sommet B prend la place de D, D prend la place de E, et E prend la place de B. Pourtant, pour l'observateur, le cube semble immobile et identique à sa position initiale.
Conséquence Physique : Si la géométrie est indiscernable après rotation, la physique doit l'être aussi. Il est donc impossible que le courant dans la branche AB soit différent de celui dans AD ou AE. S'il était plus fort dans AB, cela briserait la symétrie de rotation. La nature respectant les symétries, les courants sont forcés d'être égaux.
Mini-Cours : La Loi des Nœuds (KCL)
Fondement Théorique : La 1ère loi de Kirchhoff (Kirchhoff's Current Law) est l'expression locale de la conservation de la charge électrique.
Un nœud est un point de connexion sans dimension et sans capacité de stockage.
Analogie : Imaginez un carrefour routier sans parking. Chaque voiture qui entre dans le carrefour doit obligatoirement en sortir immédiatement. Le nombre de voitures entrant par minute est strictement égal au nombre de voitures sortant par minute.
Mathématiquement : \(\sum I_{\text{in}} - \sum I_{\text{out}} = 0\).
Remarque Pédagogique
Attention à l'intuition : On pourrait penser naïvement que le courant "préfère" aller vers le chemin le plus court géométriquement vers la sortie. Or, électriquement, depuis le sommet A, les sommets B, D et E sont tous situés exactement à la même "distance résistive" de la sortie G. Ils sont topologiquement équivalents. Aucun chemin n'est privilégié par rapport aux autres.
Normes et Conventions
L'analyse respecte les conventions internationales pour les schémas électriques :
• Sens conventionnel du courant (IEC 60375) : Du potentiel le plus élevé (+) vers le plus bas (-), c'est-à-dire de A vers B, D, E.
• Notation : Les courants de branche sont notés avec des indices doubles (ex: \(I_{AB}\) pour le courant allant de A vers B).
• Hypothèse de régime : Courant continu (DC), noté en lettres majuscules (\(I\)).
Formule(s)
Mise en équation de la symétrie
1. Écriture de la Loi des Nœuds en A
On pose l'équation de conservation : le courant total injecté par la source se sépare dans les branches connectées.
2. Application de la Symétrie
L'argument de rotation d'ordre 3 autour de l'axe AG impose l'égalité stricte des courants. On introduit une variable commune \(i\) :
3. Résolution Algébrique
On substitue les courants individuels par \(i\) dans l'équation (1) :
Interprétation : Chaque branche partant du sommet A transporte exactement un tiers du courant total, sans exception.
Hypothèses de Modélisation (Limitations)
La validité de ce résultat "simple" (\(I/3\)) repose sur des hypothèses strictes qu'il faut toujours vérifier dans un contexte réel :
- Identité parfaite des composants : On suppose \(R_{AB} = R_{AD} = R_{AE} = R\). Si \(R_{AB}\) valait \(1.01 R\) (tolérance 1%), le courant \(I_{AB}\) serait légèrement plus faible que les autres. Le calcul théorique suppose des composants idéaux.
- Isotropie spatiale : Le cube est géométriquement parfait. Les longueurs de fils sont identiques (donc résistances parasites identiques).
- Absence de champs extérieurs : Pas de champ magnétique variable induisant des courants de Foucault (loi de Lenz) qui briseraient la symétrie en régime variable.
Donnée(s) Numériques
| Paramètre | Symbole | Valeur Typique | Unité | Description |
|---|---|---|---|---|
| Courant Total | \(I_{\text{tot}}\) | 1.0 | A | Source de courant constant (Générateur) |
| Degré du nœud | \(N\) | 3 | - | Nombre d'arêtes connectées au sommet A |
| Symétrie | \(\sigma\) | C3 | - | Axe de rotation d'ordre 3 (Diagonale) |
Astuces de Résolution
Analogie Hydraulique : Imaginez une rivière (le courant principal) qui arrive à un carrefour et se sépare en 3 tuyaux strictement identiques (même diamètre, même longueur, même rugosité de paroi). La mécanique des fluides (perte de charge) impose que le débit d'eau soit exactement le même dans chaque tuyau, soit \(1/3\) du débit total. L'électricité suit la même logique de "moindre action".
Schémas Situation Initiale (Avant Calcul)
Topologie du Nœud A (Entrée)
État initial : Un courant \(I\) arrive, trois chemins inconnus s'offrent à lui.
Structure des Branches de Sortie
Modèle électrique : 3 résistances identiques en parallèle connectées au même potentiel d'entrée.
Calculs Détaillés
Étape A : Traduction de l'Hypothèse de Symétrie
On commence par formaliser mathématiquement l'observation géométrique. Puisque les branches AB, AD et AE sont indiscernables par rotation, elles présentent la même conductance \(G\) :
Égalité des conductances et des courants
Ceci est notre équation (1), issue de la physique du problème.
Étape B : Bilan au Nœud
On applique la loi des nœuds (KCL) en A. La somme des courants sortants égale le courant entrant :
Équation de nœud
Ceci est notre équation (2), issue de la conservation de la charge.
Étape C : Résolution Algébrique
Substitution et Isolation
On injecte l'égalité de l'étape A dans l'équation de l'étape B pour n'avoir plus qu'une seule inconnue (\(I_{\text{branche}}\)) :
Résultat : Le courant dans chacune des trois premières arêtes est exactement le tiers du courant total. Ce résultat servira de base pour l'étape suivante (division au nœud B).
Schémas Validation (Après Calcul)
Flux Divisé (Répartition Validée)
Visualisation des Potentiels
Conséquence : La chute de tension est identique sur les 3 branches (\(U = R \cdot I/3\)).
Réflexions Analytiques
Le fait que les courants soient strictement identiques dans les branches AB, AD et AE a une conséquence majeure sur les potentiels des nœuds d'arrivée. La loi d'Ohm nous dit que la chute de tension \(U\) est égale à \(R \cdot I\).
Calculons le potentiel en B, D et E :
\[ V_B = V_A - R \cdot I_{AB} = V_A - R \cdot \frac{I}{3} \]
\[ V_D = V_A - R \cdot I_{AD} = V_A - R \cdot \frac{I}{3} \]
\[ V_E = V_A - R \cdot I_{AE} = V_A - R \cdot \frac{I}{3} \]
On observe que les expressions sont identiques. Cela prouve mathématiquement que \(V_B = V_D = V_E\). Les nœuds B, D et E sont donc au même potentiel électrique. C'est la confirmation rigoureuse de l'existence du premier plan équipotentiel.
Points de vigilance
Erreur Fréquente : Ne confondez pas cette configuration avec une alimentation par une arête adjacente (ex: Entrée en A, Sortie en B). Dans ce cas, la symétrie serait brisée : le chemin A-B serait direct, alors que A-D et A-E seraient des chemins détournés. Le courant ne se diviserait pas en 3 parts égales (le chemin A-B direct serait privilégié car moins résistant).
Points à Retenir
Pour cette première étape, retenez trois concepts clés :
- Symétrie \(\Rightarrow\) Égalité : Si la géométrie est identique, l'électricité l'est aussi (Principe de Curie).
- Division par N : \(N\) branches identiques au départ d'un nœud divisent le courant par \(N\).
- Équipotentialité : Des courants identiques traversant des résistances identiques créent des chutes de tension identiques, mettant les points d'arrivée au même potentiel.
Le saviez-vous ?
Cette technique de "symétrie radiale" est utilisée dans la conception des systèmes de mise à la terre (prises de terre en étoile ou "patte d'oie") pour s'assurer que le potentiel du sol monte de manière uniforme autour du piquet lors d'un défaut, évitant des tensions de pas dangereuses pour les personnes.
FAQ - Questions Fréquentes
Et si une résistance était de \(2R\) au lieu de \(R\) ?
La symétrie serait brisée. Il faudrait alors utiliser la loi des mailles ou le théorème de Millman pour calculer la nouvelle répartition. Le courant ne serait plus \(I/3\) partout, il privilégierait les branches de résistance \(R\) par rapport à celle de \(2R\).
Pourquoi ne pas utiliser le théorème de Kennelly (Transformation Triangle-Étoile) ?
C'est tout à fait possible ! On pourrait transformer les triangles de résistances en étoiles équivalentes. C'est une méthode valide, mais beaucoup plus longue et fastidieuse calculatoirement que l'argument de symétrie directe.
A vous de jouer : Application Numérique
Si le générateur délivre un courant de \(I = 6 \text{ mA}\), quelle est l'intensité du courant qui traverse l'arête reliant A à B ?
📝 Mémo Stratégique
Groupe 1 (Entrée) : 3 résistances en parallèle virtuel \(\rightarrow\) Résistance équivalente locale \(R/3\).
Question 2 : Division aux nœuds intermédiaires (Nœuds B, D, E)
Principe et Analyse Topologique
Nous avons franchi la première étape : le courant a quitté l'entrée A et a atteint la première "couche" de nœuds (B, D, E). Concentrons-nous sur le nœud B.
Le courant \(I_{AB} = I_{\text{tot}}/3\) arrive en B. Il ne peut pas s'arrêter (pas de stockage de charge). Il ne peut pas retourner vers A (car le potentiel \(V_A > V_B\), le courant "descend" les potentiels). Il doit donc continuer sa route vers la sortie G.
Depuis B, deux chemins s'offrent au courant :
1. L'arête BC vers le nœud C.
2. L'arête BF vers le nœud F.
Raisonnement de Symétrie : Les nœuds C et F sont-ils différents ? Regardons leur position par rapport à la sortie G. Le nœud C est relié directement à G par une arête. Le nœud F est relié directement à G par une arête. Géométriquement, C et F sont parfaitement symétriques par rapport au plan diagonal passant par A, B et G. Électriquement, ils offrent donc exactement la même résistance de fuite vers la sortie. Le courant se divisera donc en deux parts strictement égales.
Mini-Cours : Le Diviseur de Courant Symétrique
Théorème : Si un courant \(I_{\text{in}}\) arrive à un nœud et fait face à \(N\) branches identiques connectées à un même potentiel cible (ici le potentiel \(V_2\) des nœuds C et F), alors le courant se divise équitablement : \(I_{\text{branche}} = I_{\text{in}} / N\).
C'est une généralisation de la loi d'Ohm pour des branches parallèles identiques (\(G_{\text{eq}} = N \cdot G_{\text{branche}}\)).
Remarque Pédagogique
Visualisation "Altitude" : Imaginez le potentiel électrique comme une altitude. A est le sommet (1000m). G est la vallée (0m). B est un palier intermédiaire. De B, deux toboggans identiques (BC et BF) descendent vers le palier suivant. L'eau (le courant) se répartit naturellement à 50/50 dans chaque toboggan.
Normes et Conventions
• Loi des Nœuds (KCL) : Appliquée au sommet B.
• Conservation du flux : Le flux entrant égale le flux sortant.
Formule(s)
Bilan des flux au nœud B
Conservation de la charge
Contrainte de symétrie (les chemins sont indiscernables) :
Hypothèses
- Régime stationnaire (DC).
- Identité parfaite des résistances \(R_{BC}\) et \(R_{BF}\).
- Symétrie parfaite de la charge en aval (le reste du circuit vu depuis C est identique au reste du circuit vu depuis F).
Donnée(s) d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Source |
|---|---|---|---|
| Courant entrant en B | \(I_{\text{in}}\) | \(I_{\text{tot}}/3\) | Résultat Question 1 |
| Nombre de branches sortantes | \(N_{\text{out}}\) | 2 | Topologie (Arêtes BC, BF) |
Astuces
Comptage Global : Il y a 6 arêtes au "milieu" du cube (BC, BF, DC, DH, EF, EH). Ces 6 arêtes constituent une coupe transversale complète du cube. Le courant total \(I\) doit traverser cette section. Par symétrie, chaque arête porte donc \(I/6\). C'est une vérification rapide !
Schémas Situation Initiale (Nœud B)
Arrivée du courant au Nœud B
Un courant fort arrive. Il doit se séparer en deux.
Calculs Détaillés
Étape A : Pose de l'équation de conservation
On écrit que le courant qui arrive est la somme de ceux qui partent :
Étape B : Injection des données connues et symétrie
On remplace \(I_{AB}\) par sa valeur calculée en Q1 (\(I/3\)) et on utilise l'égalité des courants de sortie \(i'\) :
Étape C : Résolution finale
On isole l'inconnue \(i'\) en divisant par 2 :
Résultat : Le courant dans chaque arête intermédiaire est le sixième du courant total.
Schémas Validation (Résultat)
Répartition Validée (Nœud B)
Réflexions Analytiques
Ce résultat est parfaitement logique. Nous avions 3 branches à l'entrée, chacune portant \(I/3\). Chacune de ces branches se divise en 2.
Nombre total de branches intermédiaires = \(3 \times 2 = 6\).
Comme le courant total \(I\) se répartit sur ces 6 branches, chacune porte \(I/6\). La physique est cohérente.
Points de vigilance
Erreur de calcul : Une erreur classique est de multiplier par 2 au lieu de diviser par 2, ou de penser que le courant reste \(I/3\). Rappelez-vous : à chaque bifurcation, le courant diminue (comme une rivière qui se ramifie).
Points à Retenir
Règle de Division : À chaque niveau de ramification symétrique binaire, le courant est divisé par 2.
\(I_{\text{entrée}} \to \text{divisé par 3} \to I/3\)
\(I_{\text{inter}} \to \text{divisé par 2} \to I/6\)
Le saviez-vous ?
Cette topologie où chaque nœud a exactement le même nombre de voisins (3) est appelée un graphe 3-régulier. Les propriétés de flux sur ces graphes sont étudiées en théorie des réseaux pour optimiser le trafic internet ou routier.
FAQ - Questions Fréquentes
Est-ce que le courant pourrait aller de B vers D ?
Non. Nous avons démontré en Q1 que \(V_B = V_D\) (potentiels identiques). Or, le courant ne circule qu'entre deux points ayant une différence de potentiel (\(I = (V_B - V_D)/R = 0/R = 0\)). Il n'y a aucun courant transversal entre les nœuds de la même couche.
Pourquoi ne pas utiliser la loi des mailles ici ?
La loi des mailles (sur une boucle comme A-B-C-D-A) confirmerait que \(U_{AB} + U_{BC} + U_{CD} + U_{DA} = 0\). Cela compliquerait inutilement le calcul alors que la loi des nœuds + symétrie est plus directe.
A vous de jouer : Application Numérique
Si le courant total injecté est de \(I = 12 \text{ A}\), quelle est l'intensité du courant qui circule dans l'arête BC ?
📝 Mémo Stratégique
Groupe 2 (Milieu) : 6 résistances en parallèle virtuel \(\rightarrow\) Résistance équivalente locale \(R/6\).
Question 3 : Recombinaison vers la sortie (Nœuds C, F, H)
Principe et Analyse de Convergence
Nous entamons la phase descendante du circuit, en nous rapprochant du potentiel le plus bas (le sommet G). Intéressons-nous aux nœuds de la "dernière couche" avant la sortie : les sommets C, F et H.
Prenons l'exemple spécifique du nœud C. Géométriquement, il est le point de rencontre de deux arêtes venant de la couche intermédiaire (l'arête BC et l'arête DC). Ces deux flux de courant ne peuvent pas s'accumuler en C et doivent s'évacuer par la seule voie restante : l'arête CG, qui plonge directement vers la sortie.
La Symétrie Miroir :
Le cube possède une symétrie centrale. La situation à la sortie est l'exact miroir de la situation à l'entrée. Si le courant s'est divisé en 3 au départ, il doit logiquement se recombiner par groupes de 3 à l'arrivée. De même, si chaque branche intermédiaire a reçu un demi-flux, chaque branche de sortie doit collecter deux demi-flux.
Mini-Cours : La Loi des Nœuds (Additivité)
Physique des Nœuds de Collecte :
Dans un réseau passif, lorsqu'on s'approche de la borne de sortie (puits de courant), les intensités s'additionnent. C'est l'inverse du diviseur de courant.
La règle est simple : Le courant sortant est la somme arithmétique de tous les courants entrants.
Remarque Pédagogique
Analogie Fluviale : Imaginez que le nœud C est le point de confluence de deux rivières (BC et DC) de débit identique. Elles se rejoignent pour former un fleuve plus large (CG). Le débit du fleuve aval est nécessairement la somme des débits des affluents.
Normes et Conventions
• Application locale : Loi des Nœuds (KCL) au sommet C.
• Sens du courant : Toujours des potentiels élevés (B, D) vers le potentiel bas (C), puis vers le potentiel minimum (G).
Formule(s)
Bilan des flux au nœud C
Sommation des courants entrants
D'après la symétrie établie en Q2, les courants incidents sont égaux :
Hypothèses
- Régime permanent (pas d'accumulation de charges en C).
- Les courants \(I_{BC}\) et \(I_{DC}\) arrivent effectivement en C (vérifié par la décroissance des potentiels \(V_B > V_C\) et \(V_D > V_C\)).
Donnée(s) d'Entrée
| Branche Amont | Origine | Intensité | Source |
|---|---|---|---|
| Branche BC | Nœud B (Couche 1) | \(I/6\) | Calcul Q2 |
| Branche DC | Nœud D (Couche 1) | \(I/6\) | Calcul Q2 (Symétrie) |
Astuces
Vérification par la fin : Au nœud final G, trois branches arrivent (CG, FG, HG). Leur somme doit faire \(I_{\text{tot}}\). Si on trouve que \(I_{CG} = I/3\), alors \(3 \times I/3 = I\). Le compte est bon !
Schémas Situation Initiale (Nœud C)
Convergence au Nœud C
Deux affluents faibles se rejoignent.
Calculs Détaillés
Étape A : Pose de l'équation
On exprime le courant de sortie \(I_{CG}\) en fonction des entrants :
Étape B : Substitution numérique (en fractions de I)
On remplace les termes par \(I/6\) :
Étape C : Simplification et Résultat
On additionne les fractions :
Résultat : Le courant dans les branches finales est égal au tiers du courant total. On retrouve exactement la même intensité qu'à l'entrée (symétrie).
Schémas Validation (Résultat)
Flux Recombiné (Nœud C)
Réflexions Analytiques
La symétrie est parfaite :
• Entrée (A) : \(I\) se divise en 3 branches de \(I/3\).
• Sortie (G) : 3 branches de \(I/3\) se réunissent pour reformer \(I\).
La conservation de la charge est respectée globalement (\(\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}\) pour le cube entier).
Points de vigilance
Attention aux indices : Assurez-vous de bien identifier quels nœuds se connectent. Le nœud C collecte B et D. Le nœud F collecte B et E. Le nœud H collecte D et E. C'est une recombinaison croisée, pas un simple "tuyau droit".
Points à Retenir
Principe de Réversibilité : Dans un circuit passif linéaire, si on échange l'entrée et la sortie, la distribution des courants reste identique (aux signes près). C'est pourquoi on retrouve \(I/3\) à la fin comme au début.
Le saviez-vous ?
Ce type de structure est analogue aux réseaux cristallins cubiques faces centrées (CFC) en science des matériaux, où la symétrie dicte les propriétés de conduction thermique et électrique.
FAQ - Questions Fréquentes
Pourquoi le courant augmente-t-il (de I/6 à I/3) ?
Le courant n'augmente pas "magiquement". C'est la densité de courant par branche qui augmente parce que le nombre de chemins disponibles diminue (on passe de 6 chemins en parallèle à 3 chemins).
Puis-je dire directement par symétrie que I_sortie = I_entrée ?
Oui, c'est un argument tout à fait recevable en physique (symétrie par rapport au plan médiateur du cube). Cependant, le calcul explicite par la loi des nœuds permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé dans les étapes intermédiaires.
A vous de jouer : Application Numérique
Si \(I_{\text{tot}} = 18 \text{ A}\), quelle est la valeur du courant dans la branche FG ?
📝 Mémo Stratégique
Groupe 3 (Sortie) : 3 résistances en parallèle virtuel \(\rightarrow\) Résistance équivalente locale \(R/3\).
Question 4 : Calcul de la Tension Totale (Loi des Mailles)
Principe et Approche par le Chemin Critique
Nous avons déterminé la carte complète des courants dans le réseau. Nous savons que le courant se divise en trois, puis en six, puis se recombine en trois.
L'objectif est maintenant de calculer la différence de potentiel totale \(U_{\text{AG}} = V_A - V_G\).
En vertu de la nature conservative du champ électrique électrostatique, la différence de potentiel entre deux points est indépendante du chemin suivi. Nous allons donc choisir un chemin unique (une ligne de courant) allant de A à G et sommer toutes les chutes de tension rencontrées. C'est l'application directe de la loi des mailles sur une branche ouverte.
Choix du Chemin A \(\to\) B \(\to\) C \(\to\) G :
Pourquoi ce chemin ? Car nous avons explicitement calculé les courants pour les arêtes AB, BC et CG dans les questions précédentes.
• Arête AB (Entrée) : \(I_{AB} = I/3\)
• Arête BC (Intermédiaire) : \(I_{BC} = I/6\)
• Arête CG (Sortie) : \(I_{CG} = I/3\)
Mini-Cours : L'Additivité des Tensions
Loi d'Additivité (Relation de Chasles) :
Pour aller du point A au point G en passant par des points intermédiaires B et C, la tension totale est la somme des tensions partielles :
Analogie Topographique : Pour calculer le dénivelé total d'une randonnée (A vers G), on additionne le dénivelé de la première étape (A vers B), de la seconde (B vers C) et de la dernière (C vers G).
Remarque Pédagogique
Piège Conceptuel : Un étudiant pourrait être tenté d'additionner les tensions de toutes les branches du cube. C'est faux ! On ne somme que les tensions le long d'une seule ligne de courant qui traverse le circuit. Les autres branches sont en parallèle, elles ont la même tension, mais elles ne s'ajoutent pas à la tension totale.
Normes et Conventions
• Convention Récepteur : Aux bornes d'une résistance, la flèche de tension \(U\) est opposée à la flèche du courant \(I\). \(U = R \cdot I\).
• Notation : \(U_{XY} = V_X - V_Y\) représente le potentiel en X moins le potentiel en Y.
Formule(s)
Loi d'Ohm locale et globale
Sommation sur le chemin
Hypothèses
- Les résistances sont linéaires, constantes et identiques (\(R\)).
- Les connexions aux nœuds B et C sont parfaites (équipotentielles, pas de chute de tension additionnelle).
Donnée(s) Récapitulatives
| Segment | Type | Résistance | Courant (Calculé) | Tension (Loi d'Ohm) |
|---|---|---|---|---|
| A \(\to\) B | Entrée | \(R\) | \(I/3\) | \(U_{AB} = R \cdot I/3\) |
| B \(\to\) C | Milieu | \(R\) | \(I/6\) | \(U_{BC} = R \cdot I/6\) |
| C \(\to\) G | Sortie | \(R\) | \(I/3\) | \(U_{CG} = R \cdot I/3\) |
Astuces
Factorisation Immédiate : Comme \(R\) et \(I\) sont communs à tous les termes (au coefficient près), sortez-les immédiatement de l'équation pour ne manipuler que des fractions simples : \(U = R \cdot I \times (\dots)\).
Schémas Situation Initiale (Le Chemin Critique)
Trajet Sélectionné (Déplié)
Le chemin traverse 3 résistances en série, mais parcourues par des courants différents.
Calculs Détaillés
Étape A : Écriture de la somme vectorielle
On pose l'équation de la maille ouverte pour le chemin A-G :
Étape B : Substitution par la Loi d'Ohm
On remplace chaque tension \(U\) par le produit \(R \times I_{\text{local}}\). Les résistances étant identiques, on note \(R\) partout :
Étape C : Injection des Courants
On remplace les courants \(I_{\text{AB}}\), \(I_{\text{BC}}\), \(I_{\text{CG}}\) par les fractions de \(I_{\text{tot}}\) trouvées aux questions 1, 2 et 3 :
Étape D : Factorisation Finale
On met le produit \(R \cdot I_{\text{tot}}\) en facteur commun pour faire apparaître le coefficient géométrique :
Cette expression est prête pour l'étape finale d'addition des fractions.
Schémas Validation (Profil de Potentiel)
Chutes de Tension Cumulées
Profil de potentiel : La "marche" centrale est deux fois moins haute que les marches d'extrémité.
Réflexions Analytiques
L'équation obtenue \(U = R \cdot I_{\text{tot}} \cdot (\dots)\) a bien la dimension d'une loi d'Ohm globale. Le terme entre parenthèses est sans dimension : c'est un coefficient géométrique pur, indépendant de la valeur de la résistance ou du courant. Il caractérise la topologie du cube.
Points de vigilance
Ne confondez pas nombre de résistances et diviseur ! Le cube a 12 arêtes. Le chemin n'en compte que 3. Les coefficients \(1/3\) et \(1/6\) ne viennent pas de la longueur du chemin, mais de la "largeur" du circuit (nombre de chemins parallèles) à chaque étape.
Points à Retenir
Structure de la tension : La tension totale est la somme de trois contributions inégales :
1. Une chute forte à l'entrée (peu de chemins).
2. Une chute faible au milieu (beaucoup de chemins).
3. Une chute forte à la sortie (peu de chemins).
Le saviez-vous ?
Si le cube était plein (un bloc de métal conducteur) au lieu d'être un réseau de fils, le calcul serait radicalement différent et ferait appel à l'équation de Laplace \(\Delta V = 0\). Ici, le courant est contraint de suivre les arêtes.
FAQ - Questions Fréquentes
Peut-on utiliser la loi des mailles sur une boucle fermée ?
Oui, par exemple la maille A-B-C-G-H-E-A. La somme algébrique des tensions serait nulle (\(U_{AB} + U_{BC} + U_{CG} + U_{GH} + U_{HE} + U_{EA} = 0\)). C'est une manière de vérifier la cohérence, mais ici nous cherchons \(U_{\text{AG}}\), la différence de potentiel entre deux points, pas le bilan d'une boucle.
Pourquoi ne pas simplement additionner les 12 résistances ?
Parce qu'elles ne sont pas toutes en série ! Certaines sont en parallèle. Additionner les 12 résistances (\(12R\)) reviendrait à mettre toutes les arêtes bout à bout, ce qui n'est pas la configuration du cube.
A vous de jouer : Application Numérique
Si \(R = 1 \Omega\) et \(I_{\text{tot}} = 6 \text{ A}\), quelle est la chute de tension partielle entre les nœuds B et C ?
📝 Mémo Stratégique
Le problème est ramené à l'addition de trois résistances équivalentes en série : \(R_{\text{eq1}} + R_{\text{eq2}} + R_{\text{eq3}}\).
Question 5 : Calcul final de la Résistance Équivalente \(R_{\text{eq}}\)
Principe et Identification Physique
Nous arrivons au terme de notre démonstration. Nous avons établi, étape par étape, comment le courant se propage et comment la tension chute à travers la structure. Nous disposons désormais de l'expression analytique de la tension totale \(U_{\text{AG}}\) en fonction du courant total injecté \(I_{\text{tot}}\) et de la résistance élémentaire \(R\).
Le concept de Résistance Équivalente repose sur une approche "boîte noire" (Black Box). Imaginez que le cube soit enfermé dans une boîte opaque dont ne sortent que deux bornes (A et G). Si nous appliquons une tension \(U\) et que nous mesurons un courant \(I\), la boîte se comporte, vu de l'extérieur, exactement comme une résistance unique de valeur \(R_{\text{eq}} = U/I\).
Notre objectif est d'extraire ce rapport de proportionnalité de l'équation trouvée en Q4.
Mini-Cours : Le Dipôle Équivalent de Thévenin
Théorème (Cas Passif) :
Tout réseau électrique linéaire passif (constitué uniquement de résistances), accessible par deux bornes, est électriquement indiscernable d'une résistance unique équivalente \(R_{\text{eq}}\). Cette résistance dissipe la même puissance totale que le réseau complet pour le même courant d'entrée (\(P = R_{\text{eq}} I^2\)).
Remarque Pédagogique
Analyse Dimensionnelle : Le résultat final doit nécessairement être de la forme \(k \cdot R\), où \(k\) est un nombre sans dimension (un ratio géométrique). Si votre calcul aboutit à des \(R^2\) ou des \(1/R\), c'est une alerte rouge : il y a une erreur d'homogénéité physique !
Normes et Définitions
Définition standard de la résistance en courant continu (Loi d'Ohm macroscopique).
Formule(s)
Loi d'identification
Hypothèses
- Le cube se comporte comme un dipôle linéaire parfait (pas d'effets non-linéaires).
- La mesure est effectuée aux bornes exactes A et G (pas de résistance de ligne).
Donnée(s) d'Entrée
| Expression de la Tension | Source |
|---|---|
| \(U_{\text{AG}} = R \cdot I_{\text{tot}} \cdot (1/3 + 1/6 + 1/3)\) | Résultat Question 4 |
Astuces de Calcul
Calcul Mental en Sixièmes : Pour additionner les fractions sans erreur, convertissez tout mentalement en sixièmes.
\(1/3\) devient \(2/6\).
L'opération devient triviale : \(2 + 1 + 2 = 5\).
Schémas Situation Initiale (Identification)
La "Boîte Noire" Équivalente
Vue macroscopique : On ignore la complexité interne.
Calculs Détaillés
Étape A : Rappel de l'équation de maille
Nous reprenons le résultat final de la question précédente, qui exprime la tension comme la somme des trois chutes partielles :
Étape B : Réduction au même dénominateur
Pour additionner les fractions, nous convertissons tout en sixièmes. C'est le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de 3 et 6 :
Étape C : Identification Finale
L'équation de comportement du cube devient :
Nous comparons cette expression avec la forme canonique de la loi d'Ohm pour un dipôle équivalent : \(U_{\text{AG}} = R_{\text{eq}} \cdot I_{\text{tot}}\).
L'identification du terme entre parenthèses est immédiate :
Schémas Validation (Résultat)
Le Dipôle Équivalent
Le cube entier se comporte comme une simple résistance de 0.833 R.
Réflexions Analytiques
Interprétation de la valeur : Le résultat \(5/6 R \approx 0.833 R\) est légèrement inférieur à \(R\).
• C'est logique car le courant dispose de multiples chemins en parallèle, ce qui facilite son passage par rapport à une arête unique (\(R_{eq} < R\)).
• Cependant, ce n'est pas aussi faible que 3 résistances purement en parallèle (\(R/3 \approx 0.33 R\)), car les chemins s'entrecroisent et s'allongent (distance topologique de 3 arêtes).
Le facteur 5/6 est la signature unique de cette topologie complexe.
Points de vigilance
Contexte de Mesure : Ce résultat n'est valable QUE pour la mesure sur la grande diagonale (sommets opposés). Si vous mesurez sur une diagonale de face ou une arête adjacente, les plans de symétrie changent radicalement et le résultat est différent (respectivement \(3/4 R\) et \(7/12 R\)). Ne généralisez pas le résultat "5/6" à toutes les prises du cube !
Points à Retenir
Résultat culte : La résistance équivalente d'un cube d'arêtes \(R\) pris sur sa grande diagonale est 5/6 R.
Le saviez-vous ?
Généralisation N-Dimensionnelle : Il existe une formule générale pour les hypercubes ! Pour un hypercube de dimension \(d\) (un carré pour d=2, un cube pour d=3, un tesseract pour d=4...), la résistance sur la grande diagonale est : \[ R_{\text{eq}} = R \cdot \sum_{k=1}^{d} \frac{1}{k \cdot \binom{d}{k}} \] Pour \(d=3\), on retrouve bien \(\frac{1}{1\cdot3} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\). Pour un simple carré (\(d=2\)), c'est \(R\).
FAQ - Questions Fréquentes
Est-ce utile dans la pratique ?
Oui, ce type de structure est utilisé pour créer des réseaux de résistances de haute précision. En mettant en parallèle/série de nombreuses résistances identiques bon marché, on moyenne leurs erreurs (loi des grands nombres) et on obtient une résistance équivalente très précise et capable de dissiper beaucoup de puissance.
Si je coupe une arête, que se passe-t-il ?
La symétrie est brisée. Le courant va se redistribuer pour contourner la coupure. La résistance équivalente va augmenter légèrement car un chemin a été supprimé. Le calcul devient alors très complexe et nécessite les lois de Kirchhoff matricielles.
A vous de jouer : Application Numérique
Si chaque arête fait \(R = 100 \Omega\), quelle est la résistance totale du cube mesurée à l'ohmmètre ?
📝 Mémo Stratégique : Les 3 cas du Cube
• Grande Diagonale (Sommets opposés) \(\rightarrow\) 5/6 R (Notre cas)
• Diagonale de Face (Sommets opposés d'une face) \(\rightarrow\) 3/4 R
• Côté (Sommets adjacents) \(\rightarrow\) 7/12 R
Schéma Bilan & Interprétation Physique Approfondie
1. Analyse Topologique et Potentiels
L'analyse détaillée du circuit cubique révèle une structure en couches équipotentielles successives. Contrairement à une simple série de résistances, le cube impose une distribution spatiale du courant qui peut être projetée sur un axe 1D (la grande diagonale AG).
- Le Plan d'Entrée (Sommet A) : C'est le point de plus haut potentiel (\(V_A\)). Tout le courant \(I\) y est concentré.
- La Première Sphère Équipotentielle (Sommets B, D, E) : Situés à une arête de distance de l'entrée. Par symétrie, ils sont tous au même potentiel \(V_1 = V_A - \frac{RI}{3}\).
- La Seconde Sphère Équipotentielle (Sommets C, F, H) : Situés à deux arêtes de distance (ou une arête de la sortie). Ils sont au potentiel \(V_2 = V_1 - \frac{RI}{6}\).
- Le Plan de Sortie (Sommet G) : Point de référence (Masse virtuelle ou \(V_G\)). \(V_G = V_2 - \frac{RI}{3}\).
2. Justification Énergétique (Bilan de Puissance)
Une autre façon de valider le résultat \(5/6 R\) est d'observer la dissipation d'énergie par effet Joule. La puissance totale dissipée par le cube doit être égale à la puissance dissipée par la résistance équivalente.
| Zone du Cube | Nombre de Résistances | Courant par Résistance | Puissance Unitaire (\(ri^2\)) | Puissance Totale de la Zone |
|---|---|---|---|---|
| Zone 1 (Entrée) | 3 | \(I/3\) | \(R \cdot (I/3)^2 = R I^2 / 9\) | \(3 \times R I^2 / 9 = \mathbf{R I^2 / 3}\) |
| Zone 2 (Milieu) | 6 | \(I/6\) | \(R \cdot (I/6)^2 = R I^2 / 36\) | \(6 \times R I^2 / 36 = \mathbf{R I^2 / 6}\) |
| Zone 3 (Sortie) | 3 | \(I/3\) | \(R \cdot (I/3)^2 = R I^2 / 9\) | \(3 \times R I^2 / 9 = \mathbf{R I^2 / 3}\) |
On retrouve bien que la puissance dissipée est équivalente à celle d'une résistance unique de \(5/6 R\) traversée par \(I\).
3. Synthèse des Chutes de Tension
Le graphique vectoriel ci-dessus illustre la "perte de charge" électrique à travers le composant. On remarque que la pente n'est pas constante :
- Pente Forte au début et à la fin : Les zones d'entrée et de sortie n'offrent que 3 chemins en parallèle. La résistance locale est plus forte (\(R/3\)), donc la chute de tension est plus brutale.
- Pente Douce au milieu : La zone centrale offre 6 chemins en parallèle. La résistance locale est plus faible (\(R/6\)), le courant "s'étale" davantage, ce qui réduit la chute de tension par unité de longueur.
Analogie Hydraulique : Imaginez une rivière qui se sépare en 3 bras, puis ces 3 bras se subdivisent pour former 6 petits ruisseaux, avant de se rejoindre en 3 bras puis 1 fleuve. Là où il y a le plus de bras (au milieu), l'eau s'écoule plus "facilement" (moins de résistance), donc la perte de pression (tension) est moindre.
📄 LIVRABLE FINAL : NOTE DE CALCUL
NOTE DE CALCUL JUSTIFICATIVE
1. Objet et Domaine d'Application
La présente note a pour objet de justifier le dimensionnement résistif d'une structure maillée tridimensionnelle (cube). Cette étude vise à déterminer la résistance équivalente vue depuis les bornes d'alimentation situées sur la grande diagonale (Sommets A et G), afin de dimensionner correctement le générateur de courant en amont et de vérifier les dissipations thermiques.
2. Hypothèses et Données d'Entrée
Les calculs sont menés selon les hypothèses conservatrices suivantes :
- Composants : 12 résistances ohmiques linéaires, supposées parfaitement identiques (\(R_1 = R_2 = ... = R_{12} = R\)).
- Tolérance : Négligée pour le calcul théorique (Hypothèse de symétrie parfaite).
- Connexions : Les liaisons inter-composants (nœuds) sont considérées comme des conducteurs parfaits (\(R_{\text{fil}} \approx 0\)).
- Conditions d'environnement : Température stabilisée à \(T_{\text{amb}} = 25^\circ\text{C}\). Pas de dérive thermique prise en compte (coefficient de température négligé dans cette note).
- Modèle de source : Générateur de courant continu idéal (\(I_{\text{source}} = \text{constante}\)).
3. Analyse Topologique et Méthodologie
La topologie du circuit présente une symétrie sphérique par rapport au centre du cube. L'application du principe de symétrie des potentiels permet de réduire la complexité du réseau (normalement soluble par les lois de Kirchhoff matricielles) à une simple association série-parallèle.
Identification des plans équipotentiels :
- Niveau 1 (Entrée) : Les nœuds B, D et E sont topologiquement équidistants du point d'injection A.
Conclusion : \(V_B = V_D = V_E\). Ces points peuvent être virtuellement court-circuités. - Niveau 2 (Sortie) : Les nœuds C, F et H sont topologiquement équidistants du point d'extraction G.
Conclusion : \(V_C = V_F = V_H\). Ces points peuvent être virtuellement court-circuités.
4. Calcul Détaillé des Impédances Partielles
Le circuit équivalent se décompose en trois étages en série. Le calcul des résistances équivalentes par étage est détaillé ci-dessous :
| Étage / Zone | Configuration | Formule | Résultat |
|---|---|---|---|
| Zone 1 : Distribution (Arêtes AB, AD, AE) |
3 Résistances en Parallèle | \(R_{\text{eq}1} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R}}\) | \(\frac{R}{3}\) |
| Zone 2 : Transfert (Arêtes BC, BF, DC, DH, EF, EH) |
6 Résistances en Parallèle | \(R_{\text{eq}2} = \frac{R}{6}\) | \(\frac{R}{6}\) |
| Zone 3 : Collecte (Arêtes CG, FG, HG) |
3 Résistances en Parallèle | \(R_{\text{eq}3} = \frac{R}{3}\) | \(\frac{R}{3}\) |
Sommation (Circuit Série) :
5. Conclusion et Recommandations
L'analyse théorique confirme que l'impédance caractéristique de la structure cubique, mesurée entre ses diagonales principales, est égale à \( \frac{5}{6} \) de la résistance unitaire.
Implications pour le dimensionnement :
1. La chute de tension totale sera inférieure à celle d'une résistance unique (\(83.3\%\)).
2. La dissipation de puissance est répartie, mais non uniforme : les résistances d'entrée et de sortie dissipent 4 fois plus de puissance (\(P = R(I/3)^2\)) que les résistances centrales (\(P = R(I/6)^2\)).
⚠️ Point de Vigilance : Lors du choix des composants physiques, le dimensionnement en puissance nominale doit se faire sur la base du courant le plus défavorable, soit \(I/3\) (branches d'entrée/sortie), et non sur la puissance moyenne.
Jean DUPONT, Ingénieur Senior
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Ce simulateur reproduit le comportement électrique du cube. Faites varier l'intensité injectée ou la résistance des composants pour observer la réponse en tension.
ANALYSEUR DE CIRCUIT - MODÈLE CUBE-12
En lignePARAMÈTRES D'ENTRÉE
Le point rouge sur le graphique représente votre point de fonctionnement actuel.
📚 Glossaire Technique Approfondi
Ce lexique détaille les concepts fondamentaux mobilisés dans l'étude des réseaux résistifs complexes.
- Nœud (Node)
-
Définition : Point de connexion physique où se rejoignent au moins trois conducteurs (fils ou composants). C'est un carrefour de redistribution des charges électriques.
Détail Physique : Un nœud est le lieu d'application de la Loi des Nœuds (1ère loi de Kirchhoff), qui traduit le principe fondamental de conservation de la charge. En régime stationnaire (courant continu), aucune charge ne peut s'accumuler en un point du circuit : tout ce qui arrive doit repartir instantanément (\(\sum I_{\text{entrants}} = \sum I_{\text{sortants}}\)). Dans l'exercice du cube, chaque sommet (A, B, C...) est un nœud connectant 3 branches.
- Branche (Branch)
-
Définition : Portion de circuit électrique située entre deux nœuds consécutifs. Elle contient généralement un ou plusieurs dipôles (résistance, générateur, condensateur, etc.) montés en série.
Propriété Clé : L'intensité du courant est identique en tout point d'une même branche. C'est une conséquence de la conservation du flux de charges (il n'y a pas de fuite latérale). Dans notre cube, chaque arête constitue une branche distincte portant son propre courant (ex: \(I/3\) ou \(I/6\)).
- Maille (Mesh/Loop)
-
Définition : Chemin fermé formé par une succession de branches, que l'on parcourt en partant d'un nœud pour y revenir, sans passer deux fois par le même nœud intermédiaire.
Détail Physique : Une maille est le lieu d'application de la Loi des Mailles (2ème loi de Kirchhoff), qui traduit le principe de conservation de l'énergie. La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long d'une maille est nulle (\(\sum U = 0\)). Cela signifie que l'énergie gagnée ou perdue par une charge qui fait un tour complet est nulle (le potentiel électrique est une fonction d'état).
- Conducteur Ohmique (Ohmic Conductor)
-
Définition : Composant passif dont la caractéristique tension-courant est une droite passant par l'origine. Il est caractérisé par sa résistance \(R\) exprimée en Ohms (\(\Omega\)).
Comportement : Il obéit strictement à la Loi d'Ohm macroscopique \(U = R \cdot I\). Contrairement aux composants non-linéaires (comme les diodes), sa résistance est constante quelle que soit la tension appliquée (tant que la température reste stable). Il transforme intégralement l'énergie électrique reçue en énergie thermique par Effet Joule (\(P = R \cdot I^2\)).
- Équipotentiel (Equipotential)
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Définition : Se dit d'un ensemble de points d'un circuit qui se trouvent exactement au même potentiel électrique \(V\) par rapport à la masse.
Application Stratégique : La différence de potentiel (tension) entre deux points équipotentiels est nulle (\(U = \Delta V = 0\)). Par conséquent, aucun courant ne circulerait dans un fil connectant ces deux points. Cette propriété permet de simplifier les circuits complexes : on peut virtuellement "court-circuiter" (connecter ensemble) des nœuds équipotentiels sans modifier le fonctionnement global du circuit, ce qui transforme un réseau 3D complexe en un simple schéma parallèle/série 2D (comme vu dans la correction).
- Symétrie Électrique
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Définition : Propriété d'un réseau dont la géométrie et les valeurs des composants sont en miroir par rapport à un axe ou un plan passant par les points d'entrée et de sortie.
Utilité : La symétrie impose l'équipotentialité. Si un circuit est symétrique, les points situés à des positions symétriques doivent nécessairement avoir le même potentiel électrique. C'est l'outil mathématique le plus puissant pour éviter de résoudre des matrices d'équations complexes (Méthode des mailles ou des nœuds matricielle).
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