Analyse du Filtre RL Passe-Haut

Contexte : L'analyse des circuits en Régime Sinusoïdal Forcé (RSF)Analyse du comportement d'un circuit électrique lorsqu'il est alimenté par une source de tension ou de courant sinusoïdale, une fois le régime transitoire disparu..

Cet exercice porte sur l'analyse d'un circuit RL simple. En étudiant sa réponse en fréquence, nous allons démontrer qu'il se comporte comme un filtre passe-hautUn filtre qui laisse passer les signaux de haute fréquence tout en atténuant (bloquant) les signaux de basse fréquence.. L'objectif est de déterminer sa fonction de transfert, sa fréquence de coupure, et de comprendre son comportement asymptotique (à très basse et très haute fréquence).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à passer d'un schéma de circuit à sa fonction mathématique (la fonction de transfert), qui est l'outil fondamental pour analyser n'importe quel filtre.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la méthode du diviseur de tension en notation complexe.
Calculer l'impédance d'une résistance (R) et d'une inductance (L).
Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\) d'un circuit.
Identifier et calculer la fréquence de coupure \(f_c\) d'un filtre.
Analyser le comportement asymptotique d'un filtre (gain et phase).

Données de l'étude

On considère le circuit RL série suivant, alimenté par une tension d'entrée \(v_e(t)\) et on observe la tension de sortie \(v_s(t)\) aux bornes de l'inductance \(L\).

Fiche Technique des Composants

Composant	Référence	Valeur
Résistance	R	100 \(\Omega\)
Inductance	L	10 mH

Schéma du Circuit RL

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Pulsation	\(\omega = 2 \pi f\)	-	rad/s
Fréquence	\(f\)	Variable	Hz
Impédance de R	\(Z_R\)	\(R\)	\(\Omega\)
Impédance de L	\(Z_L\)	\(jL\omega\)	\(\Omega\)

Questions à traiter

Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) du circuit.
Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).
Analyser le comportement asymptotique du gain \(|H(j\omega)|\) à basse fréquence (\(\omega \to 0\)) et à haute fréquence (\(\omega \to \infty\)).
Calculer le gain en décibels (dB) à la fréquence de coupure, \(f = f_c\).
Calculer la phase (le déphasage) \(\phi(\omega)\) à la fréquence de coupure, \(f = f_c\).

Les bases sur les Filtres et le Régime Sinusoïdal

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons la notation complexe et la méthode du diviseur de tension.

1. Impédances Complexes
En régime sinusoïdal, on remplace les composants par leur impédance complexe \(Z\) :

Résistance (R) : \(Z_R = R\)
Inductance (L) : \(Z_L = jL\omega\)
Condensateur (C) : \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\)

Où \(\omega\) est la pulsation en rad/s (\(\omega = 2\pi f\)) et \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)).

2. Diviseur de Tension Complexe
Pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série, la tension aux bornes de \(Z_2\) est donnée par : \[ V_{Z_2} = V_{\text{total}} \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \] La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est le rapport \(\frac{V_{\text{sortie}}}{V_{\text{entrée}}}\).

Correction : Analyse du Filtre RL Passe-Haut

Question 1 : Calculer la fréquence de coupure \(f_c\) du circuit.

Principe

La fréquence de coupure \(f_c\) (ou la pulsation de coupure \(\omega_c\)) est la fréquence spécifique où le comportement du filtre "bascule". Pour un filtre du premier ordre (comme celui-ci), c'est la fréquence pour laquelle la partie réelle et la partie imaginaire de l'impédance totale sont égales. Plus simplement, pour un filtre RL, elle est définie par la formule \(\omega_c = R/L\) ou \(\omega_c = L/R\). Pour notre filtre, c'est le moment où l'impédance de la résistance (\(R\)) est égale à l'impédance de l'inductance (\(|Z_L| = L\omega\)).

Mini-Cours

La pulsation de coupure \(\omega_c\) pour un filtre RL (qu'il soit passe-haut ou passe-bas) est définie comme la pulsation où \(R = L\omega_c\). Cela nous donne \(\omega_c = \frac{R}{L}\). La fréquence de coupure \(f_c\) est simplement cette pulsation divisée par \(2\pi\), car \(\omega = 2\pi f\).

Remarque Pédagogique

Notez que la formule est \(\omega_c = R/L\) et non \(\tau = L/R\). \(\tau\) (tau) est la constante de temps du circuit, et on a bien \(\omega_c = 1/\tau\). C'est une relation fondamentale à retenir.

Normes

Ce calcul suit les définitions standards de l'analyse des circuits en régime sinusoïdal (notation CEI - Commission Électrotechnique Internationale).

Formule(s)

Les formules clés pour cette question sont :

Pulsation de coupure (\(\omega_c\))

\omega_c = \frac{R}{L}

Relation pulsation-fréquence

f_c = \frac{\omega_c}{2\pi}

Hypothèses

On suppose que les composants (R et L) sont idéaux, c'est-à-dire que la résistance n'a pas d'inductance parasite et l'inductance n'a pas de résistance interne.

R = 100 \(\Omega\) (idéale)
L = 10 mH (idéale)

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	100	\(\Omega\)
Inductance	L	10	mH

Astuces

Attention aux unités ! L'inductance est donnée en milliHenrys (mH). Il est impératif de la convertir en Henrys (H) pour que le calcul soit homogène avec les Ohms (\(\Omega\)). \(10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma conceptuel est celui de la frontière entre deux zones de comportement du filtre.

Schéma de l'Axe des Fréquences

f (Hz)

fc = ?

Zone Basse Fréquence

Zone Haute Fréquence

Calcul(s)

Nous appliquons les formules avec les valeurs converties en unités SI.

Étape 1 : Conversion de l'inductance

L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.01 \text{ H}

Étape 2 : Calcul de la pulsation de coupure (\(\omega_c\))

\omega_c = \frac{R}{L} = \frac{100 \text{ \(\Omega\)}}{0.01 \text{ H}} = 10000 \text{ rad/s}

Étape 3 : Calcul de la fréquence de coupure (\(f_c\))

f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{10000}{2\pi} \approx 1591.55 \text{ Hz}

Schéma (Après les calculs)

Nous pouvons maintenant placer la valeur calculée sur notre axe.

Axe des Fréquences avec \(f_c\)

f (Hz)

fc ≈ 1.6 kHz

Zone Atténuée (BF)

Zone Passante (HF)

Réflexions

Cette fréquence \(f_c \approx 1.6\ \text{kHz}\) est la frontière. Elle nous dit que le filtre est conçu pour opérer autour de cette fréquence. Par exemple, un signal audio de 100 Hz (une basse) sera bien plus atténué (car \(100 \ll 1600\)) qu'un signal de 10 kHz (un aigu, car \(10000 \gg 1600\)).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion mH \(\to\) H. Si vous ne le faites pas, vous obtenez \(R/L = 100/10 = 10\), ce qui donne une fréquence de coupure \(\approx 1.6\) Hz, une valeur totalement différente et fausse.

Points à retenir

La pulsation de coupure d'un filtre RL est \(\omega_c = R/L\).
La fréquence de coupure est \(f_c = \omega_c / (2\pi)\).
La conversion des unités (milli, kilo, micro...) est cruciale.

Le saviez-vous ?

Cette même fréquence de coupure est aussi appelée "fréquence à -3 dB". Nous verrons pourquoi à la question 4. C'est la fréquence où la puissance du signal de sortie est réduite de moitié par rapport au signal d'entrée (enfin, par rapport au maximum en haute fréquence pour ce filtre).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La fréquence de coupure est \(f_c = \frac{100}{2\pi \times 0.01} \approx 1592 \text{ Hz}\) (ou \(1.6 \text{ kHz}\)).

A vous de jouer

Quelle serait la nouvelle fréquence de coupure \(f_c'\) si on doublait la valeur de la résistance (R = 200 \(\Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Fréquence de coupure.
Formule Essentielle : \(\omega_c = R/L\), puis \(f_c = \omega_c / (2\pi)\).
Point de Vigilance Majeur : Conversion \(10 \text{ mH} = 0.01 \text{ H}\).

Question 2 : Déterminer la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e}\).

Principe

La fonction de transfert \(H(j\omega)\) décrit mathématiquement comment le circuit modifie l'amplitude et la phase du signal d'entrée (\(V_e\)) pour produire le signal de sortie (\(V_s\)). Pour l'obtenir, on passe en notation complexe (les tensions deviennent \(V_e\) et \(V_s\)) et on utilise une méthode d'analyse de circuit. Le plus simple ici est le diviseur de tensionEn notation complexe, la tension aux bornes d'une impédance Z2 en série avec Z1 est V_total * (Z2 / (Z1 + Z2))..

Mini-Cours

En notation complexe, notre circuit est composé de deux impédances en série : \(Z_R = R\) et \(Z_L = jL\omega\). La tension d'entrée \(V_e\) est appliquée à l'ensemble (R + L), et la tension de sortie \(V_s\) est mesurée aux bornes de l'inductance \(L\) (donc aux bornes de \(Z_L\)).
La formule du diviseur de tension nous dit : \(V_s = V_e \cdot \frac{Z_L}{Z_R + Z_L}\).
La fonction de transfert est donc : \(H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L}\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante. Si la fonction de transfert est fausse, tout le reste de l'analyse (gain, phase, fréquence de coupure) sera faux. Prenez votre temps pour bien identifier quelle impédance est au numérateur (celle où on mesure la sortie) et quelles sont au dénominateur (la somme de toutes les impédances en série).

Normes

Utilisation de la notation complexe pour les impédances et de la loi des mailles (implicite dans le diviseur de tension).

Formule(s)

Impédances

Z_R = R \quad ; \quad Z_L = jL\omega

Formule du diviseur de tension

H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L}

Hypothèses

On travaille en régime sinusoïdal établi (RSF), ce qui justifie l'utilisation des impédances complexes. Les tensions \(V_e\) et \(V_s\) sont les amplitudes complexes des signaux sinusoïdaux \(v_e(t)\) et \(v_s(t)\).

Donnée(s)

Pas de valeurs numériques nécessaires pour cette étape, c'est un calcul littéral.

Astuces

Pour simplifier l'expression, il est souvent utile de factoriser. Une fois \(\frac{jL\omega}{R + jL\omega}\) obtenu, factorisez par \(R\) au dénominateur pour faire apparaître la pulsation de coupure \(\omega_c = R/L\). Cela donne \(\frac{jL\omega}{R(1 + jL\omega/R)} = \frac{j(L/R)\omega}{1 + j(L/R)\omega} = \frac{j(\omega/\omega_c)}{1 + j(\omega/\omega_c)}\). C'est la forme canonique.

Schéma (Avant les calculs)

Nous remplaçons les composants par leurs impédances complexes.

Schéma du Filtre en Notation Complexe

V_e

Z_R = R

Z_L = jLω

V_s

Calcul(s)

Étape 1 : Application du diviseur de tension

H(j\omega) = \frac{V_s}{V_e} = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L}

Étape 2 : Remplacement par les expressions des impédances

H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}

Étape 3 : Mise sous forme canonique (Recommandé)

H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R \left(1 + \frac{jL\omega}{R}\right)}

On reconnaît la pulsation de coupure \(\omega_c = R/L\). L'expression devient :

H(j\omega) = \frac{j \frac{L\omega}{R}}{1 + j \frac{L\omega}{R}} = \frac{j (\omega / \omega_c)}{1 + j (\omega / \omega_c)}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous donne une "boîte noire" mathématique qui représente le circuit.

Modèle en Boîte Noire

V_e \(\longrightarrow\)

H(j\(\omega\))
\(\frac{j(\omega / \omega_c)}{1 + j(\omega / \omega_c)}\)

\(\longrightarrow\) V_s

Réflexions

Cette expression \(\frac{jL\omega}{R + jL\omega}\) est la clé de tout. C'est elle qui va nous permettre de calculer le gain (en prenant le module) et la phase (en prenant l'argument). La forme canonique \(\frac{j(\omega / \omega_c)}{1 + j(\omega / \omega_c)}\) est particulièrement utile pour l'analyse asymptotique.

Points de vigilance

Ne pas inverser le numérateur et le dénominateur ! Si la sortie avait été prise aux bornes de R, la fonction de transfert aurait été \(H(j\omega) = \frac{R}{R + jL\omega}\), ce qui est la fonction d'un filtre... passe-bas ! L'endroit où l'on mesure la sortie est fondamental.

Points à retenir

La fonction de transfert s'obtient par le diviseur de tension complexe : \(H = Z_{\text{sortie}} / Z_{\text{total}}\).
Pour ce circuit : \(H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\).

Le saviez-vous ?

La lettre \(H\) est universellement utilisée pour la fonction de transfert, car elle vient du nom de Oliver Heaviside, un brillant mathématicien et physicien britannique qui a largement développé l'utilisation du "calcul opérationnel" (très lié à la transformation de Laplace, dont la fonction de transfert est un cas particulier) pour analyser les circuits électriques.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La fonction de transfert complexe est \(H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\).

A vous de jouer

En utilisant le même circuit, quelle serait la fonction de transfert \(H'(j\omega)\) si la sortie était prise aux bornes de la résistance R ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Diviseur de tension complexe.
Formule Essentielle : \(H(j\omega) = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L} = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\).

Question 3 : Analyser le comportement asymptotique du gain \(|H(j\omega)|\) à basse et haute fréquence.

Principe

L'analyse asymptotique consiste à regarder ce que devient la fonction de transfert dans les cas extrêmes : lorsque la fréquence \(\omega\) est très petite (elle tend vers 0) et lorsqu'elle est très grande (elle tend vers l'infini). Cela permet de comprendre la nature fondamentale du filtre (passe-haut, passe-bas, etc.) sans faire de calculs compliqués.

Mini-Cours

1. Basse Fréquence (\(\omega \to 0\)) :
Quand \(\omega \to 0\), l'impédance de l'inductance \(Z_L = jL\omega\) tend aussi vers 0. L'inductance se comporte comme un fil (un court-circuit).
Notre fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\) tend vers \(\frac{0}{R + 0} = 0\).
Un gain de 0 signifie que le signal est complètement bloqué.

2. Haute Fréquence (\(\omega \to \infty\)) :
Quand \(\omega \to \infty\), l'impédance \(Z_L = jL\omega\) tend vers l'infini. L'inductance se comporte comme un circuit ouvert.
Dans \(H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\), le terme \(jL\omega\) devient dominant par rapport à \(R\). L'expression tend vers \(\frac{jL\omega}{jL\omega} = 1\).
Un gain de 1 signifie que le signal passe intégralement (la tension de sortie est égale à la tension d'entrée).

Remarque Pédagogique

Basse fréquence \(\to\) Gain 0 (Bloque)
Haute fréquence \(\to\) Gain 1 (Laisse passer)
C'est la définition même d'un filtre passe-haut. Cette analyse asymptotique confirme la nature du filtre.

Normes

C'est une analyse de limite mathématique appliquée à la fonction de transfert.

Formule(s)

Fonction de Transfert

H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}

Gain (Module)

|H(j\omega)| = \left| \frac{jL\omega}{R + jL\omega} \right| = \frac{|jL\omega|}{|R + jL\omega|} = \frac{L\omega}{\sqrt{R^2 + (L\omega)^2}}

Hypothèses

On analyse le module de la fonction de transfert, qui représente le gain en amplitude.

Donnée(s)

Pas de données numériques, analyse littérale.

Astuces

Il est plus simple de raisonner physiquement :

BF (\(\omega \to 0\)) : L est un fil. La sortie \(V_s\) est aux bornes d'un fil (donc 0V). Le gain est 0.
HF (\(\omega \to \infty\)) : L est un circuit ouvert. Le courant est nul, il n'y a pas de chute de tension dans R. Donc \(V_s = V_e\). Le gain est 1.

Ce raisonnement "physique" est un excellent moyen de vérifier le calcul mathématique.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise les deux cas extrêmes sur le schéma.

Cas BF (\(\omega \to 0\))

V_e

V_s \(\to\) 0V

Cas HF (\(\omega \to \infty\))

V_e

R (I=0)

V_s \(\to\) V_e

Calcul(s)

Limite en Basse Fréquence (\(\omega \to 0\))

\lim_{\omega \to 0} |H(j\omega)| = \lim_{\omega \to 0} \frac{L\omega}{\sqrt{R^2 + (L\omega)^2}} = \frac{L \times 0}{\sqrt{R^2 + 0}} = \frac{0}{R} = 0

Limite en Haute Fréquence (\(\omega \to \infty\))

\lim_{\omega \to \infty} |H(j\omega)| = \lim_{\omega \to \infty} \frac{L\omega}{\sqrt{R^2 + (L\omega)^2}}

On factorise par \(L\omega\) au dénominateur :

\lim_{\omega \to \infty} \frac{L\omega}{\sqrt{(L\omega)^2 \left(\frac{R^2}{(L\omega)^2} + 1\right)}} = \lim_{\omega \to \infty} \frac{L\omega}{L\omega \sqrt{\frac{R^2}{(L\omega)^2} + 1}}

= \lim_{\omega \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{R^2}{(L\omega)^2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{0 + 1}} = 1

Schéma (Après les calculs)

On peut tracer l'allure du diagramme de Bode (asymptotes du gain).

Diagramme de Bode Asymptotique (Gain)

Réflexions

Le gain passe de 0 (les basses fréquences sont bloquées) à 1 (les hautes fréquences passent). C'est bien un filtre passe-haut. Le "mur" qui bloque les basses fréquences n'est pas vertical ; il a une pente. Dans un diagramme de Bode (log-log), cette pente est de +20 dB par décade.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre le gain \(|H(j\omega)|\) (qui va de 0 à 1) et le gain en décibels \(G_{dB} = 20 \log(|H(j\omega)|)\) (qui va de \(-\infty\) à 0 dB). L'analyse asymptotique est souvent plus facile à faire sur le gain simple avant de penser en dB.

Points à retenir

BF (\(\omega \to 0\)) : L = fil, \(V_s = 0\), Gain = 0.
HF (\(\omega \to \infty\)) : L = circuit ouvert, \(V_s = V_e\), Gain = 1.
Conclusion : C'est un filtre Passe-Haut.

Le saviez-vous ?

Dans les enceintes audio, on utilise ce type de filtre (souvent plus complexe) pour diriger les signaux. Un filtre passe-haut envoie les hautes fréquences (aigus) vers le petit haut-parleur (le "tweeter"), tandis qu'un filtre passe-bas envoie les basses fréquences (graves) vers le gros haut-parleur (le "woofer").

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

À basse fréquence (\(\omega \to 0\)), le gain \(|H(j\omega)| \to 0\).
À haute fréquence (\(\omega \to \infty\)), le gain \(|H(j\omega)| \to 1\).

A vous de jouer

Si la sortie était prise aux bornes de R (filtre passe-bas), quel serait le gain à haute fréquence (\(\omega \to \infty\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Analyse asymptotique (Limites).
Résultat BF (\(\omega \to 0\)) : Gain \(\to\) 0 (Bloque).
Résultat HF (\(\omega \to \infty\)) : Gain \(\to\) 1 (Passe).
Conclusion : Filtre Passe-Haut.

Question 4 : Calculer le gain en décibels (dB) à la fréquence de coupure, \(f = f_c\).

Principe

Nous devons calculer la valeur exacte du gain \(|H(j\omega)|\) lorsque \(\omega = \omega_c\). Une fois cette valeur obtenue, nous la convertirons en décibels (dB) en utilisant la formule \(G_{dB} = 20 \log_{10}(|H|)\). La fréquence de coupure est spécifiquement définie comme la fréquence où le gain vaut \(-3 \text{ dB}\).

Mini-Cours

Le gain est le module de la fonction de transfert :
\(|H(j\omega)| = \left| \frac{jL\omega}{R + jL\omega} \right| = \frac{|jL\omega|}{|R + jL\omega|} = \frac{L\omega}{\sqrt{R^2 + (L\omega)^2}}\).
À la pulsation de coupure, \(\omega = \omega_c = R/L\). On remplace \(\omega\) par cette valeur :
\(|H(j\omega_c)| = \frac{L(R/L)}{\sqrt{R^2 + (L(R/L))^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{R}{\sqrt{2R^2}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
C'est une valeur universelle pour tous les filtres du premier ordre à leur fréquence de coupure.

Remarque Pédagogique

Le gain vaut \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (\( \approx 0.707\)) à la fréquence de coupure. Cela signifie que l'amplitude de la tension de sortie est 70.7% de l'amplitude d'entrée (ou 70.7% du maximum en HF). On appelle cela le "point à -3 dB".

Normes

La définition du décibel (dB) pour une amplitude (tension) est \(20 \log_{10}(A_2/A_1)\). Pour une puissance, ce serait \(10 \log_{10}(P_2/P_1)\).

Formule(s)

Gain à la coupure

|H(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}}

Conversion en Décibels

G_{dB} = 20 \log_{10}(|H|)

Hypothèses

On utilise la définition standard de la fréquence de coupure (celle où \(|H|\) est divisé par \(\sqrt{2}\) par rapport à son maximum).

Donnée(s)

Pas de données numériques nécessaires, le résultat est théorique et universel.

Astuces

Pas besoin de refaire le calcul à chaque fois. Retenez juste : "Fréquence de coupure = -3 dB".
Pourquoi -3 dB ?
\(G_{dB} = 20 \log_{10}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 20 \log_{10}(2^{-1/2}) = 20 \times (-\frac{1}{2}) \log_{10}(2) = -10 \log_{10}(2)\).
Comme \(\log_{10}(2) \approx 0.301\), on a \(G_{dB} \approx -10 \times 0.301 = -3.01 \text{ dB}\). On arrondit à -3 dB.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la valeur du gain (en dB) au point exact de la fréquence de coupure sur le diagramme de Bode.

Point -3dB sur le Diagramme de Bode

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du gain à la coupure

|H(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}}

Étape 2 : Conversion en dB

G_{dB} = 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Étape 3 : Simplification

G_{dB} = -20 \log_{10}(\sqrt{2}) = -20 \log_{10}(2^{1/2}) \] \[ G_{dB} = -20 \times \frac{1}{2} \log_{10}(2)

G_{dB} = -10 \log_{10}(2) \approx -10 \times 0.301 \] \[ G_{dB} \approx -3.01 \text{ dB}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent est confirmé : à la fréquence \(f_c\), la courbe de gain réelle passe exactement 3 dB en dessous de l'asymptote haute (qui est à 0 dB).

Réflexions

Le fait que le gain soit de -3 dB (soit une amplitude de 0.707) à la fréquence de coupure est une définition. C'est un standard en ingénierie. Si on parle de puissance (qui est proportionnelle au carré de la tension), une tension de 0.707 donne une puissance de \(0.707^2 \approx 0.5\). La fréquence de coupure est donc la fréquence à laquelle la puissance de sortie est divisée par 2.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\log_{10}\) (logarithme décimal, sur la plupart des calculatrices "log") et \(\ln\) (logarithme népérien). La formule du décibel utilise bien le \(\log_{10}\).

Points à retenir

À \(f = f_c\), le gain vaut \(|H| = 1/\sqrt{2} \approx 0.707\).
Ceci correspond, par définition, à un gain de \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\).

Le saviez-vous ?

Le "Bode" de "diagramme de Bode" vient de Hendrik Wade Bode, un ingénieur américain qui travaillait aux laboratoires Bell. Il a développé cette méthode graphique simple dans les années 1930 pour analyser la stabilité des amplificateurs dans les réseaux téléphoniques. C'est devenu un outil universel.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

À la fréquence de coupure \(f_c\), le gain est \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\), ce qui correspond à \(G_{dB} \approx -3 \text{ dB}\).

A vous de jouer

À quelle fréquence (en fonction de \(f_c\)) le gain en dB sera-t-il d'environ +20 dB ? (Indice : impossible, le max est 0 dB). OK, question piège. À quelle fréquence le gain sera-t-il de -20 dB ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Gain à la coupure.
Formule : \(G_{dB} = 20 \log_{10}(|H|)\).
Résultat : À \(f_c\), \(|H| = 1/\sqrt{2}\) \(\Rightarrow\) \(G_{dB} = -3 \text{ dB}\).

Question 5 : Calculer la phase (le déphasage) \(\phi(\omega)\) à la fréquence de coupure, \(f = f_c\).

Principe

La phase \(\phi(\omega)\) est l'argument (l'angle) de la fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\). Elle représente le décalage temporel (avance ou retard) que le filtre introduit sur le signal de sortie par rapport au signal d'entrée. Nous devons calculer cet angle \(\phi\) au moment précis où \(\omega = \omega_c\).

Mini-Cours

L'argument d'un nombre complexe \(\frac{A}{B}\) est \(\arg(A) - \arg(B)\).
Notre fonction est \(H(j\omega) = \frac{jL\omega}{R + jL\omega}\).
- L'argument du numérateur \(N = jL\omega\) est constant : \(\arg(N) = +90^\circ\) (ou \(\pi/2\) rad), car c'est un imaginaire pur positif.
- L'argument du dénominateur \(D = R + jL\omega\) est : \(\arg(D) = \arctan\left(\frac{\text{Partie Imaginaire}}{\text{Partie Réelle}}\right) = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\).
Donc, la phase totale est : \(\phi(\omega) = \arg(H) = \arg(N) - \arg(D) = 90^\circ - \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\).

Remarque Pédagogique

Nous devons maintenant évaluer cette expression à \(\omega = \omega_c\).
Or, à la coupure, on sait que \(\omega_c = R/L\), ce qui signifie \(L\omega_c/R = 1\).
Donc, \(\phi(\omega_c) = 90^\circ - \arctan(1)\).
L'angle dont la tangente vaut 1 est 45°.
\(\phi(\omega_c) = 90^\circ - 45^\circ = +45^\circ\).

Normes

Calcul de l'argument d'un nombre complexe. \(\arg(Z_1 / Z_2) = \arg(Z_1) - \arg(Z_2)\).

Formule(s)

Phase (Argument)

\phi(\omega) = \arg(H(j\omega)) = 90^\circ - \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)

Valeur à la coupure (\(\omega = \omega_c = R/L\))

\phi(\omega_c) = 90^\circ - \arctan(1) = 90^\circ - 45^\circ = +45^\circ

Hypothèses

On utilise la fonction tangente (\(\arctan\)) pour trouver l'argument d'un nombre complexe dans le plan (Réel, Imaginaire).

Donnée(s)

Pas de données numériques, le résultat est là aussi théorique et universel pour ce type de filtre.

Astuces

Pour ce filtre, la phase commence à +90° (BF) et se termine à 0° (HF). Le point "milieu" de 45° est atteint exactement à la fréquence de coupure.

BF (\(\omega \to 0\)) : \(H(j\omega) \approx \frac{jL\omega}{R}\). C'est un imaginaire pur positif. Phase = +90°.
HF (\(\omega \to \infty\)) : \(H(j\omega) \approx 1\). C'est un réel pur positif. Phase = 0°.
À \(f_c\) : Pile au milieu, \(\phi = +45^\circ\).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la valeur de la phase au point exact de la fréquence de coupure sur le diagramme de Bode.

Diagramme de Bode (Phase)

Calcul(s)

Étape 1 : Expression de la phase

\phi(\omega) = \arg(jL\omega) - \arg(R + jL\omega) = 90^\circ - \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)

Étape 2 : Évaluation à \(\omega = \omega_c = R/L\)

\phi(\omega_c) = 90^\circ - \arctan\left(\frac{L(R/L)}{R}\right) = 90^\circ - \arctan\left(\frac{R}{R}\right)

Étape 3 : Calcul final

\phi(\omega_c) = 90^\circ - \arctan(1) = 90^\circ - 45^\circ = +45^\circ

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent est confirmé. Le déphasage de +45° à la fréquence de coupure est un résultat fondamental. Cela signifie que le signal de sortie \(v_s(t)\) est en avance de 45° (soit 1/8ème de période) sur le signal d'entrée \(v_e(t)\) lorsque la fréquence est \(f_c\).

Réflexions

Un déphasage de +45° confirme le comportement "inductif" du circuit à cette fréquence. L'inductance crée une avance de phase. À très basse fréquence, le circuit est dominé par l'inductance (vue comme une sortie "court-circuit" par rapport à R) et la phase tend vers +90°. À très haute fréquence, le circuit est aussi dominé par l'inductance (qui "gagne" contre R dans le diviseur de tension), mais le rapport \(\frac{jL\omega}{jL\omega}\) est un réel pur, donc la phase tend vers 0°.

Points de vigilance

Attention au signe. C'est \(\arg(\text{Numérateur}) - \arg(\text{Dénominateur})\). Une erreur de signe est vite arrivée. Ici, \(\arg(jL\omega)\) est +90°, pas -90°. De plus, le \(\arctan\) est au dénominateur, donc il est soustrait.

Points à retenir

La phase d'un filtre RL passe-haut est \(\phi(\omega) = 90^\circ - \arctan(L\omega/R)\).
À \(f = f_c\), la phase vaut toujours \(+45^\circ\).
La phase varie de +90° (BF) à 0° (HF).

Le saviez-vous ?

Dans un filtre RC passe-haut (sortie aux bornes de R), la fonction de transfert est \(H = \frac{R}{R + 1/jC\omega}\). La phase varie de +90° à 0° et vaut +45° à la coupure. Le comportement est similaire, mais la technologie est différente (condensateurs vs inductances). En électronique audio, on préfère souvent les filtres RC car les condensateurs sont moins chers, plus petits et plus "idéaux" que les inductances.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

À la fréquence de coupure \(f_c\), la phase est \(\phi(\omega_c) = +45^\circ\) (ou \(\pi/4\) radians).

A vous de jouer

Quel serait le déphasage (en degrés) pour un filtre RC passe-bas (sortie aux bornes de C) à sa fréquence de coupure ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Phase (Argument) de H(j\(\omega\)).
Formule : \(\phi(\omega) = \arg(\text{Num}) - \arg(\text{Den})\).
Résultat : À \(f_c\), \(\phi = +45^\circ\).

Outil Interactif : Simulateur de Diagramme de Bode

Utilisez les sliders pour modifier les valeurs de R et L, et observez comment la fréquence de coupure et la courbe de réponse (Gain et Phase) sont affectées en temps réel.

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) en \(\Omega\) 100 \(\Omega\)

Inductance (L) en mH 10 mH

Résultats Clés

Fréq. de Coupure (\(f_c\)) -

Gain à \(f_c\) -3.0 dB

Phase à \(f_c\) +45.0°

Glossaire

Fonction de Transfert (\(H(j\omega)\)): Rapport complexe entre la tension de sortie \(V_s\) et la tension d'entrée \(V_e\). Elle décrit le gain et la phase du filtre à une fréquence donnée.
Gain (\(|H(j\omega)|\)): Le module de la fonction de transfert. Il indique le rapport d'amplitude entre la sortie et l'entrée (\(|V_s| / |V_e|\)).
Phase (\(\phi(\omega)\)): L'argument (angle) de la fonction de transfert. Elle indique le déphasage (avance ou retard) de la sortie par rapport à l'entrée.
Fréquence de Coupure (\(f_c\)): Fréquence à laquelle le gain du filtre est de -3 dB par rapport à son maximum. C'est la frontière entre la bande passante et la bande atténuée.
Impédance Complexe (Z): Généralisation de la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal, incluant les effets de phase des inductances et condensateurs.
Décibel (dB): Unité logarithmique utilisée pour exprimer des rapports, très utilisée pour le gain. \(G_{dB} = 20 \log_{10}(\text{Gain d'amplitude})\).