Circuits Électriques

Analyse d’un Échelon de Tension

Exercice : Lignes de Transmission en Régime Transitoire

Lignes de Transmission : Analyse d'un Échelon de Tension

Contexte : Le défi des phénomènes transitoiresComportement d'un circuit ou d'un système durant la courte période qui suit un changement brutal, comme la fermeture d'un interrupteur, avant qu'il n'atteigne un nouvel état stable. sur les lignes de transmission.

Lorsqu'un signal est appliqué à une ligne de transmission (comme un câble coaxial ou une piste sur un circuit imprimé), il ne se propage pas instantanément. L'analyse de ce régime transitoire est cruciale en électronique haute fréquence et en génie électrique pour éviter la distorsion des signaux. Cet exercice se penche sur la réponse d'une ligne à un échelon de tension, en utilisant les fameuses équations des télégraphistesUne paire d'équations différentielles linéaires qui décrivent la tension et le courant sur une ligne de transmission en fonction de la distance et du temps. pour modéliser le comportement des ondes et de leurs réflexions.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de propagation complexe en une série d'ondes incidentes et réfléchies. La construction du diagramme de Bergeron, un outil visuel puissant, vous permettra de suivre ces ondes dans le temps et l'espace pour comprendre l'établissement du régime permanent.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les équations des télégraphistes pour une ligne sans pertes.
  • Calculer l'impédance caractéristiqueRapport de l'amplitude de la tension à l'amplitude du courant pour une onde se propageant dans une seule direction sur la ligne. C'est une propriété intrinsèque de la ligne. et la vitesse de propagation.
  • Comprendre et calculer les coefficients de réflexionFraction de l'onde incidente qui est réfléchie lorsqu'elle rencontre une discontinuité d'impédance, comme la charge ou la source. à la charge et à la source.
  • Construire et interpréter un diagramme de BergeronAussi appelé diagramme de rebond, c'est une technique graphique qui permet de visualiser la propagation et la réflexion des ondes de tension et de courant le long d'une ligne de transmission au fil du temps..

Données de l'étude

On considère une ligne de transmission sans pertes, de longueur \(l=100 \, \text{m}\). Elle est alimentée par un générateur de tension continue \(V_g = 10 \, \text{V}\) avec une résistance interne \(R_g = 25 \, \text{Ω}\). La ligne est terminée par une charge résistive \(R_L = 100 \, \text{Ω}\). Un interrupteur, initialement ouvert, est fermé à l'instant \(t=0\).

Schéma du Circuit
Vg Rg t=0 Z₀, l, vₚ Rʟ x=0 x=l
Caractéristique Symbole Valeur Unité
Inductance linéique \(L\) 250 \(\text{nH/m}\)
Capacité linéique \(C\) 100 \(\text{pF/m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'impédance caractéristique \(Z_0\) de la ligne.
  2. Calculer la vitesse de propagation \(v_p\) de l'onde et le temps de transit \(T\) de la ligne.
  3. Calculer le coefficient de réflexion à la charge, \(\Gamma_L\).
  4. Calculer le coefficient de réflexion à la source, \(\Gamma_g\).
  5. Déterminer la tension \(V_1^+\) de la première onde se propageant vers la charge.
  6. Construire le diagramme de Bergeron et en déduire l'évolution de la tension \(V(l, t)\) aux bornes de la charge pour un temps \(t\) allant de \(0\) à \(5T\).

Les bases sur les Lignes de Transmission

Pour une ligne sans pertes (\(R=0\), \(G=0\)), les équations des télégraphistes se simplifient et décrivent la propagation d'ondes. Les paramètres clés qui en découlent régissent le comportement transitoire du circuit.

1. Impédance Caractéristique (\(Z_0\))
C'est une propriété intrinsèque de la ligne qui représente le rapport entre la tension et le courant d'une onde progressive. Pour une ligne sans pertes : \[ Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \]

2. Vitesse de Propagation (\(v_p\))
C'est la vitesse à laquelle l'onde électromagnétique se déplace le long de la ligne. \[ v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

3. Coefficients de Réflexion (\(\Gamma\))
Lorsqu'une onde atteint une extrémité de la ligne (charge ou source), une partie de son énergie est réfléchie si l'impédance de terminaison n'est pas égale à \(Z_0\). \[ \Gamma_L = \frac{R_L - Z_0}{R_L + Z_0} \quad \text{et} \quad \Gamma_g = \frac{R_g - Z_0}{R_g + Z_0} \]

Correction : Analyse d'un Échelon de Tension

Question 1 : Calculer l'impédance caractéristique \(Z_0\).

Principe

L'impédance caractéristique est une propriété fondamentale de la ligne. Elle représente la "résistance" que verrait une onde se propageant sur une ligne de longueur infinie. Elle est déterminée uniquement par les propriétés physiques de la ligne, à savoir son inductance et sa capacité par unité de longueur.

Mini-Cours

Pour une ligne sans pertes (hypothèse de notre exercice), l'impédance caractéristique \(Z_0\) est un nombre réel, elle est donc purement résistive. Cela signifie qu'il n'y a pas de déphasage entre la tension et le courant de l'onde. L'adaptation d'impédance (\(R_L=Z_0\)) est un concept clé pour maximiser le transfert de puissance et éliminer les réflexions.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème de ligne de transmission est souvent de calculer ses caractéristiques intrinsèques : \(Z_0\) et \(v_p\). Assurez-vous de toujours vérifier les unités (nano, pico) et de les convertir en unités de base du Système International (Henry, Farad) avant de faire le calcul pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou plus.

Normes

Il n'y a pas de norme pour la formule elle-même, mais les valeurs d'impédance caractéristique sont standardisées dans l'industrie pour assurer l'interopérabilité des équipements. Par exemple, les systèmes de radiofréquence et de test utilisent très majoritairement \(Z_0=50\,\text{Ω}\), tandis que les systèmes de télédistribution (TV) utilisent \(Z_0=75\,\text{Ω}\).

Formule de l'Impédance Caractéristique

\[ Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \]
Hypothèses
  • La ligne de transmission est considérée sans pertes (composants résistif \(R\) et conductif \(G\) nuls).
  • La ligne est uniforme, ce qui signifie que \(L\) et \(C\) sont constants sur toute sa longueur.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Inductance linéique\(L\)\(250 \times 10^{-9}\)\(\text{H/m}\)
Capacité linéique\(C\)\(100 \times 10^{-12}\)\(\text{F/m}\)
Astuces

Lorsque vous traitez des racines carrées de nombres avec des puissances de 10, essayez de manipuler les exposants pour qu'ils soient pairs. Ici, \(10^{-9} / 10^{-12} = 10^3\). On peut écrire \(2.5 \times 10^3\) comme \(25 \times 10^2\), dont la racine carrée est évidente : \(5 \times 10^1 = 50\).

Schéma (Avant les calculs)
Modèle Linéique d'un Segment de Ligne \(dx\)
L·dxC·dxdx
Calcul(s)

Application Numérique

\[ \begin{aligned} Z_0 &= \sqrt{\frac{250 \times 10^{-9}}{100 \times 10^{-12}}} \\ &= \sqrt{2.5 \times 10^3} \\ &= \sqrt{2500} \\ &= 50 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Réflexions

La valeur de \(50 \, \text{Ω}\) est très courante pour les câbles coaxiaux utilisés dans les équipements de mesure (oscilloscopes, générateurs de fonctions) et les applications RF. Ce résultat est donc tout à fait plausible et nous conforte dans notre calcul.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une mauvaise gestion des préfixes (nano-, pico-). Une erreur d'un facteur \(10^3\) sur \(L\) ou \(C\) entraînera une erreur d'un facteur \(\sqrt{1000} \approx 31.6\) sur \(Z_0\), ce qui est considérable.

Points à retenir
  • La formule de l'impédance caractéristique \(Z_0 = \sqrt{L/C}\) pour une ligne sans pertes.
  • \(Z_0\) est une propriété intrinsèque de la ligne, indépendante de sa longueur ou de ce qui y est connecté.
Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance caractéristique a été développé par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle. Son travail a transformé la compréhension des lignes télégraphiques, permettant des communications claires sur de longues distances en minimisant la distorsion du signal.

FAQ

Pourquoi \(Z_0\) est-elle appelée impédance alors qu'elle est en Ohms, comme une résistance ?

Pour une ligne sans pertes, \(Z_0\) est réelle et se comporte comme une résistance. Cependant, pour une ligne réelle avec des pertes (\(R \neq 0, G \neq 0\)), \(Z_0 = \sqrt{(R+j\omega L)/(G+j\omega C)}\) devient un nombre complexe. Le terme "impédance" est donc plus général et reste correct dans le cas simple d'une ligne sans pertes.

Résultat Final
L'impédance caractéristique de la ligne est \(Z_0 = 50 \, \text{Ω}\).
A vous de jouer

Si, pour améliorer l'isolation, on doublait la capacité linéique \(C\) de la ligne (en changeant le diélectrique), que deviendrait la nouvelle impédance caractéristique \(Z'_0\) ?

Question 2 : Calculer la vitesse \(v_p\) et le temps de transit \(T\).

Principe

La vitesse de propagation est la vitesse à laquelle l'énergie (l'onde de tension et de courant) se déplace le long de la ligne. Elle est finie et toujours inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide. Le temps de transit est simplement la durée nécessaire à l'onde pour parcourir toute la longueur de la ligne.

Mini-Cours

La vitesse de propagation est déterminée par le milieu dans lequel l'onde se déplace, caractérisé par sa permittivité diélectrique \(\epsilon\) et sa perméabilité magnétique \(\mu\). On a \(L = \mu\) et \(C = \epsilon\) pour une géométrie simple. Donc \(v_p = 1/\sqrt{\mu\epsilon}\). Pour le vide, \(v_p = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = c\). Dans un câble, le diélectrique ralentit l'onde.

Remarque Pédagogique

Comprendre que le signal a un temps de propagation fini est le concept le plus important des phénomènes transitoires. Pour des circuits très rapides (fréquences en GHz), même quelques centimètres de piste sur un circuit imprimé peuvent introduire un retard significatif qui doit être pris en compte dans la conception.

Normes

Les fiches techniques des câbles spécifient souvent la vitesse de propagation sous la forme d'un "facteur de vélocité" (Velocity Factor, VF), qui est le rapport \(v_p / c\), exprimé en pourcentage. Un VF de 66% est typique pour les câbles coaxiaux avec un diélectrique en polyéthylène solide.

Formule(s)

Formule de la Vitesse de Propagation

\[ v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

Formule du Temps de Transit

\[ T = \frac{l}{v_p} \]
Hypothèses
  • Le milieu de propagation (diélectrique de la ligne) est homogène et non dispersif, ce qui signifie que la vitesse de propagation est la même pour toutes les fréquences.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Inductance linéique\(L\)\(250 \times 10^{-9}\)\(\text{H/m}\)
Capacité linéique\(C\)\(100 \times 10^{-12}\)\(\text{F/m}\)
Longueur de la ligne\(l\)\(100\)\(\text{m}\)
Astuces

Vous pouvez combiner les formules pour trouver d'autres relations utiles. Par exemple, puisque \(Z_0 = \sqrt{L/C}\) et \(v_p = 1/\sqrt{LC}\), vous pouvez en déduire que \(v_p = Z_0/L\) ou \(v_p = 1/(Z_0 C)\). Cela peut parfois simplifier les calculs si \(Z_0\) est déjà connu.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Propagation et du Transit
Ligne (l = 100 m)Temps de transit T = l / v_p
Calcul(s)

Calcul de la vitesse de propagation

\[ \begin{aligned} v_p &= \frac{1}{\sqrt{(250 \times 10^{-9}) \times (100 \times 10^{-12})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{25000 \times 10^{-21}}} \\ &= \frac{1}{5 \times 10^{-9}} \\ &= 2 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Calcul du temps de transit

\[ \begin{aligned} T &= \frac{l}{v_p} \\ &= \frac{100 \, \text{m}}{2 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &= 50 \times 10^{-8} \, \text{s} \\ &= 0.5 \, \mu\text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Front d'Onde à mi-parcours (t = T/2)
x=0x=lFront d'onde
Réflexions

La vitesse calculée, \(2 \times 10^8 \, \text{m/s}\), correspond à environ 66.7% de la vitesse de la lumière dans le vide (\(c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)). C'est une valeur très typique pour des câbles coaxiaux standards. Le temps de transit de \(0.5 \, \mu\text{s}\) est court, mais pour un signal numérique à 10 MHz (période de 0.1 \(\mu\)s), ce retard est significatif et correspond à 5 périodes complètes du signal.

Points de vigilance

Assurez-vous que la longueur \(l\) est en mètres pour être cohérent avec \(v_p\) en m/s. Une erreur commune est d'oublier de convertir des longueurs en cm ou km. Vérifiez également le résultat final : \(v_p\) ne peut jamais être supérieure à \(c\).

Points à retenir
  • La formule de la vitesse de propagation \(v_p = 1/\sqrt{LC}\).
  • Le temps de transit \(T\) est le rapport de la longueur de la ligne sur la vitesse de propagation, \(T=l/v_p\).
Le saviez-vous ?

La latence dans les communications intercontinentales via les câbles sous-marins en fibre optique est principalement due à ce temps de propagation fini. Même à la vitesse de la lumière dans le verre (environ \(2 \times 10^8\) m/s), il faut environ 60 millisecondes pour qu'un signal fasse un aller-retour entre l'Europe et l'Amérique du Nord.

FAQ

La vitesse de propagation est-elle la même pour toutes les fréquences ?

Pour une ligne idéale "sans pertes" comme dans cet exercice, oui. Pour une ligne réelle, le diélectrique et l'effet de peau dans les conducteurs peuvent introduire une légère dépendance à la fréquence (un phénomène appelé dispersion), qui peut déformer les signaux contenant de nombreuses fréquences (comme les signaux carrés).

Résultat Final
La vitesse de propagation est \(v_p = 2 \times 10^8 \, \text{m/s}\) et le temps de transit est \(T = 0.5 \, \mu\text{s}\).
A vous de jouer

Si la ligne de transmission était deux fois plus longue (\(l=200 \, \text{m}\)), quel serait le nouveau temps de transit \(T'\) ?

Question 3 : Calculer le coefficient de réflexion à la charge, \(\Gamma_L\).

Principe

Le coefficient de réflexion à la charge quantifie la désadaptation d'impédance entre la ligne (\(Z_0\)) et la charge (\(R_L\)). Il représente la fraction de l'onde de tension incidente qui est réfléchie par la charge et repart en direction de la source.

Mini-Cours

Le coefficient de réflexion \(\Gamma_L\) est un nombre sans dimension, compris entre -1 et +1 pour des charges résistives.

  • \(\Gamma_L = 0\): Adaptation parfaite (\(R_L = Z_0\)). Pas de réflexion, toute l'énergie est absorbée par la charge.
  • \(\Gamma_L = 1\): Circuit ouvert (\(R_L = \infty\)). Réflexion totale, l'onde réfléchie est en phase avec l'onde incidente.
  • \(\Gamma_L = -1\): Court-circuit (\(R_L = 0\)). Réflexion totale, l'onde réfléchie est en opposition de phase.

Remarque Pédagogique

Pensez au coefficient de réflexion comme à un "facteur d'écho". L'adaptation d'impédance (viser \(\Gamma_L=0\)) est l'équivalent de mettre de la mousse acoustique sur les murs d'un studio d'enregistrement pour éliminer l'écho et n'entendre que le son direct.

Normes

En ingénierie RF, la qualité d'une adaptation d'impédance n'est pas exprimée avec \(\Gamma\) mais avec le ROS (Rapport d'Ondes Stationnaires) ou SWR (Standing Wave Ratio), qui est directement lié à la magnitude de \(\Gamma_L\) par la formule \(ROS = (1+|\Gamma_L|)/(1-|\Gamma_L|)\). Un ROS de 1:1 est parfait.

Formule du Coefficient de Réflexion à la Charge

\[ \Gamma_L = \frac{R_L - Z_0}{R_L + Z_0} \]
Hypothèses
  • L'impédance de la charge est purement résistive.
  • La connexion à la charge est ponctuelle (pas de longueur parasite).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Impédance caractéristique\(Z_0\)\(50\)\(\text{Ω}\)
Résistance de charge\(R_L\)\(100\)\(\text{Ω}\)
Astuces

La formule est toujours de la forme \((\text{Impédance de destination} - \text{Impédance de la ligne}) / (\text{Impédance de destination} + \text{Impédance de la ligne})\). Pour la charge, la destination est \(R_L\).

Schéma (Avant les calculs)
Interface Ligne-Charge
Ligne (Z₀)Charge (Rʟ)Onde Incidente
Calcul(s)

Application Numérique

\[ \begin{aligned} \Gamma_L &= \frac{R_L - Z_0}{R_L + Z_0} \\ &= \frac{100 \, \text{Ω} - 50 \, \text{Ω}}{100 \, \text{Ω} + 50 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{50}{150} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Réflexion à la Charge (\(R_L > Z_0\))
Ligne (Z₀)Charge (Rʟ)V₁⁺V₁⁻ = (1/3)V₁⁺
Réflexions

Un \(\Gamma_L\) positif (\(+1/3\)) signifie que \(R_L > Z_0\). L'onde de tension réfléchie par la charge sera dans le même sens (même signe) que l'onde incidente. La tension totale à la charge sera donc initialement supérieure à la tension de l'onde incidente.

Points de vigilance

Ne vous trompez pas de sens dans la soustraction au numérateur. C'est toujours (Charge - Ligne). Une inversion de signe ici changera complètement le comportement de la réflexion.

Points à retenir
  • La formule du coefficient de réflexion à la charge : \(\Gamma_L = (R_L - Z_0)/(R_L + Z_0)\).
  • La signification physique d'un coefficient positif : l'onde de tension réfléchie est en phase.
Le saviez-vous ?

L'adaptation d'impédance est cruciale pour les antennes. Une mauvaise adaptation (\(\Gamma_L \neq 0\)) signifie qu'une partie de la puissance que l'émetteur envoie à l'antenne est réfléchie vers l'émetteur. Cette puissance réfléchie peut endommager les composants de l'amplificateur de puissance.

FAQ

Que se passe-t-il si la charge est complexe (inductive ou capacitive) ?

Si la charge est \(Z_L\) au lieu de \(R_L\), le coefficient de réflexion \(\Gamma_L = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)\) devient un nombre complexe. Sa magnitude (toujours \(\le 1\)) donne le rapport d'amplitude, et son angle donne le déphasage de l'onde réfléchie par rapport à l'onde incidente.

Résultat Final
Le coefficient de réflexion à la charge est \(\Gamma_L = 1/3 \approx 0.333\).
A vous de jouer

Pour obtenir une adaptation parfaite à la charge (\(\Gamma_L=0\)), quelle devrait être la valeur de \(R_L\) ?

Question 4 : Calculer le coefficient de réflexion à la source, \(\Gamma_g\).

Principe

Tout comme à la charge, lorsqu'une onde réfléchie (\(V_1^-\)) revient à la source, elle rencontre l'impédance interne du générateur (\(R_g\)). Si \(R_g \neq Z_0\), une seconde réflexion se produit, créant une nouvelle onde (\(V_2^+\)) qui se propage à nouveau vers la charge.

Mini-Cours

Le calcul du coefficient de réflexion à la source, \(\Gamma_g\), suit exactement la même logique que pour la charge. L'onde qui arrive "voit" l'impédance du générateur comme sa terminaison. Ce coefficient détermine l'amplitude et la phase de la "ré-réflexion" qui initie le prochain aller-retour de l'onde sur la ligne.

Remarque Pédagogique

La réflexion à la source est souvent négligée dans une première approche, mais elle est tout aussi importante que celle à la charge pour comprendre le comportement complet du système. C'est elle qui est responsable des oscillations et de l'établissement progressif du régime permanent.

Normes

En conception de circuits haute-fréquence, on s'efforce non seulement d'adapter la charge (côté récepteur), mais aussi la source (côté émetteur) pour maximiser le transfert de puissance initial et minimiser les réflexions qui pourraient perturber le générateur.

Formule du Coefficient de Réflexion à la Source

\[ \Gamma_g = \frac{R_g - Z_0}{R_g + Z_0} \]
Hypothèses
  • L'impédance interne du générateur est purement résistive.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Impédance caractéristique\(Z_0\)\(50\)\(\text{Ω}\)
Résistance du générateur\(R_g\)\(25\)\(\text{Ω}\)
Astuces

La formule est toujours de la forme \((\text{Impédance de destination} - \text{Impédance de la ligne}) / (\text{Impédance de destination} + \text{Impédance de la ligne})\). Pour l'onde retournant vers la source, la destination est \(R_g\).

Schéma (Avant les calculs)
Interface Ligne-Source
Source (Rg)Ligne (Z₀)Onde Réfléchie (de la charge)
Calcul(s)

Application Numérique

\[ \begin{aligned} \Gamma_g &= \frac{R_g - Z_0}{R_g + Z_0} \\ &= \frac{25 \, \text{Ω} - 50 \, \text{Ω}}{25 \, \text{Ω} + 50 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{-25}{75} \\ &= -\frac{1}{3} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Réflexion à la Source (\(R_g < Z_0\))
Source (Rg)Ligne (Z₀)V₁⁻V₂⁺ = (-1/3)V₁⁻
Réflexions

Un \(\Gamma_g\) négatif (\(-1/3\)) signifie que \(R_g < Z_0\). L'onde de tension réfléchie par le générateur sera en opposition de phase (signe inversé) par rapport à l'onde qui arrive sur lui. C'est cette inversion de signe qui va "corriger" le dépassement de tension initial à la charge et faire converger le système.

Points de vigilance

N'oubliez pas que le \(\Gamma\) à utiliser dépend du sens de propagation de l'onde. Quand l'onde va vers la charge, on utilise \(\Gamma_L\). Quand elle revient vers la source, on utilise \(\Gamma_g\).

Points à retenir
  • La formule du coefficient de réflexion à la source : \(\Gamma_g = (R_g - Z_0)/(R_g + Z_0)\).
  • La signification physique d'un coefficient négatif : l'onde de tension réfléchie est en opposition de phase.
Le saviez-vous ?

Dans certains systèmes, une "terminaison active" est utilisée. Le circuit à la source détecte l'onde réfléchie et ajuste activement son impédance de sortie pour être exactement égale à \(Z_0\) (\(\Gamma_g = 0\)), annulant ainsi numériquement toutes les réflexions ultérieures pour stabiliser le signal plus rapidement.

FAQ

Si le générateur était idéal (\(R_g=0\)), que vaudrait \(\Gamma_g\) ?

Si \(R_g=0\), la source se comporte comme un court-circuit pour l'onde réfléchie. On aurait \(\Gamma_g = (0 - 50)/(0 + 50) = -1\). Cela produirait des réflexions maximales en opposition de phase.

Résultat Final
Le coefficient de réflexion à la source est \(\Gamma_g = -1/3 \approx -0.333\).
A vous de jouer

Pour obtenir une adaptation parfaite à la source (\(\Gamma_g=0\)), quelle devrait être la valeur de \(R_g\) ?

Question 5 : Déterminer la tension \(V_1^+\) de la première onde.

Principe

À l'instant exact où l'interrupteur est fermé (\(t=0^+\)), l'onde n'a pas encore eu le temps de se propager ni d'atteindre la charge. Du point de vue du générateur, la ligne de transmission se comporte initialement comme une simple résistance d'une valeur égale à son impédance caractéristique \(Z_0\).

Mini-Cours

Ce phénomène peut être modélisé par un circuit équivalent initial. Le générateur (\(V_g, R_g\)) est connecté à une charge fictive \(Z_0\). La tension aux bornes de cette charge fictive est la tension de la première onde progressive \(V_1^+\). C'est une application directe d'un pont diviseur de tension.

Remarque Pédagogique

C'est une étape cruciale. Ne vous laissez pas tromper par la présence de \(R_L\) dans le schéma global. Au premier instant, l'information "au bout de la ligne, il y a une résistance \(R_L\)" n'est pas encore parvenue au générateur. Le circuit ne "sait" pas encore ce qu'il y a à l'autre bout.

Formule de la Tension Initiale (Pont Diviseur)

\[ V_1^+ = V_g \frac{Z_0}{R_g + Z_0} \]
Hypothèses
  • L'interrupteur se ferme instantanément à \(t=0\).
  • La ligne est initialement "au repos" : la tension et le courant sont nuls partout pour \(t<0\).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension du générateur\(V_g\)\(10\)\(\text{V}\)
Résistance du générateur\(R_g\)\(25\)\(\text{Ω}\)
Impédance caractéristique\(Z_0\)\(50\)\(\text{Ω}\)
Schéma (Avant les calculs)
Circuit équivalent à \(t=0^+\)
VgRgZ₀+-V₁⁺
Calcul(s)

Application Numérique

\[ \begin{aligned} V_1^+ &= V_g \frac{Z_0}{R_g + Z_0} \\ &= 10 \, \text{V} \times \frac{50 \, \text{Ω}}{25 \, \text{Ω} + 50 \, \text{Ω}} \\ &= 10 \times \frac{50}{75} \\ &= 10 \times \frac{2}{3} \\ &= \frac{20}{3} \, \text{V} \\ &\approx 6.67 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Lancement de l'Onde Initiale
x=0x=lV₁⁺ = 6.67 V
Réflexions

La tension initiale qui se propage n'est ni la tension du générateur (10V) ni la tension finale en régime permanent (8V). C'est une valeur intermédiaire qui dépend de la "première impression" que la ligne donne au générateur. Cette onde de 6.67V va maintenant voyager vers la charge.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est d'utiliser \(R_L\) dans le calcul du diviseur de tension. Il faut impérativement se souvenir qu'à \(t=0^+\), le générateur ne "voit" que \(Z_0\).

Points à retenir
  • La tension de la première onde est déterminée par un simple diviseur de tension entre \(R_g\) et \(Z_0\).
  • Cette tension est la "brique" initiale à partir de laquelle toutes les réflexions successives seront construites.
Le saviez-vous ?

Cette technique, qui consiste à envoyer une impulsion de tension et à analyser ce qui revient, est à la base de la Tomographie par Réflectométrie Temporelle (TDR). Elle est utilisée en géophysique pour trouver de l'eau ou des minerais sous terre, ou en génie civil pour détecter des défauts dans des fondations en béton.

FAQ

Et le courant initial, comment le calcule-t-on ?

Très simplement ! Une fois que vous avez \(V_1^+\), le courant de la première onde, \(I_1^+\), est donné par la loi d'Ohm sur l'impédance caractéristique : \(I_1^+ = V_1^+ / Z_0\). Dans notre cas, ce serait \((20/3)\text{V} / 50\text{Ω} = 2/15 \, \text{A} \approx 0.133 \, \text{A}\).

Résultat Final
La tension initiale de l'onde progressive est \(V_1^+ = 20/3 \, \text{V} \approx 6.67 \, \text{V}\).
A vous de jouer

Quelle serait la tension initiale \(V_1^+\) si la résistance interne du générateur était adaptée à la ligne (\(R_g = 50\,\text{Ω}\)) ?

Question 6 : Construire le diagramme de Bergeron et tracer \(V(l, t)\).

Principe

Le diagramme de Bergeron est un outil graphique espace-temps (axe x pour la position, axe y pour le temps) qui permet de suivre les allers-retours des ondes. Les lignes obliques représentent la propagation des ondes. À chaque réflexion sur la charge ou la source, une nouvelle onde est créée, dont l'amplitude est celle de l'onde incidente multipliée par le coefficient de réflexion local.

Mini-Cours

La tension en un point \(x\) et à un instant \(t\) est la somme de toutes les ondes progressives (\(V^+\)) et régressives (\(V^-\)) qui sont passées par ce point jusqu'à cet instant. À la charge (\(x=l\)), la tension totale est la somme de l'onde incidente et de l'onde qu'elle génère par réflexion : \(V_{\text{total}} = V_{\text{incidente}} + V_{\text{réfléchie}} = V^+ + \Gamma_L V^+ = V^+(1+\Gamma_L)\).

Remarque Pédagogique

La construction du diagramme peut sembler fastidieuse, mais elle est très méthodique. Le mieux est de procéder par étapes : 1) tracer l'onde initiale \(V_1^+\). 2) la faire se réfléchir à la charge pour créer \(V_1^-\). 3) faire se réfléchir \(V_1^-\) à la source pour créer \(V_2^+\), et ainsi de suite. Calculez les amplitudes de chaque onde avant de dessiner.

Formule(s)

Réflexion à la Charge

\[ V_n^- = V_n^+ \Gamma_L \]

Réflexion à la Source

\[ V_{n+1}^+ = V_n^- \Gamma_g \]

Tension à la Charge (mise à jour)

\[ V(l, t_n) = V(l, t_{n-1}) + V_{n}^+(1+\Gamma_L) \]
Hypothèses
  • Les réflexions se produisent instantanément aux extrémités \(x=0\) et \(x=l\).
  • Le principe de superposition s'applique : les tensions des différentes ondes s'ajoutent algébriquement.
Schéma (Avant les calculs)
Structure pour le Diagramme de Bergeron
x (position)t (temps)Source (x=0)Charge (x=l)
Calcul(s)

Calcul de la tension à la charge à \(t = T\) (première arrivée)

\[ \begin{aligned} V(l, T) &= V_1^+ (1 + \Gamma_L) \\ &= \frac{20}{3} \left(1 + \frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{20}{3} \times \frac{4}{3} \\ &= \frac{80}{9} \, \text{V} \\ &\approx 8.89 \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de l'onde réfléchie \(V_1^-\)

\[ \begin{aligned} V_1^- &= V_1^+ \Gamma_L \\ &= \frac{20}{3} \times \frac{1}{3} \\ &= \frac{20}{9} \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de l'onde ré-réfléchie \(V_2^+\)

\[ \begin{aligned} V_2^+ &= V_1^- \Gamma_g \\ &= \frac{20}{9} \times \left(-\frac{1}{3}\right) \\ &= -\frac{20}{27} \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de la tension à la charge à \(t = 3T\)

\[ \begin{aligned} V(l, 3T) &= V(l, T) + V_2^+(1+\Gamma_L) \\ &= \frac{80}{9} - \frac{20}{27}\left(1 + \frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{80}{9} - \frac{80}{81} \\ &= \frac{720-80}{81} \\ &= \frac{640}{81} \, \text{V} \\ &\approx 7.90 \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de l'onde réfléchie \(V_2^-\)

\[ \begin{aligned} V_2^- &= V_2^+ \Gamma_L \\ &= \left(-\frac{20}{27}\right) \times \frac{1}{3} \\ &= -\frac{20}{81} \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de l'onde ré-réfléchie \(V_3^+\)

\[ \begin{aligned} V_3^+ &= V_2^- \Gamma_g \\ &= \left(-\frac{20}{81}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{20}{243} \, \text{V} \end{aligned} \]

Calcul de la tension à la charge à \(t = 5T\)

\[ \begin{aligned} V(l, 5T) &= V(l, 3T) + V_3^+(1+\Gamma_L) \\ &= \frac{640}{81} + \frac{20}{243}\left(1 + \frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{640}{81} + \frac{80}{729} \\ &= \frac{5760+80}{729} \\ &= \frac{5840}{729} \, \text{V} \\ &\approx 8.01 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bergeron Détaillé
xtx=0x=lV₁⁺ = 6.67VV₁⁻ = 2.22VV₂⁺ = -0.74VV₂⁻ = -0.25VV₃⁺ = 0.08VV=8.89VV=7.90VV=8.01VConvergence vers V_final = 8V
Réflexions

La tension à la charge n'atteint pas sa valeur finale instantanément. Elle évolue par une série de paliers à chaque fois qu'une onde arrive (tous les 2T après le premier transit). Les oscillations s'amortissent et la tension converge vers la valeur de régime permanent, qui est celle d'un simple circuit DC : \(V_{\text{final}} = V_g \times R_L / (R_g + R_L) = 10 \times 100 / (25 + 100) = 8\) V. Nos calculs (\(8.89 \to 7.90 \to 8.01 \, \text{V}\)) montrent bien cette convergence.

Points de vigilance

La plus grande difficulté est de ne pas se perdre dans les ondes. Il faut bien additionner l'effet d'une nouvelle onde à la tension *déjà présente* à cet endroit. On ne repart pas de zéro à chaque fois. Soyez aussi très attentif aux instants : une onde réfléchie à la charge à \(t=T\) n'arrive à la source qu'à \(t=2T\).

Points à retenir
  • Le diagramme de Bergeron est un outil essentiel pour visualiser le régime transitoire.
  • La tension en un point évolue par paliers successifs, se stabilisant à la valeur du régime permanent DC après plusieurs réflexions.
Le saviez-vous ?

Ce phénomène d'oscillations avant stabilisation, appelé "ringing" en anglais, est un problème majeur en conception de circuits numériques rapides. Si les oscillations sont trop fortes, elles peuvent être interprétées à tort comme des changements de niveaux logiques (0 ou 1), créant des erreurs de données. C'est pourquoi l'adaptation d'impédance est si critique dans les mémoires RAM à haute vitesse ou les bus de communication comme l'USB ou le HDMI.

FAQ

Comment calculer la tension au milieu de la ligne à \(t=2.5T\) ?

Sur le diagramme, on se place à \(x=l/2\) et \(t=2.5T\). À cet instant, les ondes \(V_1^+\) (arrivée à \(t=0.5T\)) et \(V_1^-\) (arrivée à \(t=1.5T\)) sont passées, mais pas encore \(V_2^+\). La tension est donc \(V(l/2, 2.5T) = V_1^+ + V_1^- = 6.67\text{V} + 2.22\text{V} = 8.89\text{V}\).

Résultat Final
La tension à la charge \(V(l,t)\) évolue par paliers. Pour \(t<0.5\mu\text{s}\), \(V=0\text{V}\). Pour \(0.5\mu\text{s} \le t < 1.5\mu\text{s}\), \(V=8.89\text{V}\). Pour \(1.5\mu\text{s} \le t < 2.5\mu\text{s}\), \(V=7.90\text{V}\). Pour \(t \ge 2.5\mu\text{s}\), \(V=8.01\text{V}\), se rapprochant de la valeur finale de 8V.
A vous de jouer

Si la ligne était terminée par un court-circuit (\(R_L=0\text{Ω}\)), que vaudrait la tension à la charge \(V(l,t)\) pour tout \(t>0\) ?

Outil Interactif : Influence des Impédances

Utilisez les curseurs pour modifier les résistances du générateur (\(R_g\)) et de la charge (\(R_L\)). Observez comment l'adaptation d'impédance affecte la forme de la tension à la charge et le temps nécessaire pour atteindre le régime permanent.

Paramètres d'Entrée
100 Ω
25 Ω
Résultats Clés
Coeff. Réflexion Charge \(\Gamma_L\) -
Coeff. Réflexion Source \(\Gamma_g\) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la résistance de charge \(R_L\) est égale à l'impédance caractéristique \(Z_0\), que vaut le coefficient de réflexion \(\Gamma_L\) ?

2. Comment l'inductance linéique L et la capacité linéique C influencent-elles la vitesse de propagation \(v_p\) ?

3. Un coefficient de réflexion \(\Gamma = -1\) à la charge signifie que la ligne est :

4. Dans notre exercice, la tension à la charge \(V(l,t)\) converge vers 8V. Pourquoi ?

Glossaire

Ligne de Transmission
Un guide d'onde (comme un câble ou une piste de circuit) conçu pour transporter des signaux électromagnétiques avec une distorsion minimale.
Impédance Caractéristique (\(Z_0\))
Rapport de la tension au courant pour une onde se propageant dans une seule direction. C'est la "résistance" que l'onde "voit" en se propageant le long de la ligne.
Coefficient de Réflexion (\(\Gamma\))
Mesure le rapport de l'amplitude de l'onde réfléchie sur l'onde incidente à une discontinuité d'impédance.
Phénomène Transitoire
Le comportement temporaire d'un système après un changement soudain, avant qu'il n'atteigne un état stable et permanent.
Diagramme de Bergeron
Un graphique espace-temps qui illustre la propagation et les réflexions successives des ondes de tension et de courant sur une ligne de transmission.
Lignes de Transmission - Phénomènes Transitoires

D'autres exercices de Phénomènes Transitoires:

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