Circuits Électriques

Analyse d’un Signal Non Sinusoïdal

Exercice : Harmoniques et Signal Non Sinusoïdal

Analyse d'un Signal Non Sinusoïdal : Étude des Harmoniques

Contexte : Les signaux non sinusoïdaux en génie électrique.

Dans de nombreuses applications industrielles (redresseurs, onduleurs, variateurs de vitesse), les tensions et courants ne sont pas des sinusoïdes pures. Ils sont périodiques mais "déformés", et peuvent être décomposés en une somme de signaux sinusoïdaux : une composante continue, un fondamentalLa composante sinusoïdale du signal ayant la même fréquence que le signal périodique lui-même., et plusieurs harmoniquesDes sinusoïdes dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale..

Cet exercice applique le théorème de superpositionDans un circuit linéaire, la réponse à plusieurs sources est la somme des réponses à chaque source prise individuellement. pour analyser le comportement d'un circuit R-L simple soumis à une tension non sinusoïdale. Nous calculerons le courant, la puissance et le Taux de Distorsion Harmonique (THD)Mesure de la distorsion d'un signal par rapport à une sinusoïde pure, exprimée en pourcentage..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre pourquoi les impédances (comme \(Z_L = L\omega\)) doivent être recalculées pour chaque fréquence harmonique. Le circuit "réagit" différemment à chaque composante du signal !

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de superposition à un signal non sinusoïdal.
  • Calculer l'impédance d'un circuit R-L pour différentes fréquences (continue, fondamentale, harmonique).
  • Déterminer l'expression temporelle du courant pour chaque composante.
  • Calculer la valeur efficace totale d'un signal composé et la puissance active totale.
  • Définir et calculer le Taux de Distorsion Harmonique (THD) du courant.

Données de l'étude

On applique une tension périodique non sinusoïdale \(v(t)\) aux bornes d'un dipôle R-L série.

Fiche Technique (Circuit)
Caractéristique Valeur
Résistance (R) 10 Ω
Inductance (L) 20 mH
Fréquence fondamentale (f) 50 Hz
Schéma du circuit R-L série
Schéma d'un circuit R-L série v(t) R = 10 Ω L = 20 mH i(t)
Composante du signal \(v(t)\) Expression Paramètre Valeur
Continue (h=0) \(V_0\) \(V_0\) 24 V
Fondamental (h=1) \(V_1 \cos(\omega t)\) Amplitude \(V_1\) 100 V
Harmonique (h=3) \(V_3 \cos(3\omega t + \phi_3)\) Amplitude \(V_3\) 30 V
Harmonique (h=3) \(V_3 \cos(3\omega t + \phi_3)\) Phase \(\phi_3\) -45°

La tension totale est donc : \(v(t) = 24 + 100 \cos(\omega t) + 30 \cos(3\omega t - 45^\circ)\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation fondamentale \(\omega\). Déterminer l'impédance complexe du circuit \(\underline{Z_h}\) pour chaque rang harmonique présent (h=0, h=1, h=3).
  2. Déterminer les expressions complexes \(\underline{I_0}\), \(\underline{I_1}\), \(\underline{I_3}\), puis les expressions temporelles des courants \(i_0(t)\), \(i_1(t)\) et \(i_3(t)\).
  3. En déduire l'expression temporelle du courant total \(i(t)\).
  4. Calculer les valeurs efficaces \(I_0\), \(I_{1,\text{eff}}\), \(I_{3,\text{eff}}\), et la valeur efficace totale du courant \(I_{\text{eff}}\).
  5. Calculer la puissance active totale \(P\) consommée par le circuit, puis le Taux de Distorsion Harmonique (THD) du courant \(i(t)\).

Les bases sur les Harmoniques et la Superposition

Pour résoudre cet exercice, nous devons utiliser plusieurs concepts clés de l'analyse de circuits en régime non sinusoïdal.

1. Théorème de Superposition pour les Harmoniques
Tout signal périodique \(s(t)\) peut être décomposé en série de Fourier : \[ s(t) = S_0 + \sum_{h=1}^{\infty} S_h \cos(h\omega t + \phi_h) \] Si ce signal est appliqué à un circuit linéaire, la réponse totale \(r(t)\) est la somme des réponses à chaque composante (continue, fondamentale, et chaque harmonique) traitée séparément : \[ r(t) = R_0 + \sum_{h=1}^{\infty} R_h(t) \]

2. Impédance, Valeur Efficace et Puissance

  • Impédance \(\underline{Z_h}\) : L'impédance doit être calculée pour la pulsation de chaque harmonique \(h\), soit \(\omega_h = h\omega\). Pour notre circuit R-L : \[ \underline{Z_h} = R + j(L\omega_h) = R + j(hL\omega) \] Pour la composante continue (h=0), \(\omega_0 = 0\), donc \(\underline{Z_0} = R\). L'inductance est un court-circuit.
  • Valeur Efficace Totale : La valeur efficace (RMS) d'un signal composé est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque composante. \[ I_{\text{eff}} = \sqrt{I_0^2 + I_{1,\text{eff}}^2 + I_{2,\text{eff}}^2 + \dots} = \sqrt{I_0^2 + \sum_{h=1}^{\infty} \left(\frac{I_h}{\sqrt{2}}\right)^2} \] (Où \(I_h\) est l'amplitude de l'harmonique \(h\)).
  • Puissance Active Totale : Seule la résistance consomme de la puissance active. La puissance totale est la somme des puissances actives de chaque harmonique. \[ P = P_0 + P_1 + P_2 + \dots = R \cdot I_0^2 + \sum_{h=1}^{\infty} R \cdot I_{h,\text{eff}}^2 = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \]
  • THD (Taux de Distorsion Harmonique) : Il mesure le "poids" des harmoniques par rapport au fondamental. \[ \text{THD} (\%) = 100 \times \frac{\sqrt{\sum_{h=2}^{\infty} I_{h,\text{eff}}^2}}{I_{1,\text{eff}}} \]

Correction : Analyse d'un Signal Non Sinusoïdal

Question 1 : Calcul de \(\omega\) et des impédances \(\underline{Z_h}\)

Principe

La première étape consiste à déterminer la pulsation fondamentale \(\omega\) à partir de la fréquence \(f\). Ensuite, nous devons calculer l'impédance complexe du circuit pour chaque fréquence présente dans le signal d'entrée : 0 Hz (continu, h=0), 50 Hz (fondamental, h=1) et 150 Hz (harmonique 3, h=3).

Mini-Cours

L'impédance d'une résistance \(R\) est constante (\(Z_R = R\)). L'impédance d'une inductance \(L\) (appelée réactance) dépend de la pulsation \(\omega_h = h\omega\) : \(\underline{Z_L} = jL\omega_h\). L'impédance totale en série est la somme : \(\underline{Z_h} = R + jL\omega_h\).

Remarque Pédagogique

Notez bien que l'inductance a une réactance nulle pour le continu (\(h=0, \omega_0=0\)), elle agit comme un court-circuit. En revanche, sa réactance augmente avec le rang de l'harmonique, elle "bloque" davantage les hautes fréquences.

Normes

Bien que cet exercice soit théorique, en pratique, les normes internationales (comme l'IEC 61000) définissent les niveaux d'harmoniques admissibles sur les réseaux électriques pour éviter les perturbations.

Formule(s)

Pulsation

\[ \omega = 2 \pi f \]

Impédance harmonique

\[ \underline{Z_h} = R + j X_h = R + j(h L \omega) \]
Hypothèses

On suppose que R et L sont des composants idéaux et linéaires, c'est-à-dire que leur valeur ne change pas avec la fréquence ou le niveau de courant/tension.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
RésistanceR10Ω
InductanceL20 mH0.02 H
Fréquencef50Hz
Astuces

Calculez d'abord la réactance fondamentale \(X_1 = L\omega\). Ensuite, la réactance pour l'harmonique \(h\) est simplement \(X_h = h \cdot X_1\). C'est plus rapide !

Schéma (Avant les calculs)

Pour chaque harmonique \(h\), on analyse un circuit R-L simple avec une source de pulsation \(\omega_h = h\omega\). L'impédance \(\underline{Z_h}\) est la somme vectorielle de R (axe réel) et \(X_h\) (axe imaginaire).

Triangle d'impédance pour un rang \(h\)
Triangle d'impédance R = 10 Ω jXh = jhLw Zh phi_h
Calcul(s)

Nous allons décomposer chaque calcul étape par étape.

Étape 1 : Calcul de la pulsation fondamentale (\(\omega\))

La pulsation est liée à la fréquence \(f\) (50 Hz) par la formule de base :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi \times 50 \approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

Cette valeur \(\omega\) est notre pulsation fondamentale (pour h=1).

Étape 2 : Impédance pour h=0 (Continu)

Pour le continu, le rang \(h=0\), donc la pulsation \(\omega_0 = 0\). La réactance de l'inductance est donnée par \(X_L = hL\omega\) :

\[ \begin{aligned} X_0 &= h \cdot L \cdot \omega \\ &= 0 \times (0.02 \text{ H}) \times (314.16 \text{ rad/s}) = 0 \, \Omega \end{aligned} \]

L'inductance n'oppose aucune résistance au continu (réactance nulle). L'impédance totale \(\underline{Z_0}\) est donc simplement la résistance R :

\[ \begin{aligned} \underline{Z_0} &= R + jX_0 \\ &= 10 + j0 = 10 \, \Omega \end{aligned} \]

Pour un courant continu, l'inductance se comporte comme un simple fil (court-circuit).

Étape 3 : Impédance pour h=1 (Fondamental)

La réactance pour \(h=1\) (pulsation \(\omega\)) est \(X_1 = 1 \cdot L \cdot \omega\) :

\[ \begin{aligned} X_1 &= 1 \cdot L \cdot \omega \\ &= 1 \times (0.02 \text{ H}) \times (314.16 \text{ rad/s}) \approx 6.28 \, \Omega \end{aligned} \]

L'impédance complexe \(\underline{Z_1}\) est la somme de la résistance (partie réelle) et de la réactance (partie imaginaire) :

\[ \underline{Z_1} = R + jX_1 = 10 + j6.28 \, \Omega \]

Pour la conversion en polaire (\(|\underline{Z_1}| \angle \phi_1\)), on calcule le module (la "longueur" du vecteur) :

\[ \begin{aligned} |\underline{Z_1}| &= \sqrt{R^2 + X_1^2} \\ &= \sqrt{10^2 + 6.28^2} \\ &= \sqrt{100 + 39.44} \\ &= \sqrt{139.44} \approx 11.81 \, \Omega \end{aligned} \]

Et on calcule la phase (l'angle) :

\[ \begin{aligned} \phi_1 &= \arctan\left(\frac{X_1}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{6.28}{10}\right) \approx 32.14^\circ \end{aligned} \]

Le résultat final en polaire est donc :

\[ \Rightarrow \underline{Z_1} \approx 11.81 \angle 32.14^\circ \, \Omega \]

Étape 4 : Impédance pour h=3 (Harmonique 3)

La pulsation est \(3\omega\). La réactance pour \(h=3\) est \(X_3 = 3 \cdot L \cdot \omega\) :

\[ \begin{aligned} X_3 &= 3 \cdot L \cdot \omega \\ &= 3 \times (0.02 \text{ H}) \times (314.16 \text{ rad/s}) \approx 18.85 \, \Omega \end{aligned} \]

L'impédance complexe \(\underline{Z_3}\) est :

\[ \underline{Z_3} = R + jX_3 = 10 + j18.85 \, \Omega \]

Calcul du module :

\[ \begin{aligned} |\underline{Z_3}| &= \sqrt{R^2 + X_3^2} \\ &= \sqrt{10^2 + 18.85^2} \\ &= \sqrt{100 + 355.32} \\ &= \sqrt{455.32} \approx 21.34 \, \Omega \end{aligned} \]

Calcul de la phase :

\[ \begin{aligned} \phi_3 &= \arctan\left(\frac{X_3}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{18.85}{10}\right) \approx 62.05^\circ \end{aligned} \]

Le résultat final en polaire est :

\[ \Rightarrow \underline{Z_3} \approx 21.34 \angle 62.05^\circ \, \Omega \]
Réflexions

Notez comme l'impédance de l'inductance (la réactance \(X_h\)) augmente avec la fréquence. Le circuit s'oppose beaucoup plus au passage de l'harmonique 3 (Z=21.34 Ω) qu'au passage du fondamental (Z=11.81 Ω). C'est un effet de filtre passe-bas.

Points de vigilance

N'oubliez pas de convertir l'inductance de millihenrys (mH) en henrys (H) avant de calculer. \(20 \text{ mH} = 0.02 \text{ H}\). De plus, la pulsation pour h=3 est \(3\omega\), pas \(\omega\).

Points à retenir
  • L'impédance \(\underline{Z_h}\) doit être recalculée pour chaque rang \(h\).
  • \(\underline{Z_0} = R\) (pour le continu, L est un court-circuit).
  • \(\underline{Z_h} = R + j(hL\omega)\) (pour l'harmonique \(h\)).
Le saviez-vous ?

Cet effet dépendant de la fréquence est la base de tous les filtres électroniques. En ajoutant un condensateur, on peut créer des filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande) conçus spécifiquement pour bloquer ou laisser passer certaines harmoniques.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Que se passerait-il si c'était un condensateur C ?

L'impédance d'un condensateur est \(\underline{Z_C} = \frac{1}{jC\omega_h} = -j\frac{1}{hC\omega}\). L'impédance diminuerait avec la fréquence (elle laisse passer les hautes fréquences). Pour le continu (h=0), son impédance serait infinie (circuit ouvert).

Résultat Final
\(\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}\)
\(\underline{Z_0} = 10 \, \Omega\)
\(\underline{Z_1} = 10 + j6.28 \, \Omega \approx 11.81 \angle 32.14^\circ \, \Omega\)
\(\underline{Z_3} = 10 + j18.85 \, \Omega \approx 21.34 \angle 62.05^\circ \, \Omega\)
A vous de jouer

Si l'inductance était de \(L = 30 \text{ mH}\), quelle serait la valeur du module de l'impédance fondamentale \(|\underline{Z_1}|\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : L'impédance dépend de la fréquence.
  • Formule Essentielle : \(\underline{Z_h} = R + j(hL\omega)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Recalculer \(\underline{Z_h}\) pour chaque rang \(h\).

Question 2 : Expressions des courants \(i_0(t)\), \(i_1(t)\) et \(i_3(t)\)

Principe

Nous appliquons la loi d'Ohm en notation complexe pour chaque composante harmonique, en utilisant l'impédance correspondante calculée à la Question 1. La formule est \(\underline{I_h} = \frac{\underline{V_h}}{\underline{Z_h}}\). On convertit ensuite le résultat complexe (polaire) en expression temporelle.

Mini-Cours

Si \(\underline{V_h} = V_h \angle \phi_v\) et \(\underline{Z_h} = Z_h \angle \phi_z\), alors le courant complexe \(\underline{I_h}\) (qui représente l'amplitude et la phase) est : \[ \underline{I_h} = \frac{\underline{V_h}}{\underline{Z_h}} = \frac{V_h \angle \phi_v}{Z_h \angle \phi_z} = \left(\frac{V_h}{Z_h}\right) \angle (\phi_v - \phi_z) \] L'expression temporelle devient : \(i_h(t) = \left(\frac{V_h}{Z_h}\right) \cos(h\omega t + \phi_v - \phi_z)\).

Remarque Pédagogique

Chaque harmonique de courant aura sa propre amplitude (atténuée par l'impédance \(Z_h\)) et son propre déphasage (dû à la phase de l'impédance \(\phi_z\)). Le circuit ne réagit pas de la même manière à toutes les fréquences.

Normes

La notation complexe (avec \(\underline{Z}\)) est la méthode standard en génie électrique pour analyser les circuits en régime sinusoïdal établi, quel que soit le rang harmonique.

Formule(s)

Loi d'Ohm complexe

\[ \underline{I_h} = \frac{\underline{V_h}}{\underline{Z_h}} \]

Conversion Temporelle

\[ \text{Si } \underline{I_h} = I_h \angle \phi_i \Rightarrow i_h(t) = I_h \cos(h\omega t + \phi_i) \]
Hypothèses

On suppose que le régime établi est atteint pour toutes les fréquences. Les tensions \(\underline{V_h}\) sont données en "amplitude" (et non en efficace), donc les courants calculés \(\underline{I_h}\) seront aussi en amplitude.

Donnée(s)

Tensions (de l'énoncé) et Impédances (de Q1) :

  • \(\underline{V_0} = 24 \text{ V}\) (la tension continue est réelle)
  • \(\underline{V_1} = 100 \angle 0^\circ \text{ V}\) (l'amplitude est 100 V, la phase est 0°)
  • \(\underline{V_3} = 30 \angle -45^\circ \text{ V}\) (l'amplitude est 30 V, la phase est -45°)
  • \(\underline{Z_0} = 10 \angle 0^\circ \, \Omega\)
  • \(\underline{Z_1} = 11.81 \angle 32.14^\circ \, \Omega\)
  • \(\underline{Z_3} = 21.34 \angle 62.05^\circ \, \Omega\)
Astuces

Pour diviser des nombres complexes en polaire, on divise les modules et on soustrait les phases : \(\frac{M_1 \angle \phi_1}{M_2 \angle \phi_2} = \frac{M_1}{M_2} \angle (\phi_1 - \phi_2)\). C'est beaucoup plus simple que la division en cartésien !

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser le calcul pour h=1 sur un diagramme de Fresnel. \(\underline{V_1}\) est sur l'axe réel (phase 0°). \(\underline{I_1}\) sera un vecteur plus court (module divisé par \(Z_1\)) et tourné négativement (phase 0° - 32.14°).

Diagramme de Fresnel (h=1)
Diagramme de Fresnel V1, I1 Réel Img V1 (100 ∠ 0°) I1 (8.47 ∠ -32.1°) \(-32.1^\circ\)
Calcul(s)

On applique la loi d'Ohm complexe \(\underline{I_h} = \underline{V_h} / \underline{Z_h}\) pour chaque rang \(h\).

Étape 1 : Courant continu (h=0)

On utilise la tension continue \(\underline{V_0} = 24 \text{ V}\) et l'impédance continue \(\underline{Z_0} = 10 \, \Omega\).

\[ \begin{aligned} \underline{I_0} &= \frac{\underline{V_0}}{\underline{Z_0}} \\ &= \frac{24 \text{ V}}{10 \, \Omega} = 2.4 \text{ A} \end{aligned} \]

Le courant \(\underline{I_0}\) est un nombre réel (pas de partie imaginaire) et constant. Son expression temporelle est donc simplement cette valeur :

\[ i_0(t) = 2.4 \text{ A} \]

Étape 2 : Courant fondamental (h=1)

On utilise la tension \(\underline{V_1} = 100 \angle 0^\circ \text{ V}\) et l'impédance \(\underline{Z_1} \approx 11.81 \angle 32.14^\circ \, \Omega\).

\[ \underline{I_1} = \frac{\underline{V_1}}{\underline{Z_1}} = \frac{100 \angle 0^\circ}{11.81 \angle 32.14^\circ} \]

Pour diviser les formes polaires, on divise les modules (100 / 11.81) et on soustrait les phases (0° - 32.14°) :

\[ \begin{aligned} \underline{I_1} &= \left(\frac{100}{11.81}\right) \angle (0^\circ - 32.14^\circ) \\ &\approx 8.47 \angle -32.14^\circ \text{ A} \end{aligned} \]

On convertit ce nombre complexe (amplitude \(I_1 \approx 8.47 \text{ A}\), phase \(\phi_i \approx -32.14^\circ\)) en expression temporelle :

\[ \begin{aligned} i_1(t) &= I_1 \cos(\omega t + \phi_i) \\ &= 8.47 \cos(\omega t - 32.14^\circ) \text{ A} \end{aligned} \]

Étape 3 : Courant harmonique (h=3)

On utilise la tension \(\underline{V_3} = 30 \angle -45^\circ \text{ V}\) et l'impédance \(\underline{Z_3} \approx 21.34 \angle 62.05^\circ \, \Omega\).

\[ \underline{I_3} = \frac{\underline{V_3}}{\underline{Z_3}} = \frac{30 \angle -45^\circ}{21.34 \angle 62.05^\circ} \]

On divise les modules (30 / 21.34) et on soustrait les phases ((-45°) - (62.05°)) :

\[ \begin{aligned} \underline{I_3} &= \left(\frac{30}{21.34}\right) \angle (-45^\circ - 62.05^\circ) \\ &\approx 1.41 \angle -107.05^\circ \text{ A} \end{aligned} \]

Conversion en temporel (attention, la pulsation est \(3\omega\)) :

\[ \begin{aligned} i_3(t) &= I_3 \cos(3\omega t + \phi_i) \\ &= 1.41 \cos(3\omega t - 107.05^\circ) \text{ A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma ci-dessous illustre le déphasage. Pour le fondamental (h=1), la tension \(v_1(t)\) (bleu) est en avance sur le courant \(i_1(t)\) (rouge) de 32.14°. C'est normal pour un circuit R-L (inductif).

Déphasage Tension-Courant (Fondamental)
Déphasage tension-courant t V, I v₁(t) i₁(t) phi_1
Réflexions

L'amplitude du courant fondamental (8.47 A) est bien plus grande que celle de l'harmonique 3 (1.41 A). Cela est dû à deux facteurs : la tension \(V_1\) (100V) est plus grande que \(V_3\) (30V), ET l'impédance \(\underline{Z_1}\) (11.81 Ω) est plus faible que \(\underline{Z_3}\) (21.34 Ω). Le circuit R-L agit comme un filtre passe-bas, atténuant davantage les hautes fréquences.

Points de vigilance

Attention aux phases ! La phase finale du courant \(\phi_i\) est la phase de la tension \(\phi_v\) MOINS la phase de l'impédance \(\phi_z\). Une erreur de signe est vite arrivée. Pour h=3 : \(\phi_i = (-45^\circ) - (62.05^\circ) = -107.05^\circ\).

Points à retenir
  • La loi d'Ohm complexe s'applique rang par rang.
  • Le déphasage \(\phi_h\) est introduit par l'impédance \(\underline{Z_h}\).
  • L'expression temporelle \(i_h(t)\) doit contenir la pulsation \(h\omega\).
Le saviez-vous ?

Le fait que l'impédance \(\underline{Z_h}\) "filtre" les harmoniques est un concept clé. Dans les alimentations à découpage, on utilise des filtres (souvent L-C) spécifiquement pour atténuer les harmoniques indésirables générés par la commutation rapide des transistors.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi le courant i₁(t) est-il en retard ?

Le circuit est un R-L, il est donc inductifUn circuit où la tension est en avance sur le courant, dû à la présence dominante d'inductances.. L'angle de l'impédance \(\underline{Z_1}\) est positif (+32.14°), ce qui signifie que la tension est en avance sur le courant, ou, inversement, que le courant est en retard sur la tension.

Résultat Final
\(i_0(t) = 2.4 \text{ A}\)
\(i_1(t) = 8.47 \cos(314.16 t - 32.14^\circ) \text{ A}\)
\(i_3(t) = 1.41 \cos(942.48 t - 107.05^\circ) \text{ A}\)
A vous de jouer

Si la tension continue était \(V_0 = 50 \text{ V}\), que vaudrait le courant continu \(i_0(t)\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Loi d'Ohm par harmonique.
  • Formule Essentielle : \(\underline{I_h} = \underline{V_h} / \underline{Z_h}\).
  • Point de Vigilance Majeur : Soustraire les phases : \(\phi_i = \phi_v - \phi_z\).

Question 3 : Expression du courant total \(i(t)\)

Principe

Grâce au théorème de superposition pour les circuits linéaires, le courant total \(i(t)\) est simplement la somme arithmétique (temporelle) des courants de chaque composante (continue, fondamentale et harmonique 3) que nous venons de calculer.

Mini-Cours

Le théorème de superposition stipule que la réponse totale est la somme des réponses individuelles. Puisque chaque composante de courant (\(i_0, i_1, i_3\)) existe "en même temps" dans le circuit, le courant total observé à tout instant \(t\) est la somme de leurs valeurs à cet instant \(t\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus simple en termes de calcul, mais conceptuellement importante. On ne fait qu'écrire la somme. Le signal résultant \(i(t)\) n'est pas sinusoïdal, c'est un signal "déformé" dont la fréquence de répétition est celle du fondamental (50 Hz).

Normes

La superposition est un principe fondamental de l'analyse des systèmes linéaires, pas seulement en électricité mais aussi en mécanique, acoustique, et autres domaines de l'ingénierie.

Formule(s)

Principe de Superposition

\[ i(t) = i_0(t) + i_1(t) + i_3(t) \]
Hypothèses

La validité de cette étape repose entièrement sur l'hypothèse que le circuit est linéaire. Si R ou L changeaient de valeur en fonction du courant, on ne pourrait pas appliquer la superposition.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la Question 2 :

  • \(i_0(t) = 2.4 \text{ A}\)
  • \(i_1(t) = 8.47 \cos(314.16 t - 32.14^\circ) \text{ A}\)
  • \(i_3(t) = 1.41 \cos(942.48 t - 107.05^\circ) \text{ A}\)
Astuces

Il n'y a pas de simplification possible de cette somme en une seule expression \(\cos\). Un signal contenant plusieurs fréquences ne peut pas être réduit à une seule sinusoïde.

Schéma (Avant les calculs)

On peut imaginer les trois signaux de courant séparément avant de les additionner :

  • 1. Une ligne droite à +2.4 A (continu).
  • 2. Une grande sinusoïde à 50 Hz (fondamental).
  • 3. Une petite sinusoïde, plus rapide (150 Hz) (harmonique 3).
Calcul(s)

En appliquant le théorème de superposition, on énonce que le courant total est la somme des courants individuels :

\[ i(t) = i_0(t) + i_1(t) + i_3(t) \]

On remplace simplement chaque terme par l'expression temporelle trouvée à la question 2 :

\[ i(t) = 2.4 + 8.47 \cos(\omega t - 32.14^\circ) + 1.41 \cos(3\omega t - 107.05^\circ) \]

(Avec \(\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}\) et \(3\omega \approx 942.48 \text{ rad/s}\))

Schéma (Après les calculs)

Le graphique résultant (que le simulateur pourrait tracer) montrerait le signal fondamental (h=1) "déformé" par l'ajout de l'harmonique 3, et l'ensemble serait "décalé vers le haut" (offset) de 2.4 A à cause de la composante continue.

Allure du signal \(i(t)\) (Superposition)
Superposition des courants t i(t) i₀(t) = 2.4A i₀ + i₁ i(t) = i₀ + i₁ + i₃ 0
Réflexions

Cette expression montre que le courant est, comme la tension, un signal non sinusoïdal. Il possède une composante continue (offset de 2.4 A), un fondamental à 50 Hz, et un harmonique 3 à 150 Hz. Notez que les phases des courants sont différentes de celles des tensions à cause de l'impédance.

Points de vigilance

Attention ! On ne peut jamais additionner les amplitudes (8.47 A et 1.41 A) ou les valeurs efficaces directement, car les signaux n'ont pas la même fréquence. Le courant total \(i(t)\) est une somme de fonctions temporelles, pas une somme de scalaires.

Points à retenir
  • La réponse totale est la somme des réponses temporelles.
  • On ne peut pas simplifier la somme de sinusoïdes de fréquences différentes.
Le saviez-vous ?

C'est ce courant total \(i(t)\), avec sa forme "déformée", qui est responsable de la création d'harmoniques de tension sur le réseau électrique à cause de son passage dans les impédances de ligne. Un courant déformé injecté par un utilisateur peut polluer la tension pour ses voisins.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Quelle est la fréquence de i(t) ?

La fréquence est la plus petite fréquence qui permet au signal de se répéter. Ici, les fréquences sont 0 Hz, 50 Hz et 150 Hz. Le plus grand commun diviseur est 50 Hz (ou 1/T). La fréquence du signal total est donc la fréquence fondamentale, 50 Hz.

Résultat Final
\(i(t) = 2.4 + 8.47 \cos(314.16 t - 32.14^\circ) + 1.41 \cos(942.48 t - 107.05^\circ) \text{ A}\)
A vous de jouer

Si \(i_0=1A\), \(i_1(t)=2\cos(\omega t)\) et \(i_2(t)=0.5\cos(2\omega t)\), quelle est l'expression de \(i(t)\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Superposition.
  • Opération : Somme algébrique des expressions temporelles.
  • Piège à éviter : Ne pas additionner les amplitudes ou les valeurs efficaces de fréquences différentes.

Question 4 : Calcul des valeurs efficaces \(I_0\), \(I_{1,\text{eff}}\), \(I_{3,\text{eff}}\) et \(I_{\text{eff}}\)

Principe

La valeur efficace (RMS - Root Mean Square) d'un signal périodique complexe est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque composante (continue, fondamentale, et harmoniques). C'est le théorème de Parseval. Elle représente le courant continu équivalent qui produirait le même échauffement dans une résistance.

Mini-Cours

Pour un signal \(s(t) = S_0 + \sum S_h \cos(h\omega t + \phi_h)\) :

  • La valeur efficace de la composante continue \(S_0\) est \(S_{0,eff} = S_0\).
  • La valeur efficace d'une sinusoïde d'amplitude \(S_h\) est \(S_{h,eff} = \frac{S_h}{\sqrt{2}}\).
  • La valeur efficace totale est \(S_{\text{eff}} = \sqrt{S_{0,eff}^2 + S_{1,eff}^2 + S_{2,eff}^2 + \dots}\).

Remarque Pédagogique

Cette valeur \(I_{\text{eff}}\) est cruciale. C'est elle qui sert à dimensionner les câbles et les protections (disjoncteurs, fusibles) car l'échauffement (effet Joule) est proportionnel à \(R \cdot I_{\text{eff}}^2\). Utiliser uniquement le fondamental \(I_{1,eff}\) sous-estimerait l'échauffement réel.

Normes

La mesure de la "vraie" valeur efficace (True RMS) est une fonction standard des multimètres modernes de qualité, essentielle pour travailler sur des installations non linéaires.

Formule(s)

Valeur efficace d'une sinusoïde

\[ I_{h,\text{eff}} = \frac{I_h}{\sqrt{2}} \quad \text{(où } I_h \text{ est l'AMPLITUDE)} \]

Valeur efficace totale (Parseval)

\[ I_{\text{eff}} = \sqrt{I_0^2 + I_{1,\text{eff}}^2 + I_{3,\text{eff}}^2 + \dots} \]
Hypothèses

Le théorème de Parseval (somme des carrés) s'applique car les composantes sinusoïdales de fréquences différentes sont orthogonalesMathématiquement, l'intégrale de leur produit sur une période est nulle. Cela signifie qu'elles sont indépendantes en termes d'énergie.. L'énergie totale est la somme des énergies de chaque composante.

Donnée(s)

Nous utilisons les amplitudes des courants (modules) calculées à la Question 2 :

  • \(I_0 = 2.4 \text{ A}\) (l'amplitude d'une composante continue est sa propre valeur efficace)
  • \(I_1 = 8.47 \text{ A}\) (Amplitude)
  • \(I_3 = 1.41 \text{ A}\) (Amplitude)
Astuces

Si l'on vous donne une valeur "efficace" dans l'énoncé, pas besoin de diviser par \(\sqrt{2}\). Si l'on vous donne une expression temporelle \(\cos\), c'est une amplitude, il faut diviser par \(\sqrt{2}\). Pour le continu, la valeur efficace EST la valeur.

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter la contribution de chaque composante au carré de la valeur efficace totale :

Spectre des courants efficaces (RMS)
Spectre RMS des courants Rang (h) Ieff (A) 2.4 h=0 5.99 h=1 1.00 h=3
Calcul(s)

Nous calculons la valeur efficace de chaque composante, puis nous les combinons en utilisant la formule de la valeur efficace totale (somme quadratique).

Étape 1 : Valeurs efficaces individuelles

La valeur efficace d'un signal continu est sa propre valeur (l'amplitude \(I_0 = 2.4 \text{ A}\)) :

\[ I_{0,\text{eff}} = I_0 = 2.4 \text{ A} \]

La valeur efficace d'une sinusoïde est son amplitude divisée par \(\sqrt{2}\). Pour le fondamental (amplitude \(I_1 = 8.47 \text{ A}\)) :

\[ \begin{aligned} I_{1,\text{eff}} &= \frac{I_1}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{8.47 \text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 5.99 \text{ A} \end{aligned} \]

Pour l'harmonique 3 (amplitude \(I_3 = 1.41 \text{ A}\)) :

\[ \begin{aligned} I_{3,\text{eff}} &= \frac{I_3}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1.41 \text{ A}}{\sqrt{2}} \approx 1.00 \text{ A} \end{aligned} \]

Étape 2 : Valeur efficace totale (\(I_{\text{eff}}\))

On applique la formule de Parseval (somme des carrés des valeurs efficaces) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \sqrt{I_{0,\text{eff}}^2 + I_{1,\text{eff}}^2 + I_{3,\text{eff}}^2} \\ &= \sqrt{(2.4)^2 + (5.99)^2 + (1.00)^2} \\ &= \sqrt{5.76 + 35.88 + 1.00} \\ &= \sqrt{42.64} \approx 6.53 \text{ A} \end{aligned} \]
Réflexions

La valeur efficace totale (6.53 A) est ce que mesurerait un ampèremètre RMS "True RMS". Elle est supérieure à la valeur efficace du fondamental seul (5.99 A) à cause de l'énergie supplémentaire apportée par le continu et l'harmonique 3. Notez que \(I_{eff}\) n'est PAS la somme \(2.4 + 5.99 + 1.00 = 9.39 \text{ A}\). C'est une erreur classique.

Points de vigilance
  • Ne pas oublier la composante continue \(I_0\) dans la somme des carrés.
  • Ne pas oublier de mettre les valeurs efficaces AU CARRÉ avant de les sommer.
  • Ne pas oublier la RACINE CARRÉE à la fin. C'est le "R" et le "S" de RMS (Root Mean Square).
Points à retenir
  • \(I_{h,eff} = I_h / \sqrt{2}\) (pour sinusoïde, \(h \ge 1\)).
  • \(I_{0,eff} = I_0\) (pour continu).
  • \(I_{\text{eff}} = \sqrt{\sum (I_{h,eff})^2}\) (somme quadratique).
Le saviez-vous ?

Les anciens ampèremètres (ferromagnétiques) mesurent naturellement la vraie valeur RMS (True RMS) car leur déviation est proportionnelle au carré du courant. Les multimètres numériques bas de gamme mesurent souvent la valeur moyenne redressée et la multiplient par 1.11 (le "facteur de forme" d'une sinusoïde). Cela ne fonctionne que pour un signal sinusoïdal pur et donne une lecture erronée pour un signal déformé comme le nôtre !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi on somme les carrés ?

Cela vient de la définition de la puissance moyenne. La puissance totale est la somme des puissances \(\sum P_h\). Comme \(P_h = R \cdot I_{h,eff}^2\), on a \(P_{tot} = R \sum I_{h,eff}^2\). On définit \(I_{\text{eff}}\) tel que \(P_{tot} = R \cdot I_{\text{eff}}^2\). En égalant les deux, on trouve \(I_{\text{eff}}^2 = \sum I_{h,eff}^2\), d'où la formule.

Résultat Final
\(I_0 = 2.4 \text{ A}\)
\(I_{1,\text{eff}} = 5.99 \text{ A}\)
\(I_{3,\text{eff}} = 1.00 \text{ A}\)
\(I_{\text{eff}} \approx 6.53 \text{ A}\)
A vous de jouer

Si un courant vaut \(i(t) = 3 + 4\sqrt{2} \cos(\omega t)\), quelle est sa valeur efficace totale \(I_{\text{eff}}\) ? (Attention, \(4\sqrt{2}\) est l'amplitude).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Valeur Efficace (RMS) Totale.
  • Formule Essentielle : \(I_{\text{eff}} = \sqrt{I_0^2 + I_{1,eff}^2 + I_{3,eff}^2 \dots}\).
  • Piège à éviter : Ne pas additionner les valeurs efficaces (\(I_0 + I_1 + I_3\)).

Question 5 : Calcul de la Puissance Active \(P\) et du THD

Principe

La puissance active totale est consommée uniquement par la résistance. Elle peut se calculer de deux façons : 1) en sommant les puissances de chaque harmonique (\(P = P_0 + P_1 + P_3\)) ou 2) en utilisant la valeur efficace totale du courant (\(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\)). La deuxième méthode est plus rapide si \(I_{\text{eff}}\) est connu. Le THD (Taux de Distorsion Harmonique) mesure la distorsion du courant par rapport à son fondamental.

Mini-Cours

Puissance Active (Théorème de Boucherot) : En régime non sinusoïdal, la puissance active totale est la somme des puissances actives de chaque harmonique (y compris le continu). \[ P = P_0 + P_1 + P_3 + \dots = R \cdot I_0^2 + R \cdot I_{1,eff}^2 + R \cdot I_{3,eff}^2 + \dots = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \] Les composants réactifs (L et C) ne consomment pas de puissance active, quelle que soit la fréquence.
Taux de Distorsion Harmonique (THD) : C'est le rapport (en %) de la valeur efficace de *toutes les harmoniques* (\(h \ge 2\)) à la valeur efficace du *fondamental* (\(h=1\)). \[ \text{THD}_I = \frac{\sqrt{I_{2,eff}^2 + I_{3,eff}^2 + \dots}}{I_{1,eff}} \]

Remarque Pédagogique

Le THD est un indicateur de la "qualité" du signal. Un THD de 0% signifie un signal sinusoïdal pur. Un THD élevé (parfois > 50% pour des redresseurs) indique un signal très déformé, ce qui peut causer des problèmes de compatibilité électromagnétique (CEM) et des échauffements.

Normes

Les normes de réseau (ex: IEEE 519, EN 50160) imposent des limites strictes sur le THD que les installations industrielles peuvent injecter sur le réseau public pour ne pas "polluer" la tension de leurs voisins.

Formule(s)

Puissance Active Totale

\[ P = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \]

Taux de Distorsion Harmonique (THD)

\[ \text{THD}_I = \frac{\sqrt{\sum_{h=2}^{\infty} I_{h,\text{eff}}^2}}{I_{1,\text{eff}}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les seuls harmoniques présents sont ceux donnés (h=0, 1, 3). En réalité, il y en aurait d'autres (h=5, 7, etc.), mais nous nous limitons à l'énoncé. La composante continue n'est pas incluse dans le calcul du THD.

Donnée(s)
  • \(R = 10 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{eff}} \approx 6.53 \text{ A}\) (de Q4)
  • \(I_{1,\text{eff}} \approx 5.99 \text{ A}\) (de Q4)
  • \(I_{3,\text{eff}} \approx 1.00 \text{ A}\) (de Q4)
Calcul(s)

Nous allons calculer les deux valeurs demandées en utilisant les valeurs efficaces de la question 4.

Étape 1 : Calcul de la Puissance Active Totale \(P\)

La puissance active totale est dissipée par la résistance \(R\) et dépend du courant efficace total \(I_{\text{eff}}\). La formule est :

\[ P = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \]

On utilise \(R=10 \, \Omega\) et \(I_{\text{eff}} \approx 6.53 \text{ A}\) (de Q4). Notez que \(I_{\text{eff}}^2\) est la valeur que nous avions avant la racine carrée, soit \(42.64 \text{ A}^2\).

\[ \begin{aligned} P &= 10 \, \Omega \times (6.53 \text{ A})^2 \\ &\approx 10 \times 42.64 \\ &\approx 426.4 \text{ W} \end{aligned} \]

(On peut vérifier avec l'astuce :

\[ \begin{aligned} P &= P_0+P_1+P_3 \\ &= (R \cdot I_0^2) + (R \cdot I_{1,eff}^2) + (R \cdot I_{3,eff}^2) \\ &= (10 \times 2.4^2) + (10 \times 5.99^2) + (10 \times 1.00^2) \\ &= 57.6 + 358.8 + 10.0 = 426.4 \text{ W} \end{aligned} \]

La puissance totale est bien la somme des puissances de chaque harmonique.)

Étape 2 : Calcul du THD du courant

Le THD est le rapport de la valeur efficace de toutes les harmoniques (\(h \ge 2\)) sur la valeur efficace du fondamental (\(h=1\)). La formule est :

\[ \text{THD}_I = \frac{\sqrt{I_{2,\text{eff}}^2 + I_{3,\text{eff}}^2 + I_{4,\text{eff}}^2 + \dots}}{I_{1,\text{eff}}} \]

Dans notre cas, le seul harmonique (avec \(h \ge 2\)) est \(I_{3,\text{eff}} \approx 1.00 \text{ A}\). Le fondamental est \(I_{1,\text{eff}} \approx 5.99 \text{ A}\).

\[ \begin{aligned} \text{THD}_I &= \frac{\sqrt{I_{3,\text{eff}}^2}}{I_{1,\text{eff}}} \\ &= \frac{I_{3,\text{eff}}}{I_{1,\text{eff}}} \end{aligned} \]

On remplace par les valeurs :

\[ \begin{aligned} \text{THD}_I &= \frac{1.00 \text{ A}}{5.99 \text{ A}} \\ &\approx 0.167 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage :

\[ \begin{aligned} \text{THD}_I (\%) &= 0.167 \times 100 \\ &= 16.7 \% \end{aligned} \]

Note : La composante continue n'est généralement pas incluse dans le calcul du THD, qui se concentre sur la distorsion de la forme d'onde AC par rapport au fondamental.

Réflexions

Une puissance de 426.4 W est dissipée en chaleur dans la résistance. Le THD de 16.7% est considéré comme significatif. Dans un moteur, un tel THD de courant causerait des échauffements supplémentaires et des vibrations.

Points de vigilance
  • Le THD se calcule avec les valeurs efficaces.
  • Le dénominateur est \(I_{1,eff}\) (le fondamental), pas \(I_{eff}\) (le total).
  • Le numérateur ne contient que les harmoniques de rang 2 ou plus. Ne pas inclure le continu \(I_0\) ni le fondamental \(I_1\).
Points à retenir
  • Seule la résistance dissipe de la puissance active : \(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\).
  • Le THD mesure la distorsion (harmoniques) par rapport au fondamental.
Le saviez-vous ?

Le "Facteur de Puissance" (FP) total d'un tel circuit n'est pas seulement \(\cos(\phi_1)\). Il est dégradé par les harmoniques. On le calcule par \(FP = P / S\), où \(S = V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}\). Ce FP est toujours inférieur au \(\cos(\phi_1)\) (facteur de déplacement) à cause des harmoniques.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi les inductances ne consomment-elles pas de puissance active ?

Une inductance idéale stocke de l'énergie dans son champ magnétique pendant un quart de période et la restitue intégralement au circuit pendant le quart de période suivant. En moyenne, sur une période complète, sa consommation d'énergie active (dissipée) est nulle. Elle ne consomme que de la puissance "réactive".

Résultat Final
Puissance Active Totale : \(P \approx 426.4 \text{ W}\)
Taux de Distorsion Harmonique : \(\text{THD}_I \approx 16.7 \%\)
Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Puissance active et THD.
  • Formule Essentielle : \(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\) et \(\text{THD}_I = \sqrt{\sum_{h\ge 2} I_{h,eff}^2} / I_{1,eff}\).
  • Point de Vigilance : Dénominateur du THD = \(I_{1,eff}\).

Outil Interactif : Simulateur d'Impédance Harmonique

Utilisez cet outil pour voir comment l'impédance totale \(Z_h = \sqrt{R^2 + (hL\omega)^2}\) de notre circuit (avec R=10Ω) change lorsque vous variez l'inductance \(L\) et le rang harmonique \(h\).

Paramètres d'Entrée (f=50Hz, R=10Ω)
20 mH
h = 1
Résultats Clés pour h = 1
Réactance (Xh = hLω) -
Impédance (Zh) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'arrive-t-il à l'impédance d'une inductance pure (\(Z_L = L\omega\)) lorsque la fréquence (\(\omega\)) augmente ?

2. Si un signal a un fondamental \(v_1(t) = 10 \cos(100t)\) et un harmonique \(v_h(t) = 5 \cos(300t)\), quel est le rang \(h\) de cet harmonique ?

3. Un courant est donné par \(i(t) = 3 + 2\sqrt{2} \cos(\omega t)\). Quelle est sa valeur efficace totale \(I_{\text{eff}}\) ?

4. Quel composant consomme de la puissance active dans un circuit R-L-C ?

5. Le Taux de Distorsion Harmonique (THD) compare la puissance des harmoniques (rang \(\ge 2\)) à celle...

Glossaire

Harmonique
Composante sinusoïdale d'un signal périodique dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale (la fréquence la plus basse du signal).
Impédance complexe (\(\underline{Z}\))
Nombre complexe représentant l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. \(\underline{Z} = R + jX\), où R est la résistance et X la réactance.
Fondamental
La composante sinusoïdale d'un signal périodique ayant la fréquence la plus basse (rang h=1).
Taux de Distorsion Harmonique (THD)
Mesure (en %) de la distorsion d'un signal, quantifiant la part d'énergie contenue dans les harmoniques par rapport à celle du fondamental.
Valeur Efficace (RMS)
Racine carrée de la moyenne des carrés d'un signal. Pour un signal non sinusoïdal, \(I_{\text{eff}} = \sqrt{I_0^2 + I_{1,\text{eff}}^2 + I_{2,\text{eff}}^2 + \dots}\).
Théorème de Superposition
Dans un circuit électrique linéaire, la réponse (courant ou tension) dans n'importe quelle branche est la somme algébrique des réponses causées par chaque source d'énergie agissant seule.
Exercice : Analyse des Harmoniques

D’autres exercices de Régime SinusoÏdal:

Analyse d’un Déphaseur RC
Analyse d’un Déphaseur RC

Analyse d'un Déphaseur RC Analyse d'un Déphaseur : Circuit RC Contexte : Le Régime Sinusoïdal ForcéL'étude des circuits électriques alimentés par une source de tension ou de courant qui varie de manière sinusoïdale (comme le courant domestique).. En électronique, il...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *