Analyse Transitoire d’un Filtre de Butterworth

Exercice : Filtre de Butterworth du Second Ordre

Analyse Transitoire d'un Filtre de Butterworth

Contexte : Les Filtres de ButterworthType de filtre électronique conçu pour avoir une réponse en fréquence la plus plate possible dans la bande passante, sans ondulations. sont des piliers du traitement du signal.

Leur caractéristique principale est d'offrir la réponse fréquentielle la plus plate possible dans la bande passante. Cependant, leur comportement en régime transitoire, c'est-à-dire leur réaction à un changement brusque du signal d'entrée (comme un échelon de tension), est tout aussi crucial. Cet exercice se concentre sur l'analyse de cette réponse pour un filtre passe-bas du second ordre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un circuit RLC, à déterminer sa fonction de transfert, et à calculer sa réponse temporelle à un échelon, une compétence fondamentale en électronique et en automatique.


Objectifs Pédagogiques

  • Établir la fonction de transfert d'un circuit RLC série.
  • Identifier les paramètres clés d'un système du second ordre (ω₀, ζ).
  • Calculer et interpréter la réponse indicielle (à un échelon) d'un filtre.
  • Caractériser une réponse transitoire (temps de réponse, dépassement).

Données de l'étude

On étudie le filtre passe-bas RLC série suivant. L'entrée est une tension Vₑ(t) et la sortie Vₛ(t) est mesurée aux bornes du condensateur. À l'instant t=0, on applique un échelon de tension de 10V en entrée.

Schéma du Filtre RLC Passe-Bas
~ Vₑ(t) R L C Vₛ(t) + -
Paramètre Symbole Valeur Unité
Résistance R 1414 Ω
Inductance L 1 H
Capacité C 1 µF
Tension d'entrée Vₑ(t) 10 u(t) V

Questions à traiter

  1. Déterminer la fonction de transfert H(p) = Vₛ(p) / Vₑ(p) du circuit.
  2. Mettre H(p) sous forme canonique, puis identifier la pulsation propre ω₀ et le facteur d'amortissement ζ.
  3. Vérifier que les valeurs des composants correspondent bien à un filtre de Butterworth.
  4. Calculer l'expression de la tension de sortie vₛ(t) en réponse à l'échelon de tension.
  5. Calculer le premier dépassement D₁ en % et le temps de réponse à 5%.

Les bases sur les Systèmes du Second Ordre

Un système du second ordre, comme un circuit RLC, est décrit par une équation différentielle du second ordre. Sa fonction de transfert canonique est un outil essentiel pour analyser son comportement.

1. Fonction de Transfert Canonique
La forme générale pour un système passe-bas du second ordre est : \[ H(p) = \frac{K \cdot \omega_0^2}{p^2 + 2\zeta\omega_0 p + \omega_0^2} \] Où K est le gain statique, ω₀ la pulsation propre (fréquence d'oscillation "naturelle" du système), et ζ (zêta) le facteur d'amortissement qui dicte la forme de la réponse.

2. Régimes de Réponse
Le comportement du système dépend de ζ :

  • Si ζ > 1 : Régime apériodique (pas d'oscillations).
  • Si ζ = 1 : Régime critique (retour au calme le plus rapide sans oscillations).
  • Si 0 < ζ < 1 : Régime pseudo-périodique (oscillations amorties).
  • Pour un filtre de Butterworth, on recherche un compromis optimal, ce qui correspond à ζ = 1/√2 ≈ 0.707.


Correction : Analyse Transitoire d'un Filtre de Butterworth

Question 1 : Déterminer la fonction de transfert H(p)

Principe (le concept physique)

Pour trouver la relation entre la sortie et l'entrée, on analyse le circuit dans un domaine mathématique plus simple : le domaine de Laplace. On remplace les composants par leur "résistance" généralisée, appelée impédance, puis on applique une règle simple de l'électricité, le diviseur de tension, comme on le ferait avec de simples résistances.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La transformée de Laplace est un outil qui convertit les équations différentielles (qui décrivent le comportement temporel du circuit) en équations algébriques simples. L'impédance Z(p) d'un composant est le rapport entre la tension à ses bornes et le courant qui le traverse dans ce domaine. Cela nous permet de généraliser la loi d'Ohm à des circuits contenant des inductances et des capacités.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La méthode du diviseur de tension est un réflexe à acquérir. Dès que vous voyez une tension de sortie aux bornes d'un composant (ou d'un groupe de composants) en série avec d'autres, pensez "diviseur de tension". C'est souvent la méthode la plus rapide.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" au sens réglementaire ici, l'utilisation de la variable de Laplace 'p' (ou parfois 's' dans la littérature anglo-saxonne) est une convention universelle en théorie des circuits et en automatique pour représenter l'opérateur de dérivation d/dt.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédances complexes en fonction de la variable de Laplace 'p' :

\[ Z_R(p) = R \quad ; \quad Z_L(p) = Lp \quad ; \quad Z_C(p) = \frac{1}{Cp} \]

Formule du diviseur de tension pour \(V_s\) aux bornes de \(Z_C\) :

\[ H(p) = \frac{V_s(p)}{V_e(p)} = \frac{Z_C(p)}{Z_R(p) + Z_L(p) + Z_C(p)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour appliquer cette méthode, on se place dans le cadre de la théorie des circuits linéaires et on formule deux hypothèses importantes :

  • Les composants (R, L, C) sont considérés comme parfaits et leur valeur est constante.
  • Les conditions initiales sont nulles : à t<0, la tension aux bornes du condensateur est nulle et le courant dans l'inductance est nul.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

À ce stade, nous n'utilisons que les expressions littérales des composants : R, L, et C.

Astuces(Pour aller plus vite)

Lorsque vous avez une expression avec une fraction au numérateur et au dénominateur (comme ici avec 1/Cp), la meilleure façon de simplifier est de multiplier "en haut et en bas" par le dénominateur de la petite fraction (ici, Cp). Cela élimine les fractions complexes en une seule étape.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit dans le Domaine de Laplace
Vₑ(p)Zᵣ=RZₗ=LpZc=1/CpVₛ(p)
Calcul(s) (l'application numérique)

Substitution des impédances dans la formule du diviseur de tension :

\[ \begin{aligned} H(p) &= \frac{\frac{1}{Cp}}{R + Lp + \frac{1}{Cp}} \end{aligned} \]

Simplification en multipliant le numérateur et le dénominateur par Cp :

\[ \begin{aligned} H(p) &= \frac{1 \cdot Cp}{(R + Lp + \frac{1}{Cp}) \cdot Cp} \\ &= \frac{1}{RCp + LCp^2 + 1} \end{aligned} \]

Réorganisation du polynôme par puissances de p décroissantes :

\[ H(p) = \frac{1}{LCp^2 + RCp + 1} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation par Bloc Fonctionnel
H(p)Vₑ(p)Vₛ(p)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'expression obtenue a un polynôme de degré 2 au dénominateur. Cela confirme que le circuit est un système du second ordre. Le fait que le numérateur soit une constante indique qu'il s'agit d'un filtre de type passe-bas : pour les basses fréquences (p -> 0), H(p) tend vers 1, et pour les hautes fréquences (p -> ∞), H(p) tend vers 0.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une faute d'algèbre lors de la simplification de la fraction. Prenez le temps de bien distribuer le terme (Cp) à chaque membre du dénominateur. Ne confondez pas non plus les impédances : Lp pour l'inductance, 1/Cp pour le condensateur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour trouver la fonction de transfert d'un circuit linéaire :

  • Passez dans le domaine de Laplace en remplaçant les composants par leurs impédances.
  • Appliquez les lois de base des circuits (diviseur de tension, diviseur de courant, Millman...).
  • Simplifiez l'expression algébrique pour obtenir le rapport Sortie/Entrée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) était un mathématicien et astronome français. Sa "transformée" n'a été popularisée pour l'analyse des circuits que bien plus tard, au début du 20ème siècle, par des ingénieurs comme Oliver Heaviside, qui cherchaient des méthodes plus simples pour résoudre les équations des lignes télégraphiques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fonction de transfert du circuit est : \[ H(p) = \frac{1}{LCp^2 + RCp + 1} \]
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la fonction de transfert H'(p) si la tension de sortie était prise aux bornes de la résistance R. S'agirait-il toujours d'un filtre passe-bas ?

Question 2 : Mettre H(p) sous forme canonique et identifier ω₀ et ζ

Principe (le concept physique)

La "forme canonique" est une manière standard d'écrire la fonction de transfert qui fait apparaître directement les deux paramètres physiques les plus importants d'un système du second ordre : sa tendance à osciller (pulsation propre ω₀) et sa capacité à freiner ces oscillations (facteur d'amortissement ζ). C'est comme donner la "carte d'identité" du système.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pulsation propre ω₀ : C'est la vitesse angulaire (en rad/s) à laquelle le système oscillerait s'il n'y avait aucune perte d'énergie (pas de résistance, ζ=0). Elle est uniquement déterminée par les composants qui stockent l'énergie (L et C).
Facteur d'amortissement ζ : C'est un nombre sans dimension qui quantifie la dissipation d'énergie (via R) par rapport à l'énergie stockée. Il dicte si la réponse sera lente, rapide, ou oscillante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour identifier les coefficients, la première étape est toujours de manipuler votre expression pour que le terme constant du dénominateur soit égal à 1. Dans notre cas, c'est déjà fait, ce qui simplifie le travail. Ensuite, l'identification se fait terme à terme avec le modèle canonique.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation des lettres grecques ω (oméga) pour la pulsation et ζ (zêta) pour l'amortissement est une convention quasi-universelle en physique et en ingénierie pour les systèmes oscillants, issue des standards de l'automatique et de la théorie du contrôle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Forme canonique d'un filtre passe-bas du second ordre de gain statique K=1 :

\[ H(p) = \frac{1}{\frac{1}{\omega_0^2}p^2 + \frac{2\zeta}{\omega_0}p + 1} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le circuit est un système Linéaire et Invariant dans le Temps (LTI), ce qui est vrai pour des composants passifs R, L, C. C'est cette propriété qui garantit que sa fonction de transfert a une forme polynomiale constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
RésistanceR1414Ω
InductanceL1H
CapacitéC1µF (10⁻⁶ F)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois ω₀ calculé, injectez sa valeur dans l'équation pour ζ. Cela évite de manipuler des expressions littérales complexes. De plus, pour un RLC série, retenez que ζ est directement proportionnel à R : plus de résistance = plus d'amortissement.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation par Bloc Fonctionnel
H(p)ω₀ = ? ζ = ?Vₑ(p)Vₛ(p)
Calcul(s) (l'application numérique)

Identification de la pulsation propre \( \omega_0 \) :

\[ \frac{1}{\omega_0^2} = LC \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

Identification du facteur d'amortissement \( \zeta \) :

\[ \begin{aligned} \frac{2\zeta}{\omega_0} = RC & \Rightarrow \zeta = \frac{RC\omega_0}{2} \\ & = \frac{RC}{2\sqrt{LC}} \\ & = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} \end{aligned} \]

Calcul numérique de \( \omega_0 \) :

\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{1 \times 1 \cdot 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{10^{-3}} \\ &= 1000 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

Calcul numérique de \( \zeta \) :

\[ \begin{aligned} \zeta &= \frac{1414}{2}\sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-6}}{1}} \\ &= 707 \times \sqrt{10^{-6}} \\ &= 707 \times 10^{-3} \\ &= 0.707 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position des Pôles dans le Plan Complexe
Re(σ)Im(jω)ω₀-ζω₀ωdφ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une pulsation propre de 1000 rad/s signifie que la fréquence de coupure du filtre se situe autour de f₀ = ω₀/(2π) ≈ 159 Hz. Le facteur d'amortissement de 0.707 est inférieur à 1, ce qui nous indique que le système aura une réponse avec des oscillations (régime pseudo-périodique), mais qu'elles seront fortement freinées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de travailler avec C = 1 au lieu de C = 1x10⁻⁶ F. Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International (Farads, Henrys, Ohms) avant le calcul. Ne confondez pas non plus ω₀ (pulsation en rad/s) et f₀ (fréquence en Hz).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La méthode d'identification est fondamentale :

  • Mettre le dénominateur sous forme normalisée (terme constant à 1).
  • Identifier le coefficient de p² pour trouver ω₀.
  • Identifier le coefficient de p pour trouver ζ.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'amortissement n'est pas limité à l'électronique. Il est crucial en génie mécanique pour la conception des suspensions de voiture, où l'amortisseur (jouant le rôle de R) dissipe l'énergie des ressorts (L et C) pour éviter que le véhicule ne rebondisse indéfiniment après une bosse.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pulsation propre est \( \omega_0 = 1000 \text{ rad/s} \) et le facteur d'amortissement est \( \zeta \approx 0.707 \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans refaire tout le calcul, que deviendrait le facteur d'amortissement ζ si on doublait la valeur de la résistance R à 2828 Ω ?

Question 3 : Vérifier qu'il s'agit d'un filtre de Butterworth

Principe (le concept physique)

Un filtre "de Butterworth" n'est pas une topologie de circuit, mais une "recette" mathématique pour la réponse en fréquence. Cette recette vise à obtenir la bande passante la plus plate possible, sans ondulations. Pour un système du second ordre, cette recette se traduit par une valeur très précise du facteur d'amortissement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les filtres sont nommés selon la forme de leur réponse (le "gabarit"). Le Butterworth est maximalement plat. Le Chebyshev a une coupure plus raide mais avec des ondulations dans la bande passante. Le Bessel a la meilleure réponse de phase (conserve la forme du signal) mais une coupure moins nette. Le choix dépend de l'application : audio (Butterworth), télécoms (Chebyshev), vidéo (Bessel).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La valeur ζ = 1/√2 est l'une des rares valeurs numériques à mémoriser en théorie des filtres. Elle représente le meilleur compromis entre une réponse qui monte vite (faible ζ) et une réponse qui n'oscille pas trop (grand ζ). C'est le point "juste ce qu'il faut" d'amortissement pour une bande passante plate.

Normes (la référence réglementaire)

La classification des réponses de filtres (Butterworth, Chebyshev, etc.) est une norme de facto dans l'industrie de l'électronique et du traitement du signal, permettant aux ingénieurs de parler un langage commun pour spécifier les performances d'un filtre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Critère mathématique pour un filtre de Butterworth du second ordre :

\[ \zeta = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'analyse se base sur le modèle du système du second ordre établi précédemment. On suppose que ce modèle représente fidèlement le circuit réel.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeur
Facteur d'amortissementζ0.707
Astuces(Pour aller plus vite)

Retenez la valeur numérique : 1/√2 ≈ 0.707. Si vous tombez sur cette valeur dans un exercice sur les filtres, le mot "Butterworth" doit immédiatement vous venir à l'esprit.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Réponses en Fréquence
f|H(f)|1ButterworthChebyshevBessel
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la valeur théorique :

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707106... \]

Comparaison :

\[ \zeta = 0.707 \approx \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Schéma (Après les calculs)
Réponse d'un Filtre de Butterworth
f|H(f)|11/√2f₀
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix des valeurs R=1414Ω, L=1H et C=1µF n'est pas un hasard. Ces valeurs ont été précisément choisies pour que le rapport (R/2)√(C/L) soit égal à 1/√2, et donc pour construire un filtre de Butterworth avec une pulsation propre de 1000 rad/s. C'est un exemple typique de conception en électronique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne concluez pas trop vite. Vérifiez toujours la valeur numérique avec précision. Une valeur de ζ=0.8 ou ζ=0.6, bien que proche, ne correspondrait pas à un filtre de Butterworth.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un filtre du second ordre est un filtre de Butterworth si et seulement si son facteur d'amortissement ζ est égal à 1/√2.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nom "maximalement plat" vient du fait que les premières (2n-1) dérivées de la fonction de gain au carré |H(ω)|² d'un filtre de Butterworth d'ordre n sont nulles à ω=0. Cela garantit la meilleure approximation possible d'une ligne droite près du continu, d'où l'absence d'ondulations.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Puisque le facteur d'amortissement calculé \( \zeta \approx 0.707 \) est égal à \(1/\sqrt{2}\), le circuit est bien un filtre de Butterworth du second ordre.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En gardant L=1H et C=1µF, quelle devrait être la valeur exacte de R (en Ohms) pour obtenir un régime d'amortissement critique (ζ=1) ?

Question 4 : Calculer l'expression de vₛ(t)

Principe (le concept physique)

On cherche à connaître l'évolution de la tension de sortie vₛ(t) au cours du temps, après avoir brusquement appliqué 10V à l'entrée. C'est la "réponse indicielle" du filtre. Le condensateur va se charger, mais l'inductance va s'opposer à la variation de courant, créant une dynamique oscillatoire amortie jusqu'à atteindre le régime permanent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La réponse d'un système à une entrée est la somme de deux composantes :
1. Le régime transitoire : Une partie qui dépend des caractéristiques internes du système (ici, les oscillations amorties en e⁻ᶻᵉᵗᵃ·ω₀·ᵗ). Elle disparaît avec le temps.
2. Le régime permanent : La partie qui reste une fois que le système s'est stabilisé. Pour un échelon d'entrée sur un filtre passe-bas, c'est la valeur de l'échelon lui-même.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Plutôt que de refaire toute la décomposition en éléments simples de Vₛ(p) (ce qui est long et source d'erreurs), il est beaucoup plus efficace d'apprendre par cœur la forme générale de la réponse indicielle d'un système du second ordre sous-amorti. C'est une formule qui revient très souvent.

Normes (la référence réglementaire)

La notation u(t) pour désigner la fonction échelon unité (fonction de Heaviside) est un standard international. Elle représente un signal idéal qui vaut 0 pour t<0 et 1 pour t≥0. Notre entrée Vₑ(t) = 10u(t) est donc un échelon d'amplitude 10.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La sortie \(V_s(p)\) est le produit de la fonction de transfert et de l'entrée \(V_e(p)\) :

\[ V_s(p) = H(p) \cdot V_e(p) = H(p) \cdot \frac{10}{p} \]

La transformée de Laplace inverse de cette expression est donnée par la formule générale de la réponse indicielle :

\[ v_s(t) = A \left( 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_0 t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t + \phi) \right) u(t) \]

avec A l'amplitude de l'échelon, \( \omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} \) (pulsation amortie) et \( \phi = \arccos(\zeta) \).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On confirme les conditions initiales nulles : le circuit est au repos avant t=0. C'est essentiel pour que l'application de la transformée de Laplace soit directe. On suppose aussi que la source de tension est parfaite (résistance interne nulle).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Amplitude ÉchelonA10V
Pulsation Propreω₀1000rad/s
Facteur d'Amortissementζ0.707-
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le terme sin(ωd·t + φ), rappelez-vous que φ = arccos(ζ). Puisque ζ=1/√2, on a φ = arccos(1/√2) = π/4 radians (ou 45°), une valeur remarquable qui simplifie souvent les calculs. De même, √(1-ζ²) = √(1-0.5) = √0.5 = 1/√2.

Schéma (Avant les calculs)
Signal d'Entrée Vₑ(t)
tV010Vt=0
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la pulsation amortie \( \omega_d \) :

\[ \begin{aligned} \omega_d &= \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} \\ &= 1000 \sqrt{1 - 0.707^2} \\ &= 1000 \sqrt{1 - 0.5} \\ &= 1000 \sqrt{0.5} \\ &\approx 707 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

Calcul de la phase \( \phi \) :

\[ \begin{aligned} \phi &= \arccos(0.707) \\ &\approx \frac{\pi}{4} \text{ rad} \end{aligned} \]

Substitution dans la formule de \( v_s(t) \) :

\[ v_s(t) = 10 \left( 1 - \frac{e^{-707 t}}{\sqrt{1-0.5}} \sin\left(707 t + \frac{\pi}{4}\right) \right) u(t) \]

Simplification du terme \( 1/\sqrt{0.5} = \sqrt{2} \) :

\[ v_s(t) = 10 \left( 1 - \sqrt{2} e^{-707 t} \sin\left(707 t + \frac{\pi}{4}\right) \right) u(t) \]
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'expression contient un terme constant (10V, le régime permanent) et un terme transitoire (la partie avec l'exponentielle et le sinus). Ce terme transitoire s'annule lorsque t devient grand à cause de l'exponentielle décroissante e⁻⁷⁰⁷ᵗ, et la tension de sortie se stabilise bien à 10V, ce qui est cohérent pour un filtre passe-bas recevant un signal continu.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode radians lorsque vous calculez des sinus ou cosinus avec des angles comme π/4. Ne pas oublier le terme u(t) dans l'expression finale pour indiquer que la solution n'est valide que pour t≥0.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La réponse indicielle d'un système du second ordre sous-amorti est toujours de la forme :
Valeur Finale + (Oscillation * Exponentielle Décroissante). La vitesse de décroissance est fixée par ζω₀ et la fréquence d'oscillation par ωd.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Ce type de réponse transitoire est la bête noire des concepteurs d'alimentations à découpage. Un dépassement de tension ("overshoot") sur la sortie peut endommager les circuits sensibles qu'elle alimente. Le contrôle de l'amortissement est donc une étape cruciale de leur conception.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La tension de sortie est : \( v_s(t) = 10 \left( 1 - \sqrt{2} e^{-707 t} \sin\left(707 t + \frac{\pi}{4}\right) \right) u(t) \text{ Volts.} \)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'échelon d'entrée était de 5V au lieu de 10V, quelle serait la nouvelle expression de vₛ(t) ? Faut-il refaire tous les calculs ?

Question 5 : Calculer le dépassement D₁% et le temps de réponse tᵣ₅%

Principe (le concept physique)

Ces deux métriques permettent de quantifier la performance de la réponse transitoire. Le dépassement mesure à quel point la sortie "dépasse" la cible avant de se stabiliser. Le temps de réponse mesure la rapidité avec laquelle elle se stabilise près de cette cible. Pour un ingénieur, ce sont des critères de conception essentiels.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dépassement (Overshoot) : C'est la différence maximale entre la réponse transitoire et la valeur finale, exprimée en pourcentage de la valeur finale. Il ne dépend que du facteur d'amortissement ζ.
Temps de réponse (Settling Time) : C'est le temps nécessaire pour que la réponse atteigne et reste à l'intérieur d'une bande de tolérance (ici ±5%) autour de la valeur finale. Il dépend de l'amortissement (ζ) et de la rapidité (ω₀).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ces formules sont des raccourcis précieux. Apprenez-les. Elles permettent d'évaluer rapidement les performances d'un système du second ordre sans avoir à calculer et à tracer toute la réponse temporelle. C'est un gain de temps considérable en conception.

Normes (la référence réglementaire)

La définition du temps de réponse n'est pas universelle. La bande de tolérance la plus courante est de 5% (tᵣ₅%), mais on trouve aussi des spécifications à 2% (tᵣ₂%) ou 1% (tᵣ₁%) pour des systèmes plus exigeants. La formule d'approximation change légèrement (tᵣ₂% ≈ 4/ζω₀).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du premier dépassement en pourcentage (pour \(0 < \zeta < 1\)) :

\[ D_{1\%} = 100 \times e^{\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \]

Formule du temps de réponse à 5% (approximation usuelle) :

\[ t_{\text{r5\%}} \approx \frac{3}{\zeta\omega_0} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les formules sont des approximations valables pour un système du second ordre pur, sans zéros dans sa fonction de transfert, ce qui est notre cas. Elles donnent une excellente estimation des performances réelles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pulsation Propreω₀1000rad/s
Facteur d'Amortissementζ0.707-
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le dépassement, quand ζ=1/√2, le terme dans l'exponentielle se simplifie : \( \frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} = \frac{-\pi(1/\sqrt{2})}{\sqrt{1-1/2}} = \frac{-\pi(1/\sqrt{2})}{\sqrt{1/2}} = -\pi \). Donc pour un Butterworth, D₁% = 100·e⁻𝝅. C'est un résultat à connaître !

Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du dépassement \( D_{1\%} \) :

\[ \begin{aligned} D_{1\%} &= 100 \times e^{\frac{-\pi \times 0.707}{\sqrt{1-0.707^2}}} \\ &= 100 \times e^{\frac{-0.707\pi}{0.707}} \\ &= 100 \times e^{-\pi} \\ &\approx 4.32\% \end{aligned} \]

Calcul du temps de réponse à 5% \( t_{\text{r5\%}} \) :

\[ \begin{aligned} t_{\text{r5\%}} &\approx \frac{3}{\zeta\omega_0} \\ &= \frac{3}{0.707 \times 1000} \\ &= \frac{3}{707} \\ &\approx 0.00424 \text{ s} \\ &= 4.24 \text{ ms} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Zoom sur le Régime Permanent
tVₛ10V10.5V9.5Vtᵣ₅%Dépassement
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un dépassement de 4.3% est très faible et souvent acceptable dans de nombreuses applications. Un temps de réponse de 4.24 ms est très rapide. Ces excellentes performances transitoires, combinées à la bande passante plate, expliquent pourquoi le filtre de Butterworth est si populaire et polyvalent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'appliquez la formule du dépassement que si ζ < 1 ! Si ζ ≥ 1, il n'y a pas d'oscillations, donc le dépassement est de 0%. Vérifiez toujours cette condition avant de vous lancer dans le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le compromis fondamental en conception :

  • Pour réduire le temps de réponse, il faut augmenter ζω₀.
  • Pour réduire le dépassement, il faut augmenter ζ.
  • On ne peut souvent pas optimiser les deux indépendamment. Le Butterworth est un excellent compromis.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En asservissement, la forme de la réponse transitoire est primordiale. Imaginez un bras de robot qui doit se positionner rapidement et précisément. Un dépassement trop important pourrait lui faire heurter un objet. Un temps de réponse trop long le rendrait inefficace. Toute la théorie du contrôle vise à sculpter cette réponse transitoire.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le premier dépassement est \( D_1 \approx 4.32 \% \) et le temps de réponse à 5% est \( t_{\text{r5\%}} \approx 4.24 \text{ ms} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on voulait un système sans aucun dépassement (régime critique, ζ=1), quel serait le temps de réponse à 5% ? (Gardez ω₀ = 1000 rad/s).


Outil Interactif : Simulateur de Réponse

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité, et observez en temps réel l'impact sur le facteur d'amortissement et sur la forme de la réponse à un échelon.

Paramètres d'Entrée
1414 Ω
1.0 µF
Résultats Clés
Facteur d'amortissement (ζ) -
Dépassement (D₁%) -
Temps de réponse à 5% (ms) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La principale caractéristique d'un filtre de Butterworth en régime fréquentiel est...

2. Quelle est la valeur du facteur d'amortissement ζ pour un filtre de Butterworth du second ordre ?

3. Dans un circuit RLC série, si on augmente la résistance R (L et C constants), le facteur d'amortissement...

4. Un facteur d'amortissement ζ = 0.2 correspond à un régime...


Filtre de Butterworth
Type de filtre électronique conçu pour avoir une réponse en fréquence la plus plate possible dans la bande passante, sans ondulations, offrant un bon compromis entre l'atténuation et la phase.
Fonction de Transfert
Rapport, dans le domaine de Laplace, entre le signal de sortie et le signal d'entrée d'un système. Elle caractérise entièrement le comportement du système.
Facteur d'Amortissement (ζ)
Paramètre sans dimension qui décrit comment les oscillations d'un système s'éteignent après une perturbation. Il détermine la forme de la réponse transitoire.
Pulsation Propre (ω₀)
Pulsation (en rad/s) à laquelle un système du second ordre oscillerait naturellement s'il n'y avait aucun amortissement (ζ=0).
Réponse Indicielle
Réponse temporelle d'un système lorsqu'il est soumis à une entrée en échelon unité (un signal qui passe de 0 à 1 à t=0).
Analyse d'un Filtre de Butterworth

D’autres exercices de Phénomènes Transitoires:

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