Analyse de Circuit : Théorème de Thévenin
Contexte : Pourquoi utiliser le théorème de Thévenin ?
Le théorème de Thévenin est un outil d'analyse de circuits extraordinairement puissant. Il permet de remplacer n'importe quelle partie complexe d'un circuit linéaire, vue depuis deux bornes, par un modèle ultra-simplifié : un unique générateur de tension idéalSource de tension théorique qui maintient une tension constante à ses bornes, quelle que soit la charge. Sa résistance interne est nulle. en série avec une unique résistance. Cette simplification est particulièrement utile lorsque l'on souhaite étudier l'effet de la variation d'un seul composant (la "charge") sans avoir à recalculer tout le circuit à chaque fois.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer le "générateur de Thévenin équivalent" (composé de \(V_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\)) vu par une résistance de charge. Une fois ce modèle simple obtenu, le calcul du courant dans la charge devient trivial grâce à la loi d'Ohm.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le concept de circuit équivalent.
- Calculer la tension de Thévenin (\(V_{\text{th}}\)) en circuit ouvert.
- Appliquer la méthode du pont diviseur de tension.
- Calculer la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\)) en éteignant les sources.
- Dessiner un circuit équivalent de Thévenin.
- Utiliser le modèle de Thévenin pour calculer le courant et la puissance dans une charge.
Données de l'étude
Schéma du circuit électrique
- Générateur de tension \(V_{\text{1}} = 24 \, \text{V}\).
- Résistance \(R_{\text{1}} = 12 \, \Omega\).
- Résistance \(R_{\text{2}} = 12 \, \Omega\) (non représentée, implicite dans le problème).
- Résistance de charge \(R_{\text{L}} = 4 \, \Omega\).
Questions à traiter
- Calculer la tension de Thévenin (\(V_{\text{th}}\)) aux bornes A et B (en déconnectant \(R_{\text{L}}\)).
- Calculer la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\)) vue depuis les bornes A et B.
- Dessiner le circuit équivalent de Thévenin avec la charge \(R_{\text{L}}\) et calculer le courant \(I_{\text{L}}\).
- Calculer la puissance \(P_{\text{L}}\) dissipée par la résistance de charge \(R_{\text{L}}\).
Correction : Application du Théorème de Thévenin
Question 1 : Calcul de la tension de Thévenin (\(V_{\text{th}}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La tension de Thévenin \(V_{\text{th}}\) est la tension mesurée aux bornes de la charge (A et B) lorsque celle-ci est déconnectée. On parle de tension "à vide". Dans notre circuit, cela revient à calculer la tension aux bornes de la résistance \(R_2\) (qui est implicite entre le point de connexion de R1 et la masse), car aucun courant ne circule dans la branche de A, donc la tension en A est la même que celle aux bornes de R2.
Calcul de Vth (tension à vide)
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le pont diviseur de tension : Lorsque deux résistances \(R_{\text{1}}\) et \(R_{\text{2}}\) sont en série et alimentées par une tension \(V_{\text{source}}\), la tension aux bornes de \(R_{\text{2}}\) est donnée par la formule \(V_{\text{R2}} = V_{\text{source}} \times \frac{R_{\text{2}}}{R_{\text{1}} + R_{\text{2}}}\). C'est un des montages les plus fondamentaux en électronique, utilisé pour obtenir une tension plus faible à partir d'une source plus élevée.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La principale difficulté est de bien identifier le circuit à analyser. En retirant \(R_{\text{L}}\), les bornes A et B sont "en l'air". Aucun courant ne peut circuler vers elles. La tension au point A est donc la même que la tension au nœud entre R1 et R2. Le problème se résume alors à un simple pont diviseur de tension.
Normes (la référence réglementaire)
Le théorème de Thévenin, formulé en 1883 par l'ingénieur français Léon Charles Thévenin, est une application directe des lois de Kirchhoff. Il est universellement accepté et enseigné comme un outil de base de l'analyse des circuits linéaires.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le voltmètre utilisé pour mesurer la tension à vide est idéal, c'est-à-dire qu'il a une résistance interne infinie et ne perturbe donc pas le circuit.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule du pont diviseur de tension :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(V_{\text{1}} = 24 \, \text{V}\)
- \(R_{\text{1}} = 12 \, \Omega\), \(R_{\text{2}} = 12 \, \Omega\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la tension de Thévenin :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La tension à vide aux bornes A-B est de 12V. Cela signifie que toute la partie gauche du circuit se comporte, pour tout ce qui sera branché entre A et B, comme une source de tension idéale de 12V (en série avec une résistance que nous allons calculer).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de \(V_{\text{th}}\) est la première des deux étapes pour déterminer le modèle de Thévenin. Il définit la "force" du générateur équivalent.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas déconnecter la charge : Une erreur fréquente est d'essayer de calculer la tension de Thévenin sans avoir préalablement retiré la résistance de charge \(R_{\text{L}}\). La tension de Thévenin est par définition la tension à vide.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 2 : Calcul de la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La résistance de Thévenin \(R_{\text{th}}\) est la résistance équivalente vue depuis les bornes A et B, après avoir éteint toutes les sources indépendantes du circuit. Comme vu précédemment, la source de tension \(V_1\) est remplacée par un court-circuit.
Calcul de Rth (sources éteintes)
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour trouver la résistance équivalente vue depuis deux points, on imagine brancher un ohmmètre sur ces points. Le circuit est alors alimenté "par l'arrière". Dans ce cas, les résistances \(R_{\text{1}}\) et \(R_{\text{2}}\) se retrouvent en parallèle. En effet, leurs deux bornes sont connectées aux mêmes nœuds : le nœud commun (entre R1, R2 et A) et la masse (le fil du bas).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : L'étape la plus délicate est de "voir" que R1 et R2 sont en parallèle. Redessiner le circuit en plaçant la masse en bas et le point A en haut peut aider à visualiser cette configuration parallèle.
Normes (la référence réglementaire)
Le concept de "résistance d'entrée" ou "résistance de sortie" d'un circuit, fondamental en électronique (par exemple pour l'adaptation d'impédance), est une application directe du calcul de la résistance de Thévenin.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que toutes les sources de tension ont été remplacées par des courts-circuits et toutes les sources de courant par des circuits ouverts.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la résistance équivalente en parallèle :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(R_{\text{1}} = 12 \, \Omega\)
- \(R_{\text{2}} = 12 \, \Omega\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la résistance de Thévenin :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La résistance de 6 Ω représente la résistance interne du générateur de Thévenin équivalent. Elle quantifie la chute de tension qui se produira lorsque l'on branchera une charge et qu'un courant commencera à circuler.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de \(R_{\text{th}}\) est la seconde étape cruciale pour définir le modèle de Thévenin. Sans elle, notre modèle de générateur serait idéal, ce qui n'est pas le cas. \(R_{\text{th}}\) modélise le comportement non-idéal du circuit source.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Oublier d'éteindre les sources : La plus grande erreur est de calculer la résistance équivalente sans avoir au préalable court-circuité les sources de tension (et ouvert les sources de courant). Cela fausserait complètement le résultat.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 3 : Calcul du courant de charge \(I_{\text{L}}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
Maintenant que nous avons \(V_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\), nous pouvons remplacer tout le circuit complexe à gauche des bornes A et B par son équivalent de Thévenin. Le calcul du courant \(I_{\text{L}}\) dans la charge \(R_{\text{L}}\) devient alors une simple application de la loi d'Ohm à un circuit série.
Circuit Équivalent de Thévenin
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Puissance du théorème : L'avantage majeur apparaît si la valeur de \(R_{\text{L}}\) change. Avec les méthodes classiques (Kirchhoff, superposition), il faudrait tout recalculer. Avec Thévenin, \(V_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\) restent les mêmes ; seul le calcul final de \(I_{\text{L}}\) change, ce qui est extrêmement rapide.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le circuit équivalent de Thévenin est une "boîte noire". Du point de vue de la charge \(R_{\text{L}}\), il est impossible de faire la différence entre le circuit original complexe et le simple modèle de Thévenin. Ils fournissent exactement le même courant et la même tension à la charge.
Normes (la référence réglementaire)
Le théorème de Thévenin est un pilier de l'ingénierie électrique, utilisé dans la modélisation des batteries (tension à vide et résistance interne), des sorties d'amplificateurs, des antennes, et de nombreux autres systèmes.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les valeurs de \(V_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\) calculées précédemment sont exactes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi d'Ohm appliquée au circuit de Thévenin :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(V_{\text{th}} = 12 \, \text{V}\)
- \(R_{\text{th}} = 6 \, \Omega\)
- \(R_{\text{L}} = 4 \, \Omega\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du courant dans la charge :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le courant qui traverse la résistance de charge de 4 Ω est de 1.2 A. Ce résultat a été obtenu bien plus simplement que par une analyse de maille sur le circuit d'origine.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape est l'aboutissement de la méthode. Elle démontre la puissance du théorème en permettant un calcul final simple et rapide sur un circuit trivial.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Oublier Rth : Une erreur classique est d'oublier la résistance de Thévenin dans le calcul final et de faire \(I_{\text{L}} = V_{\text{th}} / R_{\text{L}}\). Il faut toujours additionner la résistance interne du générateur de Thévenin et la résistance de charge.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 4 : Calculer la puissance \(P_{\text{L}}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
La puissance dissipée par une résistance est l'énergie qu'elle convertit en chaleur par seconde. Elle se calcule à partir du courant qui la traverse et de sa valeur de résistance, en utilisant la loi de Joule.
Puissance dans la charge
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Loi de Joule : La puissance \(P\) dissipée dans un dipôle résistif est donnée par trois formules équivalentes : \(P = U \times I\), \(P = R \times I^2\), et \(P = U^2 / R\). On choisit la plus pratique en fonction des données connues. Ici, comme nous venons de calculer le courant \(I_{\text{L}}\), la formule \(P = R \times I^2\) est la plus directe.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Ne confondez pas l'énergie (en Joules) et la puissance (en Watts). La puissance est un débit d'énergie. Une résistance dissipe une certaine puissance (W), ce qui correspond à une certaine quantité d'énergie (J) chaque seconde.
Normes (la référence réglementaire)
L'unité de puissance, le Watt (W), est une unité dérivée du Système International. Elle est définie comme un Joule par seconde (\(1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}\)).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que toute l'énergie électrique est convertie en chaleur (effet Joule), sans autres formes de pertes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la puissance (Loi de Joule) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Courant dans la charge : \(I_{\text{L}} = 1.2 \, \text{A}\)
- Résistance de charge : \(R_{\text{L}} = 4 \, \Omega\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la puissance dissipée par RL :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La résistance de charge dissipe 5.76 Watts sous forme de chaleur. Cette information est cruciale pour choisir un composant physique capable de supporter cette dissipation sans surchauffer et se détruire.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de la puissance est une étape essentielle du dimensionnement. Il ne suffit pas qu'un circuit fonctionne, il faut aussi qu'il le fasse en toute sécurité, et la gestion thermique est un aspect majeur de la conception électronique.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Oublier le carré : L'erreur la plus simple et la plus fréquente est d'oublier de mettre le courant au carré dans la formule \(P = RI^2\). Vérifiez toujours vos formules avant l'application numérique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Outil Interactif : Calculateur de Circuit
Modifiez les valeurs des composants pour voir leur influence sur le courant dans R3.
Paramètres du Circuit
Résultats Calculés
Pour Aller Plus Loin : Le calcul de la puissance
Attention : Le théorème de superposition ne s'applique PAS directement au calcul de la puissance. La puissance dissipée par une résistance est \(P = R \times I^{\text{2}}\), une relation non-linéaire (à cause du carré). On ne peut pas calculer les puissances partielles et les sommer. Il faut d'abord calculer le courant total (ou la tension totale) par superposition, et seulement ensuite calculer la puissance finale avec ce courant total : \(P_{\text{3}} = R_{\text{3}} \times I_{\text{3}}^{\text{2}}\).
Le Saviez-Vous ?
Le théorème de superposition est un cas particulier d'un concept mathématique plus large applicable à tous les systèmes linéaires. Que ce soit en mécanique (superposition des forces), en acoustique (superposition des ondes sonores) ou en optique, le principe reste le même : si un système est linéaire, la réponse à une somme d'entrées est la somme des réponses à chaque entrée individuelle.
Foire Aux Questions (FAQ)
Peut-on utiliser la superposition pour un circuit avec un transistor ou une diode ?
Non. Les transistors et les diodes sont des composants non-linéaires. Leur relation tension-courant n'est pas une simple droite (comme la loi d'Ohm pour une résistance). Le théorème de superposition n'est donc pas applicable à des circuits contenant de tels composants.
Quelle est l'alternative à la superposition ?
Pour les circuits linéaires, les méthodes alternatives principales sont la méthode des courants de maille (basée sur la loi des mailles de Kirchhoff) et la méthode des tensions de nœuds (basée sur la loi des nœuds de Kirchhoff). Pour les circuits plus complexes, les théorèmes de Thévenin et de Norton sont aussi extrêmement utiles.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour appliquer le théorème de superposition, comment "éteint"-on un générateur de courant idéal ?
2. Dans notre exercice, si on inversait la polarité de V2, que deviendrait le courant total I3 ?
- Théorème de Superposition
- Dans un circuit électrique linéaire, le courant ou la tension en un point est la somme algébrique des courants ou tensions produits par chaque source agissant seule.
- Circuit Linéaire
- Un circuit composé uniquement de sources indépendantes et de composants linéaires (résistances, capacités, inductances). La relation entre tension et courant y est proportionnelle.
- Éteindre une source
- Remplacer une source par sa résistance interne pour annuler son effet. Pour une source de tension idéale, c'est un court-circuit (fil). Pour une source de courant idéale, c'est un circuit ouvert.
- Diviseur de Courant
- Une formule qui détermine comment le courant total se répartit entre des branches parallèles. Le courant dans une branche est inversement proportionnel à sa résistance.
- Loi d'Ohm
- La relation fondamentale \(U = R \times I\), qui lie la tension (U), la résistance (R) et le courant (I) pour un composant résistif.
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