Calcul de la Bande Passante d'un Circuit Résonant
Contexte : La sélectivité des circuits, au cœur des télécommunications.
En analyse des circuits en régime sinusoïdalAnalyse du comportement d'un circuit lorsque la source est une tension ou un courant sinusoïdal. On utilise la notation complexe (impédances) pour simplifier les calculs., le circuit RLC série est un modèle fondamental. Sa capacité à "résonner" à une fréquence spécifique lui permet d'agir comme un filtre. La bande passantePlage de fréquences pour laquelle le circuit laisse passer une puissance significative (généralement plus de la moitié de la puissance maximale). Une bande passante étroite signifie une grande sélectivité. et le facteur de qualitéGrandeur sans dimension qui caractérise l'acuité de la résonance. Un Q élevé correspond à une résonance très piquée et une bande passante étroite, donc à un circuit très sélectif. sont des paramètres cruciaux qui définissent la sélectivité de ce filtre. Comprendre comment les calculer est essentiel pour concevoir des systèmes de communication, des tuners radio aux filtres des réseaux mobiles.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment les propriétés de composants simples (R, L, C) se combinent pour créer un comportement complexe et très utile : la résonance. Nous allons passer du domaine des composants au domaine fréquentiel pour caractériser la fonction de filtrage du circuit. C'est une compétence de base pour tout ingénieur en électronique ou en télécommunications.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la pulsation de résonancePulsation (en rad/s) à laquelle les effets de l'inductance et de la capacité se compensent. L'impédance du circuit est alors minimale (égale à R) et le courant est maximal. \(\omega_0\) d'un circuit RLC série.
- Déterminer le facteur de qualité \(Q\) du circuit.
- Calculer la bande passante \(\Delta\omega\) à -3 dB.
- Déterminer les pulsations de coupure \(\omega_{\text{c1}}\) et \(\omega_{\text{c2}}\).
- Comprendre la relation inverse entre le facteur de qualité et la largeur de la bande passante.
Données de l'étude
Schéma du circuit RLC série
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 10 | \(\Omega\) |
| Inductance | \(L\) | 20 | \(\text{mH}\) |
| Capacité | \(C\) | 50 | \(\mu\text{F}\) |
Questions à traiter
- Calculer la pulsation de résonance \(\omega_0\) du circuit.
- Calculer le facteur de qualité \(Q\) du circuit.
- En déduire la bande passante \(\Delta\omega\) du circuit.
- Calculer les pulsations de coupure à -3 dB, \(\omega_{\text{c1}}\) et \(\omega_{\text{c2}}\).
Les bases de l'Analyse en Régime Sinusoïdal
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés des circuits RLC.
1. Impédances Complexes :
En régime sinusoïdal, on associe à chaque composant une impédance complexe \(\underline{Z}\) qui représente son opposition au passage du courant.
- Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
- Bobine : \(\underline{Z}_L = jL\omega\)
- Condensateur : \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}\)
2. La Résonance :
La résonance se produit lorsque la partie imaginaire de l'impédance s'annule (\(L\omega_0 - \frac{1}{C\omega_0} = 0\)). À cette pulsation \(\omega_0\), les effets de la bobine et du condensateur se compensent. L'impédance est alors minimale (\(\underline{Z}_{\text{eq}} = R\)) et le courant est maximal. On trouve :
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
3. Facteur de Qualité et Bande Passante :
Le facteur de qualité \(Q\) mesure l'acuité de la résonance. La bande passante \(\Delta\omega\) est la largeur de la plage de pulsations où la puissance dissipée est au moins la moitié de la puissance maximale. Ces deux grandeurs sont liées :
\[ Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{L\omega_0}{R} \quad \text{et} \quad \Delta\omega = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} \]
Un \(Q\) élevé implique une bande passante étroite et donc un filtre très sélectif.
Correction : Calcul de la Bande Passante d'un Circuit Résonant
Question 1 : Calculer la pulsation de résonance (\(\omega_0\))
Principe (le concept physique)
La pulsation de résonance est la fréquence "naturelle" du circuit. À cette pulsation, l'énergie oscille de manière optimale entre le condensateur (sous forme de champ électrique) et la bobine (sous forme de champ magnétique). Vues de l'extérieur, les réactances de ces deux composants s'annulent mutuellement, laissant le circuit se comporter comme une simple résistance.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La condition de résonance \( \text{Im}(\underline{Z}_{\text{eq}}) = 0 \) mène à \(L\omega_0 = 1/(C\omega_0)\). Ceci signifie que les modules des impédances de la bobine et du condensateur sont égaux. Leurs effets étant en opposition de phase (+90° pour L, -90° pour C), leurs tensions s'annulent à chaque instant, un phénomène appelé "surtension" aux bornes de L et C.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à une balançoire. L'inductance L est comme la masse de la personne, qui stocke l'énergie cinétique. La capacité C est comme la gravité qui la ramène en arrière, stockant l'énergie potentielle. La pulsation de résonance est la vitesse à laquelle il faut pousser (la fréquence de la source) pour que la balançoire monte le plus haut possible avec un minimum d'effort.
Normes (la référence réglementaire)
La terminologie des circuits résonants et la définition de la pulsation de résonance sont standardisées par des organismes internationaux comme la Commission Électrotechnique Internationale (CEI) dans son "Vocabulaire Électrotechnique International" (IEV) pour assurer une compréhension universelle entre ingénieurs.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La pulsation propre (ou de résonance) d'un circuit RLC série est donnée par :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère que les composants sont idéaux (résistance pure, inductance pure, capacité pure).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Il est crucial de convertir les unités dans le Système International (Henry pour L, Farad pour C).
- Inductance, \(L = 20 \, \text{mH} = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
- Capacité, \(C = 50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Lors du calcul de \(LC\), regroupez les puissances de 10. Ici, \(LC = (20 \times 10^{-3}) \times (50 \times 10^{-6}) = 1000 \times 10^{-9} = 10^{-6}\). La racine carrée de \(10^{-6}\) est \(10^{-3}\), ce qui simplifie grandement le calcul mental de l'inverse.
Schéma (Avant les calculs)
Condition de Résonance
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec les valeurs en unités SI.
Schéma (Après les calculs)
Réponse du Circuit à la Résonance
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pulsation de résonance est de 1000 rad/s. Cela correspond à une fréquence de \(f_0 = \omega_0 / (2\pi) \approx 159\) Hz. C'est autour de cette fréquence que le circuit sera le plus "passant" pour le courant.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des préfixes (milli, micro). Un oubli ici conduirait à une erreur d'un facteur 1000 ou plus sur la pulsation. Toujours travailler en unités SI (H, F, \(\Omega\)) pour les calculs intermédiaires.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La résonance est un phénomène purement dépendant de L et C.
- La formule est \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
- À la résonance, l'impédance est minimale et réelle (\(Z=R\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Nikola Tesla a été un pionnier de l'étude de la résonance électrique. Ses expériences spectaculaires à Colorado Springs utilisaient des bobines gigantesques pour créer des résonances à très haute tension, dans le but de développer la transmission d'énergie sans fil.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on doublait la valeur de l'inductance L (à 40 mH), quelle serait la nouvelle pulsation de résonance en rad/s ?
Question 2 : Calculer le facteur de qualité (Q)
Principe (le concept physique)
Le facteur de qualité Q est un nombre sans dimension qui décrit à quel point la résonance est "piquée" ou "amortie". Un Q élevé signifie que le circuit stocke beaucoup d'énergie par rapport à ce qu'il dissipe à chaque cycle. La résistance R est le seul élément dissipatif, donc un R faible conduit à un Q élevé et à une résonance très sélective.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le facteur de qualité est formellement défini comme \(Q = 2\pi \frac{\text{Énergie maximale stockée}}{\text{Énergie dissipée par période}}\). Pour un circuit RLC série, ce ratio se simplifie en plusieurs formules équivalentes à la résonance : \(Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\). Le choix de la formule dépend des paramètres connus.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Revenons à la balançoire. Le facteur Q est comme le nombre de fois où la balançoire peut aller et venir avant de s'arrêter si on arrête de la pousser. Une balançoire avec peu de frottements (R faible) aura un Q élevé et oscillera longtemps. Une balançoire freinée (R élevé) aura un Q faible et s'arrêtera vite.
Normes (la référence réglementaire)
La définition du facteur de qualité et les méthodes de sa mesure sont standardisées, notamment dans les documents de l'IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), pour garantir la comparabilité des caractéristiques des filtres et résonateurs.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule la plus directe utilisant les valeurs initiales est :
Alternativement, en utilisant \(\omega_0\) calculé précédemment :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul est effectué à la pulsation de résonance \(\omega_0\), où la définition du facteur de qualité est la plus simple.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Résistance, \(R = 10 \, \Omega\)
- Inductance, \(L = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
- Capacité, \(C = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
- Pulsation de résonance, \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
La formule \(Q = L\omega_0/R\) est souvent la plus rapide à calculer une fois que \(\omega_0\) est connu. Ici, \(L\omega_0 = (20 \times 10^{-3}) \times 1000 = 20\). Le calcul devient alors trivial : \(20 / 10 = 2\).
Schéma (Avant les calculs)
Acuité de la Résonance
Calcul(s) (l'application numérique)
Utilisons la première formule :
Vérifions avec la seconde formule :
Schéma (Après les calculs)
Courbe pour Q = 2
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un facteur de qualité de 2 indique une résonance modérément amortie. Le pic de résonance sera visible mais assez large. Ce circuit n'est pas extrêmement sélectif. Pour un filtre de radio, on chercherait des facteurs Q de 50, 100 ou plus.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que le résultat est bien sans dimension. Toutes les unités (\(\Omega\), H, F, rad/s) doivent se simplifier. Une erreur d'unité dans les données d'entrée est la cause la plus fréquente d'un résultat incorrect.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Q mesure l'acuité de la résonance.
- Q est inversement proportionnel à R (l'amortissement).
- \(Q > 0.5\) est la condition pour observer un pic de résonance (régime pseudo-périodique).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) repose sur la résonance des protons dans un champ magnétique. Ce phénomène a un facteur de qualité extraordinairement élevé, ce qui permet de détecter des variations infimes du champ magnétique et de créer des images très détaillées des tissus mous du corps.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si on réduisait la résistance R à 2 \(\Omega\), quel serait le nouveau facteur de qualité ?
Question 3 : Calculer la bande passante (\(\Delta\omega\))
Principe (le concept physique)
La bande passante est la "largeur" du pic de résonance. Elle représente la gamme de fréquences que le filtre laisse passer efficacement. Elle est définie comme la différence entre les deux pulsations de coupure \(\omega_{\text{c2}}\) et \(\omega_{\text{c1}}\), où la puissance transmise au circuit est la moitié de la puissance à la résonance. Cela correspond aux pulsations où le module du courant est \(1/\sqrt{2}\) fois le courant maximal.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La bande passante est directement liée au facteur de qualité et à la pulsation de résonance par une relation simple et fondamentale : \(\Delta\omega = \omega_0 / Q\). On peut aussi montrer qu'elle ne dépend que de R et L : \(\Delta\omega = R/L\). Cette deuxième relation est exacte, tandis que la première est une excellente approximation pour les Q élevés, et souvent utilisée comme définition.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Si le facteur de qualité Q représente la "sélectivité" du filtre, la bande passante en est la mesure quantitative. Un tuner radio très sélectif (Q élevé) aura une bande passante très étroite pour isoler une seule station. Un filtre audio pour les basses fréquences ("subwoofer") aura une bande passante plus large pour couvrir toute la gamme des graves.
Normes (la référence réglementaire)
La définition de la bande passante "à -3 dB" (puissance moitié) est une convention universelle en ingénierie électrique, acoustique et traitement du signal. Elle est spécifiée dans de nombreuses normes IEEE et CEI pour caractériser les filtres, les amplificateurs et les antennes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On peut utiliser l'une ou l'autre des formules :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les formules sont valides pour un circuit RLC série et la définition de la bande passante à -3 dB.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Pulsation de résonance, \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\) (de Q1)
- Facteur de qualité, \(Q = 2\) (de Q2)
- Résistance, \(R = 10 \, \Omega\)
- Inductance, \(L = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La formule \(\Delta\omega = R/L\) est souvent la plus robuste car elle ne dépend pas d'un calcul préalable de \(\omega_0\) ou Q. C'est un calcul direct à partir des valeurs des composants.
Schéma (Avant les calculs)
Définition de la Bande Passante
Calcul(s) (l'application numérique)
Avec la première formule :
Vérifions avec la seconde formule :
Schéma (Après les calculs)
Bande Passante Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La bande passante est de 500 rad/s. Cela signifie que le circuit laisse passer efficacement les signaux dont la pulsation est comprise dans un intervalle de 500 rad/s centré approximativement sur \(\omega_0\). C'est cohérent avec notre facteur de qualité modéré : le filtre est peu sélectif, sa bande passante est large (la moitié de la fréquence centrale).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre la bande passante \(\Delta\omega\) (en rad/s) avec la bande passante en fréquence \(\Delta f\) (en Hz). La relation est \(\Delta\omega = 2\pi \Delta f\). L'énoncé demande une pulsation, donc la réponse doit être en rad/s.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La bande passante mesure la largeur du filtre.
- Elle est inversement proportionnelle à Q : \(\Delta\omega = \omega_0 / Q\).
- Un filtre sélectif a un Q élevé et une \(\Delta\omega\) faible.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le théorème de Shannon-Hartley, pilier de la théorie de l'information, relie directement la capacité maximale de transmission de données d'un canal (en bits par seconde) à sa bande passante (en Hz). C'est pourquoi la "largeur de bande" est devenue synonyme de débit internet.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec R = 2 \(\Omega\) et donc Q = 10, quelle serait la nouvelle bande passante en rad/s ?
Question 4 : Calculer les pulsations de coupure (\(\omega_{\text{c1}}, \omega_{\text{c2}}\))
Principe (le concept physique)
Les pulsations de coupure sont les "frontières" de la bande passante. Ce sont les deux pulsations, \(\omega_{\text{c1}}\) (inférieure) et \(\omega_{\text{c2}}\) (supérieure), pour lesquelles la puissance absorbée par le circuit est exactement la moitié de la puissance maximale absorbée à la résonance. À ces pulsations, le déphasage entre la tension et le courant est de \(\pm 45^\circ\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La condition de coupure (puissance divisée par 2) est équivalente à une impédance dont le module est \(\sqrt{2}\) fois le module minimal (\(|\underline{Z}| = \sqrt{2}R\)). Cela revient à résoudre l'équation \(|R + j(L\omega - 1/C\omega)| = \sqrt{2}R\), qui se simplifie en \(L\omega - 1/C\omega = \pm R\). La résolution de cette équation du second degré en \(\omega\) donne les valeurs exactes de \(\omega_{\text{c1}}\) et \(\omega_{\text{c2}}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Si la bande passante \(\Delta\omega\) vous donne la largeur de la "porte" que le filtre ouvre aux fréquences, les pulsations de coupure \(\omega_{\text{c1}}\) et \(\omega_{\text{c2}}\) vous indiquent précisément où se trouvent les "montants" de cette porte.
Normes (la référence réglementaire)
La définition des fréquences de coupure est un élément standard de la caractérisation des filtres de toutes sortes, et est utilisée dans les fiches techniques des composants (amplificateurs opérationnels, filtres actifs, etc.) conformément aux standards de l'industrie électronique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un circuit RLC série, les pulsations de coupure sont les solutions de \(L\omega^2 \pm R\omega - 1/C = 0\). Les solutions sont :
On peut aussi les exprimer en fonction de \(\omega_0\) et \(\Delta\omega\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les calculs sont basés sur le modèle du circuit RLC série idéal et la définition de la coupure à -3 dB.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Pulsation de résonance, \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\)
- Bande passante, \(\Delta\omega = 500 \, \text{rad/s}\)
- Résistance, \(R = 10 \, \Omega\)
- Inductance, \(L = 0.02 \, \text{H}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour les circuits à Q élevé (disons Q > 10), on peut utiliser l'approximation simple \(\omega_{\text{c1, c2}} \approx \omega_0 \mp \frac{\Delta\omega}{2}\). Pour notre cas (Q=2), cette approximation n'est pas très précise et il est préférable d'utiliser la formule exacte.
Schéma (Avant les calculs)
Position des Pulsations de Coupure
Calcul(s) (l'application numérique)
Calculons d'abord le terme \(\Delta\omega/2\) :
Appliquons ensuite la formule complète :
On obtient donc les deux pulsations de coupure :
Schéma (Après les calculs)
Pulsations de Coupure Calculées
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les pulsations de coupure sont 781 rad/s et 1281 rad/s. On peut vérifier que leur différence est bien égale à la bande passante : \(1280.77 - 780.77 = 500\) rad/s. On remarque aussi que la fréquence de résonance \(\omega_0 = 1000\) rad/s n'est pas exactement au milieu arithmétique de \(\omega_{\text{c1}}\) et \(\omega_{\text{c2}}\), mais elle est leur moyenne géométrique (\(\sqrt{\omega_{\text{c1}}\omega_{\text{c2}}} = \omega_0\)). Pour les Q élevés, la moyenne arithmétique devient une excellente approximation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas utiliser l'approximation \(\omega_{\text{c1,c2}} \approx \omega_0 \mp \Delta\omega/2\) lorsque le facteur de qualité Q est faible (inférieur à 5 ou 10). Pour Q=2, comme ici, l'erreur est notable. L'approximation donnerait 750 et 1250 rad/s. Il faut utiliser la formule exacte pour des calculs précis.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les pulsations de coupure définissent les bords de la bande passante.
- Leur différence est \(\omega_{\text{c2}} - \omega_{\text{c1}} = \Delta\omega = R/L\).
- Leur produit est \(\omega_{\text{c1}} \cdot \omega_{\text{c2}} = \omega_0^2 = 1/LC\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les égaliseurs graphiques audio utilisent une série de filtres passe-bande RLC (ou leurs équivalents actifs). Chaque "curseur" ajuste le gain à une fréquence centrale, et un bouton "Q" ou "Bandwidth" permet de régler la largeur de la bande de fréquences affectée, modifiant ainsi le facteur de qualité du filtre correspondant.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un circuit avec \(\omega_0 = 2000\) rad/s et \(\Delta\omega = 200\) rad/s, quelle est la valeur de \(\omega_{\text{c2}}\) en rad/s ?
Outil Interactif : Réponse en Fréquence
Modifiez les composants du circuit pour visualiser leur influence sur la courbe de résonance.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le phénomène de résonance, bien qu'essentiel en électronique, peut être destructeur en génie civil. Le pont de Tacoma Narrows, aux États-Unis, s'est effondré en 1940 car le vent l'a fait entrer en résonance aéroélastique. La fréquence des tourbillons de vent correspondait à l'une des fréquences de torsion naturelles du pont, créant des oscillations qui se sont amplifiées jusqu'à la rupture de la structure.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre résonance série et résonance parallèle ?
Dans un circuit RLC série, l'impédance est MINIMALE à la résonance, ce qui en fait un excellent filtre "passe-bande" pour le courant. Dans un circuit RLC parallèle, c'est l'inverse : l'impédance est MAXIMALE à la résonance, ce qui en fait un filtre "coupe-bande" (ou "réjecteur de bande"). Les deux phénomènes se produisent à la même pulsation \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) pour des composants idéaux.
À quoi sert un facteur de qualité très élevé ?
Un Q très élevé (>> 100) est recherché dans les applications nécessitant une très haute sélectivité. Par exemple, pour isoler un canal radio très précis parmi des centaines d'autres, ou dans les horloges atomiques et les résonateurs à quartz où l'on a besoin d'une fréquence d'oscillation extrêmement stable et pure.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour rendre un filtre RLC série plus sélectif (bande passante plus étroite), il faut...
2. Dans un circuit RLC série, si on double la fréquence du signal d'entrée par rapport à la fréquence de résonance, l'impédance du circuit sera...
- Pulsation de Résonance (\(\omega_0\))
- Pulsation (en rad/s) pour laquelle les réactances inductive et capacitive se compensent. L'impédance du circuit est alors minimale et le courant maximal.
- Facteur de Qualité (Q)
- Grandeur sans dimension qui caractérise l'acuité de la résonance. Un Q élevé signifie une bande passante étroite et une grande sélectivité.
- Bande Passante (\(\Delta\omega\))
- Intervalle de pulsations autour de la résonance pour lequel la puissance dissipée par le circuit est supérieure à la moitié de la puissance maximale. Elle se mesure entre les deux pulsations de coupure à -3dB.
D’autres exercices de régime sinusoÏdal:
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