Calcul de la charge totale traversant une section
Contexte : Le courant électriqueLe courant électrique est le débit de charge électrique à travers une surface, généralement exprimé en Ampères (A). et la notion de charge électriqueLa charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui lui fait subir une force lorsqu'elle est placée dans un champ électromagnétique. Son unité est le Coulomb (C)..
Cet exercice vous guide dans le calcul de la charge électrique totale qui traverse la section d'un conducteur lorsque le courant n'est pas constant, mais varie dans le temps. Nous utiliserons des outils mathématiques de base, comme l'intégration, pour résoudre un problème physique concret et fondamental en électricité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre la relation fondamentale entre le courant, qui est une mesure de flux (un débit), et la charge, qui est une quantité accumulée. C'est un concept de base en électricité et en électronique, similaire à la relation entre la vitesse et la distance parcourue.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation intégrale entre le courant et la charge.
- Appliquer un calcul d'intégrale simple pour déterminer une charge totale.
- Distinguer le courant instantané d'une charge accumulée sur un intervalle.
- Interpréter graphiquement la relation entre le courant et la charge.
Données de l'étude
Schéma du flux de courant dans un conducteur
Questions à traiter
- Calculer la charge totale \(Q\) ayant traversé la section entre les instants \(t_1 = 0 \text{ s}\) et \(t_2 = 5 \text{ s}\).
- Quelle est la valeur du courant instantané à \(t = 3 \text{ s}\) ?
- Représenter graphiquement la fonction \(i(t)\) sur l'intervalle \([0\text{s} ; 5\text{s}]\).
- Quelle est la signification physique de l'aire sous la courbe de \(i(t)\) que vous avez tracée ?
Les bases de l'électricité
Pour résoudre cet exercice, il est crucial de maîtriser la relation fondamentale qui lie le courant électrique à la charge électrique.
1. Courant comme débit de charge
Le courant électrique, noté \(i(t)\), est défini comme le débit de charge électrique \(dQ\) qui traverse une surface par unité de temps \(dt\). Autrement dit, le courant est la dérivée de la charge par rapport au temps.
Définition du courant
Son unité est l'Ampère (A), qui équivaut à un Coulomb par seconde (C/s).
2. Charge comme accumulation de courant
Inversement, pour trouver la charge totale \(Q\) qui a traversé une section entre deux instants \(t_1\) et \(t_2\), on doit "sommer" le courant sur tout cet intervalle. L'outil mathématique pour cette accumulation est l'intégrale.
Définition de la charge
Son unité est le Coulomb (C).
Correction : Calcul de la charge totale traversant une section
Question 1 : Calculer la charge totale Q
Principe
Le concept physique clé est que la charge totale est l'accumulation du courant (un débit) sur une période. Si le débit varie, on ne peut pas simplement multiplier le courant par le temps ; il faut sommer toutes les valeurs instantanées du courant, ce que fait l'opération d'intégration.
Mini-Cours
La relation entre charge et courant est l'un des exemples les plus fondamentaux de la paire "stock/flux" en physique. La charge \(Q\) est une quantité (un stock), tandis que le courant \(i\) est un flux (un débit de cette quantité). L'intégrale est l'outil qui permet de calculer la variation du stock à partir du flux.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous remplissez une baignoire avec un robinet dont vous augmentez progressivement le débit. Pour connaître la quantité totale d'eau, vous ne pouvez pas juste multiplier un débit par le temps. Vous devez "additionner" la contribution du débit à chaque instant. C'est exactement ce que fait l'intégrale pour la charge électrique.
Normes
Ce calcul ne dépend pas d'une norme d'ingénierie (comme les Eurocodes en structure), mais des définitions fondamentales des grandeurs électriques établies par le Système International d'unités (SI)Le système d'unités standard utilisé dans le monde scientifique et technique, basé sur le mètre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s), etc..
Formule(s)
L'outil mathématique pour passer du débit \(i(t)\) à la quantité accumulée \(Q\) est l'intégrale définie.
Formule générale de la charge
Application à l'exercice
Hypothèses
Pour que ce calcul soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- La fonction \(i(t) = 2t + 3\) décrit parfaitement le courant dans le conducteur.
- Le conducteur est considéré comme un circuit unidimensionnel (un fil).
- La charge ne peut ni être créée ni détruite dans la section étudiée (principe de conservation de la charge).
Donnée(s)
Nous extrayons les informations de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole/Fonction | Valeur |
|---|---|---|
| Fonction du courant | \(i(t)\) | \(2t + 3 \text{ A}\) |
| Instant initial | \(t_1\) | \(0 \text{ s}\) |
| Instant final | \(t_2\) | \(5 \text{ s}\) |
Astuces
Comme \(i(t)\) est une droite, l'aire sous la courbe est un trapèze. On peut vérifier le calcul de l'intégrale avec la formule de l'aire du trapèze : \(\text{Aire} = (\text{petite base} + \text{grande base}) \times \text{hauteur} / 2\). Ici, les bases sont \(i(0)=3\) et \(i(5)=13\), et la hauteur est \((5-0)=5\). Le calcul donne \((3+13)\times5/2 = 40\). C'est une excellente façon de vérifier son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Le problème revient à calculer l'aire colorée sous la courbe de \(i(t)\) entre 0 et 5 secondes.
Aire à calculer
Calcul(s)
Nous allons maintenant calculer l'intégrale pas à pas. L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.
Étape 1 : Séparation de l'intégrale
On calcule ensuite la primitive de chaque terme séparément.
Étape 2 : Primitive du premier terme (2t)
On utilise la formule de la primitive de \(t^n\) qui est \(\frac{t^{n+1}}{n+1}\). Ici, \(n=1\).
Étape 3 : Primitive du second terme (3)
La primitive d'une constante \(k\) est \(kt\).
Étape 4 : Combinaison des primitives
On assemble les primitives trouvées pour obtenir la primitive complète de \(2t+3\).
Étape 5 : Application des bornes d'intégration
Maintenant, on applique le théorème fondamental de l'analyse : on évalue la primitive à la borne supérieure (\(t=5\)) et on soustrait la valeur de la primitive à la borne inférieure (\(t=0\)).
Étape 6 : Calcul final
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessous visualise l'aire calculée, qui correspond à la charge totale de 40 Coulombs.
Aire représentant la Charge Totale
Réflexions
Le résultat de 40 signifie que 40 Coulombs de charge ont traversé la section du fil en 5 secondes. Un Coulomb représente une très grande quantité de charge (environ \(6,24 \times 10^{18}\) électrons), ce qui indique un courant non négligeable.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier les règles de base du calcul de primitives (par exemple, oublier de diviser par le nouvel exposant). Une autre erreur classique est de mal appliquer les bornes, en particulier d'oublier de soustraire la valeur à la borne inférieure.
Points à retenir
- La charge \(Q\) est l'intégrale du courant \(i(t)\).
- Géométriquement, cela correspond à l'aire sous la courbe du courant.
- La primitive de \(t^n\) est \(t^{n+1} / (n+1)\).
Le saviez-vous ?
Le Coulomb a été nommé en l'honneur de Charles-Augustin de Coulomb, un ingénieur militaire et physicien français qui a utilisé une balance de torsion pour formuler la loi décrivant la force d'interaction entre deux charges électriques, une loi fondamentale de l'électrostatique.
FAQ
Quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vous entraîner, calculez la charge totale pour un courant \(i(t) = 3t + 1\) entre \(t=0\text{s}\) et \(t=4\text{s}\).
Question 2 : Valeur du courant instantané à t = 3s
Principe
Le courant instantané est la valeur du débit de charge à un moment précis, et non sur une durée. Le concept physique est de "prendre une photo" du flux à un instant \(t\) donné. La fonction \(i(t)\) nous donne directement cette information.
Mini-Cours
Il est crucial de distinguer une valeur instantanée d'une valeur moyenne. La valeur instantanée, \(i(t)\), peut changer à chaque instant. La valeur moyenne, \(I_{\text{moy}}\), est la charge totale divisée par la durée totale (\(Q / \Delta t\)). Dans notre cas, \(I_{\text{moy}} = 40 \text{ C} / 5 \text{ s} = 8 \text{ A}\), ce qui est différent de \(i(3) = 9 \text{ A}\).
Remarque Pédagogique
Pensez à la vitesse d'une voiture. Votre compteur indique la vitesse instantanée. Si vous voulez votre vitesse moyenne sur un trajet, vous divisez la distance totale par le temps total. Le calcul du courant instantané, c'est comme lire le compteur de vitesse à un moment précis.
Normes
Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application directe de la définition mathématique d'une fonction.
Formule(s)
L'équation du courant est l'outil mathématique à utiliser.
Hypothèses
L'hypothèse principale est que la fonction \(i(t)\) est continue et représente fidèlement la réalité physique à chaque instant de l'intervalle considéré.
Donnée(s)
Les données pertinentes sont la fonction et l'instant \(t\) qui nous intéresse.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Fonction du courant | \(i(t) = 2t + 3 \text{ A}\) |
| Instant de mesure | \(t = 3 \text{ s}\) |
Astuces
Il n'y a pas vraiment d'astuce ici, c'est un calcul direct. La seule "astuce" est de bien lire la question pour ne pas confondre "courant instantané" avec "charge" ou "courant moyen".
Schéma (Avant les calculs)
Sur le graphique du courant, on cherche la valeur de \(i\) lorsque \(t=3\).
Point à déterminer sur la courbe
Calcul(s)
Pour trouver la valeur du courant à un instant précis, il suffit de remplacer la variable \(t\) par la valeur de cet instant (ici, 3 secondes) dans l'expression mathématique de \(i(t)\).
Étape 1 : Remplacement de t par 3
Étape 2 : Calcul de l'expression
Schéma (Après les calculs)
Le graphique final montre le point (3, 9) qui correspond à la valeur du courant à l'instant t=3s.
Courant instantané à t=3s
Réflexions
À l'instant exact \(t = 3\text{s}\), le débit de charge est de 9 Coulombs par seconde, soit 9 Ampères. Comme \(i(0) = 3\text{A}\) et \(i(5) = 13\text{A}\), la valeur de 9A est cohérente avec la progression linéaire du courant.
Points de vigilance
Attention à ne pas intégrer ou dériver par erreur. La question demande une simple évaluation de la fonction à un point donné. Vérifiez aussi que l'instant demandé (3s) est bien dans l'intervalle de validité de la formule (\([0\text{s} ; 5\text{s}]\)).
Points à retenir
La notation \(f(x)\) représente la valeur de la fonction \(f\) au point \(x\). Pour la trouver, il suffit de substituer \(x\) dans l'expression de la fonction. C'est un concept mathématique de base mais fondamental.
Le saviez-vous ?
Les premiers ampèremètres (appelés galvanomètres) ne mesuraient pas le courant directement. Ils mesuraient l'effet magnétique du courant en observant la déviation d'une aiguille aimantée. La calibration de l'appareil permettait ensuite de relier l'angle de déviation à la valeur du courant en Ampères.
FAQ
Quelques questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le courant instantané à l'instant \(t = 1.5 \text{ s}\).
Question 3 : Représentation graphique de i(t)
Principe
La fonction \(i(t) = 2t + 3\) est une fonction affine du type \(y = ax + b\). La représentation graphique d'une telle fonction dans un repère cartésien est toujours une ligne droite. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points distincts par lesquels elle passe.
Mini-Cours
Dans une fonction affine \(f(x) = ax + b\), le coefficient \(b\) est appelé "l'ordonnée à l'origine" (la valeur de la fonction quand \(x=0\)). Le coefficient \(a\) est le "coefficient directeur" ou la "pente" : il indique de combien \(y\) augmente lorsque \(x\) augmente de 1. Ici, \(b=3\) (la droite coupe l'axe des ordonnées à 3) et \(a=2\) (chaque seconde, le courant augmente de 2 A).
Remarque Pédagogique
Avant de vous lancer dans des calculs, ayez le réflexe d'identifier la nature de la fonction. Reconnaître une fonction affine vous fait gagner un temps précieux : vous savez immédiatement que le graphique sera une droite et qu'il vous suffit de calculer deux points pour la tracer, au lieu de calculer une multitude de points pour "deviner" la forme.
Normes
Les conventions de représentation graphique (axe des abscisses pour la variable, axe des ordonnées pour la fonction) sont une norme universelle en mathématiques et en sciences.
Formule(s)
La fonction à représenter graphiquement :
Hypothèses
Nous supposons que nous travaillons dans un repère orthonormé où les axes sont gradués de manière linéaire.
Donnée(s)
L'intervalle de temps sur lequel tracer la fonction est une donnée essentielle.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Fonction | \(i(t) = 2t + 3 \text{ A}\) |
| Intervalle | \(t \in [0\text{s} ; 5\text{s}]\) |
Astuces
Pour tracer une droite, choisissez les points les plus simples à calculer. Les extrémités de l'intervalle (\(t=0\) et \(t=5\)) sont souvent le meilleur choix, car elles définissent les limites de votre segment de droite.
Schéma (Avant les calculs)
La tâche consiste à tracer la fonction sur le repère ci-dessous, en plaçant les points calculés.
Repère pour le tracé
Calcul(s)
Pour tracer une droite, il nous faut au minimum deux points. Nous choisissons les points les plus simples à calculer : les extrémités de notre intervalle d'étude, c'est-à-dire \(t=0\) et \(t=5\).
Calcul du point initial (t=0s)
On remplace \(t\) par 0 dans l'équation du courant pour trouver la valeur du courant à l'origine.
On obtient le premier point de coordonnées : (t=0, i=3).
Calcul du point final (t=5s)
On remplace \(t\) par 5 pour trouver la valeur du courant à la fin de l'intervalle.
On obtient le second point de coordonnées : (t=5, i=13).
Schéma (Après les calculs)
On trace un segment de droite reliant les points de coordonnées (0, 3) et (5, 13).
Graphique du courant i(t) en fonction du temps
Réflexions
Le graphique confirme visuellement que le courant n'est pas constant. La droite est ascendante, ce qui signifie que le courant augmente avec le temps. La pente de la droite, qui est de 2 A/s, représente le taux d'augmentation constant du courant.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien nommer et graduer vos axes. Une erreur fréquente est d'inverser l'axe du temps et celui du courant. Vérifiez également que l'échelle choisie permet de visualiser clairement la courbe sur l'intervalle demandé.
Points à retenir
Une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\) se représente toujours par une droite. Le point \((0, b)\) est l'intersection avec l'axe des ordonnées. La pente \(a\) gouverne son inclinaison.
Le saviez-vous ?
La représentation des phénomènes physiques par des graphiques est une idée qui a révolutionné la science. Elle est en grande partie attribuée à René Descartes au 17ème siècle, qui a unifié l'algèbre et la géométrie en créant ce que nous appelons aujourd'hui le repère Cartésien.
FAQ
Quelques questions fréquentes sur ce tracé.
A vous de jouer
Comment décririez-vous le graphique de la fonction \(i(t) = -t + 10\) ?
Question 4 : Signification de l'aire sous la courbe
Principe
En mathématiques, l'intégrale d'une fonction sur un intervalle correspond géométriquement à l'aire délimitée par la courbe de la fonction, l'axe des abscisses et les droites verticales correspondant aux bornes de l'intervalle.
Réflexions
Puisque nous avons établi que la charge totale \(Q\) est l'intégrale du courant \(i(t)\), et que l'intégrale est une aire, nous pouvons conclure : l'aire sous la courbe du courant représente la charge totale qui a traversé la section.
Pour cet exercice, l'aire du trapèze formé par la droite \(i(t)\) entre \(t=0\) et \(t=5\) est exactement égale à la charge \(Q=40 \text{ C}\) calculée à la première question.
Point à retenir : Cette correspondance entre l'intégrale (calcul analytique) et l'aire (interprétation géométrique) est un concept puissant et très répandu en physique et en ingénierie.
Outil Interactif : Simulateur de Charge
Utilisez les curseurs pour modifier les paramètres d'un courant linéaire de la forme \(i(t) = at + b\) et observez en temps réel l'impact sur le graphique et sur la charge totale accumulée en 5 secondes.
Paramètres du Courant
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de la charge électrique dans le Système International ?
2. Si un courant constant de 5 A circule pendant 10 secondes, quelle charge totale a traversé la section ?
3. La relation \(i(t) = dQ/dt\) signifie que le courant est...
4. Un courant est mesuré comme étant négatif. Qu'est-ce que cela signifie ?
5. Que représente l'aire sous la courbe d'un graphique i(t) en fonction du temps ?
Glossaire
- Charge Électrique (C)
- Propriété fondamentale de la matière responsable des interactions électromagnétiques. Son unité est le Coulomb (C).
- Courant Électrique (A)
- Débit de charge électrique par unité de temps. Son unité est l'Ampère (A), équivalent à un Coulomb par seconde.
- Intégrale
- Opération mathématique qui permet de calculer l'aire sous une courbe. En physique, elle est souvent utilisée pour calculer une quantité totale à partir d'un taux de variation (un flux).
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