Calcul de la constante de temps (τ) d'un circuit RC

Contexte : Le circuit RCUn circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est fondamental pour créer des filtres, des minuteries ou des oscillateurs. et les phénomènes transitoires.

Lorsqu'on applique une tension à un circuit contenant un condensateur et une résistance, le courant et la tension n'atteignent pas instantanément leur valeur finale. La phase durant laquelle les grandeurs électriques varient est appelée régime transitoire. La vitesse de charge (ou de décharge) du condensateur est caractérisée par une valeur fondamentale : la constante de temps τ (tau). Cet exercice vous guidera à travers le calcul et l'interprétation de cette constante cruciale en électronique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser la réponse d'un circuit RC de premier ordre à un échelon de tension. Comprendre la constante de temps est essentiel pour concevoir des circuits de temporisation, des filtres et comprendre le comportement des lignes de transmission.

Objectifs Pédagogiques

Définir et comprendre la signification physique de la constante de temps τ.
Calculer τ pour un circuit RC série simple.
Utiliser l'équation de charge du condensateur pour trouver la tension à un instant t.
Déterminer le temps nécessaire pour atteindre un certain pourcentage de charge.
Comprendre la notion de "régime permanent" atteint après 5τ.

Données de l'étude

On considère le circuit RC série ci-dessous, initialement au repos (condensateur déchargé). À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K, connectant le circuit à une source de tension continue E.

Composants du Circuit

Composant	Symbole	Valeur
Source de tension continue	E	12 V
Résistance	R	100 kΩ
Condensateur	C	47 µF

Schéma du Circuit RC Série

Questions à traiter

Calculer la constante de temps τ du circuit.
Quelle est la tension aux bornes du condensateur, \(V_C(t)\), à l'instant \(t = \tau\) ?
Après combien de temps (en secondes) la tension aux bornes du condensateur atteindra-t-elle 95% de sa valeur finale ?
Calculer le courant initial \(I(0^+)\) qui traverse le circuit juste après la fermeture de l'interrupteur.
Quelle est la tension aux bornes du condensateur après un temps \(t = 5\tau\) ? Quelle conclusion pratique peut-on en tirer ?

Les bases sur les Circuits RC

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les équations qui décrivent le comportement d'un circuit RC en régime transitoire.

1. La Constante de Temps \(\tau\)
La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), est le produit de la résistance et de la capacité. Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge du circuit. Une valeur de \(\tau\) faible indique une charge rapide, tandis qu'une valeur élevée indique une charge lente. \[ \tau = R \times C \] L'unité de \(\tau\) est la seconde (s).

2. Équations de la Charge
Lorsqu'un condensateur initialement déchargé est soumis à une tension E à travers une résistance R, les grandeurs évoluent selon les lois exponentielles suivantes :

Tension aux bornes du condensateur : \(V_{\text{C}}(t) = E \cdot (1 - e^{-t/\tau})\)
Tension aux bornes de la résistance : \(V_{\text{R}}(t) = E \cdot e^{-t/\tau}\)
Courant dans le circuit : \(I(t) = \frac{E}{R} \cdot e^{-t/\tau}\)

Correction : Calcul de la Constante de Temps d'un Circuit RC

Question 1 : Calculer la constante de temps τ du circuit.

Principe (le concept physique)

La constante de temps est la caractéristique fondamentale qui définit la "vitesse" de réaction d'un circuit RC. Elle représente une durée, en secondes, qui dépend uniquement des composants passifs du circuit : la résistance et le condensateur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La constante de temps τ est une propriété universelle des systèmes dits du "premier ordre". On la retrouve non seulement dans les circuits RC, mais aussi dans les circuits RL, les systèmes thermiques (refroidissement d'un objet), ou encore en mécanique des fluides. Elle représente toujours le temps au bout duquel le système a effectué environ 63% de son évolution vers son état final.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La meilleure façon d'aborder ce type de calcul est de toujours commencer par lister les données et vérifier leurs unités. Une erreur de conversion de préfixes (kilo, méga, micro, nano...) est la source la plus fréquente d'erreurs. Prenez l'habitude de tout convertir en unités du Système International (Ω, F, V) avant de lancer le calcul.

Normes (la référence réglementaire)

En physique et en ingénierie électrique, l'utilisation du Système International d'unités (SI) est la norme absolue. Des organismes comme la Commission Électrotechnique Internationale (IEC) standardisent les symboles et définitions pour garantir que les calculs et les fiches techniques des composants soient universellement compréhensibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la constante de temps

\tau = R \times C

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :

Les composants sont considérés comme "idéaux" : leur valeur (100 kΩ, 47 µF) est parfaite et ne varie pas avec la température ou la tension.
La résistance des fils de connexion est négligeable.
Le condensateur ne présente aucune "fuite" de courant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous reprenons les valeurs de la résistance et du condensateur de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	100 kΩ	kilo-ohms
Condensateur	C	47 µF	microfarads

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un calcul mental rapide, rappelez-vous que \(1 \text{ kΩ} \times 1 \text{ µF} = 1 \text{ ms}\). Ici, nous avons \(100 \text{ kΩ} \times 47 \text{ µF}\), ce qui donne \(4700 \text{ ms}\), soit 4.7 secondes. Cette astuce est très pratique pour estimer rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du Circuit RC Série

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Conversion de la résistance R

\begin{aligned} R &= 100 \text{ kΩ} \\ &= 100 \times 10^3 \text{ Ω} \\ &= 10^5 \text{ Ω} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion de la capacité C

\begin{aligned} C &= 47 \text{ µF} \\ &= 47 \times 10^{-6} \text{ F} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de τ

\begin{aligned} \tau &= R \times C \\ &= (10^5 \text{ Ω}) \times (47 \times 10^{-6} \text{ F}) \\ &= 4.7 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position de τ sur la Courbe de Charge

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un temps de 4.7 secondes est relativement long pour un circuit électronique. Cela signifie que le circuit mettra plusieurs secondes à réagir pleinement à un changement. Ce type de circuit pourrait être utilisé pour une temporisation (par exemple, l'extinction progressive d'une lumière) mais serait beaucoup trop lent pour des applications de haute fréquence (comme en informatique ou en télécommunications).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'oublier de convertir les préfixes des unités. Si vous aviez calculé \(100 \times 47\), vous auriez obtenu 4700, un résultat sans unité et physiquement incorrect. La cohérence des unités est la clé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette question, retenez :

La formule : \(\tau = R \times C\).
La méthode : 1. Convertir R en Ohms (Ω), 2. Convertir C en Farads (F), 3. Multiplier les deux pour obtenir τ en secondes (s).
Le concept : τ représente la "lenteur" du circuit.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de constante de temps est si universel qu'il a été utilisé pour modéliser la propagation des "fake news" sur les réseaux sociaux. La "charge" est le nombre de personnes ayant vu la nouvelle, et la "résistance" est la difficulté à la partager. La vitesse de propagation peut être caractérisée par une constante de temps !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La constante de temps du circuit est τ = 4.7 secondes.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance était de 220 kΩ et le condensateur de 10 µF, quelle serait la nouvelle constante de temps ?

Question 2 : Quelle est la tension aux bornes du condensateur, \(V_C(t)\), à l'instant \(t = \tau\) ?

Principe (le concept physique)

La constante de temps \(\tau\) n'est pas une valeur arbitraire. Elle correspond à un jalon précis dans la courbe de charge exponentielle. À cet instant précis, le condensateur a atteint un pourcentage spécifique et universel de sa charge maximale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La charge d'un condensateur suit une loi exponentielle basée sur le nombre 'e' (nombre d'Euler ≈ 2.718). La formule \(V_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})\) montre que la tension "manquante" pour atteindre E, soit \(E - V_C(t)\), décroît exponentiellement. À \(t=\tau\), cette tension manquante a chuté à \(e^{-1} \approx 36.8\%\) de sa valeur initiale. La tension atteinte est donc \(100\% - 36.8\% = 63.2\%\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne vous laissez pas intimider par le 'e' dans la formule. Pensez-y comme une simple constante, un nombre (≈2.718), tout comme π. La calculatrice fait le travail difficile. L'important est de comprendre que la tension après une constante de temps est toujours d'environ 63% de la tension finale, quel que soit le circuit RC.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul, car il s'agit de l'application directe d'une loi fondamentale de la physique des circuits. Cependant, la définition de τ comme le temps pour atteindre 63.2% de la valeur finale est une convention universellement acceptée dans tous les manuels et publications techniques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale de la tension de charge

V_C(t) = E \cdot (1 - e^{-t/\tau})

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la source de tension est parfaite, c'est-à-dire que sa tension E de 12V ne chute pas, quel que soit le courant demandé par le circuit. On suppose également que notre formule mathématique décrit parfaitement le comportement du circuit physique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise la tension de la source et la constante de temps calculée précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de la source	E	12	V
Constante de temps	τ	4.7	s

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide, retenez que 63.2% c'est un peu moins des deux tiers. Les deux tiers de 12 V sont 8 V. La réponse exacte sera donc légèrement inférieure à 8 V. C'est un excellent moyen de vérifier si votre calcul est dans le bon ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Point à déterminer sur la courbe Vc(t)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Remplacement de t par τ

V_C(\tau) = E \cdot (1 - e^{-\tau/\tau})

Étape 2 : Simplification de l'exposant

V_C(\tau) = E \cdot (1 - e^{-1})

Étape 3 : Application numérique

\begin{aligned} V_C(\tau) &\approx 12 \text{ V} \times (1 - 0.36788) \\ &\approx 12 \text{ V} \times 0.63212 \\ &\approx 7.585 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur de Vc à t=τ

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce résultat confirme la définition de la constante de temps : après une durée égale à τ, le système a parcouru 63.2% du chemin qui le sépare de son état final. Le condensateur est donc loin d'être complètement chargé, mais il a déjà effectué la majeure partie de sa charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est de mal utiliser sa calculatrice pour le calcul de \(e^{-1}\). Assurez-vous de bien connaître la touche \(e^x\) et comment entrer des exposants négatifs. Une autre erreur est de penser que la charge est linéaire, et de dire qu'à la moitié du temps de charge, la tension sera à 50%. C'est faux, la charge est exponentielle, donc plus rapide au début.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La règle : À \(t=\tau\), \(V_C(t) \approx 0.63 \times E\).
La justification : Cela vient du terme mathématique \((1-e^{-1})\).
L'utilité : C'est un point de repère standard pour analyser et comparer la vitesse de tous les circuits du premier ordre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nombre 'e' est parfois appelé la "constante de la croissance naturelle". Que ce soit la croissance d'une population de bactéries, la désintégration radioactive d'atomes ou la charge d'un condensateur, cette constante mathématique apparaît partout où le taux de changement d'une quantité est proportionnel à la quantité elle-même.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

À t = τ = 4.7 s, la tension aux bornes du condensateur est Vc(τ) ≈ 7.58 V.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la source de tension était de 24V, quelle serait la tension aux bornes du condensateur à \(t=\tau\) ?

Question 3 : Après combien de temps la tension atteindra-t-elle 95% de sa valeur finale ?

Principe (le concept physique)

Puisque la charge n'est pas linéaire, atteindre les derniers pourcentages prend proportionnellement plus de temps que les premiers. Pour trouver le temps nécessaire pour atteindre un certain niveau de charge, il faut inverser l'équation de charge, ce qui nécessite un outil mathématique spécifique : le logarithme.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fonction logarithme népérien, notée \(\ln(x)\), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle \(e^x\). Cela signifie que \(\ln(e^x) = x\). Cette propriété est fondamentale pour résoudre les équations où l'inconnue (ici, le temps \(t\)) se trouve dans un exposant. En appliquant le logarithme aux deux membres d'une équation, on peut "faire descendre" l'inconnue de l'exposant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question montre pourquoi il est si utile de penser en termes de \(\tau\). Plutôt que de retenir un chiffre comme "14.1 secondes", un ingénieur retiendra que "95% de la charge est atteinte en environ \(3\tau\)". C'est une approximation beaucoup plus puissante car elle est valable pour n'importe quel circuit RC, quelles que soient les valeurs de R et C.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme, mais le seuil de 95% (\(3\tau\)) est souvent utilisé en pratique pour définir le "temps de réponse" d'un système. C'est le temps au bout duquel le système est considéré comme ayant pratiquement atteint sa cible.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la tension de charge réarrangée

V_C(t) = E \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \Rightarrow t = -\tau \cdot \ln\left(1 - \frac{V_C(t)}{E}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment : composants idéaux, source de tension parfaite, et validité du modèle mathématique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données nécessaires sont la tension de la source, la constante de temps, et le rapport de tension cible.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de la source	E	12	V
Constante de temps	τ	4.7	s
Rapport de tension cible	\(V_C(t)/E\)	0.95	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Retenez les approximations standards : \(1\tau \approx 63\%\), \(2\tau \approx 86\%\), \(3\tau \approx 95\%\), \(4\tau \approx 98\%\), \(5\tau \approx 99\%\). Avec ces jalons en tête, vous pouvez estimer très rapidement le temps de réponse d'un circuit sans calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Point à 95% sur la courbe Vc(t)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Poser l'équation

0.95 \cdot E = E \cdot (1 - e^{-t/\tau})

Étape 2 : Simplification

0.95 = 1 - e^{-t/\tau}

Étape 3 : Isoler l'exponentielle

\begin{aligned} e^{-t/\tau} &= 1 - 0.95 \\ &= 0.05 \end{aligned}

Étape 4 : Appliquer le logarithme népérien

\ln(e^{-t/\tau}) = \ln(0.05)

Étape 5 : Résoudre pour -t/τ

-t/\tau \approx -2.996

Étape 6 : Calcul final de t

\begin{aligned} t &\approx 2.996 \times \tau \\ &\approx 2.996 \times 4.7 \text{ s} \\ &\approx 14.08 \text{ s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Temps pour atteindre 95% de la charge

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faut trois constantes de temps pour atteindre 95% de la charge, mais seulement une constante de temps pour atteindre 63%. Cela illustre bien la nature non-linéaire de la charge : la charge est très rapide au début, puis ralentit considérablement à mesure que le condensateur se remplit et que la tension à ses bornes s'oppose à celle de la source.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale est de se tromper dans la manipulation algébrique pour isoler \(t\). Faites attention aux signes négatifs lors du passage au logarithme. Une bonne pratique est de vérifier que votre résultat est logique : le temps pour atteindre 95% doit bien être supérieur à \(\tau\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La méthode : Pour trouver le temps \(t\) à partir d'une tension \(V_C\), il faut isoler l'exponentielle puis utiliser le logarithme népérien.
La règle pratique : Le temps de réponse à 95% d'un système du premier ordre est d'environ \(3\tau\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette même équation est utilisée pour calculer la demi-vie des éléments radioactifs. La demi-vie est le temps nécessaire pour que 50% des atomes se désintègrent, ce qui correspond à un temps \(t = \tau \cdot \ln(2) \approx 0.693\tau\). Le principe mathématique est exactement le même !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le condensateur atteint 95% de sa charge finale après environ 14.1 secondes.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Combien de temps faudrait-il pour atteindre 99% de la charge finale ?

Question 4 : Calculer le courant initial \(I(0^+)\) qui traverse le circuit.

Principe (le concept physique)

À l'instant \(t=0\), le condensateur est vide. La tension à ses bornes est nulle. Juste après la fermeture de l'interrupteur (à \(t=0^+\)), cette tension n'a pas encore eu le temps de changer. Le condensateur se comporte donc comme un simple fil (un court-circuit). Le courant initial n'est alors limité que par la résistance du circuit.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce comportement est dû au principe de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur. L'énergie stockée dans un condensateur est \(W = \frac{1}{2}CV^2\). Pour que la tension V change instantanément, il faudrait fournir une puissance (\(dW/dt\)) infinie, ce qui est impossible. Donc, \(V_{\text{C}}(0^+) = V_{\text{C}}(0^-) = 0\text{V}\). Le circuit à \(t=0^+\) est équivalent à une simple source de tension connectée à une résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le concept clé ici est le comportement du condensateur aux temps extrêmes. Retenez ceci :

À \(t=0^+\) (début), un condensateur déchargé est comme un court-circuit.
À \(t=\infty\) (fin), un condensateur chargé est comme un circuit ouvert (plus aucun courant ne passe).

Cette double vision simplifie l'analyse de nombreux circuits.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme mais de l'application directe de la loi d'Ohm, l'une des lois les plus fondamentales de l'électricité, établie par Georg Ohm en 1827.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale du courant

I(t) = \frac{E}{R} \cdot e^{-t/\tau}

Application à \(t=0^+\)

I(0^+) = \frac{E}{R} \cdot e^{0} = \frac{E}{R}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'interrupteur est parfait et se ferme instantanément à t=0, et que le condensateur est parfaitement déchargé à \(t=0^-\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous avons besoin de la tension de la source et de la valeur de la résistance.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de la source	E	12	V
Résistance	R	100	kΩ

Astuces (Pour aller plus vite)

Pas besoin de \(\tau\) ou de C pour ce calcul. C'est un simple calcul de loi d'Ohm. Ne vous laissez pas distraire par les autres informations de l'énoncé.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit équivalent à t=0+

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la loi d'Ohm

\begin{aligned} I(0^+) &= \frac{12 \text{ V}}{100 \times 10^3 \text{ Ω}} \\ &= 0.00012 \text{ A} \\ &= 0.12 \text{ mA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe de Décroissance du Courant I(t)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant est maximal au tout début, lorsque le condensateur est vide et n'oppose aucune "résistance" à la charge. Puis, à mesure que le condensateur se charge, la tension à ses bornes augmente, s'opposant à celle de la source, ce qui fait naturellement diminuer le courant jusqu'à ce qu'il devienne nul en régime permanent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre le courant initial \(I(0^+)\) et le courant final \(I(\infty)\). Le courant initial est maximal, tandis que le courant final est nul (car le condensateur chargé bloque le courant continu).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Concept : À \(t=0^+\), un condensateur déchargé est un court-circuit.
Calcul : Le courant initial est simplement \(I(0^+) = E/R\).
Comportement : Le courant part de son maximum et décroît exponentiellement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Ce pic de courant initial est très important. Dans les circuits de puissance, il peut être très élevé et endommager les composants. On utilise alors des circuits spéciaux de "démarrage progressif" (soft-start) qui limitent ce courant d'appel en augmentant la tension E progressivement ou en ajoutant une résistance temporaire.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant initial dans le circuit est \(I(0^+) = 0.12 \text{ mA}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance R était de 20 kΩ seulement, quel serait le courant initial ?

Question 5 : Quelle est la tension après \(t = 5\tau\) ? Conclusion pratique.

Principe (le concept physique)

Après un certain temps, le condensateur est presque entièrement chargé. La tension à ses bornes est très proche de la tension de la source E, et le courant dans le circuit devient quasiment nul. On dit que le régime permanent est atteint. La durée de \(5\tau\) est une convention d'ingénieur pour définir ce seuil.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs varient. Le régime permanent (ou établi) est l'état stable final. Théoriquement, un condensateur n'est jamais chargé à 100%, car la fonction \(e^{-t/\tau}\) n'atteint zéro qu'à \(t=\infty\). En pratique, après \(5\tau\), la charge a atteint \(1-e^{-5} \approx 99.3\%\) de sa valeur finale. La différence avec 100% est si faible qu'elle est généralement inférieure aux tolérances des composants et est donc considérée comme négligeable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La "règle des 5τ" est une règle pratique fondamentale. Elle permet de déterminer rapidement si un circuit a eu le temps d'atteindre son état final. Par exemple, dans les circuits numériques, si la durée d'une impulsion est bien supérieure à \(5\tau\), on est sûr que le signal aura le temps de se stabiliser à son niveau haut ou bas.

Normes (la référence réglementaire)

La règle des 5τ n'est pas une norme officielle mais une convention d'ingénierie universellement reconnue et enseignée, car elle offre un excellent compromis entre la précision théorique (qui exigerait un temps infini) et la réalité pratique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la tension à \(t=5\tau\)

V_C(5\tau) = E \cdot (1 - e^{-5\tau/\tau}) = E \cdot (1 - e^{-5})

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses d'idéalité du circuit restent les mêmes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise la tension de la source et la constante de temps calculée.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de la source	E	12	V
Constante de temps	τ	4.7	s

Astuces (Pour aller plus vite)

Pas besoin de calculatrice si vous connaissez la règle : après 5τ, la tension est "pratiquement" égale à E. Pour une question à choix multiples, si une des réponses est 12V et les autres sont bien plus faibles, c'est probablement la bonne.

Schéma (Avant les calculs)

Position de 5τ sur la Courbe de Charge

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du facteur de charge

\begin{aligned} 1 - e^{-5} &\approx 1 - 0.006738 \\ &= 0.993262 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la tension finale

\begin{aligned} V_C(5\tau) &= 12 \text{ V} \times 0.993262 \\ &\approx 11.919 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Circuit équivalent à t > 5τ (Régime permanent)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 11.92 V est très proche de la tension de la source (12 V). La différence est inférieure à 1%. En ingénierie, on considère donc qu'après une durée de 5 constantes de temps, le régime transitoire est terminé et le circuit a atteint son état stable (régime permanent). Le condensateur est considéré comme "complètement chargé" et le courant dans le circuit comme nul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne dites jamais que le régime permanent est atteint "instantanément" ou "après un temps infini". La bonne pratique d'ingénieur est de dire que "le régime permanent est considéré comme atteint après une durée de 5τ".

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La règle : Le régime permanent est atteint pour \(t \ge 5\tau\).
L'état final : En régime permanent, \(V_C = E\) et \(I = 0\).
Le concept : Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert une fois chargé.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les simulations informatiques de circuits (logiciels SPICE), les calculs du "point de fonctionnement DC" (régime permanent) sont faits en considérant tous les condensateurs comme des circuits ouverts et toutes les bobines (inductances) comme des courts-circuits. C'est l'application directe de ce principe.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Après 5τ (soit 23.5 s), la tension est d'environ 11.92 V. On considère alors que le régime permanent est atteint.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la tension de la source était de 5V, quelle serait la tension aux bornes du condensateur en régime permanent (c'est-à-dire après 5τ) ?

Outil Interactif : Simulateur de Circuit RC

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité. Observez en temps réel comment la constante de temps et la courbe de charge du condensateur sont affectées.

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) (kΩ) 100 kΩ

Capacité (C) (µF) 47 µF

Résultats Clés

Constante de temps (τ) -

Temps de charge (5τ) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente physiquement la constante de temps τ ?

Le temps pour que le condensateur soit totalement chargé.
Le temps nécessaire pour atteindre environ 63.2% de la tension finale.
La tension maximale aux bornes du condensateur.

2. Si la valeur de la résistance R double et que la capacité C est divisée par deux, que devient la nouvelle constante de temps τ' ?

Elle reste inchangée (τ' = τ).
Elle est doublée (τ' = 2τ).
Elle est divisée par quatre (τ' = τ/4).

3. Dans un circuit de charge RC, quand le courant est-il maximal ?

À t = 5τ
À t = τ
À l'instant initial t = 0+

Glossaire

Circuit RC: Un circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est fondamental pour créer des filtres, des minuteries ou des oscillateurs.
Constante de Temps (τ): Une caractéristique d'un circuit du premier ordre (comme le circuit RC) qui représente le temps nécessaire pour que la réponse à un échelon atteigne 1 - 1/e (soit environ 63.2%) de sa valeur finale.
Régime Transitoire: La période durant laquelle les tensions et courants dans un circuit évoluent entre un état stable initial et un état stable final, suite à une modification (ex: fermeture d'un interrupteur).
Régime Permanent: L'état stable d'un circuit atteint après la fin du régime transitoire, où les tensions et courants ne varient plus dans le temps (en réponse à une source continue).