Circuits Électriques

Calcul de la fréquence de résonance

Calcul de la Fréquence de Résonance

Calcul de la fréquence de résonance

Contexte : Le secret de la sélectivité en électronique.

Le phénomène de résonancePhénomène se produisant à une fréquence spécifique où les effets réactifs d'une bobine et d'un condensateur s'annulent. Dans un circuit RLC série, cela se traduit par une impédance minimale et un courant maximal. est l'un des concepts les plus importants en électricité et en physique. Dans un circuit RLC, il existe une fréquence très particulière, la **fréquence de résonance**, où les effets de la bobine et du condensateur s'annulent parfaitement. À ce point précis, le circuit se comporte comme une simple résistance, laissant passer un maximum de courant. Cette propriété est le fondement des circuits de syntonisation (radio, télévision) et des filtres passe-bande. Cet exercice vous guidera dans la détermination de cette fréquence clé et des caractéristiques qui définissent la "qualité" de la résonance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice explore le cas particulier où un circuit RLC devient purement résistif. Nous allons d'abord trouver la condition mathématique pour que cela se produise (\(X_L = X_C\)), en déduire la fréquence de résonance, puis explorer deux concepts cruciaux : le **facteur de qualité**, qui mesure l'acuité de la résonance, et la **bande passante**, qui définit la plage de fréquences pour laquelle le circuit est "efficace". C'est une application directe de l'analyse en régime sinusoïdal pour concevoir des circuits sélectifs en fréquence.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir la condition de résonance dans un circuit RLC série.
  • Calculer la pulsation et la fréquence de résonance à partir des valeurs de L et C.
  • Comprendre pourquoi l'impédance est minimale et purement résistive à la résonance.
  • Définir et calculer le facteur de qualité (Q) du circuit.
  • Définir et calculer la bande passante (\(\Delta f\)) du circuit.
  • Analyser la relation entre le facteur de qualité et la sélectivité du circuit.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdale de valeur efficace constante \(V_{eff} = 10 \, \text{V}\) mais de fréquence variable.

Schéma du circuit RLC série
v(t) f variable R v_R(t) L v_L(t) C v_C(t) i(t)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Résistance \(R\) 5 \(\text{Ω}\)
Inductance \(L\) 20 \(\text{mH}\)
Capacité \(C\) 80 \(\mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation de résonance \(\omega_0\) et la fréquence de résonance \(f_0\).
  2. Quelle est la valeur de l'impédance totale \(\underline{Z}_{\text{eq}}\) du circuit à la résonance ? En déduire la valeur du courant efficace \(I_0\) à cette fréquence.
  3. Calculer le facteur de qualité \(Q\) du circuit.
  4. Calculer la bande passante \(\Delta f\) du circuit.

Les bases de la Résonance en Série

Avant les calculs, revoyons les concepts définissant ce phénomène unique.

1. La Condition de Résonance :
La résonance dans un circuit RLC série se produit à la pulsation \(\omega_0\) pour laquelle les réactances inductive et capacitive sont égales en magnitude et donc s'annulent. La partie imaginaire de l'impédance totale devient nulle.

\[ X_L = X_C \Rightarrow L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \]

2. Le Facteur de Qualité (Q) :
Le facteur de qualité est un nombre sans dimension qui caractérise l'acuité ou la "netteté" du pic de résonance. Un Q élevé signifie une résonance très sélective (bande passante étroite). Il représente le rapport entre l'énergie stockée et l'énergie dissipée par cycle à la résonance.

\[ Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \]

3. La Bande Passante (\(\Delta f\)) :
La bande passante est l'intervalle de fréquences pour lequel la puissance dissipée dans le circuit est supérieure ou égale à la moitié de la puissance maximale (dissipée à la résonance). Elle est inversement proportionnelle au facteur de qualité.

\[ \Delta f = f_2 - f_1 = \frac{f_0}{Q} \]

Correction : Calcul de la fréquence de résonance

Question 1 : Calculer la pulsation de résonance \(\omega_0\) et la fréquence de résonance \(f_0\)

Principe (le concept physique)

La résonance est un phénomène d'équilibre. Dans un circuit RLC série, la bobine et le condensateur ont des comportements opposés par rapport à la fréquence : l'opposition de la bobine (\(X_L\)) augmente avec la fréquence, tandis que celle du condensateur (\(X_C\)) diminue. Il existe une unique fréquence où ces deux oppositions sont exactement égales. À ce point, leurs effets s'annulent, et le circuit devient "transparent" à l'énergie réactive.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition de résonance \(X_L = X_C\) est équivalente à dire que la partie imaginaire de l'impédance totale \(\underline{Z}_{\text{eq}} = R + j(L\omega - 1/C\omega)\) est nulle. En posant \(L\omega_0 - 1/C\omega_0 = 0\), on isole \(\omega_0\) pour trouver la pulsation de résonance. Cette fréquence ne dépend que des composants réactifs L et C, pas de la résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une balançoire. Si vous la poussez à n'importe quelle fréquence, elle bougera un peu. Mais si vous la poussez exactement à sa fréquence de résonance, l'amplitude devient maximale avec un minimum d'effort. C'est pareil pour le circuit RLC : à la fréquence de résonance, la source fournit un courant maximal car les "freins" réactifs (L et C) se neutralisent.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Thomson, qui donne la pulsation de résonance, est une des relations les plus fondamentales en électronique et en physique des ondes. Elle est à la base de la conception de tous les oscillateurs, filtres et circuits d'accordage, dont les spécifications sont régies par des normes de télécommunication (UIT, ETSI) pour garantir l'interopérabilité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de résonance :

\[ L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \]

Pulsation de résonance (formule de Thomson) :

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

Fréquence de résonance :

\[ f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les composants R, L et C sont idéaux et que leurs valeurs sont constantes quelle que soit la fréquence.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Inductance, \(L = 20 \, \text{mH} = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • Capacité, \(C = 80 \, \mu\text{F} = 80 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, vérifiez le produit LC. Ici, \(20 \times 10^{-3} \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-9} = 1.6 \times 10^{-6}\). La racine carrée sera \(\sqrt{1.6} \times 10^{-3} \approx 1.26 \times 10^{-3}\). L'inverse donnera \(\omega_0\). Cela permet d'anticiper l'ordre de grandeur et de repérer d'éventuelles erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Réactances à la Résonance
fX_LX_Cf_0 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la pulsation de résonance \(\omega_0\) :

\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(20 \times 10^{-3}) \cdot (80 \times 10^{-6})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1600 \times 10^{-9}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1.6 \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{1.265 \times 10^{-3}} \\ &\approx 790.57 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

2. Calcul de la fréquence de résonance \(f_0\) :

\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{790.57}{2\pi} \\ &\approx 125.84 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de Résonance Identifié
ff_0 ≈ 126 Hz
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fréquence de résonance de ce circuit est d'environ 126 Hz. C'est à cette fréquence précise que le circuit sera le plus "passant" pour le courant. Si l'on voulait concevoir un filtre qui sélectionne cette fréquence, ce sont les valeurs de L et C que nous devrions choisir.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de bien prendre la racine carrée du produit LC, et pas seulement du produit lui-même. Une autre erreur fréquente est de confondre \(\omega_0\) et \(f_0\). N'oubliez pas le facteur \(2\pi\) pour passer de l'un à l'autre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résonance série a lieu quand \(X_L = X_C\).
  • La pulsation de résonance ne dépend que de L et C : \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
  • La fréquence de résonance est \(f_0 = \omega_0 / 2\pi\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La résonance n'est pas toujours souhaitable. Le pont de Tacoma Narrows, aux États-Unis, s'est effondré en 1940 car la fréquence des tourbillons de vent correspondait à l'une des fréquences de résonance mécanique du pont, créant des oscillations de plus en plus grandes jusqu'à la rupture. En conception mécanique, on cherche souvent à éviter la résonance.

FAQ (pour lever les doutes)
La résistance a-t-elle une influence sur la fréquence de résonance ?

Dans un circuit RLC série idéal, non. La fréquence de résonance est déterminée uniquement par L et C. Cependant, la résistance joue un rôle crucial en "amortissant" la résonance : plus R est grande, moins le pic de courant à la résonance sera élevé et plus la résonance sera "floue".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pulsation de résonance est \(\omega_0 \approx 790.57 \, \text{rad/s}\) et la fréquence de résonance est \(f_0 \approx 125.84 \, \text{Hz}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on doublait la valeur de l'inductance L, la nouvelle fréquence de résonance serait-elle plus grande ou plus petite ?

Question 2 : Calculer l'impédance et le courant à la résonance

Principe (le concept physique)

À la fréquence de résonance, les effets de la bobine et du condensateur se compensent mutuellement. Pour le circuit extérieur, c'est comme s'ils n'existaient pas. L'impédance totale du circuit se réduit alors à son élément le plus simple : la résistance. Par conséquent, l'impédance est à son minimum, et d'après la loi d'Ohm, le courant est à son maximum.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'impédance totale est \(\underline{Z}_{\text{eq}} = R + j(X_L - X_C)\). À la résonance, par définition, \(X_L = X_C\), donc le terme imaginaire \((X_L - X_C)\) devient nul. L'impédance est donc \(\underline{Z}_{\text{eq}}(\omega_0) = R\). C'est une valeur purement réelle, ce qui signifie que le courant et la tension sont en phase. Le courant \(I_0\) est alors simplement \(V_{eff}/R\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le point le plus important à retenir sur la résonance série : le circuit se comporte comme une simple résistance. Toute la complexité des déphasages et des réactances disparaît à cette fréquence magique. Le courant n'est plus "freiné" que par la résistance R.

Normes (la référence réglementaire)

Le concept d'adaptation d'impédance, crucial en électronique, est lié à la résonance. Pour un transfert de puissance maximal d'une source à une charge, l'impédance de la charge doit être le conjugué complexe de l'impédance de la source. À la résonance, le circuit RLC présente une impédance réelle, ce qui simplifie grandement son adaptation à une source purement résistive.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédance à la résonance :

\[ \underline{Z}_{\text{eq}}(\omega_0) = R \]

Courant à la résonance :

\[ I_0 = \frac{V_{\text{eff}}}{R} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la fréquence de résonance calculée précédemment et on suppose que la tension de la source reste constante à 10 V efficaces.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance, \(R = 5 \, \text{Ω}\)
  • Tension efficace de la source, \(V_{\text{eff}} = 10 \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il n'y a pas de piège ici. Une fois que vous avez identifié que le circuit est à la résonance, ignorez L et C pour le calcul de l'impédance. C'est simplement R. Le calcul du courant devient alors la version la plus simple de la loi d'Ohm.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit Équivalent à la Résonance
v(t)R=I_0 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Impédance à la résonance :

\[ \underline{Z}_{\text{eq}}(\omega_0) = R = 5 \, \text{Ω} \]

2. Courant efficace à la résonance :

\[ \begin{aligned} I_0 &= \frac{V_{\text{eff}}}{R} \\ &= \frac{10 \, \text{V}}{5 \, \text{Ω}} \\ &= 2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Courbe de Résonance
fIf_0I_0 = 2A
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À la fréquence de résonance, le courant atteint sa valeur maximale, qui est de 2 A. Cette valeur est uniquement limitée par la résistance R. Si R était plus faible, le pic de courant serait encore plus élevé. C'est ce phénomène d'amplification du courant qui est utilisé dans les récepteurs radio pour amplifier un signal faible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Cette simplification (\(\underline{Z}_{\text{eq}} = R\)) n'est valide QU'À la fréquence de résonance. Pour toute autre fréquence, vous devez utiliser l'impédance complexe complète \(\underline{Z}_{\text{eq}} = R + j(L\omega - 1/C\omega)\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • À la résonance, l'impédance est minimale et vaut R.
  • À la résonance, le courant est maximal et vaut \(I_0 = V_{eff}/R\).
  • À la résonance, le circuit est purement résistif, donc le déphasage est nul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les plaques de cuisson à induction utilisent la résonance. Une bobine dans la plaque crée un champ magnétique oscillant à haute fréquence. Le fond de la casserole, métallique, agit comme un circuit RL. La fréquence est choisie proche de la résonance de ce circuit "casserole" pour induire un courant maximal, qui chauffe la casserole par effet Joule. C'est efficace et la plaque elle-même reste froide.

FAQ (pour lever les doutes)
Que deviennent les tensions V_L et V_C à la résonance ?

Elles ne sont pas nulles ! Elles sont même maximales et de même amplitude (\(V_L = V_C = X_L I_0\)), mais elles sont en opposition de phase (déphasées de 180°). Leur somme vectorielle est donc nulle (\(\underline{V}_{\text{L}} + \underline{V}_{\text{C}} = 0\)), ce qui est cohérent avec la loi des mailles \(\underline{V} = \underline{V}_{\text{R}}\). Ces tensions peuvent être bien plus grandes que la tension de la source, un phénomène appelé "surtension".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
À la résonance, l'impédance est \(\underline{Z}_{\text{eq}} = 5 \, \text{Ω}\) et le courant efficace est \(I_0 = 2 \, \text{A}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance était de 20 \(\Omega\) au lieu de 5 \(\Omega\), quel serait le courant \(I_0\) à la résonance ?

Question 3 : Calculer le facteur de qualité Q

Principe (le concept physique)

Le facteur de qualité, noté Q, est une mesure de la "qualité" d'un circuit résonant. Un Q élevé signifie que la résonance est très "piquée" et sélective : le circuit réagit fortement à la fréquence de résonance et très peu aux autres. Un Q faible signifie une résonance "plate" et peu sélective. Physiquement, il compare l'énergie oscillant entre la bobine et le condensateur à l'énergie dissipée par la résistance à chaque cycle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le facteur de qualité peut être défini comme \(Q = 2\pi \frac{\text{Énergie maximale stockée}}{\text{Énergie dissipée par période}}\). À la résonance, cela se simplifie en \(Q = \frac{X_L}{R}\) ou \(Q = \frac{X_C}{R}\). Il est aussi égal au rapport entre la tension aux bornes de la bobine (ou du condensateur) et la tension de la source à la résonance : \(Q = V_L/V = V_C/V\). C'est pourquoi on parle de "surtension" lorsque Q > 1.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à Q comme un "coefficient d'amplification". Pour un filtre radio, on veut un Q très élevé pour ne sélectionner qu'une seule station et rejeter les voisines. Pour un système audio, on veut souvent un Q plus faible pour éviter qu'une seule fréquence ne soit sur-amplifiée et ne "colore" le son. La valeur de R est la clé : un R faible donne un Q élevé (peu d'amortissement), un R élevé donne un Q faible (beaucoup d'amortissement).

Normes (la référence réglementaire)

Le facteur de qualité n'est pas seulement un concept de circuit. En ingénierie des matériaux, le Q d'un cristal de quartz, utilisé dans les horloges et les ordinateurs, peut atteindre plusieurs millions, ce qui garantit une oscillation extrêmement stable et précise, une propriété régie par des normes comme la norme militaire MIL-PRF-3098.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteur de qualité :

\[ Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les valeurs des composants et la pulsation de résonance calculée à la première question.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance, \(R = 5 \, \text{Ω}\)
  • Inductance, \(L = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • Capacité, \(C = 80 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • Pulsation de résonance, \(\omega_0 \approx 790.57 \, \text{rad/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\) est souvent plus rapide car elle ne nécessite pas le calcul préalable de \(\omega_0\). Calculons \(\sqrt{L/C} = \sqrt{20\text{e-}3 / 80\text{e-}6} = \sqrt{250} \approx 15.81\). Ensuite, \(Q = 15.81 / 5 \approx 3.16\). C'est un bon moyen de vérifier votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Influence du Facteur de Qualité
fIQ élevéQ faible
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant la première formule :

\[ \begin{aligned} Q &= \frac{L\omega_0}{R} \\ &= \frac{(20 \times 10^{-3}) \cdot 790.57}{5} \\ &= \frac{15.81}{5} \\ &\approx 3.16 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Surtension à la Résonance
SourceV = 10VBobineV_L = Q x V ≈ 31.6V
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un facteur de qualité de 3.16 indique une résonance modérément sélective. Cela signifie également qu'à la résonance, les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur seront 3.16 fois plus grandes que la tension de la source, soit environ 31.6 V. C'est le phénomène de surtension, qui peut être utile pour amplifier des signaux, mais aussi dangereux s'il n'est pas maîtrisé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le facteur de qualité est un nombre sans dimension. Si votre calcul aboutit à une unité, c'est qu'il y a une erreur. Vérifiez que les unités se simplifient bien : \((H \cdot rad/s) / \Omega = ( (V \cdot s/A) \cdot (1/s) ) / (V/A) = 1\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le facteur de qualité Q mesure la sélectivité de la résonance.
  • Q élevé \(\Rightarrow\) résonance "pointue", Q faible \(\Rightarrow\) résonance "plate".
  • Q dépend des trois composants : \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les cavités résonantes utilisées dans les accélérateurs de particules pour accélérer les électrons ou les protons sont des circuits RLC "électromagnétiques". Leurs facteurs de qualité sont extrêmement élevés (souvent supérieurs à 10⁹) pour transférer l'énergie aux particules avec une efficacité maximale.

FAQ (pour lever les doutes)
Un facteur de qualité peut-il être inférieur à 1 ?

Oui. Si la résistance est très grande par rapport à la réactance (\(R > L\omega_0\)), le facteur de qualité sera inférieur à 1. On parle alors de circuit "sur-amorti". La réponse en fréquence ne montrera plus de pic de résonance distinct, mais plutôt une courbe qui décroît doucement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de qualité du circuit est \(Q \approx 3.16\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance était de 10 \(\Omega\), quel serait le nouveau facteur de qualité Q ?

Question 4 : Calculer la bande passante \(\Delta f\)

Principe (le concept physique)

La bande passante est une mesure pratique de la largeur du pic de résonance. Elle représente la gamme de fréquences autour de \(f_0\) pour lesquelles le circuit est considéré comme "efficacement passant". Techniquement, ce sont les fréquences pour lesquelles la puissance transmise est au moins la moitié de la puissance maximale. Cette bande passante est directement liée à la sélectivité : un circuit très sélectif (Q élevé) aura une bande passante très étroite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les fréquences de coupure \(f_1\) et \(f_2\) qui délimitent la bande passante sont définies comme les fréquences où le courant efficace est tombé à \(I_0 / \sqrt{2}\). Cela correspond à une puissance \(P = RI^2\) divisée par deux : \(R(I_0/\sqrt{2})^2 = RI_0^2/2 = P_0/2\). La bande passante est la différence \(\Delta f = f_2 - f_1\), et l'on peut démontrer que cette différence est simplement égale à \(f_0/Q\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La relation \(\Delta f = f_0 / Q\) est très intuitive. Elle montre que pour une fréquence de résonance donnée, si vous voulez un filtre plus sélectif (bande passante \(\Delta f\) plus petite), vous devez augmenter son facteur de qualité Q (généralement en diminuant la résistance R).

Normes (la référence réglementaire)

La définition de la bande passante "à -3 dB" (correspondant à une puissance divisée par deux) est une convention universelle en traitement du signal et en électronique, définie par des organismes comme l'IEEE. Elle est utilisée pour caractériser tous types de filtres, d'amplificateurs et d'antennes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation entre bande passante, fréquence de résonance et facteur de qualité :

\[ \Delta f = \frac{f_0}{Q} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Cette formule simple est une très bonne approximation pour les circuits avec un facteur de qualité suffisamment élevé (typiquement Q > 2). Pour notre cas (Q=3.16), elle est tout à fait applicable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Fréquence de résonance, \(f_0 \approx 125.84 \, \text{Hz}\) (de la Q1)
  • Facteur de qualité, \(Q \approx 3.16\) (de la Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une autre formule pour la bande passante est \(\Delta f = R/(2\pi L)\). Cela peut être plus rapide si vous n'avez pas encore calculé \(f_0\) et Q. Vérifions : \(5 / (2\pi \cdot 0.020) \approx 5 / 0.1257 \approx 39.8\) Hz. C'est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)
Définition de la Bande Passante
fII_0I_0/√2f_1f_2Δf = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule :

\[ \begin{aligned} \Delta f &= \frac{f_0}{Q} \\ &= \frac{125.84 \, \text{Hz}}{3.16} \\ &\approx 39.82 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bande Passante Calculée
fI126 HzΔf ≈ 40 Hz
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La bande passante du circuit est d'environ 40 Hz. Cela signifie que le circuit laissera passer efficacement les fréquences comprises approximativement entre \(f_0 - \Delta f/2 \approx 106 \, \text{Hz}\) et \(f_0 + \Delta f/2 \approx 146 \, \text{Hz}\). Les fréquences en dehors de cette plage seront fortement atténuées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la bande passante en Hz (\(\Delta f\)) et la bande passante en rad/s (\(\Delta \omega\)). La relation est simple : \(\Delta \omega = \Delta f \cdot 2\pi\). On a aussi \(\Delta \omega = R/L\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La bande passante mesure la largeur du pic de résonance.
  • Elle est inversement proportionnelle au facteur de qualité : \(\Delta f = f_0 / Q\).
  • Un circuit sélectif a un Q élevé et une bande passante étroite.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La technologie Wi-Fi utilise des canaux de communication qui ont une bande passante définie (typiquement 20, 40 ou 80 MHz). Chaque canal est comme un circuit RLC très sélectif centré sur une fréquence porteuse, ce qui permet à de nombreux appareils de communiquer simultanément sans interférer les uns avec les autres, chacun sur son propre "canal".

FAQ (pour lever les doutes)
La bande passante est-elle toujours symétrique autour de f0 ?

Pour les circuits à Q élevé, on peut considérer qu'elle est symétrique. En réalité, la courbe de résonance n'est pas parfaitement symétrique sur une échelle linéaire. Les fréquences de coupure ne sont pas exactement à \(f_0 \pm \Delta f/2\), mais c'est une approximation excellente dans la plupart des cas pratiques.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La bande passante du circuit est \(\Delta f \approx 39.82 \, \text{Hz}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le facteur de qualité était de 10 (circuit plus sélectif), quelle serait la nouvelle bande passante \(\Delta f\) en Hz ?

Outil Interactif : Réponse en Fréquence du Circuit RLC

Modifiez les valeurs des composants pour observer l'effet sur la résonance et la sélectivité.

Paramètres d'Entrée
5 Ω
20 mH
80 µF
Résultats Clés
Fréq. Résonance (Hz) -
Facteur Qualité (Q) -
Bande Passante (Hz) -

Le Saviez-Vous ?

La formule de la résonance \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\) a été établie par le physicien britannique William Thomson (plus tard Lord Kelvin) en 1853, bien avant l'invention de la radio. Il l'a découverte en étudiant les oscillations électriques dans les longs câbles télégraphiques sous-marins, jetant ainsi les bases théoriques de toutes les télécommunications modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la résonance parallèle ?

C'est le dual de la résonance série. Dans un circuit RLC parallèle, la résonance se produit à la même fréquence, mais cette fois, c'est l'impédance totale qui est **maximale** (et non minimale). Le courant total fourni par la source est alors minimal. On l'appelle aussi un circuit "bouchon" car il bloque le courant à la fréquence de résonance.

Peut-on avoir une résonance sans résistance ?

Théoriquement, oui. Un circuit LC idéal oscillerait éternellement à sa fréquence de résonance si on lui donnait une impulsion d'énergie initiale. En pratique, il y a toujours une résistance (au moins celle des fils), ce qui amortit les oscillations. Sans résistance, le facteur de qualité Q serait infini et le courant à la résonance deviendrait infini, ce qui est physiquement impossible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour augmenter la fréquence de résonance d'un circuit, on peut...

2. Un facteur de qualité élevé implique...

Résonance (série)
Phénomène se produisant à une fréquence spécifique où les effets réactifs d'une bobine et d'un condensateur s'annulent. Dans un circuit RLC série, cela se traduit par une impédance minimale et un courant maximal.
Fréquence de Résonance (\(f_0\))
Fréquence unique à laquelle la résonance se produit. Elle est déterminée par la formule de Thomson : \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\).
Facteur de Qualité (Q)
Nombre sans dimension qui mesure la sélectivité d'un circuit résonant. Un Q élevé correspond à une résonance "pointue" et une bande passante étroite.
Bande Passante (\(\Delta f\))
Intervalle de fréquences autour de la résonance pour lequel la puissance du circuit est au moins la moitié de la puissance maximale. Elle est liée au facteur de qualité par \(\Delta f = f_0/Q\).
Calcul de la fréquence de résonance

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