Circuits Électriques

Calcul de l’impédance d’une bobine à 50 Hz

Électricité : Calcul de l'impédance d'une bobine à 50 Hz

Calcul de l'impédance d'une bobine à 50 Hz

Contexte : La Résistance au Changement

Une bobineComposant électronique, généralement un enroulement de fil, qui stocke de l'énergie dans un champ magnétique lorsque le courant le traverse. (ou inductance) est un composant fondamental en électricité qui s'oppose aux variations de courant. En régime sinusoïdal, où le courant change constamment, cette opposition se manifeste par une "résistance" au courant alternatif appelée impédanceOpposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle inclut la résistance et la réactance. Son unité est l'Ohm (Ω).. Contrairement à une résistance pure, l'impédance d'une bobine dépend non seulement de son inductancePropriété d'un conducteur électrique à s'opposer aux variations du courant qui le traverse. Son unité est le Henry (H). (sa capacité à créer un champ magnétique), mais aussi de la fréquence du courant qui la traverse. Cet exercice vise à calculer cette impédance pour la fréquence standard du réseau européen.

Remarque Pédagogique : Comprendre comment l'impédance d'une bobine varie avec la fréquence est la clé pour comprendre son rôle dans les circuits. Une bobine "bloque" d'autant plus le courant que la fréquence est élevée, ce qui en fait un composant essentiel pour la création de filtres.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la pulsation (vitesse angulaire) \(\omega\) à partir d'une fréquence \(f\).
  • Comprendre la notion d'impédance inductive \(Z_L\).
  • Appliquer la formule \(Z_L = L\omega\) pour calculer l'impédance d'une bobine.
  • Utiliser la loi d'Ohm en régime sinusoïdal avec l'impédance.
  • Visualiser la relation linéaire entre la fréquence et l'impédance d'une bobine.

Données de l'étude

Une bobine parfaite (de résistance interne nulle) a une inductance \(L = 20 \, \text{mH}\). Elle est insérée dans un circuit parcouru par un courant alternatif de fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\).

Schéma de la Bobine dans un Circuit AC
~ f = 50 Hz L = 20 mH

Données :

  • Inductance : \(L = 20 \, \text{mH}\)
  • Fréquence : \(f = 50 \, \text{Hz}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation \(\omega\) du signal.
  2. Calculer l'impédance \(Z_L\) de la bobine.
  3. Si un courant efficace \(I_{\text{eff}} = 2 \, \text{A}\) traverse la bobine, quelle est la tension efficace \(U_{\text{eff}}\) à ses bornes ?

Correction : Calcul de l'impédance d'une bobine à 50 Hz

Question 1 : Calcul de la Pulsation (\(\omega\))

Principe :

La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) est directement liée à la fréquence \(f\). Alors que la fréquence représente le nombre de cycles par seconde (en Hertz), la pulsation représente la "vitesse de rotation" du phaseur associé dans le plan complexe, en radians par seconde.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les formules d'impédance pour les bobines et les condensateurs utilisent la pulsation \(\omega\), et non la fréquence \(f\). Calculer \(\omega\) est donc presque toujours la première étape de l'analyse d'un circuit en régime sinusoïdal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \omega = 2 \pi f \]
Donnée(s) :
  • Fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times 50 \\ &= 100\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314.16 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités : La fréquence doit être en Hertz (Hz) pour que la pulsation soit en radians par seconde (rad/s). Si la fréquence était donnée en kHz ou MHz, une conversion serait nécessaire.

Le saviez-vous ?

La valeur de \(100\pi\) (ou environ 314) est la pulsation que vous rencontrerez dans la quasi-totalité des exercices concernant le secteur électrique européen, car sa fréquence est standardisée à 50 Hz.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser des radians par seconde ?

L'utilisation de radians est plus "naturelle" en mathématiques, notamment en trigonométrie et en analyse complexe. L'argument des fonctions sinus et cosinus est un angle, et le radian est l'unité d'angle standard du Système International. Cela simplifie de nombreuses formules, notamment celles impliquant des dérivées et des intégrales.

Résultat : La pulsation du signal est \(\omega = 100\pi \approx 314.16 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Calcul de l'Impédance (\(Z_L\))

Principe :

L'impédance d'une bobine idéale, notée \(Z_L\), représente son opposition au passage du courant alternatif. Elle est directement proportionnelle à son inductance \(L\) et à la pulsation \(\omega\) du signal. Plus la fréquence est élevée, plus la bobine "freine" le courant.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'impédance d'une bobine est un nombre imaginaire pur positif en notation complexe (\(\underline{Z_L} = jL\omega\)). Le "j" indique un déphasage de \(+\pi/2\) (ou +90°) de la tension par rapport au courant. Cela signifie que la tension aux bornes d'une bobine est toujours en avance d'un quart de période sur le courant qui la traverse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Z_L = L \times \omega \]
Donnée(s) :
  • Inductance \(L = 20 \, \text{mH} = 0.020 \, \text{H}\)
  • Pulsation \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Z_L &= 0.020 \times 100\pi \\ &= 2\pi \, \Omega \\ &\approx 6.28 \, \Omega \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Conversion d'unités : L'inductance est souvent donnée en millihenrys (mH) ou microhenrys (µH). Il est impératif de la convertir en Henrys (H), l'unité SI, avant de l'utiliser dans la formule.

Le saviez-vous ?

En courant continu, la fréquence est nulle (\(f=0\)), donc la pulsation est nulle (\(\omega=0\)). L'impédance d'une bobine idéale est donc \(Z_L = L \times 0 = 0 \, \Omega\). Une bobine parfaite se comporte comme un simple fil en courant continu.

FAQ en rapport avec la question :
Qu'est-ce que l'impédance complexe \(\underline{Z_L}\) ?

L'impédance complexe contient l'information sur le déphasage. Pour une bobine, \(\underline{Z_L} = jL\omega = j2\pi \, \Omega\). Le module de ce nombre complexe est \(|\underline{Z_L}| = 2\pi \, \Omega\), ce que nous avons calculé. L'argument est \(+\pi/2\), ce qui représente le déphasage de +90°.

Résultat : L'impédance de la bobine est \(Z_L \approx 6.28 \, \Omega\).

Question 3 : Tension Efficace (\(U_{\text{eff}}\))

Principe :

La loi d'Ohm se généralise au régime sinusoïdal en utilisant les impédances et les valeurs efficaces. La relation reste la même : la tension efficace aux bornes d'un composant est égale à son impédance multipliée par le courant efficace qui le traverse.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la confirmation que les concepts de base (loi d'Ohm) restent valables, à condition d'adapter les grandeurs utilisées (valeurs efficaces et impédances au lieu de valeurs continues et résistances).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ U_{\text{eff}} = Z_L \times I_{\text{eff}} \]
Donnée(s) :
  • Impédance \(Z_L \approx 6.28 \, \Omega\)
  • Courant efficace \(I_{\text{eff}} = 2 \, \text{A}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} U_{\text{eff}} &= 6.28 \times 2 \\ &= 12.56 \, \text{V} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Utiliser les bonnes valeurs : Il faut bien multiplier l'impédance par la valeur *efficace* du courant pour obtenir la tension *efficace*. Utiliser une valeur maximale de courant donnerait une valeur maximale de tension.

Le saviez-vous ?

Une bobine idéale ne dissipe aucune puissance active. Elle stocke de l'énergie dans son champ magnétique pendant une partie du cycle, puis la restitue entièrement au circuit pendant l'autre partie. L'énergie ne fait qu'osciller entre la source et la bobine. C'est pourquoi on parle de puissance "réactive".

FAQ en rapport avec la question :
Quelle serait la tension maximale aux bornes de la bobine ?

On peut la calculer de deux manières. Soit en utilisant le courant maximal : \(I_{\text{max}} = I_{\text{eff}} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \, \text{A}\), ce qui donne \(U_{\text{max}} = Z_L \times I_{\text{max}} = 6.28 \times 2\sqrt{2} \approx 17.76 \, \text{V}\). Soit directement à partir de la tension efficace : \(U_{\text{max}} = U_{\text{eff}} \times \sqrt{2} = 12.56 \times \sqrt{2} \approx 17.76 \, \text{V}\).

Résultat : La tension efficace aux bornes de la bobine est d'environ \(12.56 \, \text{V}\).

Simulation Interactive

Faites varier l'inductance de la bobine et la fréquence du signal. Observez comment l'impédance change de manière proportionnelle.

Paramètres du Circuit
Pulsation ω
Impédance Z_L
Impédance en fonction de la Fréquence

Pour Aller Plus Loin : Le Filtre Passe-Bas

Bloquer les hautes fréquences : Si on place une bobine en série avec une résistance, on crée un filtre "passe-bas". Comme l'impédance de la bobine augmente avec la fréquence, elle s'opposera de plus en plus aux signaux de haute fréquence, les empêchant d'atteindre la sortie. Les signaux de basse fréquence, pour lesquels l'impédance de la bobine est faible, passeront sans problème. Ce type de filtre est utilisé partout, notamment dans les enceintes audio pour diriger les sons graves (basses fréquences) vers le woofer.

Le Saviez-Vous ?

Les plaques de cuisson à induction utilisent une grosse bobine pour générer un champ magnétique variable à haute fréquence. Ce champ induit des courants (appelés courants de Foucault) directement dans le fond métallique de la casserole. C'est la résistance du métal de la casserole qui, par effet Joule, chauffe et cuit les aliments. La plaque elle-même reste relativement froide.

Foire Aux Questions (FAQ)

Une bobine réelle a-t-elle une résistance ?

Oui. Une bobine réelle est faite d'un long fil de cuivre, qui a une résistance non nulle. On la modélise donc comme une bobine idéale (inductance pure \(L\)) en série avec une petite résistance \(R\). Son impédance complexe devient alors \(\underline{Z} = R + jL\omega\).

Que se passe-t-il à très haute fréquence ?

Théoriquement, lorsque la fréquence tend vers l'infini, l'impédance de la bobine (\(Z_L = L\omega\)) tend aussi vers l'infini. Une bobine idéale se comporte donc comme un circuit ouvert (une coupure) pour les très hautes fréquences.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la fréquence du courant qui traverse une bobine, son impédance :

2. Pour une bobine idéale, le déphasage de la tension par rapport au courant est de :

Glossaire

Inductance (L)
La propriété d'un dipôle électrique qui s'oppose aux variations du courant qui le traverse, en créant un champ magnétique. Son unité est le Henry (H).
Impédance (Z)
L'opposition totale (incluant résistance et réactance) d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)).
Réactance Inductive (\(X_L\))
La partie de l'impédance d'une bobine due à son inductance et à la fréquence (\(X_L = L\omega\)). C'est la partie imaginaire de l'impédance complexe.
Pulsation (\(\omega\))
La vitesse angulaire du signal sinusoïdal, mesurée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\).
Méthodes d'Analyse : Calcul de l'impédance d'une bobine à 50 Hz

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