Calcul de tension avec la loi des mailles
Contexte : La Loi des MaillesAussi connue comme la deuxième loi de Kirchhoff, elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans une boucle fermée d'un circuit est nulle..
La loi des mailles est un outil fondamental en électricité pour analyser des circuits complexes qui ne peuvent pas être simplifiés par de simples associations de résistances en série ou en parallèle. Elle permet de déterminer les courants circulant dans les différentes branches et, par conséquent, les tensions aux bornes de chaque composant. Cet exercice vous guidera dans l'analyse d'un circuit à deux mailles.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour vous apprendre à poser systématiquement les équations d'un circuit et à les résoudre pour trouver des valeurs inconnues. La maîtrise de cette méthode est essentielle pour toute analyse de circuits électriques plus avancée.
Objectifs Pédagogiques
- Identifier les mailles indépendantes dans un circuit électrique.
- Appliquer correctement la loi des mailles pour écrire les équations de tension.
- Résoudre un système d'équations linéaires pour trouver les courants de maille et les tensions inconnues.
Données de l'étude
Schéma du circuit électrique à deux mailles
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| V₁ | Source de tension 1 | 12 | V |
| V₂ | Source de tension 2 | 9 | V |
| R₁ | Résistance 1 | 2 | Ω |
| R₂ | Résistance 2 | 4 | Ω |
| R₃ | Résistance 3 (commune) | 6 | Ω |
| R₄ | Résistance 4 | 3 | Ω |
| R₅ | Résistance 5 | 5 | Ω |
Questions à traiter
- Établir l'équation de tension pour la maille 1.
- Établir l'équation de tension pour la maille 2.
- Résoudre le système d'équations pour déterminer les courants de maille I₁ et I₂.
- Calculer la tension U₃ aux bornes de la résistance R₃.
Les bases sur la Loi des Mailles (Loi des Tensions de Kirchhoff)
La loi des mailles est un principe de conservation de l'énergie appliqué aux circuits électriques. Elle nous dit que si l'on parcourt une boucle fermée (une "maille"), la somme de toutes les augmentations de potentiel (tensions des générateurs) doit être égale à la somme de toutes les chutes de potentiel (tensions aux bornes des résistances).
1. Énoncé de la Loi des Mailles
La somme algébrique des tensions le long de n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est égale à zéro.
\[ \sum_{\text{maille}} V_k = 0 \]
2. Convention de Signes
Pour appliquer la loi, on choisit un sens de parcours pour chaque maille (généralement le sens horaire).
- La tension d'un générateur est positive si on le traverse de la borne - vers la borne +.
- La chute de tension aux bornes d'une résistance est négative (\(-R \cdot I\)) si on la parcourt dans le même sens que le courant de maille.
Correction : Calcul de tension avec la loi des mailles
Question 1 : Établir l'équation de tension pour la maille 1
Principe
Le concept physique est la conservation de l'énergie dans une boucle fermée. En parcourant la maille 1, la tension fournie par la source V₁ est entièrement "consommée" par les résistances R₁, R₂ et R₃. La somme de ces tensions doit donc être nulle.
Mini-Cours
La loi des mailles (ou 2ème loi de Kirchhoff) stipule que \(\sum V = 0\) dans une boucle. Chaque résistance traversée par un courant \(I\) crée une chute de tension \(U = R \cdot I\). Pour une résistance partagée entre deux mailles (comme R₃), le courant la traversant est la différence des courants de maille (\(I_1 - I_2\) ou \(I_2 - I_1\) selon le point de vue).
Remarque Pédagogique
Pour ne jamais vous tromper, soyez systématique. Choisissez un point de départ et un sens de parcours (par exemple, horaire). Listez chaque composant rencontré et affectez un signe + à la tension si vous allez de la borne - à la borne + (pour une source), et un signe - à la chute de tension \(R \cdot I\) si vous parcourez la résistance dans le même sens que le courant.
Normes
Bien qu'il ne s'agisse pas d'une norme de construction, les conventions utilisées (symboles des composants, sens des flèches) sont standardisées au niveau international par la Commission Électrotechnique Internationale (IEC) pour assurer une compréhension universelle des schémas électriques.
Formule(s)
La formule générale de la loi des mailles est appliquée ici :
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les composants sont idéaux (résistances pures, sources de tension parfaites sans résistance interne).
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Le circuit est en régime continu (les tensions et courants sont constants).
Donnée(s)
Les données de l'énoncé utilisées pour cette question sont :
- \(V_1 = 12 \text{ V}\)
- \(R_1 = 2 \, \Omega\)
- \(R_2 = 4 \, \Omega\)
- \(R_3 = 6 \, \Omega\)
Astuces
Une astuce rapide consiste à regrouper mentalement toutes les résistances de la maille et les multiplier par le courant de cette maille, puis de soustraire les résistances communes multipliées par les courants des mailles adjacentes. Ici : \((R_1+R_2+R_3) \cdot I_1 - R_3 \cdot I_2\). Cela doit être égal à la somme des tensions des générateurs dans la maille.
Schéma (Avant les calculs)
Focalisation sur la Maille 1
Calcul(s)
En appliquant la loi des mailles, on somme les tensions :
On regroupe les termes en \(I_1\) et \(I_2\) :
On remplace par les valeurs numériques :
Schéma (Après les calculs)
Maille 1 - Équation posée
Réflexions
Cette première équation lie les deux courants inconnus. Elle montre que la tension de V₁ se répartit entre les résistances de la maille 1, mais que cette répartition est aussi influencée par le courant I₂ de la maille voisine via la résistance commune R₃.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est le signe du courant dans la branche partagée. Puisque nous écrivons l'équation pour la maille 1, le courant "principal" est I₁. Le courant I₂ s'y oppose, donc le courant net dans R₃ est bien \((I_1 - I_2)\). Une inversion de signe ici fausserait tout le système.
Points à retenir
Pour une maille donnée, l'équation s'écrit toujours sous la forme : (Somme des résistances de la maille) x (Courant de la maille) - (Somme des résistances communes x Courants adjacents) = (Somme des F.E.M. de la maille).
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois sur les circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant de 21 ans. Ces lois, fondamentales aujourd'hui, sont des applications directes des principes de conservation de la charge et de l'énergie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si V₁ était de 24 V au lieu de 12 V, quelle serait la nouvelle équation pour la maille 1 (sous la forme \(A \cdot I_1 + B \cdot I_2 = C\)) ?
Question 2 : Établir l'équation de tension pour la maille 2
Principe
De la même manière que pour la première question, nous appliquons la conservation de l'énergie à la deuxième boucle. La somme des tensions (source V₂ et chutes de tension dans R₃, R₄, R₅) doit être nulle.
Mini-Cours
L'application de la loi des mailles est identique. La seule subtilité est la gestion des signes. En parcourant la maille 2 dans le sens horaire, on traverse la source V₂ de la borne '+' vers la borne '-', sa tension sera donc comptée négativement dans l'équation de la maille.
Remarque Pédagogique
Faites très attention aux conventions de signe pour les sources de tension. Une erreur fréquente est de considérer toutes les sources comme positives. Le signe dépend uniquement du sens dans lequel vous "traversez" la source lors de votre parcours de la maille.
Normes
Les principes de Kirchhoff sont universels et constituent la base de l'analyse de circuits en courant continu, reconnue par toutes les organisations de normalisation électrique.
Formule(s)
La formule générale est toujours la même, appliquée à la seconde maille :
Hypothèses
Les hypothèses restent les mêmes que pour la question 1 : composants et fils idéaux, régime continu.
Donnée(s)
Les données pertinentes pour cette maille sont :
- \(V_2 = 9 \text{ V}\)
- \(R_3 = 6 \, \Omega\)
- \(R_4 = 3 \, \Omega\)
- \(R_5 = 5 \, \Omega\)
Astuces
En utilisant la même astuce que précédemment : \((R_3+R_4+R_5) \cdot I_2 - R_3 \cdot I_1 = -V_2\). Notez le signe négatif pour \(V_2\) car le sens de parcours s'oppose à la F.E.M. de la source.
Schéma (Avant les calculs)
Focalisation sur la Maille 2
Calcul(s)
On somme les tensions dans la maille 2 (sens horaire) :
On regroupe les termes :
Application numérique :
Schéma (Après les calculs)
Maille 2 - Équation posée
Réflexions
Cette seconde équation, combinée à la première, forme un système complet qui peut être résolu. Elle montre comment la tension V₂ et les résistances de la maille 2 interagissent, tout en étant couplées à la maille 1 par R₃.
Points de vigilance
Deux erreurs à éviter ici : oublier le signe négatif de V₂ car on la parcourt dans le "mauvais" sens, et se tromper dans le courant de la branche commune. Pour la maille 2, le courant est \((I_2 - I_1)\).
Points à retenir
La méthode est la même pour toutes les mailles. La clé est la rigueur dans l'application des conventions de signe pour les sources et les résistances.
Le saviez-vous ?
La méthode des mailles est particulièrement puissante et est à la base de logiciels de simulation de circuits comme SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis), utilisé par les ingénieurs du monde entier.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si R₄ et R₅ valaient chacune 10 Ω, quelle serait la nouvelle équation pour la maille 2 ?
Question 3 : Résoudre le système pour trouver I₁ et I₂
Principe
Le concept ici est purement mathématique. Nous avons un système de deux équations linéaires à deux inconnues. La physique a été faite, il faut maintenant utiliser les outils de l'algèbre pour trouver la solution unique de ce système.
Mini-Cours
Un système de la forme \(\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}\) peut être résolu par plusieurs méthodes. La substitution consiste à isoler une variable dans une équation (ex: \(y = (c-ax)/b\)) et à la remplacer dans l'autre. La combinaison linéaire consiste à multiplier les équations par des coefficients pour éliminer une variable en les additionnant.
Remarque Pédagogique
La méthode par substitution est souvent la plus intuitive. Commencez par simplifier les équations si possible (ici, on peut diviser la première par 6). Ensuite, choisissez l'équation où il est le plus simple d'isoler une variable (celle avec un coefficient de 1 ou -1 est idéale).
Normes
Les méthodes de résolution de systèmes linéaires sont des piliers des mathématiques et n'appartiennent pas à une norme technique, mais leur application correcte est une exigence fondamentale dans toutes les disciplines d'ingénierie.
Formule(s)
Le système d'équations à résoudre est :
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse physique n'est nécessaire. On suppose que le système a une solution unique, ce qui est généralement le cas pour les circuits physiques bien posés.
Donnée(s)
Les données sont les deux équations obtenues aux questions précédentes.
Astuces
Avant de vous lancer, simplifiez l'équation (1) en divisant par 6 : \(2 \cdot I_1 - I_2 = 2\). Il devient alors très facile d'isoler \(I_2\), ce qui rend la méthode par substitution très rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit complet à résoudre
Calcul(s)
De \(2 \cdot I_1 - I_2 = 2\), on tire \(I_2 = 2 \cdot I_1 - 2\). On substitue dans la deuxième équation :
On développe et on résout pour \(I_1\) :
On calcule ensuite \(I_2\) :
Schéma (Après les calculs)
Sens réels des courants
Réflexions
Le signe négatif de I₂ est une information cruciale : il signifie que notre choix initial pour le sens de I₂ était incorrect. Physiquement, le courant dans la maille 2 circule dans le sens anti-horaire. Cela est dû au fait que la source V₁ est suffisamment forte pour "imposer" un courant qui remonte dans la branche de V₂.
Points de vigilance
Attention aux erreurs de calcul en cascade. Une simple erreur de signe lors de la substitution se propage et donne des résultats finaux complètement faux. Prenez l'habitude de vérifier votre résultat en l'injectant dans les deux équations de départ pour voir s'il les satisfait.
Points à retenir
La résolution d'un système d'équations est une compétence mathématique clé pour l'ingénieur. La méthode des mailles transforme un problème de physique en un problème d'algèbre linéaire.
Le saviez-vous ?
Pour des circuits avec de nombreuses mailles, les ingénieurs n'utilisent pas la substitution mais des méthodes matricielles (comme la méthode de Cramer ou l'inversion de matrice), beaucoup plus systématiques et facilement programmables sur ordinateur.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les équations de départ, que vaudrait \(I_1\) si \(V_2\) était de 0V (court-circuit) ?
Question 4 : Calculer la tension U₃ aux bornes de R₃
Principe
La tension aux bornes d'une résistance est directement proportionnelle au courant qui la traverse, selon la loi d'Ohm (\(U=RI\)). Le point clé ici est de déterminer le courant *réel* qui traverse R₃, qui est une combinaison des deux courants de maille.
Mini-Cours
Le principe de superposition stipule que dans un circuit linéaire, le courant dans une branche est la somme algébrique des courants générés par chaque source indépendante. La méthode des mailles est une application de ce principe : le courant réel dans la branche commune est la superposition (ici, la différence) des courants de maille \(I_1\) et \(I_2\).
Remarque Pédagogique
Pour trouver le courant dans une branche commune, définissez un sens positif (par exemple, de haut en bas). Ensuite, additionnez les courants de maille qui vont dans ce sens et soustrayez ceux qui vont en sens inverse. Ici, pour un sens de haut en bas, \(I_{\text{R3}} = I_1\) (positif) \(- I_2\) (négatif).
Normes
La loi d'Ohm, publiée en 1827 par Georg Ohm, est la relation la plus fondamentale en électricité et est reconnue comme un principe de base par toutes les normes internationales.
Formule(s)
Les deux formules utilisées sont :
Hypothèses
On utilise les mêmes hypothèses que précédemment.
Donnée(s)
Les données nécessaires sont :
- \(R_3 = 6 \, \Omega\)
- \(I_1 = 19/22 \text{ A}\) (calculé)
- \(I_2 = -3/11 \text{ A}\) (calculé)
Astuces
Faites attention aux doubles signes négatifs ! Le calcul est \(I_1 - I_2\). Comme \(I_2\) est négatif, cela devient une addition : \(I_1 + |I_2|\). C'est une source d'erreur fréquente.
Schéma (Avant les calculs)
Courants dans la branche commune
Calcul(s)
On calcule d'abord le courant net \(I_{\text{R3}}\) traversant R₃ de haut en bas :
Puis on applique la loi d'Ohm :
Schéma (Après les calculs)
Tension aux bornes de R₃
Réflexions
La tension U₃ est positive, ce qui confirme que le potentiel en haut de la résistance est plus élevé que le potentiel en bas. Cette tension est inférieure aux tensions des deux générateurs, ce qui est cohérent.
Points de vigilance
Ne calculez jamais la tension avec un seul des courants de maille (\(U_3 \neq R_3 \cdot I_1\)). Il faut impérativement utiliser le courant net, qui est la superposition des deux.
Points à retenir
La tension aux bornes d'un composant dépend du courant *réel* qui le traverse. Dans les circuits à plusieurs mailles, ce courant réel est la somme algébrique des courants de maille qui passent par ce composant.
Le saviez-vous ?
La tension est aussi appelée "différence de potentiel". Elle ne représente pas une quantité d'énergie absolue, mais une différence d'état énergétique entre deux points, un peu comme une différence d'altitude pour une rivière.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les courants \(I_1\) et \(I_2\) calculés, quelle serait la tension aux bornes de R₄ ? (Attention au sens du courant I₂)
Outil Interactif : Simulateur de Circuit à Deux Mailles
Variez la tension de la source V₁ et la valeur de la résistance commune R₃ pour observer en temps réel leur impact sur les courants de maille I₁ et I₂.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est le principe fondamental de la loi des mailles de Kirchhoff ?
2. Si l'on parcourt une maille et que l'on traverse une source de tension de sa borne '-' à sa borne '+', comment compte-t-on sa tension ?
3. Deux courants de maille I₁ et I₂ traversent une résistance R en sens opposés. Quelle est la chute de tension aux bornes de R dans le sens de I₁ ?
4. Qu'indique un résultat de courant de maille négatif (ex: I₂ = -0.5 A) ?
5. La loi des mailles est une manifestation de la conservation de quelle grandeur physique ?
- Loi des Mailles
- Aussi appelée seconde loi de Kirchhoff, elle énonce que la somme algébrique des tensions le long d'une boucle fermée dans un circuit électrique est toujours nulle. C'est une conséquence de la conservation de l'énergie.
- Courant de Maille
- Un courant fictif que l'on suppose circuler dans une boucle fermée (maille) d'un circuit. L'analyse par les courants de maille simplifie la mise en équation des circuits complexes.
- Chute de Tension
- La diminution du potentiel électrique aux bornes d'un composant passif (comme une résistance) lorsqu'il est traversé par un courant. Elle est donnée par la loi d'Ohm (U = R·I).
- Force Électromotrice (F.E.M.)
- La tension fournie par une source d'énergie, comme une batterie ou un générateur. Elle représente l'énergie par unité de charge que la source fournit au circuit.
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