Circuits Électriques

Calcul du Courant Complexe

Circuit RLC Série : Calcul du Courant Complexe

Calcul du Courant Complexe

Contexte : Le cœur des filtres et des oscillateurs en électronique.

En électronique, l'analyse des circuits en régime sinusoïdal est fondamentale. Le circuit RLC série est un prototype essentiel qui modélise de nombreux systèmes, des filtres de fréquence dans les radios aux circuits d'accordage. L'utilisation des impédances complexesL'impédance (Z) est la généralisation de la résistance au régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe qui représente non seulement l'opposition au passage du courant (son module) mais aussi le déphasage qu'il introduit (son argument/phase). et des phaseursUn phaseur est un vecteur tournant dans le plan complexe. Il permet de représenter une grandeur sinusoïdale (comme une tension ou un courant) par un nombre complexe statique, dont le module est l'amplitude et l'argument est la phase à l'origine. transforme les équations différentielles complexes en simples relations algébriques, une méthode puissante et élégante. Cet exercice vous guidera dans le calcul du courant dans un circuit RLC en utilisant cette méthode.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la puissance de l'outil mathématique des nombres complexes pour résoudre un problème physique. Nous allons transformer un circuit avec des composants aux comportements variés (résistance, inductance, capacitance) en une simple addition d'impédances, puis appliquer la loi d'Ohm dans sa forme généralisée. C'est la démarche standard de tout ingénieur en électronique pour analyser des circuits en courant alternatif.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la pulsation (fréquence angulaire) d'un signal.
  • Déterminer les impédances complexes d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur.
  • Calculer l'impédance équivalente d'un circuit série.
  • Appliquer la loi d'Ohm en notation complexe pour trouver le courant.
  • Convertir un nombre complexe de la forme rectangulaire (a+jb) à la forme polaire (Module∠Phase).
  • Comprendre la notion de déphasage entre la tension et le courant.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par une source de tension sinusoïdale \(v(t)\). Les valeurs des composants et de la source sont les suivantes :

Schéma du circuit RLC série
v(t) R L C i(t)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Tension d'alimentation \(v(t)\) \(10\sqrt{2} \cos(1000t + \pi/4)\) \(\text{V}\)
Résistance \(R\) 30 \(\text{Ω}\)
Inductance \(L\) 40 \(\text{mH}\)
Capacité \(C\) 12.5 \(\mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer le phaseur \(\underline{V}\) de la tension d'alimentation et la pulsation \(\omega\) du circuit.
  2. Calculer les impédances complexes de la résistance (\(\underline{Z}_{\text{R}}\)), de la bobine (\(\underline{Z}_{\text{L}}\)) et du condensateur (\(\underline{Z}_{\text{C}}\)).
  3. Calculer l'impédance complexe totale équivalente \(\underline{Z}_{\text{eq}}\) du circuit.
  4. Calculer le phaseur du courant \(\underline{I}\) en forme rectangulaire (a+jb) puis en forme polaire (Module∠Phase).

Les bases de l'Analyse en Régime Sinusoïdal

Avant de commencer, rappelons les concepts qui transforment un problème complexe en calculs simples.

1. Phaseurs et Nombres Complexes :
Une grandeur sinusoïdale \(A(t) = A_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)\) peut être représentée par un nombre complexe constant, appelé phaseur. Ce phaseur encode l'amplitude efficace et la phase initiale.

\[ \underline{A} = A_{\text{eff}} e^{j\phi} \quad \text{avec} \quad A_{\text{eff}} = \frac{A_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \]

2. Impédances Complexes :
Chaque composant passif a une impédance complexe \(\underline{Z}\) qui généralise la résistance :

\[ \underline{Z}_{\text{R}} = R \]
\[ \underline{Z}_{\text{L}} = jL\omega \]
\[ \underline{Z}_{\text{C}} = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \]

3. Loi d'Ohm Généralisée :
La relation entre les phaseurs de tension et de courant est une simple généralisation de la loi d'Ohm. Pour des composants en série, les impédances s'additionnent.

\[ \underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I} \quad \Rightarrow \quad \underline{Z}_{\text{eq}} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \dots \]

Correction : Calcul du Courant Complexe

Question 1 : Déterminer le phaseur de tension et la pulsation

Principe (le concept physique)

La première étape de toute analyse en régime sinusoïdal est de "traduire" les grandeurs temporelles (cosinus, sinus) en objets mathématiques plus simples : les phaseurs. Le phaseur capture les deux informations essentielles du signal : son amplitude (via la valeur efficace) et sa phase à l'origine. On extrait également la pulsation \(\omega\), qui est la "vitesse de rotation" du signal et qui détermine la réponse des composants réactifs (L et C).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La transformation d'un signal \(A_{\text{max}}\cos(\omega t + \phi)\) en phaseur \(\underline{A} = (A_{\text{max}}/\sqrt{2})e^{j\phi}\) est une application de la transformée de Fourier sur un signal sinusoïdal permanent. Elle permet de passer du domaine temporel, où l'on manipule des équations différentielles, au domaine fréquentiel, où l'on manipule de l'algèbre complexe. La pulsation \(\omega\) (en rad/s) est liée à la fréquence \(f\) (en Hz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez le phaseur comme une "photo" du signal à l'instant t=0. C'est un vecteur dans le plan complexe. La longueur du vecteur vous donne l'amplitude efficace, et son angle par rapport à l'axe réel vous donne la phase. Pendant que le temps s'écoule, ce vecteur tourne à la vitesse \(\omega\), mais pour nos calculs, nous n'avons besoin que de cette photo initiale.

Normes (la référence réglementaire)

La notation des phaseurs et l'utilisation de 'j' comme unité imaginaire sont standardisées par la Commission électrotechnique internationale (CEI), notamment dans la norme IEC 60027. L'utilisation de la valeur efficace est également une convention universelle pour la mesure et la spécification des tensions et courants alternatifs (ex: le 230V du secteur est une valeur efficace).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un signal temporel de la forme :

\[ v(t) = V_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi) \]

Le phaseur associé est \(\underline{V} = V_{\text{eff}} e^{j\phi}\), où la valeur efficace est :

\[ V_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le circuit est en régime sinusoïdal établi, c'est-à-dire que les phénomènes transitoires de mise sous tension se sont dissipés et que toutes les tensions et tous les courants sont des sinusoïdes de même pulsation \(\omega\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension d'alimentation, \(v(t) = 10\sqrt{2} \cos(1000t + \pi/4) \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Lorsque la tension est donnée sous la forme \(V_{\text{max}} \cos(...)\), la valeur efficace est simplement le terme qui multiplie le cosinus, divisé par \(\sqrt{2}\). Ici, \(10\sqrt{2} / \sqrt{2}\) donne immédiatement 10V. C'est une forme très courante dans les exercices.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation Temporelle et Fréquentielle
Domaine Temporelv(t)→Domaine FréquentielV = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Identifier les termes dans \(v(t)\) par comparaison avec la forme générale \(V_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)\) :

\[ V_{\text{max}} = 10\sqrt{2} \, \text{V} \quad | \quad \omega = 1000 \, \text{rad/s} \quad | \quad \phi = \frac{\pi}{4} \, \text{rad} \]

2. Calculer la valeur efficace de la tension :

\[ \begin{aligned} V_{\text{eff}} &= \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= 10 \, \text{V} \end{aligned} \]

3. Écrire le phaseur \(\underline{V}\) en notation polaire :

\[ \underline{V} = V_{\text{eff}} \angle \phi = 10 \angle \frac{\pi}{4} \, \text{V} \]
Schéma (Après les calculs)
Phaseur de Tension Calculé
ReIm45°|V|=10V
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé la fonction du temps \(v(t)\) en un simple nombre complexe \(\underline{V}\). Ce nombre nous dit que la tension a une amplitude efficace de 10V et qu'à t=0, son angle est de 45° (\(\pi/4\)) par rapport à l'axe de référence. La pulsation de 1000 rad/s sera cruciale pour calculer la "réaction" de la bobine et du condensateur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre la valeur maximale \(V_{\text{max}}\) et la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\). Tous les calculs de phaseurs se font avec la valeur efficace. De plus, vérifiez que votre calculatrice est bien en mode radians ou degrés selon la notation que vous utilisez pour les angles.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Un signal sinusoïdal est caractérisé par 3 paramètres : amplitude, pulsation et phase.
  • Le phaseur est un nombre complexe qui encode l'amplitude (efficace) et la phase.
  • La pulsation \(\omega\) est la même pour toutes les grandeurs du circuit.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'utilisation des phaseurs pour analyser les circuits en courant alternatif a été popularisée par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric à la fin du 19ème siècle. Son travail a radicalement simplifié l'analyse des systèmes de puissance, qui étaient alors en plein essor.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on 'j' en électricité au lieu de 'i' pour les imaginaires ?

La lettre 'i' est traditionnellement réservée pour représenter l'intensité du courant instantané, i(t). Pour éviter toute confusion, les ingénieurs électriciens et électroniciens ont adopté 'j' pour représenter la racine carrée de -1.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pulsation est \(\omega = 1000 \, \text{rad/s}\) et le phaseur de la tension est \(\underline{V} = 10 \angle \frac{\pi}{4} \, \text{V}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la tension était \(v(t) = 50 \cos(2000t - \pi/2)\), quelle serait la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\) en V ?

Question 2 : Calculer les impédances complexes

Principe (le concept physique)

Chaque composant s'oppose au passage du courant alternatif d'une manière unique, décrite par son impédance. La résistance s'oppose de la même manière à tous les courants, son impédance est donc un simple nombre réel. La bobine s'oppose d'autant plus que la fréquence est élevée (elle "n'aime" pas les variations rapides), son impédance \(L\omega\) augmente avec \(\omega\). Le condensateur, lui, s'oppose d'autant moins que la fréquence est élevée (il "laisse passer" les variations rapides), son impédance \(1/C\omega\) diminue avec \(\omega\). L'opérateur 'j' représente le déphasage de 90° introduit par ces composants.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'impédance \(\underline{Z}\) est définie comme le rapport du phaseur tension au phaseur courant : \(\underline{Z} = \underline{V}/\underline{I}\). Pour une bobine, \(v(t) = L \frac{di(t)}{dt}\), ce qui en notation complexe devient \(\underline{V}_{\text{L}} = jL\omega \underline{I}_{\text{L}}\). On en déduit \(\underline{Z}_{\text{L}} = \underline{V}_{\text{L}}/\underline{I}_{\text{L}} = jL\omega\). Pour un condensateur, \(i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}\), ce qui devient \(\underline{I}_{\text{C}} = jC\omega \underline{V}_{\text{C}}\), d'où \(\underline{Z}_{\text{C}} = \underline{V}_{\text{C}}/\underline{I}_{\text{C}} = 1/(jC\omega)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un moyen mnémotechnique : la bobine (L) a une impédance "positive" (\(jL\omega\)), elle "élève" la tension en avance sur le courant. Le condensateur (C) a une impédance "négative" (\(-j/C\omega\)), il "abaisse" la tension en retard sur le courant. La résistance est neutre, elle ne déphase rien.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des composants passifs ne sont pas quelconques. Elles suivent des séries de valeurs normalisées (comme la série E12 ou E24, définies dans la norme IEC 60063) pour limiter le nombre de valeurs distinctes à produire et à stocker.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les impédances complexes sont données par :

\[ \underline{Z}_{\text{R}} = R \quad | \quad \underline{Z}_{\text{L}} = jL\omega \quad | \quad \underline{Z}_{\text{C}} = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les composants sont idéaux : la résistance est purement résistive, la bobine purement inductive (pas de résistance interne), et le condensateur purement capacitif (pas de fuites).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance, \(R = 30 \, \text{Ω}\)
  • Inductance, \(L = 40 \, \text{mH} = 40 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • Capacité, \(C = 12.5 \, \mu\text{F} = 12.5 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • Pulsation, \(\omega = 1000 \, \text{rad/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(1/j\) est égal à \(-j\). Mémoriser cette identité (\(1/j = j/j^2 = j/(-1) = -j\)) permet de passer directement de \(1/(jC\omega)\) à \(-j/(C\omega)\) sans avoir à multiplier par le conjugué, ce qui accélère le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Composants et leurs Impédances Attendues
RZ_R = ?LZ_L = ?CZ_C = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Impédance de la résistance :

\[ \underline{Z}_{\text{R}} = 30 \, \text{Ω} \]

2. Impédance de la bobine (réactance inductive) :

\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{\text{L}} &= j \cdot (40 \times 10^{-3} \, \text{H}) \cdot (1000 \, \text{rad/s}) \\ &= j40 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

3. Impédance du condensateur (réactance capacitive) :

\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{\text{C}} &= -\frac{j}{(12.5 \times 10^{-6} \, \text{F}) \cdot (1000 \, \text{rad/s})} \\ &= -\frac{j}{0.0125} \\ &= -j80 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation des Impédances dans le Plan Complexe
ReIm (j)Z_R=30Z_L=j40Z_C=-j80
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons quantifié l'opposition de chaque composant à un signal de 1000 rad/s. La résistance oppose 30 \(\Omega\). La bobine a une réactance de +40 \(\Omega\) (inductive) et le condensateur une réactance de -80 \(\Omega\) (capacitive). On voit déjà que l'effet capacitif est plus important que l'effet inductif à cette fréquence.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est l'oubli des préfixes des unités (milli, micro). Assurez-vous de convertir toutes les valeurs en unités de base (Henry, Farad) avant le calcul pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou 1 000 000.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'impédance d'une résistance est réelle et constante : \(R\).
  • L'impédance d'une bobine est imaginaire positive et proportionnelle à \(\omega\) : \(jL\omega\).
  • L'impédance d'un condensateur est imaginaire négative et inversement proportionnelle à \(\omega\) : \(-j/C\omega\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La peau humaine a un comportement capacitif. C'est cette propriété qui est exploitée dans les écrans tactiles "capacitifs" de nos smartphones. En approchant votre doigt, vous modifiez le champ électrique local, ce qui est détecté comme une variation de capacité par les capteurs de l'écran.

FAQ (pour lever les doutes)
Une impédance peut-elle être négative ?

La partie imaginaire (la réactance) peut être négative, comme pour un condensateur. Cependant, la partie réelle (la résistance) d'un composant passif est toujours positive ou nulle, car un composant passif ne peut que dissiper ou stocker de l'énergie, jamais en fournir.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les impédances sont : \(\underline{Z}_{\text{R}} = 30 \, \text{Ω}\), \(\underline{Z}_{\text{L}} = j40 \, \text{Ω}\) et \(\underline{Z}_{\text{C}} = -j80 \, \text{Ω}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pulsation \(\omega\) était de 2000 rad/s, quelle serait la nouvelle impédance de la bobine \(\underline{Z}_{\text{L}}\) en \(\text{Ω}\) ?

Question 3 : Calculer l'impédance totale équivalente

Principe (le concept physique)

Puisque les trois composants sont en série, le courant qui les traverse est le même. Leurs oppositions individuelles au courant s'additionnent pour former une opposition globale, l'impédance équivalente. Dans le monde complexe, cette addition est une simple addition vectorielle. La partie réelle de \(\underline{Z}_{\text{eq}}\) est la résistance totale, et la partie imaginaire, appelée réactance (\(X\)), représente l'opposition nette des composants réactifs (L et C).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'addition d'impédances en série est une conséquence directe de la loi des mailles de Kirchhoff. La somme des tensions aux bornes de chaque élément est égale à la tension de la source (\(\underline{V}_{\text{R}} + \underline{V}_{\text{L}} + \underline{V}_{\text{C}} = \underline{V}\)). En remplaçant chaque tension par \(\underline{Z} \cdot \underline{I}\), on obtient \(\underline{I}(\underline{Z}_{\text{R}} + \underline{Z}_{\text{L}} + \underline{Z}_{\text{C}}) = \underline{V}\), ce qui montre que l'impédance équivalente est bien la somme des impédances individuelles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Voyez cela comme un "combat" sur l'axe imaginaire entre la bobine qui "pousse" vers le haut (\(+j40\)) et le condensateur qui "tire" vers le bas (\(-j80\)). Le condensateur gagne et le résultat net est une "traction" vers le bas de \(-j40\). La résistance, elle, agit uniquement sur l'axe réel, sans participer à ce combat.

Normes (la référence réglementaire)

Le concept d'impédance équivalente est un fondement de la théorie des circuits. Les théorèmes de Thévenin et de Norton, qui permettent de simplifier des circuits complexes en une source et une impédance équivalente, sont des outils normalisés et universellement utilisés en ingénierie électrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un circuit série :

\[ \underline{Z}_{\text{eq}} = \underline{Z}_{\text{R}} + \underline{Z}_{\text{L}} + \underline{Z}_{\text{C}} = R + j\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les connexions entre les composants sont parfaites (résistance et inductance nulles).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\underline{Z}_{\text{R}} = 30 \, \text{Ω}\)
  • \(\underline{Z}_{\text{L}} = j40 \, \text{Ω}\)
  • \(\underline{Z}_{\text{C}} = -j80 \, \text{Ω}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour additionner des nombres complexes, regroupez simplement les parties réelles ensemble et les parties imaginaires ensemble. C'est une simple addition de coordonnées. Ici : (30) + j(40 - 80).

Schéma (Avant les calculs)
Addition des vecteurs impédance
ReImZ_eq = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On additionne les impédances calculées à la question 2 :

\[ \begin{aligned} \underline{Z}_{\text{eq}} &= 30 + j40 + (-j80) \\ &= 30 + j(40 - 80) \\ &= 30 - j40 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Addition Vectorielle des Impédances
ReIm (j)Z_eq = 30-j40
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'impédance totale a une partie réelle de 30 \(\Omega\) (la résistance) et une partie imaginaire de -40 \(\Omega\). Le signe négatif de la partie imaginaire indique que la réactance capacitive (\(X_{\text{C}} = -80 \, \Omega\)) est plus forte que la réactance inductive (\(X_{\text{L}} = +40 \, \Omega\)) à cette fréquence. Le circuit a donc un comportement globalement **capacitif**. Cela signifie que le courant sera en avance sur la tension.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'additionnez jamais les modules des impédances ! L'impédance totale n'est PAS \(R + L\omega + 1/C\omega\). C'est une addition vectorielle, pas une addition scalaire. L'erreur est fréquente et mène à des résultats complètement faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • En série, les impédances complexes s'additionnent.
  • On additionne les parties réelles et les parties imaginaires séparément.
  • Le signe de la partie imaginaire résultante détermine le caractère global du circuit (inductif si > 0, capacitif si < 0, résistif si = 0).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En transport d'électricité, les longues lignes à haute tension ont un caractère capacitif. Pour compenser cet effet et améliorer le transport de l'énergie, on installe de grosses bobines (inductances de compensation) à des points stratégiques du réseau pour "annuler" l'effet capacitif, un peu comme dans notre exercice.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il à la résonance ?

À la résonance, la pulsation est telle que \(L\omega = 1/C\omega\). Les impédances de la bobine et du condensateur sont alors opposées (\(\underline{Z}_{\text{L}} = -\underline{Z}_{\text{C}}\)) et s'annulent. L'impédance totale devient purement réelle et minimale : \(\underline{Z}_{\text{eq}} = R\). Le courant est alors maximal et en phase avec la tension.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'impédance équivalente du circuit est \(\underline{Z}_{\text{eq}} = 30 - j40 \, \text{Ω}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle devrait être la valeur de L (en mH) pour que le circuit soit à la résonance à \(\omega=1000 \, \text{rad/s}\) ?

Question 4 : Calculer le courant complexe (forme rectangulaire et polaire)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons la tension totale (\(\underline{V}\)) et l'opposition totale au courant (\(\underline{Z}_{\text{eq}}\)), nous pouvons appliquer la loi d'Ohm généralisée pour trouver le courant \(\underline{I}\). Le calcul implique une division de nombres complexes. Le résultat, \(\underline{I}\), sera un phaseur qui nous donnera l'amplitude et la phase du courant dans le circuit. La forme rectangulaire est utile pour les calculs intermédiaires, mais la forme polaire donne une interprétation physique directe : le module est la valeur efficace du courant (ce que mesurerait un ampèremètre) et l'angle est le déphasage par rapport à la tension.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La division de deux nombres complexes \(\underline{A}\) et \(\underline{B}\) est plus simple en notation polaire. Si \(\underline{A} = |\underline{A}|\angle\phi_A\) et \(\underline{B} = |\underline{B}|\angle\phi_B\), alors leur quotient est \(\underline{A}/\underline{B} = (|\underline{A}|/|\underline{B}|) \angle (\phi_A - \phi_B)\). On divise les modules et on soustrait les angles. C'est beaucoup plus rapide que de multiplier par le conjugué.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la loi d'Ohm. Le courant est proportionnel à la tension et inversement proportionnel à l'impédance. C'est logique : plus on "pousse" (tension), plus le courant est grand. Plus ça "résiste" (impédance), plus le courant est faible. L'angle du courant, lui, est "décalé" par l'angle de l'impédance.

Normes (la référence réglementaire)

La représentation polaire (Module∠Phase) est une notation d'ingénieur très commune. Les analyseurs de réseaux vectoriels, des instruments de mesure standards en électronique haute fréquence, donnent directement leurs résultats sous cette forme, car le module et la phase sont les grandeurs physiques les plus pertinentes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi d'Ohm :

\[ \underline{I} = \frac{\underline{V}}{\underline{Z}_{\text{eq}}} \]

Division avec le conjugué :

\[ \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{(c+jd)(c-jd)} = \frac{(ac+bd)+j(bc-ad)}{c^2+d^2} \]

Conversion Polaire : Pour \(\underline{Z} = a+jb\), le module et l'argument sont :

\[ |\underline{Z}| = \sqrt{a^2+b^2} \quad | \quad \arg(\underline{Z}) = \arctan(b/a) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la source de tension est idéale, c'est-à-dire qu'elle peut fournir le courant calculé quelle que soit l'impédance du circuit, sans que sa tension ne s'effondre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Phaseur Tension, \(\underline{V} = 10 \angle \pi/4 \approx 7.07 + j7.07 \, \text{V}\)
  • Impédance équivalente, \(\underline{Z}_{\text{eq}} = 30 - j40 \, \text{Ω}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour ce calcul, la forme polaire est votre meilleure amie. Convertissez d'abord \(\underline{V}\) et \(\underline{Z}_{\text{eq}}\) en polaire. Ensuite, divisez les modules et soustrayez les angles. C'est plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul que la méthode du conjugué, surtout en examen !

Schéma (Avant les calculs)
Division des Phaseurs
VZ_eq=I = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul en forme rectangulaire (avec le conjugué) :

\[ \begin{aligned} \underline{I} &= \frac{7.07 + j7.07}{30 - j40} \\ &= \frac{(7.07 + j7.07)(30 + j40)}{(30 - j40)(30 + j40)} \\ &= \frac{(7.07 \cdot 30 - 7.07 \cdot 40) + j(7.07 \cdot 40 + 7.07 \cdot 30)}{30^2 + 40^2} \\ &= \frac{(212.1 - 282.8) + j(282.8 + 212.1)}{900 + 1600} \\ &= \frac{-70.7 + j494.9}{2500} \\ &\approx -0.028 + j0.198 \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calcul en forme polaire (plus direct) :

\[ \begin{aligned} |\underline{Z}_{\text{eq}}| &= \sqrt{30^2 + (-40)^2} \\ &= \sqrt{900+1600} \\ &= \sqrt{2500} \\ &= 50 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
\[ \arg(\underline{Z}_{\text{eq}}) = \arctan\left(\frac{-40}{30}\right) \approx -53.13^\circ \]
\[ \begin{aligned} |\underline{I}| &= \frac{|\underline{V}|}{|\underline{Z}_{\text{eq}}|} \\ &= \frac{10 \, \text{V}}{50 \, \text{Ω}} \\ &= 0.2 \, \text{A} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \arg(\underline{I}) &= \arg(\underline{V}) - \arg(\underline{Z}_{\text{eq}}) \\ &= 45^\circ - (-53.13^\circ) \\ &= 98.13^\circ \end{aligned} \]

3. Résultat final en polaire :

\[ \underline{I} = 0.2 \angle 98.13^\circ \, \text{A} \]
Schéma (Après les calculs)
Phaseurs de Tension et de Courant
ReImVI53.1°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant a une valeur efficace de 0.2 A. Son angle de +98.13° est en avance sur l'axe de référence. Le déphasage entre la tension (\(\phi_{\text{v}}=45^\circ\)) et le courant (\(\phi_{\text{i}}=98.13^\circ\)) est \(\phi = \phi_{\text{v}} - \phi_{\text{i}} = 45 - 98.13 = -53.13^\circ\). Le signe négatif confirme que le courant est en avance sur la tension, ce qui est cohérent avec un circuit globalement capacitif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Lors de la soustraction des angles, soyez prudent avec les signes. C'est l'angle du numérateur MOINS l'angle du dénominateur. Une erreur de signe ici inversera complètement le déphasage. De plus, assurez-vous de la cohérence des unités (degrés ou radians) sur l'ensemble de votre calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La loi d'Ohm complexe \(\underline{I} = \underline{V} / \underline{Z}_{\text{eq}}\) est la clé du calcul.
  • La forme polaire est la plus pratique pour la division et l'interprétation physique.
  • Le module du courant est le rapport des modules ; l'angle du courant est la différence des angles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le déphasage entre tension et courant est crucial pour les réseaux électriques. Un déphasage important (circuit très inductif ou capacitif) signifie que pour une même puissance utile, le courant doit être plus élevé, ce qui augmente les pertes par effet Joule dans les lignes. C'est pourquoi on cherche à avoir un "facteur de puissance" (\(\cos\phi\)) le plus proche possible de 1.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment retrouver l'expression temporelle i(t) à partir du phaseur ?

C'est l'opération inverse. À partir de \(\underline{I} = 0.2 \angle 98.13^\circ \, \text{A}\), on a \(I_{\text{eff}} = 0.2 \, \text{A}\) et \(\phi_i = 98.13^\circ\). La valeur maximale est \(I_{\text{max}} = I_{\text{eff}} \sqrt{2} = 0.2\sqrt{2} \, \text{A}\). L'expression temporelle est donc \(i(t) = 0.2\sqrt{2} \cos(1000t + 98.13^\circ) \, \text{A}\), en utilisant la même pulsation \(\omega\) que la tension.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le courant complexe est \(\underline{I} \approx -0.028 + j0.198 \, \text{A}\) en forme rectangulaire, et \(\underline{I} = 0.2 \angle 98.13^\circ \, \text{A}\) en forme polaire.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le circuit était à la résonance (\(\underline{Z}_{\text{eq}} = 30 \, \text{Ω}\)), quel serait le module du courant \(|\underline{I}|\) en A ?

Outil Interactif : Réponse en Fréquence du Circuit RLC

Modifiez la fréquence pour observer le phénomène de résonance.

Paramètres d'Entrée
159 Hz
30 Ω
Résultats Clés à cette Fréquence
Module du Courant |I| (A) -
Phase du Courant (°) -
Fréquence de Résonance (Hz) -

Le Saviez-Vous ?

Le phénomène de **résonance** dans les circuits RLC est à la base de la radio. Pour capter une station, on ajuste la capacité d'un condensateur variable dans le circuit d'antenne. Lorsque la fréquence de résonance du circuit \((f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}))\) correspond à la fréquence de la station, le courant à cette fréquence est maximal, amplifiant ce signal spécifique tout en ignorant les autres. C'est exactement ce que fait le simulateur ci-dessus !

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on la valeur efficace et non la valeur maximale dans les phaseurs ?

La valeur efficace (RMS en anglais) est utilisée car elle a une signification physique directe : c'est la valeur d'un courant continu qui dissiperait la même puissance dans une résistance. En utilisant les valeurs efficaces pour la tension et le courant, les formules de puissance (comme \(P = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos\phi\)) deviennent simples et cohérentes avec le courant continu.

Que se passe-t-il si le circuit est "inductif" ?

Si la réactance de la bobine \(X_{\text{L}}\) est supérieure à celle du condensateur \(X_{\text{C}}\), la partie imaginaire de \(\underline{Z}_{\text{eq}}\) est positive. Le circuit est alors dit "inductif". Dans ce cas, le courant sera en retard sur la tension (le déphasage \(\phi = \phi_v - \phi_i\) sera positif).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À la résonance d'un circuit RLC série, l'impédance totale est...

2. Si on double la fréquence d'alimentation, l'impédance de la bobine (\(\underline{Z}_{\text{L}}\))...

Impédance (\(\underline{Z}\))
Nombre complexe représentant l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Son module est le rapport des amplitudes tension/courant, son argument est le déphasage.
Réactance (X)
Partie imaginaire de l'impédance (\(\underline{Z} = R + jX\)). Elle représente l'opposition au courant due aux effets inductifs et capacitifs.
Phaseur
Vecteur (ou nombre complexe) représentant une grandeur sinusoïdale, dont le module est la valeur efficace et l'angle est la phase à l'origine.
Résonance
Phénomène qui se produit à une fréquence spécifique dans un circuit contenant L et C, où les effets de la réactance inductive et capacitive s'annulent. Dans un circuit série, cela conduit à un courant maximal.
Circuit RLC Série : Calcul du Courant Complexe

D’autres exercices de régime sinusoÏdal:

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