Circuits Électriques

Calcul du Gain Complexe d’un Filtre RC Passe-Bas

Exercice : Gain Complexe d'un Filtre RC

Calcul du Gain Complexe d'un Filtre RC Passe-Bas

Contexte : Le Quadripôle en Régime SinusoïdalUn circuit à quatre bornes (deux d'entrée, deux de sortie) analysé avec des signaux sinusoïdaux, où les tensions et courants sont représentés par des nombres complexes..

Les filtres électroniques sont des composants essentiels de quasiment tous les appareils électroniques. Ils permettent de sélectionner ou de rejeter certaines gammes de fréquences d'un signal. Cet exercice se concentre sur l'un des filtres les plus fondamentaux : le filtre passe-bas du premier ordre, réalisé avec une résistance et un condensateur. Nous utiliserons la méthode des impédances complexesGénéralisation de la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal. L'impédance est un nombre complexe qui représente à la fois la résistance et le déphasage introduit par un composant. pour analyser son comportement en fonction de la fréquence.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser la réponse en fréquence d'un circuit simple. C'est une compétence fondamentale pour comprendre le fonctionnement des filtres, des amplificateurs et de nombreux autres systèmes en électronique et en traitement du signal.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser une résistance et un condensateur en régime sinusoïdal à l'aide d'impédances complexes.
  • Appliquer le théorème du diviseur de tension dans le domaine complexe.
  • Déterminer la fonction de transfert (gain complexe) d'un circuit.
  • Calculer le module (gain en amplitude) et l'argument (déphasage) de la fonction de transfert.
  • Identifier et calculer la fréquence de coupure d'un filtre du premier ordre.

Données de l'étude

On étudie le quadripôle ci-dessous, un filtre RC, alimenté par une tension sinusoïdale \(v_e(t)\) de pulsation \(\omega\). La tension de sortie \(v_s(t)\) est mesurée aux bornes du condensateur.

Schéma du Filtre RC Passe-Bas
R C ~ Vₑ Vₛ
Composant Symbole Valeur
Résistance R 1 kΩ
Condensateur C 100 nF

Questions à traiter

  1. Exprimer les impédances complexes \(Z_R\) de la résistance et \(Z_C\) du condensateur en fonction de R, C et de la pulsation \(\omega\).
  2. En utilisant le théorème du pont diviseur de tension, déterminer l'expression de la fonction de transfert (ou gain complexe) \(H(j\omega) = \frac{V_{\text{s}}}{V_{\text{e}}}\).
  3. Mettre la fonction de transfert sous la forme canonique \(H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\). Identifier la valeur du gain statique \(K\) et l'expression de la pulsation de coupure \(\omega_c\).
  4. Calculer la valeur de la fréquence de coupure \(f_c\) en Hertz.
  5. Calculer le gain en décibels (\(G_{\text{dB}}\)) et le déphasage \(\phi\) (en degrés) du filtre lorsque la pulsation du signal d'entrée est égale à la pulsation de coupure (\(\omega = \omega_c\)).

Les bases : Impédances et Diviseur de Tension

Pour analyser un circuit en régime sinusoïdal, on remplace chaque composant par son impédance complexe. Cela transforme les équations différentielles en simples équations algébriques, ce qui facilite grandement les calculs.

1. Impédances Complexes
L'impédance d'un composant, notée Z, est le rapport de la tension complexe à ses bornes sur le courant complexe qui le traverse.

  • Résistance R : \(Z_R = R\)
  • Condensateur C : \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\)
  • Bobine L : \(Z_L = jL\omega\)
Où \(j\) est l'unité imaginaire (\(j^2 = -1\)) et \(\omega\) est la pulsation en rad/s.

2. Pont Diviseur de Tension
Pour deux impédances \(Z_1\) et \(Z_2\) en série, la tension \(V_{\text{s}}\) aux bornes de \(Z_2\) est donnée par la formule : \[ V_{\text{s}} = V_{\text{e}} \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \] Cette formule est la clé pour trouver la fonction de transfert de nombreux filtres.

Correction : Calcul du Gain Complexe d'un Filtre RC Passe-Bas

Question 1 : Expression des impédances complexes

Principe (le concept physique)

La première étape de toute analyse de circuit en régime sinusoïdal est de "traduire" chaque composant physique en son équivalent mathématique dans le monde complexe : son impédance, qui représente l'opposition du composant au passage d'un courant alternatif.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédance de la résistance

\[ Z_R = R \]

Impédance du condensateur

\[ Z_C = \frac{1}{jC\omega} \]
Application des formules

Il s'agit d'une application directe des formules. Il n'y a pas de calcul numérique à ce stade, seulement une écriture formelle.

  • Pour la résistance : L'impédance est simplement sa valeur ohmique, un nombre réel pur. \(Z_R = R\).
  • Pour le condensateur : L'impédance est un nombre imaginaire pur, inversement proportionnel à la fréquence. \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\).
Schéma du modèle à impédances
ZRZC~VₑVₛ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On remarque que l'impédance du condensateur dépend de la fréquence. Si \(\omega \to 0\) (basse fréquence), \(|Z_C| \to \infty\) : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert. Si \(\omega \to \infty\) (haute fréquence), \(|Z_C| \to 0\) : il se comporte comme un court-circuit. C'est ce comportement qui est à l'origine de l'effet de filtrage.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse :

  • Résistance \(\rightarrow\) Impédance réelle : \(Z_R = R\)
  • Condensateur \(\rightarrow\) Impédance imaginaire : \(Z_C = 1/(jC\omega)\)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les impédances complexes sont : \(Z_R = R\) et \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\).

Question 2 : Détermination de la fonction de transfert \(H(j\omega)\)

Principe (le concept physique)

Le circuit est une simple mise en série de la résistance R et du condensateur C. La tension de sortie est prise aux bornes du condensateur. C'est la configuration parfaite pour appliquer la formule du pont diviseur de tension, qui répartit la tension d'entrée entre les deux composants.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fonction de transfert \(H(j\omega)\) est un outil puissant qui décrit entièrement comment un circuit linéaire modifie l'amplitude et la phase d'un signal sinusoïdal à n'importe quelle fréquence. C'est la "carte d'identité" fréquentielle du circuit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le pont diviseur de tension est l'un des schémas de base les plus importants en électronique. Savoir le reconnaître et l'appliquer instantanément, même avec des impédances complexes, vous fera gagner un temps précieux.

Normes (la référence réglementaire)

Le terme "Fonction de Transfert" et sa notation \(H(s)\) ou \(H(j\omega)\) sont des conventions issues de la théorie du contrôle et de l'automatique, standardisées pour décrire le comportement des systèmes dynamiques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du diviseur de tension

\[ H(j\omega) = \frac{V_{\text{s}}}{V_{\text{e}}} = \frac{Z_{\text{sortie}}}{Z_{\text{total}}} = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous faisons l'hypothèse cruciale que le circuit de sortie ne "charge" pas le filtre, c'est-à-dire qu'aucun courant n'est prélevé à la sortie (\(i_s = 0\)). Cela signifie que l'impédance connectée à la sortie est considérée comme infinie.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les expressions des impédances \(Z_R\) et \(Z_C\) déterminées à la question précédente :

  • \(Z_R = R\)
  • \(Z_C = \frac{1}{jC\omega}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour simplifier une fraction complexe de type \(\frac{A/B}{C + A/B}\), multipliez directement le numérateur et le dénominateur par B. Ici, en multipliant par \(jC\omega\), on élimine immédiatement les fractions internes.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec Impédances Complexes
ZRZC~VₑVₛ
Calcul(s) (l'application numérique)

Application du diviseur de tension

\[ \begin{aligned} H(j\omega) &= \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} \\ &= \frac{\frac{1}{jC\omega}}{\frac{jRC\omega + 1}{jC\omega}} \\ &= \frac{1}{1 + jRC\omega} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Modèle en Boîte Noire
Ve(jω)H(jω)Vs(jω)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La forme \(\frac{1}{1 + j...}\) est typique d'un filtre passe-bas. En basse fréquence (\(\omega \to 0\)), le terme en \(j\) disparaît, \(H(0) = 1\). Le signal passe. En haute fréquence (\(\omega \to \infty\)), le dénominateur devient très grand, \(H(\infty) \to 0\). Le signal est bloqué.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune ici est de se tromper dans la simplification de la fraction complexe. Il est recommandé de mettre le dénominateur au même niveau (ici, \(jC\omega\)) avant de simplifier.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse : Le diviseur de tension s'applique aux impédances. Pour un filtre RC avec sortie sur C, la fonction de transfert est \(H(j\omega) = \frac{Z_C}{Z_R+Z_C}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de fonction de transfert a été développé dans les années 1930 aux Bell Labs par des ingénieurs comme Hendrik Bode et Harry Nyquist pour concevoir des amplificateurs stables pour les lignes téléphoniques transcontinentales.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser le diviseur de tension si la sortie est connectée à un autre circuit ?

Oui, mais il faut être prudent. Il faut alors remplacer \(Z_C\) par l'impédance équivalente de \(Z_C\) en parallèle avec l'impédance d'entrée du circuit suivant. L'hypothèse de sortie non chargée simplifie grandement le calcul initial.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fonction de transfert du circuit est : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Quelle serait la fonction de transfert si on prenait la tension de sortie aux bornes de la résistance (filtre passe-haut) ?
Réponse : \(H(j\omega) = \frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\)

Question 3 : Mise en forme canonique et identification

Principe (le concept physique)

La forme canonique est une manière standardisée d'écrire les fonctions de transfert. Pour un système du premier ordre, elle permet d'identifier immédiatement des paramètres physiques clés comme le gain en régime continu (statique) et la pulsation de coupure, qui délimite la bande passante du filtre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La pulsation de coupure \(\omega_c\) est définie comme la pulsation pour laquelle le gain en puissance est divisé par 2. Pour un système du premier ordre, cela coïncide avec la pulsation où la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur de la fonction de transfert sont égales.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Savoir mettre une fonction de transfert sous forme canonique est une compétence essentielle. Cela vous permet de comparer différents circuits et de prédire leur comportement sans refaire tous les calculs, simplement en analysant la forme de l'équation.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation de formes canoniques est une convention universelle en ingénierie des systèmes et en automatique pour classifier et analyser les systèmes linéaires temps invariants (LTI).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Forme canonique passe-bas du 1er ordre

\[ H(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le système est linéaire et invariant dans le temps (LTI), ce qui est le cas pour un circuit composé de résistances et de condensateurs idéaux. Cette hypothèse garantit que la représentation par fonction de transfert est valide.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On part de la fonction de transfert trouvée à la question 2 : \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + jRC\omega}\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour trouver la pulsation de coupure \(\omega_c\), il suffit d'isoler le terme \(j\omega\) au dénominateur et de le mettre sous la forme \(j\frac{\omega}{\omega_c}\). Le \(\omega_c\) apparaît alors naturellement.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle en Boîte Noire avec l'expression initiale
Ve(jω)H(jω)Vs(jω)
Calcul(s) (l'application numérique)

Comparaison avec la forme canonique

\[ \frac{1}{1 + jRC\omega} = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]

Par identification directe :

  • Le numérateur nous donne le gain statique (gain lorsque \(\omega \to 0\)) : \(K=1\).
  • Le terme en \(j\omega\) au dénominateur nous donne la pulsation de coupure : \(jRC\omega = j\frac{\omega}{\omega_c} \Rightarrow \frac{1}{\omega_c} = RC \Rightarrow \omega_c = \frac{1}{RC}\).
Schéma (Après les calculs)
Modèle en Boîte Noire avec la forme canonique
Ve(jω)H(jω)Vs(jω)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un gain statique \(K=1\) (soit 0 dB) signifie qu'à très basse fréquence, le filtre laisse passer le signal sans l'atténuer (\(V_s \approx V_e\)). La pulsation de coupure \(\omega_c\) est la pulsation pour laquelle la partie réelle et la partie imaginaire du dénominateur sont égales. C'est un point de bascule dans le comportement du filtre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la pulsation de coupure \(\omega_c\) (en rad/s) avec la fréquence de coupure \(f_c\) (en Hz). De même, ne pas confondre la constante de temps du circuit \(\tau = RC\) avec la pulsation de coupure. Elles sont liées par \(\omega_c = 1/\tau\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse : Pour un filtre RC passe-bas, la forme canonique révèle immédiatement :

  • Gain statique \(K=1\) (pas d'amplification en continu).
  • Pulsation de coupure \(\omega_c = 1/RC\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le terme "canonique" vient du grec "kanon", qui signifie "règle" ou "standard". En mathématiques et en ingénierie, il désigne une forme unique et standardisée choisie pour représenter un objet ou une équation.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie physiquement le "gain statique" ?

C'est le gain du filtre pour un signal de fréquence nulle, c'est-à-dire un signal continu (DC). Pour ce filtre, un gain de 1 signifie qu'une tension continue en entrée se retrouvera intégralement en sortie après que le condensateur se soit chargé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le gain statique est \(K=1\) et la pulsation de coupure est \(\omega_c = \frac{1}{RC}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Soit \(H(j\omega) = \frac{10}{2+j0.01\omega}\). Mettez-la sous forme canonique et identifiez K et \(\omega_c\).
Réponse : \(H(j\omega) = \frac{5}{1+j\frac{\omega}{200}}\). Donc K=5 et \(\omega_c=200\) rad/s.

Question 4 : Calcul de la fréquence de coupure \(f_c\)

Principe (le concept physique)

La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est une notion mathématique pratique pour les calculs, mais la fréquence \(f\) (en Hertz) est une grandeur physique plus intuitive, qui correspond au nombre de cycles par seconde. Il est essentiel de savoir passer de l'une à l'autre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un tour complet d'un cercle correspond à \(2\pi\) radians. Un cycle complet d'une onde sinusoïdale correspond donc à une évolution de phase de \(2\pi\) radians. Comme la fréquence \(f\) est le nombre de cycles par seconde, la pulsation \(\omega\), qui est la "vitesse de phase" en radians par seconde, est logiquement \(\omega = 2\pi \times f\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

En pratique, les ingénieurs et techniciens parlent presque toujours en Hertz (Hz), car c'est ce que mesurent les appareils de laboratoire comme les oscilloscopes et les analyseurs de spectre. Gardez toujours à l'esprit la conversion \(\omega = 2\pi f\).

Normes (la référence réglementaire)

Le Hertz (Hz), défini comme un cycle par seconde, est une unité dérivée du Système International (SI). Elle est nommée en l'honneur du physicien allemand Heinrich Hertz.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la fréquence de coupure

\[ f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1}{2\pi RC} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les valeurs des composants R et C données dans l'énoncé sont précises et stables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les valeurs numériques de l'énoncé, en les convertissant aux unités de base du SI (Ohm, Farad).

ParamètreSymboleValeurUnité SI
RésistanceR1 kΩ\(1 \times 10^3\) Ω
CondensateurC100 nF\(100 \times 10^{-9}\) F
Astuces (Pour aller plus vite)

Le produit RC est la "constante de temps" \(\tau\) du circuit. Ici, \(1 \, \text{k}\Omega \times 100 \, \text{nF} = 10^3 \times 100 \times 10^{-9} = 10^{-4} \, \text{s}\). Vous pouvez alors calculer \(f_c = 1/(2\pi\tau)\), ce qui simplifie parfois les calculs intermédiaires.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit avec valeurs numériques
1kΩ100nF~VₑVₛ
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la fréquence de coupure

\[ \begin{aligned} f_c &= \frac{1}{2\pi \times (1 \times 10^3 \, \text{Ω}) \times (100 \times 10^{-9} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \\ &\approx 1591.5 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position de \(f_c\) sur le diagramme de gain
0 dB-3 dBfc ≈ 1592 Hzf (Hz)G (dB)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette fréquence de 1592 Hz représente la "frontière" du filtre. Les fréquences bien en dessous de 1.6 kHz passeront presque sans atténuation, tandis que les fréquences bien au-dessus seront de plus en plus atténuées. C'est la bande passante du filtre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux préfixes des unités ! Une erreur entre nF (nano, \(10^{-9}\)), µF (micro, \(10^{-6}\)) ou pF (pico, \(10^{-12}\)) est très fréquente et change radicalement le résultat. Convertissez toujours tout dans les unités de base (Farad, Ohm, Henry) avant le calcul final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse : La fréquence de coupure en Hertz se déduit de la pulsation de coupure par la relation fondamentale \(f_c = \omega_c / (2\pi)\). Pour le filtre RC, cela donne la formule clé : \(f_c = 1/(2\pi RC)\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "fréquence de coupure" est utilisé dans de nombreux domaines au-delà de l'électronique, comme en acoustique pour caractériser des enceintes, en optique pour des filtres de couleur, ou en traitement d'images pour lisser ou accentuer des détails.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi est-ce appelé "coupure" si le signal n'est pas totalement bloqué ?

Le terme est historique. Il ne désigne pas une coupure nette, mais plutôt le début de la zone d'atténuation significative. Le point à -3dB a été choisi comme convention car il correspond à une division de la puissance du signal par deux, ce qui est une étape significative.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fréquence de coupure du filtre est d'environ 1592 Hz.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si la capacité était de 220 nF, quelle serait la nouvelle fréquence de coupure ?

Question 5 : Gain et déphasage à la fréquence de coupure

Principe (le concept physique)

La fréquence de coupure n'est pas une fréquence où le signal est "coupé", mais un point de référence très précis. Par définition, c'est la fréquence pour laquelle la puissance du signal de sortie est divisée par deux, ce qui correspond à une atténuation de l'amplitude de 3 dB et à un déphasage spécifique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module d'un nombre complexe \(z=a+jb\) est \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Son argument est \(\arg(z)=\arctan(b/a)\). Pour un quotient de nombres complexes, les modules se divisent et les arguments se soustraient : \(|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) et \(\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Les valeurs de -3 dB et -45° sont les "signatures" d'un filtre passe-bas du premier ordre à sa fréquence de coupure. Mémorisez ces valeurs : si vous les retrouvez dans un exercice, vous saurez immédiatement que vous êtes à \(f_c\) pour un système du premier ordre.

Normes (la référence réglementaire)

L'échelle en décibels (dB) pour le gain est une convention universelle en électronique, acoustique et télécommunications. Elle est définie par des standards internationaux comme ceux de l'Union Internationale des Télécommunications (UIT).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du gain en décibels

\[ G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|) \]

Formule du déphasage

\[ \phi = \arg(H(j\omega)) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les formules de calcul du module et de l'argument des nombres complexes sont utilisées. Le logarithme pour le calcul en dB est le logarithme en base 10.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On part de l'expression de la fonction de transfert et on y remplace \(\omega\) par \(\omega_c\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Savoir que \(|1+j| = \sqrt{2}\) est un réflexe à acquérir. Cela accélère beaucoup de calculs en électronique. De même, \(\arctan(1) = 45^\circ\) ou \(\pi/4\) radians.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation de \(1+j\) dans le plan complexe
ReIm1+j1j45°
Calcul(s) (l'application numérique)

Évaluation de la fonction de transfert à \(\omega = \omega_c\)

\[ H(j\omega_c) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega_c}{\omega_c}} = \frac{1}{1+j} \]

Calcul du module \(|H(j\omega_c)|\)

\[ \begin{aligned} |H(j\omega_c)| &= \left|\frac{1}{1+j}\right| \\ &= \frac{|1|}{|1+j|} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\approx 0.707 \end{aligned} \]

Conversion du gain en décibels (dB)

\[ \begin{aligned} G_{\text{dB}} &= 20 \log_{10}(|H(j\omega_c)|) \\ &= 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &\approx -3.01 \, \text{dB} \end{aligned} \]

Calcul de l'argument (déphasage) \(\phi\)

\[ \begin{aligned} \phi &= \arg(H(j\omega_c)) \\ &= \arg(1) - \arg(1+j) \\ &= 0^\circ - \arctan\left(\frac{1}{1}\right) \\ &= - \arctan(1) \\ &= -45^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode complet du filtre
f (Hz)G (dB)φ (°)0-3-200-45-90fc
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À la fréquence de coupure, le signal de sortie n'est pas seulement atténué (son amplitude est 70.7% de celle de l'entrée), il est aussi en retard de phase d'un huitième de période (45° est 1/8 de 360°) par rapport au signal d'entrée. Ces deux effets sont indissociables.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" si vous voulez un résultat en degrés pour l'arctangente. Une erreur fréquente est de mélanger radians et degrés. De plus, n'oubliez pas le signe "moins" pour le déphasage, car \(\arg(1/z) = -\arg(z)\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Synthèse : À la fréquence de coupure \(f_c\), un filtre passe-bas du premier ordre a toujours :

  • Un gain de \(|H| = 1/\sqrt{2} \approx 0.707\).
  • Un gain en décibels de \(G_{\text{dB}} \approx -3 \text{ dB}\).
  • Un déphasage de \(\phi = -45^\circ\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'échelle des décibels est logarithmique car l'oreille humaine perçoit les niveaux sonores de manière logarithmique. Un doublement de la puissance sonore (+3 dB) est perçu comme une légère augmentation, alors qu'il faut dix fois plus de puissance (+10 dB) pour que le son paraisse "deux fois plus fort".

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(20 \log_{10}\) et non \(10 \log_{10}\) ?

Le décibel est fondamentalement un rapport de puissances (\(10 \log_{10}(P_s/P_e)\)). Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension (\(P \propto V^2\)), le rapport de puissance devient \(10 \log_{10}((V_s/V_e)^2)\), ce qui, par propriété des logarithmes, est égal à \(20 \log_{10}(V_s/V_e)\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
À la fréquence de coupure, le gain est de -3 dB et le déphasage est de -45°.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Quel serait approximativement le gain en dB et le déphasage à une fréquence 10 fois supérieure à la fréquence de coupure (\(f = 10 f_c\)) ?
Réponse : Gain \(\approx -20\) dB, Déphasage \(\approx -90^\circ\).

Outil Interactif : Simulateur de Filtre RC

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de la résistance et du condensateur. Observez en temps réel comment la fréquence de coupure et la courbe de réponse du filtre (diagramme de Bode) sont affectées.

Paramètres d'Entrée
1000 Ω
100 nF
Résultats Clés
Fréquence de coupure (fₙ) - Hz

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À très haute fréquence, comment se comporte un condensateur dans ce circuit ?

2. Quel est le déphasage (phase de Vₛ par rapport à Vₑ) d'un filtre RC passe-bas à sa fréquence de coupure ?

3. Si l'on double la valeur de la résistance R et que l'on divise par deux la valeur de la capacité C, que devient la fréquence de coupure fₙ ?

4. Quelle est la valeur du gain en décibels d'un filtre passe-bas idéal pour une fréquence nulle (continue) ?

5. Pour les hautes fréquences (f >> fₙ), la pente d'atténuation du gain de ce filtre est de :

Glossaire

Gain Complexe (ou Fonction de Transfert)
Rapport entre le signal de sortie complexe et le signal d'entrée complexe, noté \(H(j\omega)\). Il contient des informations sur l'amplification/atténuation (module) et sur le déphasage (argument).
Impédance Complexe
Généralisation de la résistance pour les circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe \(Z = R + jX\), où R est la résistance et X la réactance.
Quadripôle
Un circuit électrique avec quatre bornes : deux pour l'entrée et deux pour la sortie. Un filtre est un exemple de quadripôle.
Fréquence de coupure (\(f_c\))
Fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie est la moitié de celle du signal d'entrée. Pour un filtre du premier ordre, cela correspond à une atténuation de l'amplitude de 3 dB.
Décibel (dB)
Unité logarithmique utilisée pour exprimer un rapport, comme le gain. Pour un gain en tension G, le gain en dB est calculé par \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(G)\).
Exercice : Gain Complexe d'un Filtre RC Passe-Bas

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