Calcul d'une Thermistance CTN
Contexte : Le fonctionnement de la thermistance CTNUn composant électronique dont la résistance diminue de manière prévisible lorsque la température augmente. CTN signifie "Coefficient de Température Négatif"..
Les thermistances sont des composants électroniques fondamentaux utilisés comme capteurs de température. Leur particularité est que leur résistance électrique varie de manière significative avec la température. Cet exercice se concentre sur les thermistances de type CTN (Coefficient de Température Négatif), les plus courantes, pour lesquelles la résistance diminue lorsque la température augmente. Nous allons explorer la relation mathématique qui lie ces deux grandeurs et l'appliquer dans un circuit simple de mesure.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser le comportement d'un capteur non linéaire et à utiliser l'équation de Steinhart-Hart (modèle simplifié β) pour effectuer des conversions entre résistance et température, une compétence essentielle en instrumentation et en électronique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation inverse entre température et résistance pour une thermistance CTN.
- Appliquer l'équation du modèle Bêta pour calculer une résistance à une température donnée.
- Utiliser l'équation inverse pour déterminer la température à partir d'une mesure de résistance.
- Analyser le fonctionnement d'un pont diviseur de tensionUn circuit électronique simple qui transforme une tension élevée en une tension plus faible en utilisant une paire de résistances en série. comme circuit de conditionnement simple pour un capteur résistif.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Thermistance
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance à 25 °C | \( R_{25} \) | 10 kΩ |
| Coefficient Bêta | \( \beta \) | 3950 K |
Circuit de mesure (Pont Diviseur de Tension)
Questions à traiter
- Calculer la résistance de la thermistance \( R_T \) à une température de 0 °C.
- Calculer la résistance de la thermistance \( R_T \) à une température de 100 °C.
- On mesure une résistance de 22 kΩ. Quelle est la température correspondante en degrés Celsius ?
- Comparer la variation de résistance pour un changement de 1°C autour de 0°C et autour de 100°C. Que peut-on en conclure sur la sensibilité du capteur ?
- Si la résistance fixe \(R_f\) est de 10 kΩ, quelle est la tension de sortie \(V_{\text{out}}\) à 25 °C ?
Les bases sur les Thermistances CTN
La relation entre la résistance et la température d'une thermistance CTN est fortement non linéaire. Elle est souvent modélisée par une équation simplifiée, mais suffisamment précise pour de nombreuses applications, appelée l'équation du modèle Bêta.
1. Équation du Modèle Bêta
Cette équation permet de calculer la résistance \( R(T) \) à une température absolue \( T \) (en Kelvin) à partir d'une résistance de référence \( R_{\text{ref}} \) connue à une température de référence \( T_{\text{ref}} \) (en Kelvin).
\[ R(T) = R_{\text{ref}} \cdot e^{\beta \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{\text{ref}}} \right)} \]
Où \( \beta \) est une constante du matériau, exprimée en Kelvin (K).
2. Équation Inverse (Calcul de Température)
Pour trouver la température à partir d'une mesure de résistance, on peut inverser l'équation précédente :
\[ T = \left( \frac{1}{T_{\text{ref}}} + \frac{1}{\beta} \ln\left(\frac{R(T)}{R_{\text{ref}}}\right) \right)^{-1} \]
Le résultat \( T \) est obtenu en Kelvin.
Correction : Calcul d'une Thermistance CTN
Question 1 : Calculer la résistance à 0 °C.
Principe
L'objectif est d'appliquer la formule du modèle Bêta pour trouver la valeur de la résistance à une nouvelle température (0 °C), en utilisant les valeurs de référence connues (10 kΩ à 25 °C).
Mini-Cours
Le comportement des semi-conducteurs, qui constituent les thermistances, est régi par la physique statistique. L'agitation thermique (température) fournit de l'énergie aux électrons, leur permettant de passer de la bande de valence à la bande de conduction, ce qui augmente le nombre de porteurs de charge et diminue donc la résistance. L'équation du modèle Bêta est une simplification de cette relation physique complexe.
Remarque Pédagogique
Abordez toujours ce type de problème en deux temps : d'abord, la conversion de toutes les unités dans un système cohérent (le Système International, avec les Kelvin), puis l'application numérique de la formule. Cette rigueur évite 90% des erreurs.
Normes
Pour ce type de calcul en électronique fondamentale, nous nous basons sur les lois physiques établies (ici, le modèle de Steinhart-Hart simplifié) et les données fournies par les fiches techniques (datasheets) des fabricants, plutôt que sur des normes de construction spécifiques.
Formule(s)
Conversion de température
Équation du modèle Bêta
Hypothèses
Pour simplifier le calcul, nous posons certaines hypothèses.
- Le coefficient \(\beta\) est considéré constant sur la plage de température étudiée.
- L'auto-échauffement de la thermistance dû au courant qui la traverse est négligeable.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température de référence | \(T_{\text{ref}}\) | 25 | °C |
| Résistance de référence | \(R_{\text{ref}}\) | 10 | kΩ |
| Coefficient Bêta | \(\beta\) | 3950 | K |
| Température de calcul | \(T\) | 0 | °C |
Astuces
Avant de calculer, anticipez le résultat : comme la température (0°C) est inférieure à la température de référence (25°C), la résistance d'une CTN doit être supérieure à la résistance de référence (10 kΩ). Cela vous donne un contrôle de cohérence rapide sur votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Courbe caractéristique d'une CTN
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la température de référence
Étape 2 : Conversion de la température de calcul
Étape 3 : Calcul de la résistance
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement calculé
Réflexions
Le résultat de 33.6 kΩ est plus de trois fois supérieur à la résistance à 25°C. Cela illustre la forte non-linéarité et la grande sensibilité de ce type de capteur, en particulier aux basses températures.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les températures de degrés Celsius (°C) en Kelvin (K) avant de les utiliser dans la formule. La physique sous-jacente repose sur des échelles de température absolues.
Points à retenir
De cette question, il faut maîtriser :
- La conversion indispensable des températures en Kelvin.
- L'application correcte de la formule de Steinhart-Hart (modèle β).
- L'interprétation du résultat : pour une CTN, une température basse implique une résistance élevée.
Le saviez-vous ?
La première thermistance a été découverte en 1833 par Michael Faraday, qui a remarqué que la résistance du sulfure d'argent diminuait avec la chaleur. Ce n'est que dans les années 1930 que des thermistances commercialement viables ont été développées.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez la résistance si la température était de 10°C.
Question 2 : Calculer la résistance à 100 °C.
Principe
La méthode est identique à la question 1, mais avec une température cible plus élevée. On s'attend à ce que la résistance soit bien plus faible, conformément au principe d'une CTN.
Mini-Cours
À haute température, l'agitation thermique est si importante que de très nombreux électrons sont promus dans la bande de conduction. Cette abondance de porteurs de charge rend le matériau très conducteur, d'où la très faible résistance observée.
Remarque Pédagogique
Faites attention au signe négatif qui va apparaître dans l'exponentielle. Une température T > T_ref implique que (1/T) < (1/T_ref), et donc l'exposant sera négatif, ce qui conduit bien à une division et donc une diminution de la résistance.
Normes
Les fiches techniques des fabricants spécifient souvent une "température maximale d'opération". Utiliser une thermistance au-delà de cette température (par ex. 125°C ou 150°C) peut l'endommager de façon permanente et altérer ses caractéristiques.
Formule(s)
Équation du modèle Bêta
Hypothèses
On garde les mêmes hypothèses : \(\beta\) est constant et l'auto-échauffement est négligé.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température de référence | \(T_{\text{ref}}\) | 25 | °C |
| Résistance de référence | \(R_{\text{ref}}\) | 10 | kΩ |
| Coefficient Bêta | \(\beta\) | 3950 | K |
| Température de calcul | \(T\) | 100 | °C |
Astuces
Puisque la température augmente fortement (de 25°C à 100°C), attendez-vous à une chute de résistance spectaculaire. Le résultat devrait être très inférieur à 10 kΩ.
Schéma (Avant les calculs)
Courbe caractéristique d'une CTN
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la température de calcul
Étape 2 : Calcul de la résistance
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement calculé
Réflexions
La résistance a été divisée par plus de 14 en passant de 25°C à 100°C. Cette forte variation rend les thermistances très utiles pour détecter des surchauffes.
Points de vigilance
Ne soyez pas surpris par une valeur de résistance très faible. C'est le comportement normal d'une CTN à haute température.
Points à retenir
À retenir :
- Le calcul est identique à celui des basses températures.
- Le signe de l'exposant devient négatif, entraînant une diminution de la résistance.
- La non-linéarité est toujours présente.
Le saviez-vous ?
Les thermistances ne servent pas qu'à mesurer. Elles sont aussi utilisées comme limiteurs de courant d'appel. Froide au démarrage (résistance élevée), elle limite le courant, puis s'échauffe, sa résistance chute et laisse passer le courant nominal. On les trouve dans les alimentations à découpage.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, calculez la résistance si la température était de 80°C.
Question 3 : Trouver la température pour R = 22 kΩ.
Principe
Il s'agit maintenant d'utiliser l'équation inverse pour trouver la température à partir d'une valeur de résistance connue. Le résultat sera en Kelvin et devra être reconverti en Celsius.
Mini-Cours
L'inversion de la formule repose sur la fonction mathématique du logarithme népérien (ln), qui est la fonction réciproque de l'exponentielle. C'est une technique mathématique fondamentale pour résoudre les équations où l'inconnue est en exposant.
Remarque Pédagogique
Soyez méthodique dans le calcul en isolant le terme de température. Calculez d'abord le rapport des résistances, puis son logarithme, avant de l'injecter dans le reste de l'équation. La gestion des parenthèses sur la calculatrice est cruciale.
Normes
Les systèmes de contrôle industriels (automates, etc.) qui lisent des capteurs comme les thermistances ont souvent des blocs de fonction préprogrammés qui effectuent ce calcul d'inversion pour afficher directement une température.
Formule(s)
Équation inverse du modèle Bêta
Conversion de température
Hypothèses
On suppose que la mesure de résistance (22 kΩ) est précise et ne contient pas de bruit de mesure.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température de référence | \(T_{\text{ref}}\) | 25 | °C |
| Résistance de référence | \(R_{\text{ref}}\) | 10 | kΩ |
| Coefficient Bêta | \(\beta\) | 3950 | K |
| Résistance mesurée | \(R(T)\) | 22 | kΩ |
Astuces
La résistance mesurée (22 kΩ) est supérieure à la résistance de référence (10 kΩ). On s'attend donc à trouver une température inférieure à la température de référence (25°C).
Schéma (Avant les calculs)
Inversion de la caractéristique
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la température en Kelvin
Étape 2 : Conversion en degrés Celsius
Schéma (Après les calculs)
Point de fonctionnement trouvé par inversion
Réflexions
Ce calcul est celui que doit effectuer un microcontrôleur ou un ordinateur lorsqu'il lit la valeur d'un capteur de température à thermistance pour afficher une valeur compréhensible par l'utilisateur.
Points de vigilance
Attention à l'ordre des termes dans la formule et à la manipulation du logarithme. Une erreur fréquente est de mal utiliser la fonction \(x^{-1}\) (ou 1/x) à la fin du calcul.
Points à retenir
À retenir :
- La formule inverse utilise le logarithme népérien.
- Le calcul fournit une température absolue en Kelvin, qu'il faut ensuite convertir.
- La logique (haute résistance -> basse température) doit être utilisée pour vérifier la plausibilité du résultat.
Le saviez-vous ?
Les thermistances sont si sensibles qu'elles sont utilisées dans des micro-bolomètres pour l'imagerie thermique (caméras infrarouges). Chaque pixel de l'image est une minuscule thermistance qui chauffe en absorbant les rayonnements infrarouges, permettant de "voir" la chaleur.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la température si vous mesuriez une résistance de 15 kΩ ?
Question 4 : Comparer la sensibilité du capteur.
Principe
La sensibilité d'un capteur est la variation de sa sortie (ici la résistance) pour une variation de son entrée (la température). Nous allons calculer la variation de résistance sur 1°C à deux points différents (autour de 0°C et de 100°C) pour voir si la sensibilité est constante.
Mini-Cours
Mathématiquement, la sensibilité est la dérivée de la fonction de sortie par rapport à l'entrée : \(S = \frac{dR}{dT}\). Pour une fonction non linéaire comme celle de la thermistance, cette dérivée n'est pas constante, mais dépend elle-même de la température T. C'est pourquoi la sensibilité varie sur la plage de mesure.
Remarque Pédagogique
Ce concept de sensibilité variable est crucial. Il signifie que le "pas" de mesure n'est pas le même partout. Une variation de 0.1V peut signifier un changement de 0.5°C à une température, et de 5°C à une autre. Cela a des implications majeures dans la conception de systèmes de mesure précis.
Normes
Les normes de métrologie et d'instrumentation (comme celles de l'ISO) définissent précisément des termes comme la sensibilité, la résolution, la justesse et la fidélité d'un capteur.
Formule(s)
Approximation de la sensibilité
Hypothèses
On fait l'approximation que la sensibilité est à peu près constante sur l'intervalle de 1°C choisi, ce qui est une hypothèse raisonnable pour ce calcul.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température de référence | \(T_{\text{ref}}\) | 25 | °C |
| Résistance de référence | \(R_{\text{ref}}\) | 10 | kΩ |
| Coefficient Bêta | \(\beta\) | 3950 | K |
Astuces
Visualisez la courbe caractéristique : là où la pente est forte (basses températures), la sensibilité est élevée. Là où la courbe est presque plate (hautes températures), la sensibilité est faible.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des pentes de la courbe
Calcul(s)
Calcul de la résistance à 1°C
Calcul de la sensibilité autour de 0°C
Calcul de la résistance à 101°C
Calcul de la sensibilité autour de 100°C
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des sensibilités
Réflexions
La variation de résistance pour 1°C est beaucoup plus grande à basse température (1790 Ω/°C) qu'à haute température (30 Ω/°C). Cela signifie que le capteur est beaucoup plus sensible et précis pour mesurer des températures froides que des températures chaudes. C'est une caractéristique clé des thermistances CTN.
Points de vigilance
Ne jamais supposer qu'un capteur non-linéaire a la même précision sur toute sa plage de mesure. La sensibilité doit être évaluée au point de fonctionnement.
Points à retenir
À retenir :
- La sensibilité d'une CTN est non-constante.
- Elle est maximale aux basses températures et minimale aux hautes températures.
- Cela influence directement la précision de la mesure.
Le saviez-vous ?
Pour "linéariser" la réponse d'une thermistance, on peut la placer dans un circuit plus complexe avec d'autres résistances en parallèle et en série. Cela permet d'obtenir une tension de sortie qui varie de manière plus linéaire avec la température sur une plage restreinte, simplifiant le traitement par un microcontrôleur.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est, approximativement, la sensibilité (en kΩ/°C) autour de la température de référence de 25°C ?
Question 5 : Calculer V_out à 25 °C.
Principe
Cette question combine la connaissance de la thermistance avec la loi du pont diviseur de tension. À 25 °C, la résistance de la thermistance est connue (c'est la valeur de référence). On peut donc calculer directement la tension de sortie.
Mini-Cours
Un pont diviseur de tension est un circuit fondamental en électronique. Pour deux résistances R1 (en haut) et R2 (en bas), la tension au point milieu est \(V_{\text{out}} = V_{\text{in}} \cdot \frac{R2}{R1+R2}\). Il transforme un signal résistif (la valeur de R2) en signal de tension, facilement mesurable par un voltmètre ou un convertisseur analogique-numérique (CAN).
Remarque Pédagogique
Le choix de la résistance fixe \(R_f\) est important. En la choisissant égale à la résistance de la thermistance au centre de la plage de mesure souhaitée (ici, 10 kΩ à 25°C), on maximise la variation de la tension de sortie autour de ce point, ce qui optimise la sensibilité de la mesure.
Normes
Les entrées analogiques des microcontrôleurs (comme Arduino) sont conçues pour lire des tensions, typiquement entre 0 et 5V ou 0 et 3.3V. Le pont diviseur est le circuit de "conditionnement" qui adapte la sortie du capteur résistif à ce que l'entrée du microcontrôleur peut lire.
Formule(s)
Formule du pont diviseur de tension
Hypothèses
On suppose que la source de tension \(V_{\text{in}}\) est parfaite (elle fournit exactement 5V sans chuter) et que l'appareil qui mesure \(V_{\text{out}}\) a une impédance d'entrée infinie (il ne tire aucun courant).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension d'entrée | \(V_{\text{in}}\) | 5 | V |
| Résistance fixe | \(R_{f}\) | 10 | kΩ |
| Résistance de la thermistance à 25°C | \(R_{T}\) | 10 | kΩ |
Astuces
Cas particulier à retenir : lorsque les deux résistances d'un pont diviseur sont égales (\(R_f = R_T\)), la tension de sortie est toujours exactement la moitié de la tension d'entrée, sans même avoir besoin de faire le calcul complet.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit de mesure (Pont Diviseur de Tension)
Calcul(s)
Calcul de la tension de sortie
Schéma (Après les calculs)
Schéma du circuit avec les valeurs à 25°C
Réflexions
Une tension de 2.5V est au milieu de la plage de mesure possible (0-5V). Cela confirme que le choix de \(R_f = R_{25}\) est judicieux pour centrer la mesure autour de la température ambiante.
Points de vigilance
Attention à bien identifier quelle résistance est en haut et laquelle est en bas. Si la thermistance et la résistance fixe étaient inversées, la formule pour \(V_{\text{out}}\) changerait !
Points à retenir
À retenir :
- La formule du pont diviseur de tension est un classique incontournable.
- Ce circuit convertit une résistance en tension.
- Le choix de la résistance fixe est un paramètre de conception important.
Le saviez-vous ?
Le pont diviseur de tension est simple mais a des limites. Le courant qui le traverse consomme de l'énergie en permanence. Pour des applications basse consommation (sur batterie), on utilise des circuits de mesure plus complexes qui n'alimentent le pont que pendant la brève fraction de seconde de la mesure.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant le résultat de la question 1, quelle serait la tension de sortie \(V_{\text{out}}\) à 0°C ?
Outil Interactif : Simulateur de Thermistance
Utilisez les curseurs pour faire varier la température et la valeur de la résistance fixe du pont diviseur. Observez en temps réel l'impact sur la résistance de la thermistance et sur la tension de sortie du circuit.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que signifie "CTN" pour une thermistance ?
2. Si la température d'une thermistance CTN augmente, sa résistance :
3. La relation entre la température et la résistance d'une thermistance est :
4. Dans quel but utilise-t-on un pont diviseur de tension avec une thermistance ?
5. L'unité du coefficient Bêta (\(\beta\)) est :
- Thermistance CTN
- Composant électronique passif dont la résistance électrique diminue fortement lorsque la température augmente. L'acronyme signifie "Coefficient de Température Négatif".
- Coefficient Bêta (\(\beta\))
- Constante matérielle, exprimée en Kelvin (K), qui caractérise la sensibilité d'une thermistance sur une plage de température donnée. Une valeur \(\beta\) plus élevée indique une plus grande variation de résistance.
- Pont Diviseur de Tension
- Circuit électrique simple composé de deux résistances en série, permettant d'obtenir une tension de sortie proportionnelle au rapport des deux résistances. Il est utilisé pour convertir une variation de résistance en une variation de tension mesurable.
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