Calculer la résistance interne d'une pile
Contexte : Pourquoi une pile "neuve" de 1.5V n'affiche-t-elle que 1.2V quand elle alimente une ampoule ?
Un générateur de tension idéal fournirait une tension constante quelles que soient les conditions. Dans la réalité, toutes les sources de tension, comme les piles, possèdent une résistance interneRésistance inhérente au générateur, due à la chimie de la pile et à la résistance des matériaux. Elle provoque une chute de tension lorsque la pile débite un courant.. Cette résistance, invisible de l'extérieur, est la raison pour laquelle la tension aux bornes d'une pile chute dès qu'on lui demande de fournir du courant. Plus la pile est usée, plus sa résistance interne augmente, et plus sa tension s'effondre en charge. Savoir mesurer cette résistance interne est essentiel pour caractériser l'état de santé d'une pile ou de toute autre source de tension réelle.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser une pile réelle (modèle de Thévenin) et à déterminer expérimentalement sa force électromotrice (f.é.m.) et sa résistance interne à partir de deux mesures simples : la tension à vide et la tension en charge.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la différence entre un générateur de tension idéal et un générateur réel.
- Utiliser le modèle de Thévenin pour une source de tension (f.é.m. en série avec une résistance interne).
- Définir et mesurer la tension à vide (\(E\)) d'une pile.
- Définir et mesurer la tension en charge (\(U\)) et le courant débité (\(I\)).
- Calculer la résistance interne (\(r\)) d'une pile à partir de ces mesures.
- Calculer le courant de court-circuit (\(I_{cc}\)) et comprendre sa signification.
Données de l'étude
Schémas des montages de mesure
1. Mesure à vide
\(U_{\text{vide}} = 1.45 \, \text{V}\)
2. Mesure en charge
\(U_{\text{charge}} = 1.20 \, \text{V}\)
\(I = 0.5 \, \text{A}\)
- Tension mesurée à vide (sans charge connectée) : \(U_{\text{vide}} = 1.45 \, \text{V}\).
- Lorsqu'on connecte une résistance de charge, on mesure une tension à ses bornes \(U_{\text{charge}} = 1.20 \, \text{V}\) et un courant \(I = 0.5 \, \text{A}\) traversant le circuit.
Questions à traiter
- Quelle est la force électromotrice (f.é.m.) \(E\) de la pile ?
- Calculer la résistance interne \(r\) de la pile.
- Calculer le courant de court-circuit \(I_{cc}\) de cette pile. Que représente-t-il ?
Correction : Calculer la résistance interne d'une pile
Question 1 : Quelle est la force électromotrice (f.é.m.) E de la pile ?
Principe (le concept physique)
La force électromotrice (f.é.m.) \(E\) représente la tension "originelle" maximale que la pile peut générer, due à ses réactions chimiques internes. On la modélise comme un générateur de tension idéal. Lorsqu'aucun courant n'est débité (circuit ouvert), il n'y a pas de chute de tension dans la résistance interne. Par conséquent, la tension mesurée aux bornes de la pile est directement égale à sa f.é.m.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le modèle de Thévenin est un outil puissant qui permet de simplifier n'importe quelle partie d'un circuit linéaire complexe en une source de tension idéale \(E_{Th}\) (la f.é.m.) en série avec une résistance unique \(R_{Th}\) (la résistance interne). Pour un générateur réel comme une pile, \(E_{Th}\) est sa f.é.m. \(E\), et \(R_{Th}\) est sa résistance interne \(r\). La tension à vide est, par définition, la tension de Thévenin du générateur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Ne confondez jamais la force électromotrice (une caractéristique intrinsèque de la pile, constante) et la tension à ses bornes (qui varie en fonction du courant débité). La f.é.m. est la "force" qui pousse les charges, la tension est le résultat que l'on mesure à l'extérieur.
Normes (la référence réglementaire)
Modèle de Thévenin : Comme les lois de Kirchhoff, le théorème de Thévenin n'est pas une norme industrielle mais un théorème fondamental de la théorie des circuits. Il est universellement utilisé pour l'analyse et la simplification des circuits électriques linéaires.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le voltmètre utilisé pour la mesure a une résistance interne infinie. C'est une excellente approximation pour les voltmètres numériques modernes, qui garantit qu'aucun courant (ou un courant totalement négligeable) n'est tiré de la pile pendant la mesure à vide.
Formule(s) (l'outil mathématique)
\(U = E - r \times I\)
\(\text{Si le circuit est ouvert, alors } I = 0\)
\(U_{\text{vide}} = E - r \times 0 \Rightarrow U_{\text{vide}} = E\)
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Tension mesurée à vide \(U_{\text{vide}}\) : \(1.45 \, \text{V}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Le calcul est direct par identification.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Même si la pile est usagée, sa force électromotrice reste proche de la valeur nominale d'une pile neuve (qui est de 1.5V). Cela montre que la f.é.m. varie peu avec l'usure. Ce qui change drastiquement, comme nous le verrons, c'est la résistance interne.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Déterminer la f.é.m. est la première étape indispensable pour caractériser le générateur. C'est la valeur de référence de la tension de la source, avant toute perte due au fonctionnement. Sans elle, il est impossible de calculer la résistance interne.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Utiliser la tension en charge : L'erreur serait de considérer la tension en charge (1.20V) comme étant la f.é.m. La f.é.m. ne peut être mesurée que lorsque la pile ne débite absolument aucun courant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Visualisation du Résultat (le schéma de synthèse)
À vous de jouer !
Question 2 : Calculer la résistance interne r de la pile
Principe (le concept physique)
Lorsque la pile débite un courant \(I\) dans une charge, ce même courant traverse sa propre résistance interne \(r\). D'après la loi d'Ohm, cela crée une chute de tension aux bornes de cette résistance interne, égale à \(r \times I\). Cette chute de tension est "perdue" à l'intérieur de la pile. La tension \(U\) que l'on mesure à l'extérieur est donc la f.é.m. \(E\) diminuée de cette perte. La différence entre la tension à vide et la tension en charge nous donne directement la valeur de cette chute de tension interne.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(U = E - r \times I\) est appelée "loi d'Ohm pour un générateur". Elle montre que la tension aux bornes d'un générateur réel n'est pas constante mais diminue linéairement lorsque le courant débité augmente. La pente de cette droite \(U(I)\) est \(-r\). C'est pourquoi une pile "morte" (avec un grand \(r\)) peut afficher une tension correcte à vide, mais sa tension s'effondre dès qu'on lui demande le moindre courant.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : La résistance interne n'est pas un composant que l'on peut voir ou toucher. C'est un concept, un "modèle" qui permet d'expliquer le comportement réel de la pile. Pensez-y comme une "imperfection" inévitable de la source de tension.
Normes (la référence réglementaire)
Norme IEC 60086 : Cette norme internationale sur les piles électriques spécifie les conditions de test pour mesurer la capacité et la performance des piles. Ces tests impliquent de mesurer la tension sous différentes charges, ce qui permet de caractériser indirectement l'évolution de la résistance interne au cours de la décharge.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la f.é.m. \(E\) et la résistance interne \(r\) de la pile ne varient pas entre la mesure à vide et la mesure en charge. C'est une hypothèse valide si les deux mesures sont faites rapidement l'une après l'autre.
Formule(s) (l'outil mathématique)
À partir de la loi d'Ohm pour un générateur :
On isole la résistance interne \(r\) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force électromotrice \(E\) (calculée à la Q1) : \(1.45 \, \text{V}\)
- Tension en charge \(U_{\text{charge}}\) : \(1.20 \, \text{V}\)
- Courant débité \(I\) : \(0.5 \, \text{A}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une résistance interne de 0.5 Ω est une valeur significative pour une pile de ce type, ce qui confirme qu'elle est usagée. Une pile alcaline neuve aurait une résistance interne bien plus faible, de l'ordre de 0.1 à 0.2 Ω. Cette résistance interne est responsable de la "perte" de \(0.25 \, \text{V}\) lorsque la pile alimente la charge.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de \(r\) est le cœur de l'exercice. Il quantifie l'imperfection du générateur. Connaître \(r\) permet de prédire la tension que fournira la pile pour n'importe quel courant demandé, et donc de savoir si elle est encore capable d'alimenter correctement un appareil donné.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Inverser les tensions : Une erreur classique est d'inverser \(E\) et \(U_{\text{charge}}\) dans la formule. Rappelez-vous que la tension à vide (\(E\)) est toujours supérieure ou égale à la tension en charge (\(U_{\text{charge}}\)), la différence \(E - U_{\text{charge}}\) doit donc être positive.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Visualisation du Résultat (le schéma de synthèse)
À vous de jouer !
Question 3 : Calculer le courant de court-circuit Icc
Principe (le concept physique)
Le courant de court-circuit (\(I_{cc}\)) est le courant maximal théorique qu'une pile peut débiter. On l'obtient en connectant directement ses deux bornes par un fil de résistance nulle. Dans ce cas, la seule chose qui limite le courant est la résistance interne de la pile elle-même. La tension aux bornes de la pile devient nulle, et toute la f.é.m. est appliquée à la résistance interne.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le courant de court-circuit est une caractéristique importante d'un générateur. Il représente le point de fonctionnement extrême sur la caractéristique \(U(I)\), où la tension de sortie \(U\) est nulle. Un générateur avec une f.é.m. élevée mais une résistance interne importante (comme une pile usée) peut avoir un courant de court-circuit plus faible qu'un générateur avec une f.é.m. plus basse mais une très faible résistance interne (comme une batterie de voiture).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le calcul du courant de court-circuit est un calcul théorique. N'essayez JAMAIS de le mesurer en pratique ! Court-circuiter une pile, et plus encore une batterie, est extrêmement dangereux. Le courant très élevé peut faire fondre les fils, provoquer des projections et des brûlures, et endommager la pile de façon irréversible, voire la faire exploser.
Normes (la référence réglementaire)
Normes de sécurité électrique (ex: IEC 60364) : Les normes de sécurité des installations électriques sont entièrement basées sur la maîtrise des courants de court-circuit potentiels. Les disjoncteurs et fusibles sont dimensionnés pour pouvoir couper en toute sécurité le courant de court-circuit maximal que le réseau peut fournir à un point donné, afin de protéger les personnes et les biens.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le fil utilisé pour le court-circuit a une résistance parfaitement nulle. On suppose également que \(E\) et \(r\) restent constants même sous ce courant extrême, ce qui n'est pas tout à fait vrai en pratique (la pile chaufferait et ses caractéristiques changeraient).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Dans la loi d'Ohm pour un générateur, on pose \(U=0\) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Force électromotrice \(E\) : \(1.45 \, \text{V}\)
- Résistance interne \(r\) : \(0.5 \, \Omega\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un courant de 2.9 Ampères est un courant très important pour une petite pile. Cela confirme le danger de la court-circuiter. Ce courant est uniquement limité par la "fatigue" de la pile (sa résistance interne). Une pile neuve, avec une résistance interne plus faible, aurait un courant de court-circuit encore plus élevé et donc plus dangereux.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de \(I_{cc}\) permet de définir la capacité maximale absolue de la source. C'est une donnée de sécurité fondamentale. Elle représente le pire des cas en termes de courant, information indispensable pour le dimensionnement des dispositifs de protection comme les fusibles ou les disjoncteurs.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais réaliser l'expérience ! Le point de vigilance principal ici n'est pas une erreur de calcul, mais une erreur de manipulation. Le courant de court-circuit est un concept de calcul, pas une mesure à effectuer sur une source de tension non protégée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Visualisation du Résultat (le schéma de synthèse)
À vous de jouer !
Outil Interactif : Testeur de Pile Virtuel
Modifiez les caractéristiques de la pile et de la charge pour voir leur influence sur la tension et le courant.
Paramètres de la Pile
Paramètres de la Charge
Résultats Calculés
Pour Aller Plus Loin : Puissance Utile et Rendement
Optimiser la puissance : La puissance fournie à la charge est \(P_u = U \times I = R_{charge} \times I^2\). Un théorème important stipule que cette puissance utile est maximale lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance interne du générateur (\(R_{charge} = r\)). C'est le "théorème de l'adaptation d'impédances". Cependant, dans ce cas, le rendement \(\eta = P_u / P_{totale}\) n'est que de 50%, car autant de puissance est dissipée dans la charge que dans la résistance interne de la pile ! En général, on évite de travailler dans ces conditions pour les applications de puissance.
Le Saviez-Vous ?
La résistance interne n'est pas toujours un inconvénient. Dans les chargeurs de batteries (Li-ion par exemple), le circuit de charge surveille en permanence la tension et la résistance interne de la batterie pour adapter le courant de charge. Une augmentation anormale de la résistance interne peut indiquer un vieillissement ou un défaut de la batterie, et le chargeur peut décider d'arrêter la charge pour des raisons de sécurité.
Foire Aux Questions (FAQ)
La résistance interne est-elle constante durant la vie de la pile ?
Non, absolument pas. Elle augmente au fur et à mesure que les réactions chimiques internes ralentissent et que les réactifs s'épuisent. C'est le principal indicateur de l'usure d'une pile. Une pile est considérée comme "morte" lorsque sa résistance interne est devenue si élevée qu'elle ne peut plus fournir un courant suffisant pour faire fonctionner l'appareil, même si sa tension à vide est encore correcte.
Comment calculer la résistance de la charge utilisée dans l'expérience ?
On peut la calculer très simplement avec la loi d'Ohm, en utilisant les mesures faites en charge. On a \(U_{\text{charge}} = R_{\text{charge}} \times I\). Donc, \(R_{\text{charge}} = U_{\text{charge}} / I = 1.20 \, \text{V} / 0.5 \, \text{A} = 2.4 \, \Omega\).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Une pile neuve, comparée à une pile usagée de même type, a typiquement :
2. Si on branche une charge qui demande un courant plus important, la tension aux bornes de la pile va :
- Générateur de tension réel
- Modèle d'une source de tension (pile, batterie, alimentation) qui prend en compte ses imperfections, principalement sa résistance interne.
- Force Électromotrice (f.é.m.), E
- Tension maximale qu'un générateur peut produire, mesurable uniquement à vide (quand aucun courant n'est débité). C'est une caractéristique intrinsèque de la source.
- Résistance interne, r
- Résistance inhérente au générateur qui provoque une chute de tension interne proportionnelle au courant débité. Elle augmente avec l'usure du générateur.
- Tension à vide
- Tension mesurée aux bornes d'un générateur lorsqu'il n'est connecté à aucune charge. Elle est égale à la f.é.m.
- Tension en charge
- Tension mesurée aux bornes d'un générateur lorsqu'il débite un courant dans une charge. Elle est toujours inférieure ou égale à la tension à vide.
- Courant de court-circuit (Icc)
- Courant maximal théorique qu'un générateur peut fournir si ses bornes sont reliées par un conducteur de résistance nulle. Il n'est limité que par la résistance interne (\(I_{cc} = E/r\)).
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