Cercle d'Admittance (Circuit RC Série)
Contexte : Le Régime Sinusoïdal ForcéAnalyse des circuits électriques alimentés par des sources de tension ou de courant variant sinusoïdalement..
Cet exercice vise à tracer et interpréter le lieu de l'admittance d'un circuit simple. Nous allons étudier un circuit composé d'un condensateur de capacité fixe C en série avec une résistance variable R. En faisant varier R de \(0\) à \(+\infty\), nous tracerons le lieu de l'admittance \(\underline{Y}\) dans le plan complexe. Ce lieu forme un cercle, un outil visuel clé pour comprendre le comportement du circuit.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser la transformation par inversion (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)) pour passer d'un lieu (une droite) à un autre (un cercle) et à identifier les caractéristiques d'un circuit à partir de ce graphique.
Objectifs Pédagogiques
- Déterminer l'impédance complexe \(\underline{Z}\) d'un circuit RC série.
- Décrire le lieu de \(\underline{Z}\) dans le plan complexe lorsque R varie.
- Calculer l'admittance complexe \(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\).
- Établir l'équation du cercle des admittances en séparant la partie réelle \(G\) et imaginaire \(B\).
- Identifier le centre et le rayon du cercle, et le sens de parcours.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Capacité (C) | 10 \(\mu\)F |
| Pulsation (\(\omega\)) | 1000 rad/s |
| Résistance (R) | Variable (0 \(\rightarrow \infty\)) |
Schéma du Circuit RC Série
| Paramètre | Description | Symbole | Unité |
|---|---|---|---|
| Réactance Capacitive | Opposition au passage du courant (fixe) | \(X_C = 1/(\omega C)\) | Ohm (\(\Omega\)) |
| Impédance | Opposition totale (complexe) | \(\underline{Z}\) | Ohm (\(\Omega\)) |
| Admittance | Inverse de l'impédance | \(\underline{Y} = G + jB\) | Siemens (S) |
Questions à traiter
- Calculer la réactance capacitive \(X_C = 1/(\omega C)\).
- Exprimer l'impédance complexe totale \(\underline{Z}\) du circuit en fonction de R et \(X_C\).
- Quel est le lieu géométrique de \(\underline{Z}\) dans le plan complexe lorsque R varie de \(0\) à \(+\infty\) ? Préciser le point de départ (R=0) et d'arrivée (R=\(\infty\)).
- Exprimer l'admittance complexe \(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\). Séparer la partie réelle \(G\) (conductance) et la partie imaginaire \(B\) (susceptance).
- Montrer que le lieu de \(\underline{Y}\) est un cercle. Trouver l'équation cartésienne de ce cercle et en déduire son centre et son rayon. Tracer son allure et indiquer le sens de parcours pour R croissant.
Impédance et Admittance
L'impédance \(\underline{Z} = R + jX\) (partie réelle Résistance, partie imaginaire Réactance) et l'admittance \(\underline{Y} = G + jB\) (partie réelle Conductance, partie imaginaire Susceptance) sont inverses : \(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\). Pour un circuit série, on additionne les impédances. Pour un circuit parallèle, on additionne les admittances.
1. Transformation par Inversion \(1/z\)
L'inversion complexe transforme les droites et les cercles. Une droite ne passant pas par l'origine est transformée en un cercle passant par l'origine. Une droite passant par l'origine est transformée en une autre droite passant par l'origine.
\[ \text{Si } \underline{Z} = R + jX_0 \text{ (droite horizontale)}, \underline{Y} = \frac{1}{R + jX_0} \text{ (cercle)} \]
2. Équation d'un Cercle
L'équation cartésienne d'un cercle de centre \((a, b)\) et de rayon \(r\) est : \((X - a)^2 + (Y - b)^2 = r^2\). Pour trouver le centre et le rayon à partir d'une équation comme \(X^2 + Y^2 + \alpha X + \beta Y = 0\), on utilise la mise sous forme canonique.
Correction : Cercle d'Admittance (Circuit RC Série)
Question 1 : Calcul de la réactance capacitive \(X_C\)
Principe
On applique la formule de la réactance capacitive \(X_C\) en utilisant les valeurs numériques fixes de l'énoncé (\(\omega\) et C).
Mini-Cours
La réactance capacitive \(X_C\) représente l'opposition du condensateur au passage du courant alternatif. Elle diminue lorsque la fréquence (ou pulsation \(\omega\)) augmente ou lorsque la capacité C augmente. Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)).
Remarque Pédagogique
C'est la première étape indispensable. \(X_C\) est une valeur constante dans cet exercice, car \(\omega\) et C sont fixes. C'est la "brique" de base pour nos calculs d'impédance.
Normes
Il s'agit d'une définition standard en électrocinétique, pas d'une norme au sens industriel.
Formule(s)
Réactance Capacitive
Hypothèses
Le condensateur est supposé idéal, sans résistance de fuite ni inductance parasite.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs fixes de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pulsation | \(\omega\) | 1000 | rad/s |
| Capacité | C | 10 | \(\mu\)F |
Astuces
Vérifiez toujours les préfixes : \(1 \text{ \(\mu\)F} = 10^{-6} \text{ F}\). Une erreur courante est d'oublier cette conversion.
Schéma (Avant les calculs)
Le calcul ne nécessite pas de schéma spécifique, mais il se base sur la valeur de C dans le schéma de l'énoncé.
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de la capacité
Avant de calculer, il est essentiel de convertir toutes les unités dans le Système International. La capacité est donnée en microfarads (\(\mu\)F), nous la convertissons en Farads (F).
On convertit 10 microfarads en farads. Le préfixe "micro" (\(\mu\)) signifie \(10^{-6}\), donc \(10 \times 10^{-6} = 10^{-5}\).
Étape 2 : Application de la formule
Maintenant, nous appliquons la formule de la réactance capacitive \(X_C = 1 / (\omega C)\) avec les valeurs numériques.
On remplace \(\omega\) par 1000 (\(10^3\)) et C par \(10^{-5}\).
Au dénominateur : \(10^3 \times 10^{-5} = 10^{(3-5)} = 10^{-2}\).
L'inverse de \(10^{-2}\) (soit \(1/10^{-2}\)) est \(10^2\), ce qui donne 100 \(\Omega\).
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma de résultat pertinent pour ce simple calcul.
Réflexions
La réactance de notre condensateur est fixe et vaut 100 \(\Omega\). C'est la partie imaginaire (négative) de l'impédance du condensateur : \(\underline{Z}_C = -jX_C = -j100 \text{ \(\Omega\)}\).
Points de vigilance
Ne pas confondre \(X_C = 100 \text{ \(\Omega\)}\) (une valeur réelle positive) avec l'impédance \(\underline{Z}_C = -j100 \text{ \(\Omega\)}\) (un nombre complexe).
Points à retenir
- La réactance capacitive est \(X_C = 1/(\omega C)\).
- Elle est constante si \(\omega\) et C sont constants.
Le saviez-vous ?
La réactance est ce qui permet aux filtres de fonctionner. Un condensateur a une réactance faible à haute fréquence (il "laisse passer") et une réactance élevée à basse fréquence (il "bloque").
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pulsation était doublée (\(\omega = 2000\) rad/s), que vaudrait \(X_C\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Réactance capacitive.
- Formule Essentielle : \(X_C = 1/(\omega C)\).
- Point de Vigilance Majeur : Conversion \(\mu \text{F} \rightarrow \text{F}\).
Question 2 : Impédance complexe \(\underline{Z}\)
Principe
Pour un circuit série, l'impédance totale est la somme des impédances de chaque composant. Nous allons additionner l'impédance de la résistance R (qui est réelle) et l'impédance du condensateur C (qui est imaginaire pure).
Mini-Cours
Impédances en Série : \(\underline{Z}_{\text{eq}} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + ...\)
Impédance d'une Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
Impédance d'un Condensateur : \(\underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j} \frac{1}{\omega C} = -j \frac{1}{\omega C} = -jX_C\)
Remarque Pédagogique
L'impédance complexe \(\underline{Z}\) est l'outil fondamental en régime sinusoïdal. Elle généralise la notion de résistance aux composants réactifs (condensateurs, bobines). L'écrire sous forme \(R + jX\) permet de séparer l'effet résistif (partie réelle) de l'effet réactif (partie imaginaire).
Normes
L'utilisation de la notation complexe pour les impédances est une convention universelle en génie électrique, formalisée par l'IEC (Commission Électrotechnique Internationale).
Formule(s)
Impédance d'un circuit série
Impédances élémentaires
Hypothèses
On suppose que la résistance R est une résistance pure (sans effet inductif parasite) et que le condensateur est idéal (sans résistance série parasite).
- R est une variable réelle positive (\(R \ge 0\)).
- \(X_C\) est la constante calculée à la question 1.
Donnée(s)
On utilise la valeur de \(X_C\) trouvée précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Réactance Capacitive | \(X_C\) | 100 | \(\Omega\) |
| Résistance | R | Variable | \(\Omega\) |
Astuces
Souvenez-vous que le condensateur introduit un déphasage de -90° (ou \(-\pi/2\)). C'est pourquoi son impédance est sur l'axe imaginaire négatif (préfixe \(-j\)). Pour une bobine, ce serait \(+j\).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma est celui de l'énoncé, montrant R et C en série.
Schéma du Circuit RC Série
Calcul(s)
Étape 1 : Somme des impédances
Le circuit étant en série, son impédance totale \(\underline{Z}\) est la somme des impédances de ses composants : \(\underline{Z}_R\) et \(\underline{Z}_C\).
On additionne l'impédance de la résistance, \(\underline{Z}_R = R\), et l'impédance du condensateur, \(\underline{Z}_C = -jX_C\).
Étape 2 : Substitution de la valeur de \(X_C\)
En utilisant la valeur de \(X_C = 100 \text{ \(\Omega\)}\) trouvée à la question 1, on obtient l'expression finale de \(\underline{Z}\) en fonction de R.
On remplace simplement \(X_C\) par la valeur de 100 \(\Omega\) calculée à la question 1.
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma de résultat pertinent pour cette étape, le résultat est une expression algébrique.
Réflexions
L'impédance totale a une partie réelle \( \text{Re}(\underline{Z}) = R \) qui est variable, et une partie imaginaire \( \text{Im}(\underline{Z}) = -X_C = -100 \) qui est constante. C'est la base de la question suivante.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est le signe. L'impédance d'un condensateur est \(-jX_C\) (ou \(1/(j\omega C)\)), pas \(+jX_C\).
Points à retenir
- Les impédances en série s'additionnent : \(\underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2\).
- L'impédance d'un condensateur est \(\underline{Z}_C = -jX_C\).
Le saviez-vous ?
Le terme "impédance" a été inventé par Oliver Heaviside en 1886. Il a été l'un des premiers à appliquer les nombres complexes à l'analyse des circuits, simplifiant énormément les calculs en régime sinusoïdal.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si R = 50 \(\Omega\), que vaut le module de \(\underline{Z}\) ? (Rappel : \( |\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + X_C^2} \))
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Somme des impédances en série.
- Formule Essentielle : \(\underline{Z} = R - jX_C\).
- Point de Vigilance Majeur : Signe \(-j\) pour le condensateur.
Question 3 : Lieu de l'impédance \(\underline{Z}\)
Principe
On analyse l'expression \(\underline{Z} = R - j100\). On pose \(\underline{Z} = X + jY\) (dans le plan des impédances). On identifie \(X = R\) (partie réelle variable) et \(Y = -100\) (partie imaginaire constante). On étudie le parcours de ce point lorsque R varie de 0 à l'infini.
Mini-Cours
Un "lieu" géométrique est l'ensemble des points décrits par un nombre complexe lorsque l'un de ses paramètres varie. L'équation d'une droite horizontale dans le plan complexe est \(\text{Im}(z) = \text{constante}\). L'équation d'une droite verticale est \(\text{Re}(z) = \text{constante}\).
Remarque Pédagogique
Comprendre ce lieu est crucial pour la suite. Nous transformons un problème d'électricité (variation de R) en un problème de géométrie (tracer une courbe). C'est la clé de la méthode des lieux.
Normes
N/A. C'est une méthode d'analyse mathématique.
Formule(s)
Expression du lieu
Notre cas
Hypothèses
La seule contrainte sur la variable R est qu'elle est physique, donc \(R \ge 0\). Cela signifie que la partie réelle de \(\underline{Z}\) est toujours positive ou nulle.
Donnée(s)
L'expression trouvée à la question 2 : \(\underline{Z} = R - j100\).
Astuces
Pour tracer un lieu, testez toujours les "bornes" : R=0 (le début) et R \(\rightarrow +\infty\) (la fin). Cela donne le point de départ et la direction du parcours.
Schéma (Avant les calculs)
On prépare le plan complexe des impédances (Plan de Fresnel ou de Nyquist), avec l'axe réel (R) en abscisse et l'axe imaginaire (X) en ordonnée.
Calcul(s)
Analyse du lieu
Nous posons \(\underline{Z} = X + jY\). En comparant avec l'expression \(\underline{Z} = R - j100\), on identifie la partie réelle (X) et la partie imaginaire (Y).
On identifie la partie réelle de \(\underline{Z}\) (l'abscisse \(X\)) comme étant \(R\), et la partie imaginaire (l'ordonnée \(Y\)) comme étant \(-100\). Puisque R est variable (mais \(\ge 0\)) et \(-100\) est constant, l'ordonnée est fixe. C'est l'équation d'une demi-droite horizontale \(Y = -100\) pour \(X \ge 0\).
Points de parcours (Test aux bornes)
Pour déterminer le sens de parcours et les limites du lieu, on teste les valeurs extrêmes de la variable R (de 0 à \(+\infty\)).
- Point de départ (R=0) : \(\underline{Z}(0) = 0 - j100\). C'est le point \((0, -100)\) sur l'axe imaginaire.
- Point d'arrivée (R \(\rightarrow +\infty\)) : \(\underline{Z}(\infty) \rightarrow (+\infty) - j100\). Le point se déplace vers l'infini sur la droite.
On teste les deux cas extrêmes de la variable R pour trouver le début et la fin du lieu. Comme R ne peut pas être négatif, le lieu est une demi-droite qui commence sur l'axe imaginaire.
Schéma (Après les calculs)
Le lieu est une demi-droite horizontale, située à l'ordonnée -100, commençant à \((0, -100)\) et s'étendant vers la droite.
Lieu de \(\underline{Z}\) quand R varie
Réflexions
Le lieu de l'impédance \(\underline{Z}\) est une demi-droite. Fait important : cette droite ne passe pas par l'origine (0,0). D'après le cours sur l'inversion complexe, on sait donc que son inverse \(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\) sera un cercle passant par l'origine.
Points de vigilance
Ne pas tracer la droite entière. Puisque \(R \ge 0\), le lieu est une demi-droite qui commence sur l'axe imaginaire et part vers la droite (demi-plan R positif).
Points à retenir
- Le lieu d'un circuit \(R_{\text{var}} + Z_0\) est une droite parallèle à l'axe réel.
- Le lieu d'un circuit \(R_0 + Z_{\text{var}}\) est une droite parallèle à l'axe imaginaire.
Le saviez-vous ?
Cette droite est la base d'une des familles de cercles de la "charte de Smith" (abaque de Smith). Après une transformation mathématique plus complexe, cette droite devient un "cercle de résistance constante".
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le lieu de \(\underline{Z}\) pour un circuit RL série avec L variable ? ( \(\underline{Z} = R + jX_L\) avec \(X_L = L\omega\) )
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Lieu d'impédance (droite).
- Formule Essentielle : \(\text{Im}(\underline{Z}) = -X_C = \text{constante}\).
- Point de Vigilance Majeur : C'est une demi-droite (\(R \ge 0\)).
Question 4 : Admittance complexe \(\underline{Y}\)
Principe
On calcule l'admittance \(\underline{Y}\) en prenant l'inverse de l'impédance \(\underline{Z}\). Pour séparer la partie réelle (Conductance G) et la partie imaginaire (Susceptance B), on utilise la technique de la multiplication par la quantité conjuguée.
Mini-Cours
Pour un nombre complexe \(z = a + jb\), son conjugué est \(z^* = a - jb\). Le produit \(z \cdot z^* = (a+jb)(a-jb) = a^2 + b^2 = |z|^2\), ce qui donne un nombre réel.
Pour calculer \(1/z\), on fait : \(\frac{1}{z} = \frac{1}{a+jb} \times \frac{a-jb}{a-jb} = \frac{a-jb}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} - j\frac{b}{a^2+b^2}\).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape de calcul la plus importante. Il faut être à l'aise avec la manipulation des nombres complexes. Le but est de passer d'une expression en \(1/(\dots)\) à une expression de la forme \(G + jB\).
Normes
N/A. Calcul mathématique.
Formule(s)
Définition de l'Admittance
Expression de \(\underline{Z}\)
Hypothèses
On utilise les résultats des questions précédentes. R est la variable, \(X_C = 100\) est la constante.
Donnée(s)
L'expression \(\underline{Z} = R - jX_C\).
Astuces
Le conjugué de \(R - jX_C\) est \(R + jX_C\). Le produit des deux donne \(R^2 + X_C^2\), qui est le module de \(\underline{Z}\) au carré (\(|\underline{Z}|^2\)).
Schéma (Avant les calculs)
Pas de schéma requis, c'est un calcul formel.
Calcul(s)
Étape 1 : Poser l'inverse
L'admittance \(\underline{Y}\) est définie comme l'inverse de l'impédance \(\underline{Z}\). On part de \(\underline{Z} = R - jX_C\).
C'est notre point de départ. L'objectif est de transformer cette expression pour ne plus avoir de nombre complexe au dénominateur.
Étape 2 : Multiplication par le conjugué
Pour ce faire, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la "quantité conjuguée" du dénominateur, qui est \((R + jX_C)\). Cela ne change pas la valeur de la fraction.
Pour faire disparaître le nombre complexe du dénominateur (et pouvoir séparer partie réelle et imaginaire), on multiplie en haut et en bas par la "quantité conjuguée" du dénominateur. Le conjugué de \((R - jX_C)\) est \((R + jX_C)\).
Étape 3 : Développement du numérateur et dénominateur
On développe le produit. Au numérateur, on a \(1 \times (R + jX_C)\). Au dénominateur, on applique l'identité \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
Au numérateur : \(1 \times (R + jX_C) = R + jX_C\).
Au dénominateur : On utilise l'identité remarquable \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), ce qui donne \(R^2 - (jX_C)^2\).
Puisque \(j^2 = -1\), on a \(R^2 - (j^2 \cdot X_C^2) = R^2 - (-1 \cdot X_C^2) = R^2 + X_C^2\). Le dénominateur est maintenant un nombre réel.
Étape 4 : Séparation de G (partie réelle) et B (partie imaginaire)
Maintenant que le dénominateur est un nombre réel (\(R^2 + X_C^2\)), on peut diviser la partie réelle et la partie imaginaire du numérateur par ce terme.
On sépare la fraction en deux : la partie réelle \(G = \frac{R}{R^2 + X_C^2}\) et la partie imaginaire \(B = \frac{X_C}{R^2 + X_C^2}\).
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma. Le résultat est l'expression formelle de G et B.
Réflexions
Nous avons maintenant les expressions de la conductance \(G\) et de la susceptance \(B\) en fonction de R et de la constante \(X_C\).
- Conductance : \(G(R) = \frac{R}{R^2 + X_C^2}\)
- Susceptance : \(B(R) = \frac{X_C}{R^2 + X_C^2}\)
Points de vigilance
Attention au signe ! \(\underline{Z} = R - jX_C\), le conjugué est \(R + jX_C\). L'admittance \(\underline{Y}\) a donc une partie imaginaire positive : \(B > 0\).
Points à retenir
- Le passage de \(\underline{Z}\) à \(\underline{Y}\) se fait par le conjugué.
- \(\underline{Y} = \frac{\underline{Z}^*}{|\underline{Z}|^2}\).
- Pour un condensateur, la réactance X est négative, mais la susceptance B est positive.
Le saviez-vous ?
Le Siemens (S) est l'unité de conductance, de susceptance et d'admittance. Il est l'inverse de l'Ohm (\(S = \Omega^{-1}\)). On l'appelait autrefois le "Mho" (Ohm à l'envers), un nom encore parfois utilisé par habitude.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si R = \(X_C\) (c'est-à-dire R = 100 \(\Omega\)), que vaut \(\underline{Y}\) ? (Utilisez \(X_C=100\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Calcul de l'admittance (inverse de Z).
- Formule Essentielle : \(\underline{Y} = (R + jX_C) / (R^2 + X_C^2)\).
- Point de Vigilance Majeur : \(G \neq 1/R\) et \(B \neq 1/X_C\).
Question 5 : Équation et tracé du cercle
Principe
On cherche à éliminer la variable R des deux équations \(G = f(R)\) et \(B = g(R)\) pour trouver une relation directe entre G et B, de la forme \(f(G, B) = 0\). C'est l'équation cartésienne du lieu. On s'attend à trouver l'équation d'un cercle.
Mini-Cours
L'équation cartésienne d'un cercle de centre \((a, b)\) et de rayon \(r\) est \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
Pour trouver le centre et le rayon d'une équation de type \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y = 0\), on la "met sous forme canonique" :
\((x + \alpha/2)^2 - (\alpha/2)^2 + (y + \beta/2)^2 - (\beta/2)^2 = 0\).
Remarque Pédagogique
Nous avons prédit à la question 3 que le lieu serait un cercle passant par l'origine. Cette étape est la preuve mathématique. Elle permet de trouver le centre et le rayon exacts de ce cercle pour pouvoir le tracer.
Normes
N/A. Analyse mathématique.
Formule(s)
Expressions de G et B (avec \(X_C\) constante)
Hypothèses
On travaille dans le plan des admittances (G en abscisse, B en ordonnée). R est un paramètre \(\ge 0\). \(X_C = 100\).
Donnée(s)
Les deux équations (1) et (2) trouvées à la question 4.
Astuces
L'astuce la plus rapide pour éliminer R est de diviser G par B. \[ \frac{G}{B} = \frac{R / (R^2 + X_C^2)}{X_C / (R^2 + X_C^2)} = \frac{R}{X_C} \] Cela donne immédiatement \( R = X_C \cdot (G/B) \). Il suffit ensuite de substituer cette expression de R dans l'équation (2).
Calcul(s)
Étape 1 : Isoler R (voir astuce)
Nous avons deux équations (1) et (2) qui lient G et B à la variable R. Pour trouver le lieu, nous devons éliminer R. L'astuce est de diviser G par B.
On utilise l'astuce qui consiste à diviser (1) par (2) : \(\frac{G}{B} = \frac{R / (R^2 + X_C^2)}{X_C / (R^2 + X_C^2)} = \frac{R}{X_C}\). On isole R pour pouvoir le substituer dans une des équations.
Étape 2 : Substituer R dans l'équation (2)
Maintenant que nous avons une expression pour R (\(R = X_C \cdot G/B\)), nous la réinjectons (nous la substituons) dans l'équation (2) : \(B = X_C / (R^2 + X_C^2)\).
On remplace R dans l'équation (2), \(B = \frac{X_C}{R^2 + X_C^2}\), par l'expression \(X_C \frac{G}{B}\) que l'on vient de trouver.
Étape 3 : Simplifier l'expression
L'expression semble compliquée, mais on peut la simplifier. On commence par factoriser \(X_C^2\) au dénominateur.
Au dénominateur : on factorise par \(X_C^2\), ce qui donne \(X_C^2 \left( (G/B)^2 + 1 \right)\).
On met au même dénominateur (B²) à l'intérieur de la parenthèse : \(X_C^2 \left( \frac{G^2 + B^2}{B^2} \right)\).
On simplifie le \(X_C\) du numérateur avec le \(X_C^2\) du dénominateur. Il reste : \(B = \frac{1}{ X_C \left( \frac{G^2 + B^2}{B^2} \right) }\).
L'inverse d'une fraction est \(\frac{1}{A/B} = B/A\), donc on obtient \(\frac{1}{X_C} \frac{B^2}{G^2 + B^2}\).
Étape 4 : Obtenir l'équation cartésienne (en supposant B \(\neq\) 0)
On repart de \(B = \frac{1}{X_C} \frac{B^2}{G^2 + B^2}\) et on réarrange les termes pour obtenir une relation directe entre G et B.
On a \(B = \frac{1}{X_C} \frac{B^2}{G^2 + B^2}\). On passe \((G^2 + B^2)\) à gauche : \(B \cdot (G^2 + B^2) = \frac{1}{X_C} B^2\).
On simplifie par \(B\) (car on suppose \(B \neq 0\). Le cas \(B=0\) correspond à R=\(\infty\), qui est à l'origine (0,0), et (0,0) vérifie bien l'équation finale).
On obtient \(G^2 + B^2 = \frac{B}{X_C}\). On passe tout du même côté.
Ceci est l'équation cartésienne de notre lieu. On reconnaît une équation de cercle car elle contient des termes en \(G^2\) et \(B^2\).
Étape 5 : Mise sous forme canonique (pour trouver centre et rayon)
Cette équation est celle d'un cercle, mais son centre et son rayon ne sont pas évidents. Nous utilisons la "mise sous forme canonique" pour la faire apparaître sous la forme \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \).
Pour trouver le centre et le rayon, on "force" l'apparition d'une identité remarquable \((y-b)^2\) pour les termes en B. On prend le terme en B (\(-B/X_C\)), on divise son coefficient par 2 (ce qui donne \(-1/(2X_C)\)). C'est le \(b\) de notre \((y-b)^2\).
On crée \((B - 1/(2X_C))^2\). En développant, cela donne \(B^2 - B/X_C + (1/(2X_C))^2\).
Pour garder l'égalité avec \(G^2 + B^2 - B/X_C = 0\), on doit donc soustraire le terme \((1/(2X_C))^2\) que l'on a ajouté. On le passe ensuite à droite de l'égalité pour avoir la forme \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).
Schéma (Après les calculs)
On trace le cercle d'admittance dans le plan (G, B).
Application Numérique (avec \(X_C = 100 \text{ \(\Omega\)} \))
- Constante \(1/X_C = 1/100 = 0.01 \text{ S} = 10 \text{ mS}\).
- Constante \(1/(2X_C) = 1/200 = 0.005 \text{ S} = 5 \text{ mS}\).
- Équation : \( G^2 + (B - 5 \text{ mS})^2 = (5 \text{ mS})^2 \).
- Centre : \( (0, 5 \text{ mS}) \).
- Rayon : \( 5 \text{ mS} \).
- Départ (R=0) : \(\underline{Y} = j/X_C = j0.01\). Point \((0, 10 \text{ mS})\). C'est le sommet du cercle.
- Arrivée (R\(\rightarrow\infty\)) : \(\underline{Y} = 0\). Point \((0, 0)\). C'est l'origine.
- Milieu (R=\(X_C\)) : \(\underline{Y} = (1/2X_C) + j(1/2X_C) = (5 + j5) \text{ mS}\). C'est le point le plus à droite du cercle.
Cercle des Admittances \(\underline{Y}\)
Réflexions
Comme G (\(G = R / (R^2+X_C^2)\)) et B (\(B = X_C / (R^2+X_C^2)\)) sont toujours positifs (car R\(\ge\)0 et \(X_C\)>0), le lieu est confiné au premier quadrant (G>0, B>0). Le lieu est donc un demi-cercle.
Points de vigilance
Le cercle passe par l'origine (0,0), ce qui correspond à R=\(\infty\). Le point de départ R=0 est à \((0, 10 \text{ mS})\). Le sens de parcours (pour R croissant) est donc horaire.
Points à retenir
- Une droite \(\text{Im}(Z) = \text{constante}\) devient un cercle \((G-a)^2 + (B-b)^2 = r^2\) tangent à l'axe des G.
- Une droite \(\text{Re}(Z) = \text{constante}\) devient un cercle tangent à l'axe des B.
Le saviez-vous ?
Ce cercle est un "lieu à paramètre variable" (R). On peut aussi tracer des "lieux à fréquence variable" (où \(\omega\) varie). Dans ce cas, R et C sont fixes, et le lieu est aussi un cercle ! C'est la base de l'étude des filtres.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
Centre : \((0, 5 \text{ mS})\), Rayon : \( 5 \text{ mS} \).
A vous de jouer
Si le circuit était un RL série (R variable, L fixe), \(\underline{Z} = R + jX_L\). Le lieu de \(\underline{Y}\) serait-il dans le demi-plan B>0 (capacitif) ou B<0 (inductif) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Lieu d'admittance (cercle).
- Formule Essentielle : \(G^2 + (B - 1/2X_C)^2 = (1/2X_C)^2\).
- Point de Vigilance Majeur : Sens de parcours (horaire) et points R=0, R=\(\infty\).
Outil Interactif : Simulateur RC
Utilisez le slider pour faire varier la résistance R (de 0 à 500 \(\Omega\)) et observez le calcul de la conductance G et de la susceptance B. Le graphique montre le point correspondant sur le cercle des admittances. (Note: \(X_C\) est fixée à 100 \(\Omega\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un circuit RC série (R variable, C fixe), le lieu de l'impédance \(\underline{Z}\) décrit...
2. L'admittance \(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\) de ce même circuit (RC série, R variable) décrit...
3. Si une impédance vaut \(\underline{Z} = 10 - j10\) \(\Omega\), que vaut son admittance \(\underline{Y}\) ?
4. L'admittance d'un condensateur pur (\(\underline{Y}_C\)) est...
5. L'admittance d'une bobine pure (\(\underline{Y}_L\)) est...
Glossaire
- Admittance (\(\underline{Y}\))
- Inverse de l'impédance (\(1/\underline{Z}\)). Mesure la facilité avec laquelle un circuit laisse passer un courant alternatif. Unité : Siemens (S). \(\underline{Y} = G + jB\).
- Conductance (G)
- Partie réelle de l'admittance. Représente la dissipation d'énergie (effet Joule) dans le circuit. Unité : Siemens (S).
- Susceptance (B)
- Partie imaginaire de l'admittance. Représente la capacité du circuit à échanger de l'énergie réactive avec la source. Unité : Siemens (S).
- Lieu de Nyquist (ou Cercle)
- Représentation graphique d'une fonction de transfert (comme \(\underline{Y}\) ou \(\underline{Z}\)) dans le plan complexe lorsque la fréquence ou un paramètre du circuit varie.
- Inversion Complexe
- Transformation mathématique \(f(z) = 1/z\). Elle 'inverse' le plan complexe par rapport au cercle unité et transforme les droites en cercles (et vice-versa).
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