Circuits Électriques

Charge d’un condensateur à travers une résistance

Électricité : Charge d'un condensateur à travers une résistance

Charge d'un condensateur à travers une résistance

Contexte : Les Phénomènes Transitoires

Jusqu'à présent, nous avons étudié des circuits en régime permanent (continu ou sinusoïdal). Mais que se passe-t-il à l'instant précis où l'on ferme un interrupteur ? C'est le domaine des phénomènes transitoiresPhase de courte durée pendant laquelle un circuit passe d'un état stable à un autre, par exemple lors de la mise sous tension.. Le circuit RC (Résistance-Condensateur) est l'exemple le plus classique. Lorsqu'on le branche à une source de tension continue, le condensateurComposant qui stocke de l'énergie dans un champ électrique. ne se charge pas instantanément. La résistanceComposant qui limite le passage du courant. limite le courant, et la tension aux bornes du condensateur augmente progressivement selon une loi exponentielle, jusqu'à atteindre la tension de la source.

Remarque Pédagogique : L'étude du circuit RC est fondamentale car elle introduit le concept de "constante de temps", qui caractérise la rapidité d'un système à réagir à un changement. Cette notion se retrouve dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de régime transitoire et de constante de temps \(\tau\).
  • Calculer la constante de temps d'un circuit RC (\(\tau = RC\)).
  • Appliquer l'équation de la charge d'un condensateur : \(u_C(t) = U_G (1 - e^{-t/\tau})\).
  • Appliquer l'équation du courant de charge : \(i(t) = \frac{U_G}{R} e^{-t/\tau}\).
  • Déterminer la tension et le courant à un instant donné de la charge.

Données de l'étude

Un circuit RC série est composé d'un générateur de tension continue \(U_G = 10 \, \text{V}\), d'un interrupteur, d'une résistance \(R = 2 \, \text{k}\Omega\) et d'un condensateur de capacité \(C = 500 \, \mu\text{F}\), initialement déchargé. À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur.

Schéma du Circuit RC Série
U_G 10 V t=0 R=2kΩ C=500µF

Données :

  • Tension du générateur : \(U_G = 10 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 2 \, \text{k}\Omega = 2000 \, \Omega\)
  • Capacité : \(C = 500 \, \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Calculer la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur à l'instant \(t = 1 \, \text{s}\).
  3. Calculer l'intensité du courant \(i\) dans le circuit à ce même instant \(t = 1 \, \text{s}\).

Correction : Charge d'un condensateur à travers une résistance

Question 1 : Constante de Temps (\(\tau\))

Principe :

La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), caractérise la rapidité de la charge (ou de la décharge) d'un circuit RC. Elle est simplement le produit de la résistance et de la capacité. Plus \(\tau\) est grand, plus la charge est lente.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La constante de temps a une signification physique concrète : c'est le temps nécessaire pour que le condensateur atteigne environ 63% de sa charge maximale. Au bout de \(5\tau\), on considère généralement que le condensateur est complètement chargé (à plus de 99%).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = R \times C \]
Donnée(s) :
  • \(R = 2000 \, \Omega\)
  • \(C = 500 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau &= 2000 \times (500 \times 10^{-6}) \\ &= 1 \, \text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités SI : Pour obtenir une constante de temps en secondes (s), il est impératif que la résistance soit en Ohms (\(\Omega\)) et la capacité en Farads (F). Les préfixes k\(\Omega\), M\(\Omega\), mF, \(\mu\)F, nF, pF doivent être convertis.

Le saviez-vous ?

Les circuits RC sont à la base de la plupart des minuteurs et oscillateurs en électronique. En choisissant soigneusement les valeurs de R et C, on peut créer des temporisations très précises, de la microseconde à plusieurs minutes.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si la résistance est très faible ?

Si R est très faible, la constante de temps \(\tau\) est très petite. Le condensateur se charge alors quasi-instantanément. Cependant, cela provoque un appel de courant initial très élevé (\(I = U_G/R\)), qui peut endommager la source d'alimentation si elle n'est pas protégée.

Résultat : La constante de temps du circuit est \(\tau = 1 \, \text{s}\).

Question 2 : Tension aux bornes du Condensateur (\(u_C(t)\))

Principe :

La tension aux bornes d'un condensateur lors de sa charge dans un circuit RC ne monte pas instantanément. Elle suit une loi de croissance exponentielle qui tend vers la tension du générateur \(U_G\). La vitesse de cette croissance est déterminée par la constante de temps \(\tau\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La fonction \(e^{-t/\tau}\) représente la "part restante" de la charge. Au début (\(t=0\)), elle vaut 1, et la tension est nulle. À la fin (\(t \to \infty\)), elle vaut 0, et la tension atteint \(U_G\). À \(t=\tau\), elle vaut \(e^{-1} \approx 0.37\), donc la tension est à \(U_G(1-0.37) \approx 0.63 U_G\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_C(t) = U_G (1 - e^{-t/\tau}) \]
Donnée(s) :
  • \(U_G = 10 \, \text{V}\)
  • \(\tau = 1 \, \text{s}\)
  • \(t = 1 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u_C(1\text{s}) &= 10 \times (1 - e^{-1/1}) \\ &= 10 \times (1 - e^{-1}) \\ &\approx 10 \times (1 - 0.368) \\ &\approx 6.32 \, \text{V} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Utilisation de la calculatrice : Assurez-vous de savoir utiliser la fonction exponentielle (\(e^x\)) de votre calculatrice. Faites attention aux parenthèses pour calculer correctement \(1 - e^{-1}\) avant de multiplier par 10.

Le saviez-vous ?

Le nombre \(e\) (constante d'Euler), environ 2.718, est une constante mathématique fondamentale qui apparaît naturellement dans tous les phénomènes de croissance ou de décroissance proportionnels à la quantité existante, comme la croissance d'une population, la désintégration radioactive, ou la charge/décharge d'un condensateur.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si le condensateur était déjà un peu chargé au départ ?

Si le condensateur avait une tension initiale \(U_0\), l'équation deviendrait plus complexe : \(u_C(t) = U_G + (U_0 - U_G)e^{-t/\tau}\). La tension partirait de \(U_0\) et tendrait exponentiellement vers la tension finale \(U_G\).

Résultat : À \(t=1\text{s}\), la tension aux bornes du condensateur est d'environ \(6.32 \, \text{V}\).

Question 3 : Intensité du Courant (\(i(t)\))

Principe :

Au moment où l'on ferme l'interrupteur (\(t=0\)), le condensateur est vide et se comporte comme un court-circuit. Le courant est alors maximal, limité uniquement par la résistance : \(I_0 = U_G/R\). Ensuite, à mesure que le condensateur se charge, la tension à ses bornes augmente, s'opposant à celle du générateur. Le courant diminue donc de manière exponentielle, jusqu'à devenir nul lorsque le condensateur est plein.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le courant et la tension dans un circuit RC ont des comportements opposés pendant la charge : quand la tension monte exponentiellement vers sa valeur maximale, le courant chute exponentiellement vers zéro.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i(t) = \frac{U_G}{R} e^{-t/\tau} \]
Donnée(s) :
  • \(U_G = 10 \, \text{V}\)
  • \(R = 2000 \, \Omega\)
  • \(\tau = 1 \, \text{s}\)
  • \(t = 1 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} i(1\text{s}) &= \frac{10}{2000} e^{-1/1} \\ &= 0.005 \times e^{-1} \\ &\approx 0.005 \times 0.368 \\ &\approx 0.00184 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Courant initial vs. courant à l'instant t : Ne pas confondre le courant initial \(I_0 = U_G/R\) avec le courant à un instant \(t\) donné. Le courant diminue constamment à partir de cette valeur initiale.

Le saviez-vous ?

Le flash d'un appareil photo utilise ce principe. Un condensateur est chargé lentement par la batterie. Lorsque l'on prend la photo, le condensateur se décharge très rapidement à travers la lampe flash, libérant une grande quantité d'énergie en un temps très court, ce qui produit un éclair lumineux intense.

FAQ en rapport avec la question :
Comment est liée l'équation du courant et celle de la tension ?

Le courant est lié à la variation de la tension du condensateur par la relation \(i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}\). Si l'on dérive l'expression de \(u_C(t) = U_G (1 - e^{-t/\tau})\), on obtient bien l'expression de \(i(t)\).

Résultat : À \(t=1\text{s}\), le courant dans le circuit est d'environ \(1.84 \, \text{mA}\).

Simulation Interactive

Faites varier la résistance et la capacité. Observez comment la constante de temps \(\tau\) change et comment cela affecte la vitesse de charge du condensateur.

Paramètres du Circuit RC
Constante de Temps τ
Courbe de Charge du Condensateur

Pour Aller Plus Loin : Le Circuit RL

L'effet inverse : Le circuit RL (Résistance-Bobine) présente un comportement transitoire "dual" de celui du circuit RC. Lorsqu'on le branche à une source de tension, c'est le courant qui augmente exponentiellement (de 0 à \(U_G/R\)), tandis que la tension aux bornes de la bobine chute exponentiellement (de \(U_G\) à 0). La constante de temps est alors \(\tau = L/R\).

Le Saviez-Vous ?

Les circuits RC sont utilisés pour créer des circuits "anti-rebond" pour les boutons et interrupteurs. Un interrupteur mécanique ne se ferme jamais parfaitement : il y a de minuscules rebonds qui créent des contacts multiples très rapides. Un circuit RC lisse ces transitions rapides, assurant qu'un microcontrôleur ne voit qu'une seule pression sur le bouton.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il pendant la décharge ?

Si un condensateur chargé est connecté à une résistance, il se décharge à travers elle. La tension et le courant suivent tous deux une décroissance exponentielle vers zéro, avec la même constante de temps \(\tau = RC\). Les équations sont \(u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}\) et \(i(t) = -(U_0/R) e^{-t/\tau}\), où \(U_0\) est la tension initiale.

La résistance du générateur a-t-elle un impact ?

Oui. Un générateur réel possède une résistance interne \(R_G\). Cette résistance s'ajoute en série à la résistance \(R\) du circuit. La constante de temps réelle est donc \(\tau = (R + R_G)C\), ce qui ralentit légèrement la charge.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RC, si on double la valeur de la résistance R, la constante de temps \(\tau\) :

2. À l'instant \(t=0\) (fermeture de l'interrupteur), le courant dans un circuit RC est :

Glossaire

Circuit RC
Un circuit composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est le circuit de base pour étudier les phénomènes transitoires.
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent d'un état stable initial à un nouvel état stable final après une perturbation (ex: fermeture d'un interrupteur).
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RC, \(\tau = RC\). C'est une mesure de la rapidité de la charge ou de la décharge. Après un temps \(t=\tau\), le système a effectué environ 63% de son changement total.
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