Chute de Tension dans une Ligne d'Alimentation
Contexte : L'alimentation d'un moteur électrique.
Dans de nombreuses installations industrielles ou agricoles, les équipements électriques comme les moteurs sont souvent situés à une distance considérable de leur source d'alimentation. Cette distance, matérialisée par un long câble électrique, n'est pas sans conséquence. Le câble lui-même possède une résistance qui provoque une perte d'énergie sous forme de chaleur et, plus important encore, une chute de tensionDiminution de la tension électrique le long d'un conducteur, due à l'impédance du câble et au courant qui le traverse.. Si cette chute est trop importante, le moteur ne recevra pas la tension nécessaire à son bon fonctionnement, ce qui peut entraîner une baisse de performance, une surchauffe, voire l'impossibilité de démarrer. Cet exercice a pour but de quantifier ce phénomène.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la chute de tension dans une ligne triphasée, une compétence essentielle pour tout électricien ou ingénieur afin de dimensionner correctement les câbles d'alimentation et garantir la sécurité et l'efficacité des installations.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le courant nominal absorbé par un moteur triphasé.
- Déterminer la résistance d'un câble en fonction de sa longueur, sa section et son matériau.
- Appliquer la formule de la chute de tension en régime triphasé.
- Vérifier la conformité d'une installation par rapport aux normes usuelles.
Données de l'étude
Schéma de l'installation électrique
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension d'alimentation (triphasé) | U | 400 V |
| Puissance utile du moteur | P | 15 kW |
| Facteur de puissance | cos(φ) | 0.85 |
| Longueur du câble | L | 250 m |
| Section du câble en cuivre | S | 16 mm² |
| Résistivité du cuivre à 20°C | ρ | 1.72 x 10⁻⁸ Ω.m |
| Réactance linéique du câble | X | 0.08 Ω/km |
Questions à traiter
- Calculer le courant nominal (I) absorbé par le moteur.
- Calculer la résistance totale (R) du câble d'alimentation.
- Calculer la chute de tension totale (ΔU) dans le câble, en volts et en pourcentage.
- La chute de tension est-elle acceptable si la norme impose une valeur inférieure à 5% ?
Les bases de l'électricité
Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques formules fondamentales en électricité, notamment pour les systèmes triphasés.
1. Puissance en Triphasé
La puissance active (P) dans un circuit triphasé équilibré est donnée par :
\[ P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\varphi) \]
Où U est la tension entre phases, I le courant de ligne, et cos(φ) le facteur de puissance.
2. Résistance d'un Conducteur
La résistance (R) d'un câble est calculée avec la loi de Pouillet :
\[ R = \rho \cdot \frac{L}{S} \]
Avec ρ (rho) la résistivité du matériau, L la longueur et S la section du conducteur.
Correction : Chute de Tension dans une Ligne d'Alimentation
Question 1 : Calculer le courant nominal (I) absorbé par le moteur.
Principe
Le courant nominal est le courant que le moteur absorbe lorsqu'il fonctionne à sa puissance nominale. Pour le trouver, il faut utiliser la formule de la puissance en triphasé et isoler l'inconnue, qui est le courant I.
Mini-Cours
La puissance d'un moteur a trois facettes : la puissance active (P, en Watts), qui produit le travail mécanique ; la puissance réactive (Q, en VAR), nécessaire à la magnétisation du moteur ; et la puissance apparente (S, en VA), qui est la somme vectorielle des deux. La formule utilisée ici concerne la puissance active, car c'est celle qui est donnée dans l'énoncé.
Remarque Pédagogique
En pratique, le courant nominal est toujours indiqué sur la plaque signalétique du moteur. Savoir le calculer à partir de la puissance est cependant crucial pour le dimensionnement initial d'une installation, lorsque le matériel n'est pas encore choisi.
Normes
Les normes, comme la IEC 60034-1, définissent les classes de rendement pour les moteurs. Dans notre calcul, nous considérons la puissance utile (15 kW) comme étant la puissance absorbée. Un calcul plus rigoureux diviserait cette puissance par le rendement (généralement entre 0.85 et 0.95) pour obtenir la puissance électrique réellement consommée.
Formule(s)
Formule de la puissance active
Formule du courant
Hypothèses
- Le réseau est parfaitement équilibré.
- La tension de 400V est stable et constante.
- Le rendement du moteur est de 100% (puissance absorbée = puissance utile).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance utile | P | 15 | kW |
| Tension | U | 400 | V |
| Facteur de puissance | cos(φ) | 0.85 | - |
Astuces
Pour une estimation très rapide en 400V triphasé, on utilise souvent un ratio d'environ 1.5 à 2 Ampères par kW, selon le rendement et le cos(φ). Pour 15 kW, on s'attend donc à un courant entre 22.5 A et 30 A, ce qui confirme notre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation électrique
Calcul(s)
Conversion de la puissance en Watts
Calcul du courant nominal I
Schéma (Après les calculs)
Courant Nominal dans la Ligne
Réflexions
Un courant de 25.47 A est une valeur significative. C'est ce courant qui, en circulant dans la résistance du câble, va provoquer l'échauffement et la chute de tension que nous allons calculer ensuite.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est d'oublier le facteur \(\sqrt{3}\), qui est spécifique aux calculs de puissance en triphasé avec la tension entre phases. Oublier de convertir les kW en W est également une source d'erreur fréquente.
Points à retenir
- La relation entre puissance, tension, courant et facteur de puissance est fondamentale en triphasé.
- La formule à maîtriser est : \( I = P / (\sqrt{3} \cdot U \cdot \cos\varphi) \).
Le saviez-vous ?
Le système triphasé a été popularisé par Nikola Tesla à la fin du 19ème siècle. Il permet de transporter plus de puissance avec moins de cuivre qu'un système monophasé équivalent, ce qui le rend universel pour la distribution d'énergie et l'alimentation des machines industrielles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le moteur avait une puissance de 22 kW avec le même cos(φ), quel serait le nouveau courant ?
Question 2 : Calculer la résistance totale (R) du câble d'alimentation.
Principe
La résistance du câble dépend de ses caractéristiques physiques : sa longueur, sa section (son "diamètre") et le matériau qui le compose (ici, le cuivre). On utilise la loi de Pouillet pour la calculer.
Mini-Cours
La résistivité (ρ) est une propriété fondamentale d'un matériau. Les meilleurs conducteurs (argent, cuivre, or) ont une très faible résistivité. Les isolants ont une résistivité extrêmement élevée. La résistance dépend aussi de la température : pour la plupart des métaux, la résistance augmente avec la température. Les calculs se font généralement à 20°C, mais des facteurs de correction existent pour des températures de fonctionnement plus élevées.
Remarque Pédagogique
Ce calcul montre qu'un câble n'est jamais un conducteur parfait. Même si sa résistance est faible, elle n'est pas nulle. Sur de grandes longueurs, cette petite résistance par mètre s'accumule et devient un facteur déterminant, comme nous le verrons pour la chute de tension.
Normes
Les normes de fabrication des câbles (ex: IEC 60228) spécifient les résistances linéiques maximales (en Ω/km) pour chaque section et type de conducteur (cuivre, aluminium). Les fabricants garantissent que leurs câbles respectent ces valeurs.
Formule(s)
Loi de Pouillet
Hypothèses
- Le câble est de section uniforme sur toute sa longueur.
- La température du conducteur est de 20°C (température pour laquelle la résistivité est donnée).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistivité du cuivre | ρ | 1.72 x 10⁻⁸ | Ω.m |
| Longueur du câble | L | 250 | m |
| Section du câble | S | 16 | mm² |
Points de vigilance
Attention aux unités ! C'est le piège principal de ce calcul. La résistivité (ρ) est en Ω.m, la longueur (L) en m, mais la section (S) est en mm². Il est impératif de tout convertir dans le Système International (mètres, m²) avant le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres physiques d'un conducteur
Calcul(s)
Conversion de la section en m²
Calcul de la résistance R
Schéma (Après les calculs)
Modèle électrique équivalent du câble
Réflexions
Une résistance de 0.269 Ω peut paraître très faible. Cependant, un courant de 25 A la traversant va déjà dissiper une puissance par effet Joule (P = R*I²) et créer une chute de tension (U = R*I) non négligeable, ce qui justifie l'étape suivante du calcul.
Points à retenir
- La résistance est proportionnelle à la longueur et inversement proportionnelle à la section.
- La conversion des mm² en m² (\(10^{-6}\)) est une étape critique à ne jamais oublier.
Le saviez-vous ?
Si l'on refroidit certains matériaux à des températures proches du zéro absolu (-273.15 °C), leur résistivité tombe brutalement à zéro. C'est le phénomène de la supraconductivité. Un courant lancé dans une boucle supraconductrice pourrait y circuler éternellement sans perte d'énergie !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la résistance si on utilisait un câble en aluminium (ρ = 2.82 x 10⁻⁸ Ω.m) de même taille ?
Question 3 : Calculer la chute de tension totale (ΔU) dans le câble.
Principe
La chute de tension n'est pas simplement R*I. Dans un circuit alternatif avec des charges comme des moteurs, il faut aussi tenir compte de la réactancePartie imaginaire de l'impédance, due aux effets inductifs et capacitifs, qui déphase le courant par rapport à la tension. du câble et du déphasage (cos φ) du courant. On utilise une formule approchée mais très précise pour les installations courantes.
Mini-Cours
En courant alternatif, la tension et le courant ne sont pas toujours en phase. La chute de tension totale est la somme vectorielle de la chute de tension résistive (due à R, en phase avec I) et de la chute de tension inductive (due à X, en quadrature avec I). La formule utilisée est une projection de ces vecteurs qui donne une excellente approximation du résultat final sans passer par des calculs complexes.
Remarque Pédagogique
Comprendre que la chute de tension a deux composantes (résistive et réactive) est essentiel. Pour les câbles de petite section, la composante résistive domine. Pour les très grosses sections ou les lignes à haute tension, la composante réactive (inductive) devient prépondérante.
Formule(s)
Formule de la chute de tension triphasée
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant nominal | I | 25.47 | A |
| Résistance totale | R | 0.269 | Ω |
| Réactance totale | X | 0.02 | Ω |
| Facteur de puissance | cos(φ) | 0.85 | - |
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Fresnel (vectoriel) de la chute de tension
Calcul(s)
Calcul de sin(φ)
Calcul de la réactance totale du câble
Calcul de la chute de tension en Volts
Calcul de la chute de tension en pourcentage
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Chute de Tension
Réflexions
Une perte de 10.55V signifie que le moteur, au lieu d'être alimenté en 400V, ne reçoit qu'environ 389.45V. Le calcul en pourcentage (2.64%) est plus universel car il permet de juger de la sévérité de la chute indépendamment de la tension de départ.
Points de vigilance
Les erreurs classiques sont : oublier le \(\sqrt{3}\), utiliser cos(φ) pour les deux termes de la parenthèse, ou se tromper dans les unités de la réactance (Ω/km vs Ω).
Points à retenir
- La chute de tension dépend à la fois de la résistance et de la réactance du câble.
- La formule \(\Delta U \approx \sqrt{3} \cdot I \cdot (R \cos\varphi + X \sin\varphi)\) est essentielle pour le dimensionnement des câbles en triphasé.
Le saviez-vous ?
Pour transporter l'électricité sur de très longues distances, on utilise de très hautes tensions (ex: 400 000 V). En augmentant la tension par 1000 (de 400V à 400kV), on divise le courant par 1000 pour la même puissance. Comme les pertes sont en I², elles sont divisées par un million ! Cela rend le transport de l'énergie beaucoup plus efficace.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le pourcentage de chute de tension si le moteur avait un très mauvais facteur de puissance de 0.7 ?
Question 4 : La chute de tension est-elle acceptable ?
Principe
Les normes électriques (comme la NF C 15-100 en France) imposent des limites à la chute de tension pour garantir que les appareils fonctionnent correctement. Pour les circuits moteurs, cette limite est souvent fixée à 5% en régime établi.
Mini-Cours
Une tension trop basse en bout de ligne a des conséquences néfastes : les moteurs perdent du couple et peuvent surchauffer (car pour fournir la même puissance mécanique, ils doivent "tirer" plus de courant), les éclairages baissent d'intensité, et les appareils électroniques peuvent dysfonctionner. Les limites normatives visent à prévenir ces problèmes.
Normes
En France, la norme NF C 15-100 fixe les chutes de tension maximales entre l'origine de l'installation et tout point d'utilisation. Elles sont de 3% pour l'éclairage et de 5% pour les autres usages (prises de courant, moteurs). Ces valeurs peuvent être plus strictes dans certains cas (locaux médicaux, etc.).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Chute de tension calculée | 2.64 % |
| Chute de tension maximale admise | 5 % |
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la Vérification
Calcul(s)
Comparaison à la norme
Schéma (Après les calculs)
Jauge de conformité
Réflexions
Notre installation est bien dimensionnée pour un fonctionnement normal. La marge de sécurité (5% - 2.64% = 2.36%) est confortable et permet d'absorber de légères variations de tension du réseau ou une charge moteur un peu plus élevée que la nominale sans sortir des clous réglementaires.
Points à retenir
Le calcul de la chute de tension est une étape de vérification cruciale dans la conception d'une installation électrique. Un câble peut être capable de supporter le courant sans surchauffer (critère d'échauffement), mais être trop long et provoquer une chute de tension inacceptable (critère de chute de tension). C'est souvent ce deuxième critère qui est le plus contraignant pour les longues distances.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En gardant toutes les autres données, quelle serait la longueur maximale approximative du câble pour rester juste en dessous de la limite de 5% ?
Outil Interactif : Simulateur de Chute de Tension
Utilisez les curseurs ci-dessous pour voir comment la longueur du câble et le courant du moteur influencent la chute de tension. Les autres paramètres (section, matériau, tension...) sont ceux de l'exercice.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal d'une augmentation de la longueur d'un câble sur la chute de tension ?
2. Si on remplace un câble en cuivre par un câble en aluminium de même section et longueur, la résistance sera...
3. Un facteur de puissance (cos φ) faible (ex: 0.7) par rapport à un facteur élevé (ex: 0.95)...
4. Pour réduire la chute de tension dans un câble existant, la solution la plus efficace est de :
5. Laquelle de ces unités n'est PAS une unité de résistance électrique ?
- Chute de tension
- Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur, due à l'impédance du câble et au courant qui le traverse. Une chute de tension excessive peut nuire au bon fonctionnement des appareils.
- Résistivité (ρ)
- Propriété intrinsèque d'un matériau qui mesure sa capacité à s'opposer au passage du courant électrique. Plus la résistivité est faible, meilleur est le conducteur (ex: cuivre, argent).
- Facteur de puissance (cos φ)
- Valeur sans unité dans un circuit à courant alternatif qui représente le rapport entre la puissance active (qui produit un travail) et la puissance apparente (fournie par la source). Un facteur proche de 1 indique une utilisation efficace de l'énergie.
- Réactance (X)
- Opposition au passage d'un courant alternatif due aux effets inductifs (bobines, câbles longs) et capacitifs d'un circuit. Elle se mesure en Ohms, comme la résistance.
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