Circuit mixte : Trouver la résistance équivalente
📝 Situation du Projet et Environnement
Vous avez récemment intégré le département R&D de "Power Systems", un leader européen dans la conception de bancs de test pour l'électronique de puissance. Le projet actuel concerne la validation d'un nouveau module de décharge pour batteries industrielles haute capacité (Li-Ion et Plomb-Acide). Ces batteries, utilisées dans les data centers pour les onduleurs de secours (UPS), doivent subir des cycles de décharge contrôlés pour vérifier leur endurance.
Pour simuler une charge réelle sans renvoyer d'énergie sur le réseau (ce qui complexifierait l'homologation), l'équipe a opté pour un Module de Charge Passif (MCP). Ce module est une armoire ventilée contenant un réseau de résistances de puissance en céramique, capables de dissiper l'énergie électrique sous forme de chaleur par effet Joule. Le système est installé dans la Zone de Test A2, un environnement contrôlé où la température et l'humidité sont surveillées en permanence.
Le problème actuel réside dans la configuration du câblage. Pour obtenir la valeur de charge précise requise par le cahier des charges client (qui spécifie un courant de décharge exact sous 24V), les techniciens ont dû réaliser un montage hybride, mêlant des connexions en série et en parallèle, en utilisant les composants disponibles en stock. Il est crucial de valider mathématiquement cette configuration avant la mise sous tension réelle, car une résistance totale trop faible provoquerait un appel de courant supérieur aux 10A tolérés par le générateur de test, risquant de déclencher les protections thermiques ou d'endommager l'alimentation de laboratoire.
En tant qu'Ingénieur d'Études Électriques, votre responsabilité est double : 1) Modéliser précisément le schéma électrique équivalent de l'installation physique actuelle, et 2) Calculer la résistance totale (\(R_{\text{eq}}\)) vue par le générateur. Cette valeur servira de référence pour le paramétrage du logiciel de supervision. Vous devez justifier chaque étape de simplification topologique pour le dossier de certification.
"Rappel impératif : Avant toute mise sous tension, le calcul théorique doit être validé. Le générateur est limité à 10 Ampères. Si votre calcul de résistance équivalente aboutit à une valeur inférieure à 2.4 Ohms (loi d'Ohm : 24V / 10A = 2.4Ω), le test est annulé pour éviter la destruction du fusible interne. Soyez rigoureux sur l'identification des nœuds."
Pour mener à bien le dimensionnement, vous disposez ci-dessous de l'inventaire complet des composants installés dans l'armoire MCP. Ces valeurs sont issues des fiches techniques constructeur (Datasheets) et ont été vérifiées au multimètre de précision avant câblage.
📚 Référentiel Normatif & Théorique
Les calculs doivent être conformes aux lois fondamentales de l'électrocinétique en régime continu (DC) :
Loi d'Ohm (U=RI) Lois de Kirchhoff (Nœuds/Mailles) Théorème de Thévenin (si besoin) Norme NFC 15-100 (Câblage)| Désignation | Valeur Nominale | Type / Technologie | Fonction dans le circuit |
|---|---|---|---|
| SECTION D'ENTRÉE & SORTIE (LIGNE PRINCIPALE) | |||
| \(R_1\) | 10 \(\,\Omega\) | Céramique Bobinée (50W) | Résistance de protection amont (limitation courant d'appel) |
| \(R_6\) | 5 \(\,\Omega\) | Shunt de précision | Résistance de mesure de courant (Retour à la masse) |
| BRANCHE DE DISSIPATION A (HAUTE) | |||
| \(R_2\) | 100 \(\,\Omega\) | Résistance de puissance (100W) | Charge principale de la voie A |
| BRANCHE DE DISSIPATION B (BASSE - COMPLEXE) | |||
| \(R_3\) | 60 \(\,\Omega\) | Céramique Bobinée | Résistance série de la voie B |
| \(R_4\) | 40 \(\,\Omega\) | Film Métallique | Charge secondaire B1 (montée en parallèle avec R5) |
| \(R_5\) | 40 \(\,\Omega\) | Film Métallique | Charge secondaire B2 (montée en parallèle avec R4) |
| Donnée | Symbole | Unité | Nature |
|---|---|---|---|
| Résistance Équivalente Sous-Groupe | \(R_{\text{45}}\) | Ohm (\(\,\Omega\)) | Intermédiaire |
| Résistance Équivalente Branche Basse | \(R_{\text{bas}}\) | Ohm (\(\,\Omega\)) | Intermédiaire |
| Résistance Équivalente Bloc Parallèle | \(R_{\text{para}}\) | Ohm (\(\,\Omega\)) | Intermédiaire |
| Résistance Totale du Réseau | \(R_{\text{eq}}\) | Ohm (\(\,\Omega\)) | Finale |
E. Protocole de Résolution
Pour résoudre ce circuit mixte sans erreur, nous devons adopter une approche méthodique dite "par réduction successive". Imaginez que vous pelez un oignon : nous allons partir de la couche la plus interne pour remonter vers la source.
Simplification Profonde (Niveau 2)
Identification et calcul de la maille la plus imbriquée : le parallèle entre les résistances R4 et R5.
Réduction de la Branche Inférieure
Addition de la résistance série R3 avec le résultat précédent pour obtenir l'impédance totale de la branche du bas.
Calcul du Nœud Principal
Fusion de la branche supérieure (R2) et de la branche inférieure (calculée) en un seul bloc équivalent.
Agrégation Finale
Addition des résistances en série restantes (R1, Bloc Central, R6) pour obtenir la résistance totale.
Circuit mixte : Trouver la résistance équivalente
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif premier de cette étude est de simplifier la topologie du circuit en s'attaquant à la maille la plus "distante" électriquement de la source de tension. Nous devons transformer le dipôle constitué par les résistances \(R_4\) et \(R_5\), physiquement connectées en dérivation, en une résistance virtuelle unique notée \(R_{\text{45}}\). Cette étape est fondamentale car elle permet de supprimer un nœud de courant complexe et de ramener cette partie du circuit à un simple composant en série, rendant possible les calculs ultérieurs.
📚 Référentiel
Loi d'Additivité des Conductances (G = 1/R) Théorème de Thévenin (Application locale)Pourquoi commencer par \(R_4\) et \(R_5\) ? En analysant le schéma de câblage, nous observons que le courant principal qui a traversé \(R_3\) arrive à un point de divergence (nœud). À cet endroit précis, le flux d'électrons se scinde en deux : une partie traverse \(R_4\) et l'autre traverse \(R_5\). Ces deux courants se rejoignent immédiatement après, sans traverser d'autres composants. C'est la définition absolue d'un montage en parallèle : les deux composants partagent exactement la même tension à leurs bornes (\(U_{R4} = U_{R5}\)). Pour simplifier le schéma, nous devons imaginer remplacer ces deux composants physiques par un seul composant théorique qui laisserait passer exactement la même quantité de courant total pour la même tension appliquée.
Dans un circuit électrique, placer des résistances en parallèle revient à offrir plusieurs chemins simultanés au passage du courant. C'est analogue à l'ouverture de plusieurs voies de circulation sur une autoroute : cela fluidifie le trafic. En termes physiques, cela signifie que la conductance totale du circuit augmente. Puisque la résistance est l'inverse de la conductance (\(R = 1/G\)), la résistance équivalente d'un groupement parallèle diminue. Règle d'or : La résistance équivalente d'un groupe parallèle est toujours strictement inférieure à la plus petite des résistances qui le composent.
[Fig 1.1] Visualisation de la simplification : les deux chemins (R4, R5) sont remplacés par un chemin unique équivalent.
📋 Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Résistance \(R_4\) | 40 \(\,\Omega\) |
| Résistance \(R_5\) | 40 \(\,\Omega\) |
Cas particulier très fréquent : Lorsque deux résistances en parallèle ont exactement la même valeur (ici 40 \(\,\Omega\)), le courant se partage en deux parts parfaitement égales. La résistance au passage du courant est donc divisée par deux. Sans calculatrice, on peut prédire que le résultat sera \(R/2\), soit 20 \(\,\Omega\).
📝 Calcul Détaillé de \(R_{\text{45}}\)
Nous allons procéder au calcul de la résistance équivalente en appliquant la formule du "Produit sur Somme" aux valeurs de \(R_4\) et \(R_5\).
Le calcul confirme notre prédiction. L'ensemble formé par R4 et R5 se comporte électriquement comme un conducteur unique de 20 Ohms.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons réussi la première simplification topologique. Dans notre modèle mathématique, nous pouvons désormais effacer les résistances \(R_4\) et \(R_5\) ainsi que la boucle qu'elles formaient, pour les remplacer par une simple boîte noire de résistance \(20 \, \Omega\). Cette boîte noire est connectée directement à la suite de la résistance \(R_3\). Le circuit est devenu plus linéaire.
Le résultat obtenu (20 \(\,\Omega\)) est bien inférieur à chacune des résistances individuelles (40 \(\,\Omega\)). L'ordre de grandeur est cohérent avec la théorie des circuits parallèles.
Attention ! La formule "Produit sur Somme" ne fonctionne strictement que pour DEUX résistances. Si vous aviez trois résistances en parallèle (R4 // R5 // R6), il faudrait utiliser la formule générale des inverses ou procéder par paires successives. Ne jamais faire \((R_A \times R_B \times R_C) / (R_A + R_B + R_C)\), c'est faux dimensionnellement.
🎯 Objectif Scientifique
Maintenant que l'extrémité de la branche inférieure a été modélisée par \(R_{\text{45}}\), nous devons considérer l'ensemble de cette voie de circulation. L'objectif est de fusionner la résistance amont \(R_3\) avec notre nouvelle résistance virtuelle \(R_{\text{45}}\) pour obtenir une résistance unique \(R_{\text{bas}}\) représentant l'impédance totale que le courant rencontre lorsqu'il choisit de passer par le bas du circuit.
📚 Référentiel
Loi d'Additivité des Tensions (Loi des Mailles) Loi d'Ohm généraliséeAnalysons le parcours des électrons. Tout courant qui traverse \(R_3\) n'a pas d'autre choix que de traverser ensuite le bloc \(R_{\text{45}}\) pour rejoindre le point de sortie de cette branche (le Nœud B). Il n'y a aucune fuite de courant ni aucune injection de courant entre \(R_3\) et \(R_{\text{45}}\). Ces deux éléments sont parcourus séquentiellement par le même flux. Ils sont donc topologiquement en série. C'est la configuration la plus simple à calculer.
Dans un montage en série, les composants sont placés les uns à la suite des autres sur la même branche. Les obstacles au passage du courant s'accumulent : l'énergie dissipée par le premier composant s'ajoute à celle dissipée par le second. La résistance totale est donc strictement égale à la somme arithmétique des résistances individuelles. \(R_{\text{tot}} > \max(R_i)\).
[Fig 1.2] Les deux composants séquentiels sont fusionnés en une seule impédance globale.
📐 Formule Clé : Somme Série
Pour des résistances en série, l'additivité est directe :
Cette propriété découle directement de la conservation de l'énergie (somme des chutes de tension).
📋 Étape 1 : Données Mécaniques
| Composant | Valeur |
|---|---|
| Résistance \(R_3\) | 60 \(\,\Omega\) |
| Résistance Virtuelle \(R_{\text{45}}\) (calculée précédemment) | 20 \(\,\Omega\) |
La valeur de la résistance équivalente en série est toujours supérieure à la plus grande des résistances individuelles. C'est un moyen rapide de vérifier votre calcul : si vous trouvez un résultat inférieur à 60 \(\,\Omega\), vous avez fait une erreur.
📝 Calcul Détaillé de \(R_{\text{bas}}\)
Nous réalisons la somme des résistances présentes sur la branche inférieure.
La branche inférieure peut désormais être vue, depuis les nœuds principaux A et B, comme une unique résistance de 80 Ohms.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons terminé la simplification de la branche la plus complexe. Le circuit, qui ressemblait initialement à une structure en "Y" couchée, est maintenant réduit à deux simples fils parallèles entre les points A et B : le fil du haut (R2) et le fil du bas (notre nouvelle Rbas). Nous avons transformé une structure complexe en un simple dipôle parallèle.
La résistance totale (80 \(\,\Omega\)) est supérieure à chacune des composantes (60 et 20). C'est normal : en série, "le tout est plus grand que la partie".
Erreur classique : Ne jamais additionner \(R_3\) avec \(R_4\) ou \(R_5\) individuellement. Il faut impérativement calculer l'équivalent du groupe parallèle AVANT de faire l'addition série. L'ordre des opérations est crucial en topologie électrique.
🎯 Objectif Scientifique
Nous sommes arrivés à l'étape charnière de la résolution. Notre schéma simplifié présente maintenant deux grandes branches parallèles connectées aux nœuds A et B : la branche du haut (résistance \(R_2\)) et la branche du bas (résistance équivalente \(R_{\text{bas}}\)). L'objectif est de fusionner ces deux voies massives pour obtenir une résistance unique, appelée \(R_{\text{central}}\), qui représentera l'impédance totale du cœur du module MCP.
📚 Référentiel
Loi des Nœuds (Kirchhoff) Diviseur de CourantAvant de calculer, posons-nous la question de la distribution du courant. Le courant arrive au nœud A et doit choisir entre deux chemins :
- Chemin 1 (Haut) : obstacle de \(100 \, \Omega\)
- Chemin 2 (Bas) : obstacle de \(80 \, \Omega\)
L'électricité étant "paresseuse" (principe de moindre action), elle passera majoritairement là où la résistance est la plus faible. Le chemin du bas (80 \(\,\Omega\)) drainera donc plus de courant que celui du haut. La résistance globale, facilitant le passage par rapport à un seul chemin, sera nécessairement inférieure à la plus petite des deux valeurs, soit < 80 \(\,\Omega\). C'est notre balise de contrôle.
Dans un montage en parallèle, la conductance totale est la somme des conductances individuelles. Cela signifie que chaque branche ajoutée augmente la capacité du circuit à laisser passer le courant, diminuant ainsi la résistance globale.
[Fig 1.3] La structure massive en parallèle est ramenée à un bloc unique.
📐 Formule Clé : Produit sur Somme
Nous appliquons de nouveau la formule de réduction parallèle pour deux dipôles :
Ici, \(R_A\) correspond à \(R_2\) et \(R_B\) correspond à \(R_{\text{bas}}\).
📋 Étape 1 : Données
| Branche | Résistance |
|---|---|
| Haut (\(R_2\)) | 100 \(\,\Omega\) |
| Bas (\(R_{\text{bas}}\)) | 80 \(\,\Omega\) |
Lorsque les deux résistances sont assez proches en valeur (comme 80 et 100), le résultat se situe souvent un peu en dessous de la moitié de la plus grande. Ici, moitié de 100 est 50. On s'attend à un résultat autour de 40-50 \(\,\Omega\).
📝 Calcul Détaillé de \(R_{\text{central}}\)
Nous fusionnons les deux branches principales.
En ingénierie, on garde généralement 2 décimales pour ce type de calcul sauf précision contraire.
La valeur obtenue (44.44) est bien inférieure à 80, ce qui valide notre hypothèse de départ.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Toute la complexité centrale du circuit (la structure en boucle) a disparu. Mathématiquement, nous avons remplacé tout le réseau de résistances situé entre les bornes internes par une seule résistance équivalente de 44.44 Ohms. Le schéma est maintenant réduit à une simple ligne droite comportant trois résistances en série.
La valeur obtenue (44.44 \(\,\Omega\)) est bien inférieure à 80 \(\,\Omega\) (la plus petite des deux branches). Notre "balise de contrôle" est respectée. Le calcul est physiquement plausible.
Lors de l'arrondi (44.444...), veillez à conserver suffisamment de décimales pour ne pas fausser le calcul final, surtout si les courants sont élevés. Un arrondi à deux décimales est un minimum en électrotechnique.
🎯 Objectif Scientifique
C'est l'ultime étape du dimensionnement. Nous disposons désormais d'un circuit linéaire ultra-simplifié, composé de trois résistances placées les unes à la suite des autres : la résistance d'entrée (\(R_1\)), notre bloc central équivalent fraîchement calculé (\(R_{\text{central}}\)), et la résistance de sortie (\(R_6\)). L'objectif est de calculer la Résistance Équivalente Totale (\(R_{\text{eq\_tot}}\)) vue par les bornes du générateur, afin de vérifier si elle respecte la limite de sécurité.
📚 Référentiel
Loi d'Additivité des Résistances (Série) Loi d'Ohm (Vérification Courant)Le courant total \(I_{\text{total}}\) fourni par le générateur sort de la borne positive, traverse obligatoirement \(R_1\) (protection), pénètre dans le bloc central (charge utile), en ressort pour traverser \(R_6\) (mesure), et retourne enfin à la borne négative. Le courant est constant tout au long de ce trajet linéaire. Il n'y a plus de nœuds de dérivation. La résistance totale est donc simplement la somme des obstacles rencontrés sur ce trajet unique.
Dans un circuit série pur, la résistance équivalente est la somme de toutes les résistances. C'est la configuration qui offre la plus grande résistance possible pour un ensemble de composants donnés.
[Fig 1.4] L'intégralité du système est modélisée par une unique résistance équivalente.
📐 Formule Clé : Somme Série Finale
L'équation finale du système est :
📋 Étape 1 : Données Finales
| Position | Composant | Valeur |
|---|---|---|
| Entrée | \(R_1\) | 10 \(\,\Omega\) |
| Cœur | \(R_{\text{central}}\) | 44.44 \(\,\Omega\) |
| Sortie | \(R_6\) | 5 \(\,\Omega\) |
N'oubliez jamais les petites résistances de ligne ou de protection (comme R1 et R6). Bien que faibles par rapport aux charges principales, elles peuvent représenter 10 à 20% de la résistance totale et modifier significativement le courant final.
📝 Calcul Final de \(R_{\text{eq\_tot}}\)
Nous additionnons les trois résistances en série.
Le générateur "voit" une charge unique et constante de 59.44 Ohms. C'est cette valeur qui déterminera le courant appelé selon la loi \(I = U / R_{\text{eq\_tot}}\).
✅ Interprétation Globale de l'Étude
Nous avons déterminé avec précision la caractéristique résistive du Module de Charge Passif. Cette valeur de 59.44 \(\,\Omega\) est la clé de voûte de notre validation technique. Elle nous permet d'affirmer que le montage réalisé par les techniciens est fonctionnel et sécurisé.
Vérifions le courant appelé sous 24V :
\(I = U / R = 24 / 59.44 \approx 0.404 \, \text{A}\).
Ce courant de 0.4A est très largement inférieur à la limite de 10A du générateur. La marge de sécurité est énorme (> 95%). Le test peut être lancé sans aucun risque.
Si R6 avait été en parallèle avec le bloc central au lieu d'être en série sur le retour, la résistance totale aurait chuté drastiquement. Toujours vérifier le schéma de câblage réel avant de lancer les calculs.
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