Circuits Électriques

Circuit RLC série : Régime apériodique

Électricité : Circuit RLC série - Régime apériodique

Circuit RLC série : Régime apériodique

Contexte : Le Retour au Calme sans Oscillation

Le circuit RLC est le prototype du système oscillant. Cependant, si l'amortissement est suffisamment fort, les oscillations sont supprimées. C'est le régime apériodiqueAussi appelé régime sur-amorti. Le système retourne à l'équilibre lentement et sans osciller. Cela se produit lorsque l'amortissement est plus fort que la tendance à osciller.. Dans un circuit RLC série, cela se produit lorsque la résistance R est grande par rapport à L et C. Le système est alors "paresseux" : lorsqu'on le perturbe (en fermant un interrupteur, par exemple), il retourne lentement à son état d'équilibre sans jamais dépasser sa valeur finale. Il n'y a pas d'oscillations, juste une lente convergence.

Remarque Pédagogique : Comprendre le régime apériodique est essentiel pour concevoir des systèmes qui doivent atteindre une valeur cible sans "dépasser", comme la suspension d'une voiture de luxe ou le bras d'un lecteur de disque dur, où les oscillations seraient indésirables.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir l'équation différentielle du second ordre d'un circuit RLC.
  • Identifier les coefficients d'amortissement \(\alpha\) et de pulsation propre \(\omega_0\).
  • Comprendre la condition du régime apériodique (\(\alpha > \omega_0\)).
  • Calculer les deux racines réelles de l'équation caractéristique.
  • Déterminer la solution de l'équation différentielle en utilisant les conditions initiales.

Données de l'étude

Un circuit RLC série est alimenté par un échelon de tension de \(E = 10 \, \text{V}\) à \(t=0\). Le condensateur est initialement déchargé et le courant est nul.

Schéma du Circuit RLC Série
E 10 V t=0 R=300Ω L=1H C=10µF

Données :

  • Tension d'alimentation : \(E = 10 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 3000 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 1 \, \text{H}\)
  • Capacité : \(C = 1 \, \mu\text{F} = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Questions à traiter

  1. Établir l'équation différentielle du second ordre régissant la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur.
  2. Calculer le coefficient d'amortissement \(\alpha\) et la pulsation propre \(\omega_0\). Vérifier que le régime est apériodique.
  3. Déterminer l'expression complète de \(u_C(t)\) pour \(t \ge 0\).

Correction : Circuit RLC série : Régime apériodique

Question 1 : Équation Différentielle du Circuit

Principe :

On applique la loi des mailles pour \(t \ge 0\). La tension du générateur \(E\) est égale à la somme des tensions aux bornes de R, L et C. On utilise ensuite les relations \(u_R=Ri\), \(u_L=L\frac{di}{dt}\) et \(i=C\frac{du_C}{dt}\) pour obtenir une équation ne dépendant que de \(u_C\) et de ses dérivées.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La présence de la bobine et du condensateur introduit à la fois une dérivée première (via \(u_R = RC\frac{du_C}{dt}\)) et une dérivée seconde (via \(u_L = LC\frac{d^2u_C}{dt^2}\)). C'est ce qui mène à une équation différentielle du second ordre, dont le comportement peut être beaucoup plus riche (amorti, oscillant...).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_R(t) + u_L(t) + u_C(t) = E \]
Donnée(s) :
  • Circuit RLC série.
Calcul(s) :

On part de \(u_R + u_L + u_C = E\).
On remplace par les expressions en fonction de \(i\) et \(u_C\): \(Ri + L\frac{di}{dt} + u_C = E\).
On remplace \(i\) par \(C\frac{du_C}{dt}\), ce qui implique que \(\frac{di}{dt} = C\frac{d^2u_C}{dt^2}\) :

\[ R\left(C\frac{du_C}{dt}\right) + L\left(C\frac{d^2u_C}{dt^2}\right) + u_C = E \]

On réarrange pour obtenir la forme canonique :

\[ LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E \]
Points de vigilance :

Dérivée seconde : Il faut bien voir que le terme en \(u_L\) fait apparaître la dérivée seconde de \(u_C\), ce qui caractérise un système du second ordre.

Le saviez-vous ?

Cette équation est l'une des plus importantes en physique. Elle décrit tous les oscillateurs harmoniques amortis, qu'ils soient mécaniques (masse-ressort-amortisseur), acoustiques ou électriques.

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on établir une équation pour le courant \(i(t)\) ?

Oui. En dérivant une fois l'équation par rapport au temps et en utilisant \(i = C \frac{du_C}{dt}\), on peut obtenir une équation différentielle du second ordre pour \(i(t)\) : \(LC \frac{d^2i}{dt^2} + RC \frac{di}{dt} + i = 0\).

Résultat : L'équation différentielle est \(LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E\).

Question 2 : Nature du Régime

Principe :

La nature du régime (apériodique, critique, ou pseudo-périodique) dépend de la comparaison entre le coefficient d'amortissement \(\alpha\) et la pulsation propre \(\omega_0\). On les calcule à partir des coefficients de l'équation différentielle mise sous la forme \(\frac{d^2u_C}{dt^2} + 2\alpha \frac{du_C}{dt} + \omega_0^2 u_C = \omega_0^2 E\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : \(\alpha\) représente la force de l'amortissement (ici, la résistance R). \(\omega_0\) représente la tendance naturelle du circuit à osciller (due à L et C). Si l'amortissement est plus fort que la tendance à osciller (\(\alpha > \omega_0\)), le système ne peut pas osciller : c'est le régime apériodique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \alpha = \frac{R}{2L} \quad \text{et} \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
Donnée(s) :
  • \(R = 3000 \, \Omega\)
  • \(L = 1 \, \text{H}\)
  • \(C = 1 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \alpha = \frac{3000}{2 \times 1} = 1500 \, \text{s}^{-1} \]
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{1 \times 1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \, \text{rad/s} \]

On compare les deux valeurs :

\[ 1500 > 1000 \quad \Rightarrow \quad \alpha > \omega_0 \]
Points de vigilance :

Ne pas comparer \(\alpha\) et \(\omega_0^2\) : La condition se fait bien entre \(\alpha\) et \(\omega_0\), ou de manière équivalente entre \(\alpha^2\) et \(\omega_0^2\). Comparer directement \(\alpha\) avec \(\omega_0^2\) est une erreur.

Le saviez-vous ?

Le "facteur de qualité" \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\) est une autre façon de caractériser le circuit. Le régime est apériodique si \(Q < 1/2\). Ici, \(Q = \frac{1}{3000}\sqrt{\frac{1}{10^{-6}}} = \frac{1000}{3000} = 1/3\), ce qui est bien inférieur à 0.5.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si \(\alpha = \omega_0\) ?

C'est le cas limite appelé "régime critique". C'est le retour à l'équilibre le plus rapide possible sans aucune oscillation. C'est souvent le régime idéal recherché pour les systèmes de contrôle et les suspensions de voitures de sport.

Résultat : Puisque \(\alpha > \omega_0\), le régime transitoire est bien apériodique.

Question 3 : Expression de la Tension \(u_C(t)\)

Principe :

La solution générale de l'équation différentielle en régime apériodique est de la forme \(u_C(t) = E + e^{-\alpha t}(A \cosh(\beta t) + B \sinh(\beta t))\), où \(\beta = \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\). Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales : \(u_C(0)=0\) et \(i(0)=0\), ce qui implique \(\frac{du_C}{dt}(0)=0\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La solution est une somme de deux exponentielles décroissantes, ce qui explique le retour "lent" à l'équilibre sans oscillation. La première exponentielle \(e^{-\alpha t}\) est l'amortissement global, tandis que les fonctions hyperboliques décrivent la forme exacte de la courbe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \beta = \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} \]
\[ u_C(t) = E + e^{-\alpha t}(A \cosh(\beta t) + B \sinh(\beta t)) \]
Donnée(s) :
  • \(\alpha = 1500 \, \text{s}^{-1}\), \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\)
  • Conditions initiales : \(u_C(0)=0\), \(\frac{du_C}{dt}(0)=0\)
  • \(E = 10 \, \text{V}\)
Calcul(s) :
\[ \beta = \sqrt{1500^2 - 1000^2} = \sqrt{1250000} \approx 1118 \]

1. Appliquer \(u_C(0)=0\) :

\[ 0 = E + e^0(A \cosh(0) + B \sinh(0)) \Rightarrow 0 = E + A(1) + B(0) \Rightarrow A = -E = -10 \, \text{V} \]

2. Appliquer \(\frac{du_C}{dt}(0)=0\) (le calcul de la dérivée est complexe, on donne le résultat) :

\[ \frac{du_C}{dt}(0) = -\alpha A + \beta B = 0 \Rightarrow B = \frac{\alpha A}{\beta} = \frac{1500 \times (-10)}{1118} \approx -13.42 \, \text{V} \]

La solution est donc :

\[ u_C(t) \approx 10 - e^{-1500t}(10 \cosh(1118t) + 13.42 \sinh(1118t)) \]
Points de vigilance :

Complexité mathématique : La résolution complète est mathématiquement exigeante. L'important est de comprendre la démarche : établir l'équation, déterminer la nature du régime, et savoir que la solution est une combinaison d'exponentielles dont les constantes dépendent des conditions initiales.

Le saviez-vous ?

Les portes automatiques qui se ferment doucement utilisent un amortisseur pour fonctionner en régime apériodique ou critique. Sans amortisseur (juste un ressort), la porte claquerait en oscillant (régime pseudo-périodique). Avec un amortisseur trop fort (résistance élevée), elle se fermerait très lentement (régime apériodique).

FAQ en rapport avec la question :
Quelle est la condition initiale sur le courant ?

Le courant dans une bobine ne peut pas changer instantanément. Comme le courant était nul avant \(t=0\), il est forcément encore nul à l'instant \(t=0^+\). Puisque \(i=C\frac{du_C}{dt}\), cela implique que la dérivée de la tension du condensateur est aussi nulle à \(t=0^+\).

Résultat : La tension suit l'équation \(u_C(t) \approx 10 - e^{-1500t}(10 \cosh(1118t) + 13.42 \sinh(1118t))\).

Simulation Interactive

Faites varier la résistance R pour modifier le coefficient d'amortissement \(\alpha\). Observez le passage d'un régime oscillant amorti (\(\alpha < \omega_0\)) à un régime apériodique (\(\alpha > \omega_0\)).

Paramètres du Circuit RLC
Amortissement α
Pulsation Propre ω₀ 1000 rad/s
Régime
Réponse de la Tension \(u_C(t)\)

Pour Aller Plus Loin : Le Facteur de Qualité

Mesurer l'oscillation : Une autre façon de caractériser un circuit RLC est d'utiliser le facteur de qualité \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\). Il mesure la "qualité" de l'oscillation. Un Q élevé (\(>0.5\)) signifie un circuit peu amorti qui oscille beaucoup. Un Q faible (\(<0.5\)) correspond à un régime apériodique très amorti. Le régime critique correspond exactement à \(Q=0.5\).

Le Saviez-Vous ?

Les circuits RLC sont au cœur de la technologie RFID (Radio-Frequency Identification) utilisée dans les cartes de transport ou les antivols de magasin. La puce est un circuit RLC passif. Le portique émet un champ électromagnétique à une fréquence précise. Si la fréquence de résonance de la puce correspond, elle "s'active" en absorbant de l'énergie et renvoie un signal, ce qui permet sa détection.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on résoudre l'équation pour le courant \(i(t)\) ?

Oui. L'équation différentielle pour le courant est \(LC \frac{d^2i}{dt^2} + RC \frac{di}{dt} + i = 0\). C'est une équation homogène. Sa solution est de la forme \(i(t) = e^{-\alpha t}(A' \cosh(\beta t) + B' \sinh(\beta t))\). Les constantes \(A'\) et \(B'\) sont déterminées par les conditions initiales \(i(0)=0\) et \(\frac{di}{dt}(0) = E/L\).

Comment la solution change-t-elle pour le régime critique ?

Lorsque \(\alpha = \omega_0\), les deux racines de l'équation caractéristique sont égales (\(r_1=r_2=-\alpha\)). La forme de la solution change légèrement pour devenir \(u_C(t) = E + (At+B)e^{-\alpha t}\). C'est la présence du terme en \(t\) qui permet le retour à l'équilibre le plus rapide.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On augmente la résistance R dans un circuit RLC série. Le régime a plus de chances de devenir :

2. Dans un régime apériodique, la tension aux bornes du condensateur :

Glossaire

Circuit RLC
Un circuit électrique contenant une Résistance (R), une bobine (Inductance L), et un Condensateur (C).
Équation Différentielle du Second Ordre
Une équation qui relie une fonction à ses dérivées première et seconde. Elle décrit les oscillateurs amortis.
Coefficient d'Amortissement (\(\alpha\))
Terme qui caractérise la dissipation d'énergie dans le système. Pour un RLC série, \(\alpha = R/(2L)\).
Pulsation Propre (\(\omega_0\))
La pulsation à laquelle le système oscillerait naturellement s'il n'y avait pas d'amortissement. Pour un RLC série, \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Régime Apériodique
Le régime de fonctionnement lorsque l'amortissement est fort (\(\alpha > \omega_0\)), caractérisé par un retour lent à l'équilibre sans oscillations.
Phénomènes Transitoires : Équation différentielle d'un circuit RLC série

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