Circuits Électriques

Coefficient de Réflexion et Taux d’Ondes Stationnaires (TOS)

Exercice : Coefficient de Réflexion et TOS

Coefficient de Réflexion et Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

Contexte : L'étude des lignes de transmissionUn support physique (comme un câble coaxial) qui guide la propagation d'ondes électromagnétiques d'un point à un autre. est fondamentale en électronique haute fréquence et en télécommunications.

Lorsqu'un signal se propage le long d'une ligne et rencontre une charge d'impédance différente de l'impédance caractéristiqueUne propriété intrinsèque d'une ligne de transmission, représentant le rapport de la tension au courant pour une onde progressive. Notée Z₀. de la ligne, une partie de l'énergie de l'onde est réfléchie. Ce phénomène crée des ondes stationnaires et peut dégrader la qualité de la transmission. Cet exercice a pour but d'analyser le régime transitoire d'une ligne lors de la connexion à un générateur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier la désadaptation d'impédance à l'aide du coefficient de réflexion et du TOS, et à visualiser la propagation des ondes de tension sur la ligne au fil du temps.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la tension initiale se propageant sur une ligne de transmission.
  • Déterminer le coefficient de réflexion à la charge.
  • Calculer le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS) à partir du coefficient de réflexion.
  • Analyser l'évolution de la tension aux bornes de la charge en régime transitoire.
  • Savoir construire et interpréter un diagramme de Bergeron.

Données de l'étude

On considère un circuit composé d'un générateur de tension, d'une ligne de transmission sans pertes et d'une charge. À l'instant \(t=0\), le générateur délivre un échelon de tension.

Schéma du circuit électrique
Vg Rg Z0, L, vp z=0 z=L ZL
Paramètre Description Valeur Unité
\(V_g\) Tension du générateur (échelon) 10 V
\(R_g\) Résistance interne du générateur 50 \(\Omega\)
\(Z_0\) Impédance caractéristique de la ligne 50 \(\Omega\)
\(Z_L\) Impédance de la charge 25 \(\Omega\)
\(L\) Longueur de la ligne 100 m
\(v_p\) Vitesse de propagation sur la ligne \(2 \times 10^8\) m/s

Questions à traiter

  1. Calculer la tension initiale \(V_1^+\) qui se propage du générateur vers la charge.
  2. Calculer le coefficient de réflexion à la charge, noté \(\Gamma_L\).
  3. En déduire le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS) sur la ligne.
  4. Calculer la tension aux bornes de la charge \(V_L(t)\) après la première réflexion.
  5. Déterminer le coefficient de réflexion au niveau du générateur, \(\Gamma_g\). Que peut-on en conclure pour les réflexions ultérieures ?

Les bases sur les Lignes de Transmission

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts fondamentaux régissant le comportement des ondes sur les lignes de transmission.

1. Tension Initiale sur la Ligne
À l'instant \(t=0^+\), la ligne de transmission se comporte comme une résistance pure de valeur \(Z_0\) vue du générateur. La première onde de tension \(V_1^+\) est donc déterminée par un simple pont diviseur de tension. \[ V_1^+ = V_g \cdot \frac{Z_0}{R_g + Z_0} \]

2. Coefficient de Réflexion (\(\Gamma\))
Le coefficient de réflexion quantifie la fraction de l'onde de tension incidente qui est réfléchie par une discontinuité d'impédance. Pour une charge \(Z_L\) terminant une ligne d'impédance \(Z_0\), il est donné par : \[ \Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \]

3. Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)
Le TOS (ou SWR en anglais) mesure le rapport entre l'amplitude maximale et l'amplitude minimale de la tension le long de la ligne en régime sinusoïdal établi. Il est directement lié à la magnitude du coefficient de réflexion. \[ \text{TOS} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} \]

Correction : Coefficient de Réflexion et Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

Question 1 : Calculer la tension initiale \(V_1^+\)

Principe

Au moment précis où le générateur est activé (\(t=0^+\)), l'onde de tension n'a pas encore atteint la charge. Du point de vue du générateur, la ligne de transmission, supposée infinie à cet instant, se comporte comme une simple résistance égale à son impédance caractéristique \(Z_0\). La tension qui commence à se propager est donc le résultat du diviseur de tension formé par la résistance interne du générateur \(R_g\) et l'impédance \(Z_0\).

Mini-Cours

La théorie des lignes de transmission stipule que pour une onde progressive, le rapport de la tension au courant en tout point est constant et égal à \(Z_0\). C'est pourquoi, avant toute réflexion, le générateur "voit" la ligne comme une charge \(Z_0\). Ce concept est la clé de l'analyse des phénomènes transitoires.

Remarque Pédagogique

Le réflexe à avoir dans ce type de problème est de toujours analyser le circuit à l'instant \(t=0^+\) en remplaçant la ligne par une résistance \(Z_0\). Ne vous laissez pas perturber par la charge \(Z_L\) qui n'interviendra qu'ultérieurement.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme spécifique (comme les Eurocodes en structure), mais repose sur les lois fondamentales de l'électricité : la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff pour l'analyse des circuits.

Formule(s)

La formule du pont diviseur de tension est l'outil mathématique utilisé pour déterminer la tension aux bornes de \(Z_0\).

\[ V_1^+ = V_g \cdot \frac{Z_0}{R_g + Z_0} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :

  • Le générateur de tension est idéal (sa tension ne varie pas avec le courant débité).
  • La ligne est sans pertes (pas d'atténuation du signal pendant la propagation).
  • La commutation se fait instantanément à \(t=0\).
Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé relatives au générateur et à la ligne.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension du générateur\(V_g\)10V
Résistance du générateur\(R_g\)50\(\Omega\)
Impédance caractéristique\(Z_0\)50\(\Omega\)
Astuces

Un cas particulier très courant est celui de "l'adaptation à la source", où \(R_g = Z_0\). Dans ce cas, la formule se simplifie toujours en \(V_1^+ = V_g / 2\). C'est une vérification rapide à faire ici.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit équivalent à t=0+
VgRgZ0V1+
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} V_1^+ &= 10 \, \text{V} \cdot \frac{50 \, \Omega}{50 \, \Omega + 50 \, \Omega} \\ &= 10 \, \text{V} \cdot \frac{50}{100} \\ &= 10 \, \text{V} \cdot 0.5 \\ &\Rightarrow V_1^+ = 5 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Propagation de l'onde initiale
V(z)0Vz5Vz=0z=Lz=vₚ·t
Réflexions

Le résultat de 5V signifie que la moitié de la tension du générateur est initialement "lancée" sur la ligne. L'autre moitié est perdue aux bornes de la résistance interne du générateur. C'est une conséquence directe de l'adaptation d'impédance à la source (\(R_g = Z_0\)).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la résistance interne \(R_g\) et de considérer que la tension initiale est \(V_g=10\) V. C'est incorrect, le pont diviseur est une étape cruciale.

Points à retenir

Pour déterminer la première onde de tension, il faut toujours modéliser la ligne comme une résistance \(Z_0\) et appliquer la règle du diviseur de tension avec la résistance interne du générateur \(R_g\).

Le saviez-vous ?

La théorie des lignes de transmission a été largement développée par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle pour résoudre des problèmes pratiques sur les premiers câbles télégraphiques transatlantiques, qui souffraient de distorsions de signal importantes.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes.

Pourquoi n'utilise-t-on pas l'impédance de charge \(Z_L\) dans ce premier calcul ?

Parce que l'information sur la nature de la charge n'a pas encore eu le temps de "remonter" jusqu'au générateur. L'onde part du générateur sans savoir ce qui se trouve au bout de la ligne. Elle ne "découvrira" \(Z_L\) qu'en arrivant à destination.

Résultat Final
La tension initiale qui se propage sur la ligne est de \(V_1^+ = 5 \, \text{V}\).
A vous de jouer

Que deviendrait \(V_1^+\) si la résistance du générateur \(R_g\) était de \(150 \, \Omega\) ?

Question 2 : Calculer le coefficient de réflexion \(\Gamma_L\)

Principe

Le coefficient de réflexion à la charge, \(\Gamma_L\), décrit l'amplitude et la phase de l'onde réfléchie par rapport à l'onde incidente. Il ne dépend que de la "rupture d'impédance" entre la ligne (\(Z_0\)) et la charge (\(Z_L\)). Une valeur non nulle indique une désadaptation, source des réflexions.

Mini-Cours

La réflexion des ondes est un phénomène physique général qui découle des lois de conservation (énergie, quantité de mouvement). En électricité, les conditions aux limites (continuité de la tension et du courant à l'interface ligne-charge) imposent la création d'une onde réfléchie pour que les lois de Kirchhoff soient respectées en tout temps.

Remarque Pédagogique

Le signe de \(\Gamma_L\) est très informatif : s'il est positif (\(Z_L > Z_0\)), l'onde de tension réfléchie est de même signe que l'incidente. S'il est négatif (\(Z_L < Z_0\)), elle est inversée. C'est un moyen rapide de vérifier la cohérence de votre résultat.

Normes

La formule du coefficient de réflexion est directement dérivée des équations des télégraphistes, qui sont elles-mêmes une application des équations de Maxwell au cas unidimensionnel des lignes de transmission.

Formule(s)

Formule du coefficient de réflexion à la charge :

\[ \Gamma_L = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \]
Hypothèses

On suppose que l'interface entre la ligne et la charge est ponctuelle et que les impédances sont purement résistives.

Donnée(s)

Les impédances de la ligne et de la charge sont nécessaires pour ce calcul.

ParamètreSymboleValeurUnité
Impédance de la charge\(Z_L\)25\(\Omega\)
Impédance caractéristique\(Z_0\)50\(\Omega\)
Astuces

Il y a trois cas extrêmes à connaître : Court-circuit (\(Z_L=0 \Rightarrow \Gamma_L=-1\)), circuit ouvert (\(Z_L=\infty \Rightarrow \Gamma_L=+1\)), et adaptation parfaite (\(Z_L=Z_0 \Rightarrow \Gamma_L=0\)).

Schéma (Avant les calculs)
Onde incidente à la charge
ZLZ0V1+
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} \Gamma_L &= \frac{25 \, \Omega - 50 \, \Omega}{25 \, \Omega + 50 \, \Omega} \\ &= \frac{-25}{75} \\ &\Rightarrow \Gamma_L = -\frac{1}{3} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Génération de l'onde réfléchie
ZLV1-
Réflexions

Un coefficient de réflexion négatif (\(-0.333\)) signifie que l'onde de tension réfléchie est en opposition de phase avec l'onde incidente. L'amplitude de l'onde réfléchie sera un tiers de celle de l'onde incidente, soit \(5\,\text{V} \times (-1/3) \approx -1.67\,\text{V}\).

Points de vigilance

Attention à l'ordre des termes dans la formule : c'est toujours \((Z_{\text{destination}} - Z_{\text{origine}}) / (Z_{\text{destination}} + Z_{\text{origine}})\). Une inversion au numérateur change le signe du résultat.

Points à retenir

Le coefficient de réflexion \(\Gamma_L\) est la clé pour comprendre tous les phénomènes de réflexion. Sa formule et son interprétation physique (signe et magnitude) sont à maîtriser parfaitement.

Le saviez-vous ?

L'adaptation d'impédance est cruciale en audio. Un amplificateur de puissance a une impédance de sortie très faible (ex: < 0.1 \(\Omega\)) pour "driver" une charge de faible impédance comme une enceinte (4 ou 8 \(\Omega\)) afin de maximiser le transfert de tension et non de puissance.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Que se passe-t-il si les impédances sont complexes (avec des inductances ou capacités) ?

La formule reste exactement la même, mais les calculs se font avec des nombres complexes. Le coefficient de réflexion \(\Gamma_L\) devient alors lui-même un nombre complexe, indiquant un déphasage en plus d'une réduction d'amplitude pour l'onde réfléchie.

Résultat Final
Le coefficient de réflexion à la charge est \(\Gamma_L \approx -0.333\).
A vous de jouer

Pour vous entraîner, recalculez le coefficient de réflexion si la charge était de \(Z_L = 150 \, \Omega\).

Question 3 : En déduire le Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

Principe

Le TOS est une mesure de l'efficacité de la transmission de puissance, issue de l'interférence entre l'onde incidente et l'onde réfléchie. Un TOS de 1 est idéal (pas de réflexion). Plus le TOS est élevé, plus la désadaptation est grande et plus l'amplitude des oscillations de tension le long de la ligne est importante.

Mini-Cours

L'onde stationnaire résulte de la superposition de deux ondes de même fréquence se propageant en sens opposés. À certains points (les "ventres"), les amplitudes s'ajoutent constructivement (\(V_{\text{max}} = |V_i|+|V_r|\)), à d'autres (les "nœuds"), elles se soustraient destructivement (\(V_{\text{min}} = |V_i|-|V_r|\)). Le TOS est le rapport \(V_{\text{max}}/V_{\text{min}}\).

Remarque Pédagogique

Le TOS est un nombre réel toujours supérieur ou égal à 1. Un TOS de 2 est souvent considéré comme une limite acceptable dans de nombreuses applications pratiques, tandis qu'un TOS > 3 indique une forte désadaptation.

Normes

Le TOS, ou son équivalent anglais VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), est une spécification standard dans toutes les fiches techniques des composants radiofréquence (antennes, câbles, connecteurs...).

Formule(s)

Formule du Taux d'Ondes Stationnaires :

\[ \text{TOS} = \frac{1 + |\Gamma_L|}{1 - |\Gamma_L|} \]
Hypothèses

Bien que le TOS soit formellement défini pour un régime sinusoïdal permanent, il est utilisé ici comme une mesure générale de la qualité de l'adaptation d'impédance, même en régime transitoire.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question précédente.

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de réflexion\(\Gamma_L\)-1/3Sans unité
Astuces

Si on vous donne le TOS et que vous cherchez \(|\Gamma|\), la formule inversée est \(|\Gamma| = (\text{TOS}-1)/(\text{TOS}+1)\). Très utile !

Schéma (Avant les calculs)
Onde Stationnaire de Tension
VmaxVmin
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la magnitude du coefficient de réflexion

\[ |\Gamma_L| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \]

Étape 2 : Calcul du TOS

\[ \begin{aligned} \text{TOS} &= \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} \\ &\Rightarrow \text{TOS} = 2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du TOS
VmaxVmin
Réflexions

Un TOS de 2 indique une désadaptation significative. Concrètement, cela signifie qu'en régime établi, l'amplitude de la tension variera d'un facteur 2 le long de la ligne. Cela peut causer des problèmes, car certains composants pourraient être exposés à une tension plus élevée que prévu.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier la valeur absolue de \(\Gamma_L\). Le TOS est par définition positif et supérieur à 1. Un résultat négatif ou inférieur à 1 est un signe d'erreur de calcul.

Points à retenir

Le TOS est le thermomètre de la désadaptation d'impédance. Retenez sa formule et le fait qu'une valeur idéale est 1 (correspondant à \(\Gamma=0\)).

Le saviez-vous ?

L'abaque de Smith (ou Smith Chart) est un outil graphique ingénieux qui permet de visualiser directement le TOS à partir de la position du coefficient de réflexion complexe, sans aucun calcul !

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Le TOS dépend-il de la longueur de la ligne ou de la fréquence ?

Non, le TOS lui-même ne dépend que du rapport des impédances. Cependant, la position des ventres et des nœuds de tension le long de la ligne, elle, dépend de la longueur d'onde du signal, donc de la fréquence.

Résultat Final
Le Taux d'Ondes Stationnaires sur la ligne est de 2.
A vous de jouer

Si une mesure indique un TOS de 3, quelle est la magnitude du coefficient de réflexion \(|\Gamma|\) ?

Question 4 : Calculer la tension \(V_L(t)\) après la première réflexion

Principe

La tension aux bornes de la charge n'apparaît qu'à l'arrivée de la première onde. Le temps de propagation, \(\tau\), est le temps nécessaire à l'onde pour parcourir la longueur \(L\) de la ligne. À l'instant \(t=\tau\), l'onde incidente \(V_1^+\) atteint la charge, et une onde réfléchie \(V_1^-\) est immédiatement générée. La tension totale aux bornes de la charge est, par le principe de superposition, la somme de la tension incidente et de la tension réfléchie.

Mini-Cours

En tout point d'une ligne et à tout instant, la tension et le courant totaux sont la somme des ondes progressives (allant vers la charge) et des ondes régressives (revenant vers le générateur). C'est le principe de superposition. À la charge, \(V_L(t) = V_{\text{inc}}(t) + V_{\text{ref}}(t)\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de raisonner temporellement. Avant \(t=\tau\), rien n'est arrivé à la charge, donc \(V_L=0\). La tension ne change qu'aux instants \(t=\tau, 3\tau, 5\tau...\) correspondant aux arrivées successives des ondes.

Normes

L'analyse des phénomènes transitoires est fondamentale en électronique numérique haute vitesse, où les réflexions sur les pistes de circuit imprimé peuvent causer des erreurs de données (ringing, over/undershoot). Des normes comme celles de l'IPC (Institute for Printed Circuits) spécifient des règles de conception pour contrôler les impédances.

Formule(s)

Formule du temps de propagation :

\[ \tau = \frac{L}{v_p} \]

Formule de la tension à la charge après la première réflexion :

\[ V_L(\text{pour } t \ge \tau) = V_1^+(1 + \Gamma_L) \]
Hypothèses

On suppose que la ligne est sans pertes, ce qui signifie que l'amplitude de l'onde ne diminue pas pendant son trajet et que sa forme (un échelon) n'est pas déformée.

Donnée(s)

Données nécessaires pour le calcul.

ParamètreSymboleValeurUnité
Longueur ligne\(L\)100m
Vitesse propagation\(v_p\)\(2 \times 10^8\)m/s
Onde incidente\(V_1^+\)5V
Coeff. réflexion\(\Gamma_L\)-1/3
Astuces

La tension à la charge juste après une réflexion est toujours proportionnelle à la tension incidente, le facteur étant \((1+\Gamma_L)\). C'est une relation très directe.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Bergeron (Espace-Temps)
ztz=0z=Lτ2τ3τ
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du temps de propagation \(\tau\)

\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{100 \, \text{m}}{2 \times 10^8 \, \text{m/s}} \\ &= 50 \times 10^{-8} \, \text{s} \\ &\Rightarrow \tau = 0.5 \, \mu\text{s} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la tension \(V_L\)

Pour \(t < \tau\), \(V_L(t) = 0\) V. Pour \(t \ge \tau\), la tension aux bornes de la charge se stabilise (jusqu'à une éventuelle seconde réflexion).

\[ \begin{aligned} V_L(t \ge \tau) &= 5\text{ V} \cdot (1 + (-\frac{1}{3})) \\ &= 5\text{ V} \cdot (\frac{2}{3}) \\ &\Rightarrow V_L \approx 3.33 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bergeron pour la tension
ztz=0z=Lτ2τ3τV₁⁺ = 5VV₁⁻ = -1.67VVL=3.33V
Réflexions

La tension de 3.33V à la charge est inférieure à l'onde incidente de 5V. Ceci est logique car l'impédance de charge (25 \(\Omega\)) est inférieure à celle de la ligne (50 \(\Omega\)), ce qui tend à "tirer" la tension vers le bas.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est de mal calculer le temps de propagation \(\tau\), notamment avec les puissances de 10. Une autre est de soustraire les tensions au lieu de les additionner (\(V_L = V_1^+ + V_1^-\)), même si \(V_1^-\) est négatif.

Points à retenir

La tension à une extrémité de la ligne est la somme de l'onde qui arrive et de l'onde qui repart. La nouvelle tension n'apparaît qu'après le temps de propagation \(\tau = L/v_p\).

Le saviez-vous ?

La technique de la Réflectométrie Temporelle (TDR) utilise ce principe. En envoyant une impulsion dans un câble et en analysant les échos (réflexions), on peut localiser avec une grande précision des défauts (coupures, court-circuits, connexions défectueuses) et déterminer leur nature.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Que se passe-t-il après \(t=2\tau\) ?

L'onde réfléchie \(V_1^-\) atteint le générateur à \(t=2\tau\). Elle peut être à son tour réfléchie, créant une nouvelle onde \(V_2^+\) qui se propagera vers la charge. La tension sur la ligne continuera d'évoluer par réflexions successives jusqu'à atteindre un état stable.

Résultat Final
La tension aux bornes de la charge est de 0 V pour \(t < 0.5 \, \mu\text{s}\) et saute à 3.33 V à \(t = 0.5 \, \mu\text{s}\).
A vous de jouer

Si la longueur de la ligne était de 20 m, quelle serait la tension à la charge à \(t=0.15 \, \mu\text{s}\) ?

Question 5 : Déterminer le coefficient de réflexion au générateur \(\Gamma_g\)

Principe

De la même manière que la charge, le générateur présente une discontinuité d'impédance pour une onde arrivant de la ligne. L'onde qui retourne vers le générateur (\(V_1^-\)) sera réfléchie si l'impédance "vue en arrière" (la résistance interne \(R_g\)) est différente de \(Z_0\). Ce coefficient, \(\Gamma_g\), détermine le sort de l'onde retournant à la source.

Mini-Cours

L'adaptation d'impédance est un concept bilatéral. Pour un transfert d'énergie optimal et sans réflexion, il faut adapter la source à la ligne ET la ligne à la charge. Si l'une des deux interfaces est désadaptée, des réflexions apparaîtront.

Remarque Pédagogique

L'adaptation à la source (\(R_g = Z_0\)) est une technique de conception très puissante car elle "tue" les réflexions qui reviennent, empêchant la création d'échos multiples (ringing) qui peuvent être très problématiques dans les circuits numériques rapides.

Normes

Dans les standards de communication comme l'USB, l'Ethernet ou le HDMI, les impédances des émetteurs, des câbles et des récepteurs sont rigoureusement spécifiées (ex: 90 \(\Omega\) pour l'USB, 100 \(\Omega\) pour l'Ethernet) pour garantir l'intégrité du signal.

Formule(s)

Formule du coefficient de réflexion au générateur :

\[ \Gamma_g = \frac{R_g - Z_0}{R_g + Z_0} \]
Hypothèses

On suppose que la résistance interne du générateur est purement résistive et constante.

Donnée(s)

Les impédances du générateur et de la ligne sont nécessaires.

ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance du générateur\(R_g\)50\(\Omega\)
Impédance caractéristique\(Z_0\)50\(\Omega\)
Astuces

Pas besoin de calculs complexes : si \(R_g=Z_0\), alors \(\Gamma_g\) est immédiatement égal à zéro.

Schéma (Avant les calculs)
Onde retournant au générateur
RgZ0V1-
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} \Gamma_g &= \frac{50 \, \Omega - 50 \, \Omega}{50 \, \Omega + 50 \, \Omega} \\ &= \frac{0}{100} \\ &\Rightarrow \Gamma_g = 0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Absorption de l'onde au générateur
RgZ0V2+ = 0V1-
Réflexions

Un coefficient de réflexion nul est un cas particulier très important. Cela signifie que le générateur est "adapté" à la ligne. Toute onde revenant vers le générateur est complètement absorbée et il n'y a pas de seconde réflexion. Le régime permanent est donc atteint dès que la première onde réfléchie par la charge a été absorbée par le générateur (à \(t=2\tau\)).

Points de vigilance

Ne pas confondre la formule de \(\Gamma_g\) avec celle de \(\Gamma_L\). Pour \(\Gamma_g\), la "charge" vue par l'onde retour est \(R_g\).

Points à retenir

L'adaptation à la source (\(R_g = Z_0\)) est une condition qui annule les réflexions au niveau du générateur (\(\Gamma_g=0\)) et simplifie grandement l'analyse transitoire en stoppant les allers-retours multiples.

Le saviez-vous ?

Le théorème du transfert de puissance maximal stipule que pour transférer le maximum de puissance d'une source vers une charge, l'impédance de la charge doit être le conjugué complexe de l'impédance de la source. L'adaptation (\(\Gamma=0\)) est un cas particulier de ce théorème pour des impédances réelles.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Que se passerait-il si \(\Gamma_g\) n'était pas nul ?

L'onde \(V_1^-\) arrivant à \(t=2\tau\) créerait une nouvelle onde \(V_2^+ = \Gamma_g V_1^-\) qui repartirait vers la charge. Celle-ci arriverait à la charge à \(t=3\tau\), créant une autre réflexion \(V_2^- = \Gamma_L V_2^+\), et ainsi de suite. La tension évoluerait par "escaliers" jusqu'à converger vers une valeur finale.

Résultat Final
Le coefficient de réflexion au générateur est \(\Gamma_g = 0\). Il n'y aura donc pas de réflexions ultérieures et le système atteint son état stable après un aller-retour de l'onde.
A vous de jouer

Si la résistance du générateur \(R_g\) était de \(25 \, \Omega\), quelle serait la valeur de \(\Gamma_g\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Désadaptation

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier l'impédance de la charge (\(Z_L\)) et l'impédance caractéristique de la ligne (\(Z_0\)). Observez en temps réel l'impact sur le coefficient de réflexion et le TOS. Le graphique montre l'évolution du TOS en fonction du rapport \(Z_L/Z_0\).

Paramètres d'Entrée
25 \(\Omega\)
50 \(\Omega\)
Résultats Clés
Coefficient de Réflexion \(\Gamma_L\) -
Taux d'Ondes Stationnaires (TOS) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un coefficient de réflexion \(\Gamma = -1\) correspond à :

2. Qu'implique un TOS (SWR) égal à 1 ?

3. Si l'impédance de charge \(Z_L\) est supérieure à l'impédance caractéristique \(Z_0\) (et les deux sont réelles), le coefficient de réflexion \(\Gamma_L\) est :

4. Quelle est l'unité du TOS ?

5. La cause principale des réflexions sur une ligne de transmission est :

Ligne de Transmission
Un support physique (comme un câble coaxial ou une paire torsadée) qui guide la propagation d'ondes électromagnétiques d'un point à un autre avec des propriétés électriques distribuées (inductance, capacité par unité de longueur).
Impédance Caractéristique (\(Z_0\))
Une propriété intrinsèque d'une ligne de transmission, représentant le rapport de la tension au courant pour une onde se propageant dans une seule direction. Elle ne dépend que de la géométrie et des matériaux de la ligne.
Diagramme de Bergeron
Représentation graphique espace-temps qui permet de suivre la propagation des ondes de tension et de courant le long d'une ligne de transmission, ainsi que leurs réflexions successives aux extrémités.
Coefficient de Réflexion et Taux d'Ondes Stationnaires (TOS)

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