Conversion Thévenin vers Norton et vice-versa
Contexte : L'analyse des circuits électriques en régime sinusoïdalRégime établi d'un circuit alimenté par une source sinusoïdale, où toutes les tensions et tous les courants sont également sinusoïdaux et de même fréquence..
Les théorèmes de Thévenin et de Norton sont des outils fondamentaux pour simplifier l'analyse de circuits complexes. En régime sinusoïdal, où l'on travaille avec des impédances complexesGénéralisation de la notion de résistance aux circuits alternatifs. C'est un nombre complexe Z = R + jX qui représente l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal., ces théorèmes permettent de remplacer une partie complexe d'un circuit par un modèle équivalent beaucoup plus simple, facilitant ainsi les calculs de tension, de courant et de puissance sur un élément particulier (la charge).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les impédances complexes pour déterminer les modèles équivalents de Thévenin et de Norton, et à comprendre l'équivalence parfaite qui existe entre ces deux représentations.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le générateur de Thévenin équivalent (tension et impédance) d'un circuit en régime sinusoïdal.
- Calculer le générateur de Norton équivalent (courant et impédance) du même circuit.
- Maîtriser la conversion entre les modèles de Thévenin et Norton.
- Appliquer les lois des circuits (diviseur de tension, loi d'Ohm) avec les nombres complexes.
Données de l'étude
Schéma du circuit électrique
| Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| e(t) | Source de tension sinusoïdale | \(10 \cos(1000 t)\) | V |
| R | Résistance | 10 | \(\Omega\) |
| L | Inductance | 20 | mH |
Questions à traiter
- Déterminer le générateur de Thévenin équivalent (phaseur tension \(E_{\text{th}}\) et impédance \(Z_{\text{th}}\)) vu des bornes A et B.
- Déterminer le générateur de Norton équivalent (phaseur courant \(I_{\text{n}}\) et impédance \(Z_{\text{n}}\)) vu des bornes A et B.
- Appliquer la formule de conversion pour passer du modèle de Thévenin à celui de Norton et vérifier que le courant \(I_{\text{n}}\) obtenu est identique à celui calculé à la question 2.
Les bases sur les modèles équivalents
Pour analyser un circuit, il est souvent utile de le simplifier. Les théorèmes de Thévenin et Norton permettent de remplacer n'importe quel circuit linéaire dipolaire par un modèle simple composé d'une source et d'une impédance.
1. Théorème de Thévenin
Tout dipôle actif linéaire est équivalent à un générateur de tension parfait \(E_{\text{th}}\) en série avec une impédance \(Z_{\text{th}}\).
- \(E_{\text{th}}\) est la tension à vide mesurée entre les bornes du dipôle.
- \(Z_{\text{th}}\) est l'impédance équivalente vue des bornes lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (sources de tension remplacées par un court-circuit, sources de courant par un circuit ouvert).
2. Théorème de Norton
Tout dipôle actif linéaire est équivalent à un générateur de courant parfait \(I_{\text{n}}\) en parallèle avec une impédance \(Z_{\text{n}}\).
- \(I_{\text{n}}\) est le courant de court-circuit qui circule entre les bornes du dipôle.
- \(Z_{\text{n}}\) est la même impédance que l'impédance de Thévenin : \(Z_{\text{n}} = Z_{\text{th}}\).
3. Conversion Thévenin-Norton
Les deux modèles sont équivalents. On passe de l'un à l'autre par les relations :
\[ E_{\text{th}} = I_{\text{n}} \cdot Z_{\text{th}} \quad \text{et} \quad I_{\text{n}} = \frac{E_{\text{th}}}{Z_{\text{th}}} \]
Correction : Conversion Thévenin vers Norton et vice-versa
Question 1 : Détermination du modèle de Thévenin
Principe
Le concept physique derrière le théorème de Thévenin est que n'importe quel circuit linéaire complexe, vu de deux bornes, se comporte comme une simple source de tension avec une résistance interne. Notre but est de trouver les caractéristiques de cette source et de cette résistance (impédance en régime sinusoïdal).
Mini-Cours
Le théorème de Thévenin repose sur le principe de superposition. La tension à vide \(E_{\text{th}}\) est la tension qui apparaît entre les bornes lorsque aucun courant n'est tiré. L'impédance \(Z_{\text{th}}\) représente l'opposition interne du circuit au passage du courant, vue de ces mêmes bornes.
Remarque Pédagogique
L'approche est systématique : 1) Calculer l'impédance équivalente en "éteignant" les sources. 2) Calculer la tension à vide aux bornes. C'est une méthode fiable qui décompose le problème en deux sous-problèmes plus simples.
Normes
Les calculs reposent sur les lois fondamentales de l'électricité en régime sinusoïdal : la loi d'Ohm généralisée aux impédances (\(V = Z \cdot I\)) et les lois de Kirchhoff (loi des mailles et loi des nœuds), qui restent valables avec les phaseurs.
Formule(s)
Impédance d'une bobine
Mise en parallèle d'impédances
Diviseur de tension
Hypothèses
Pour appliquer ce théorème, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le circuit est linéaire : les relations courant-tension des composants (R, L) sont linéaires.
- Le régime sinusoïdal permanent est établi : les phénomènes transitoires sont terminés.
- Les composants et les sources sont considérés comme idéaux.
Donnée(s)
Nous passons d'abord les données de l'énoncé en notation complexe avec \(\omega = 1000\) rad/s.
Calcul de l'impédance de l'inductance
| Paramètre | Symbole | Valeur Temporelle | Valeur Complexe |
|---|---|---|---|
| Source de tension | E | \(10 \cos(1000 t)\) V | \(10 \angle 0^\circ\) V |
| Résistance | R | 10 \(\Omega\) | 10 \(\Omega\) |
| Inductance | L | 20 mH | \(j20 \, \Omega\) |
Astuces
Pour diviser des nombres complexes sous forme rectangulaire (a + jb), multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (a - jb). Cela rend le dénominateur réel et simplifie le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Schémas pour le calcul de \(Z_{\text{th}}\) et \(E_{\text{th}}\)
Calcul(s)
Expression de l'impédance de Thévenin
Application numérique de \(Z_{\text{th}}\)
Expression de la tension de Thévenin (diviseur de tension)
Application numérique de \(E_{\text{th}}\)
Schéma (Après les calculs)
Modèle de Thévenin équivalent
Réflexions
Le résultat \(Z_{\text{th}} = 8 + j4 \, \Omega\) signifie que le circuit se comporte comme une résistance de 8 \(\Omega\) en série avec une réactance inductive de 4 \(\Omega\). La tension \(E_{\text{th}} = 8 + j4\) V est déphasée en avance par rapport à la source E, à cause de l'effet de l'inductance.
Points de vigilance
Attention aux erreurs de calcul avec les nombres complexes. Vérifiez bien les signes, notamment avec \(j^2 = -1\). Assurez-vous aussi que la pulsation \(\omega\) est bien en rad/s.
Points à retenir
- Thévenin = Tension à vide \(E_{\text{th}}\) en série avec l'impédance "vue des bornes" \(Z_{\text{th}}\).
- Pour \(Z_{\text{th}}\), les sources de tension deviennent des fils, les sources de courant des coupures.
- Le calcul de \(E_{\text{th}}\) se fait sur le circuit normal, sans charge.
Le saviez-vous ?
Léon Charles Thévenin, un ingénieur télégraphe français, a publié son théorème en 1883. Son travail visait à simplifier le calcul des courants dans les lignes télégraphiques, un problème très complexe à l'époque.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la résistance R valait 20 \(\Omega\) au lieu de 10 \(\Omega\), que vaudrait la partie réelle de \(Z_{\text{th}}\) ? (Arrondir à 2 décimales)
Question 2 : Détermination du modèle de Norton
Principe
Le modèle de Norton est le "jumeau" du modèle de Thévenin, mais basé sur une source de courant. L'idée est de trouver le courant maximum que le circuit peut délivrer si on court-circuite sa sortie, et de le placer en parallèle avec la même impédance interne que celle de Thévenin.
Mini-Cours
Le courant de Norton \(I_{\text{n}}\) est le courant qui circulerait dans un fil de résistance nulle reliant les bornes A et B. Il représente le courant maximal que le dipôle peut fournir. L'impédance \(Z_{\text{n}}\) en parallèle "dévie" une partie de ce courant, de sorte que la tension aux bornes du dipôle diminue lorsque le courant de charge augmente, tout comme pour le modèle de Thévenin.
Remarque Pédagogique
La méthode la plus directe est de calculer le courant de court-circuit. L'impédance \(Z_{\text{n}}\) est identique à \(Z_{\text{th}}\), il n'est donc pas nécessaire de la recalculer si la question 1 a déjà été traitée. Gagner du temps est essentiel !
Normes
Nous utiliserons la loi des nœuds de Kirchhoff pour déterminer comment le courant se répartit dans le circuit lorsque la sortie est court-circuitée, ainsi que la loi d'Ohm généralisée.
Formule(s)
L'outil mathématique principal sera la loi d'Ohm :
Hypothèses
Les hypothèses de linéarité et de régime sinusoïdal établi sont les mêmes que pour le théorème de Thévenin.
Donnée(s)
Pour le calcul du courant de court-circuit, nous utilisons les données initiales du circuit, avec \(\omega = 1000\) rad/s.
| Paramètre | Symbole | Valeur Complexe |
|---|---|---|
| Source de tension | E | \(10 \angle 0^\circ\) V |
| Résistance | R | 10 \(\Omega\) |
| Impédance d'inductance | \(\underline{Z}_L\) | \(j20 \, \Omega\) |
Astuces
Lorsqu'un court-circuit (impédance nulle) est placé en parallèle d'un composant (impédance non nulle), l'ensemble a une impédance équivalente de zéro. Tout le courant choisira le chemin du court-circuit.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma pour le calcul de \(I_{\text{n}}\)
Calcul(s)
Calcul de \(Z_{\text{n}}\)
On sait que \(Z_{\text{n}} = Z_{\text{th}}\).
Expression du courant de Norton
En court-circuitant A et B, l'inductance L est également court-circuitée. Le courant total, qui est aussi \(I_{\text{n}}\), ne voit que la résistance R.
Application numérique de \(I_{\text{n}}\)
Schéma (Après les calculs)
Modèle de Norton équivalent
Réflexions
Un courant de Norton de 1 A signifie que si l'on reliait les bornes A et B avec un ampèremètre idéal, il mesurerait 1 A. C'est une information cruciale pour comprendre le comportement du circuit lorsqu'il est connecté à une charge de faible impédance.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de mal analyser le circuit une fois le court-circuit ajouté. Visualisez bien quels composants sont "shuntés" (court-circuités) et ne participent plus au calcul du courant.
Points à retenir
- Norton = Source de courant \(I_{\text{n}}\) en parallèle avec l'impédance \(Z_{\text{n}}\).
- \(I_{\text{n}}\) est le courant qui passe dans un fil reliant les bornes de sortie.
- \(Z_{\text{n}}\) est identique à \(Z_{\text{th}}\).
Le saviez-vous ?
Edward Lawry Norton, un ingénieur chez Bell Labs, a développé son théorème pour simplifier l'analyse des filtres dans les réseaux de communication. Son modèle est particulièrement utile lorsque l'on combine des circuits en parallèle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la source de tension était de 20 V au lieu de 10 V, que vaudrait le courant de Norton \(I_{\text{n}}\) ?
Question 3 : Vérification par conversion
Principe
Les modèles de Thévenin et Norton sont deux facettes de la même réalité. La physique qui les sous-tend est identique. Par conséquent, il doit exister une relation mathématique simple pour passer de l'un à l'autre. Cette étape consiste à vérifier cette relation.
Mini-Cours
La conversion est une application directe de la loi d'Ohm. Dans le modèle de Thévenin, si l'on court-circuite la sortie, le courant qui passe est \(E_{\text{th}}/Z_{\text{th}}\). Par définition, ce courant est le courant de Norton \(I_{\text{n}}\). Réciproquement, dans le modèle de Norton, si on laisse la sortie à vide, tout le courant \(I_{\text{n}}\) passe dans l'impédance \(Z_{\text{n}}\), créant une tension \(V = Z_{\text{n}} \cdot I_{\text{n}}\). Cette tension est, par définition, la tension de Thévenin \(E_{\text{th}}\).
Remarque Pédagogique
Cette vérification est un excellent moyen de s'assurer de la justesse de ses calculs. Si la conversion ne donne pas le résultat attendu, c'est qu'une erreur a été commise dans le calcul de l'un des deux modèles. C'est une pratique courante en ingénierie pour valider un résultat.
Normes
La validité de la conversion est une conséquence mathématique directe de la loi d'Ohm (\(V=ZI\)) appliquée aux modèles équivalents.
Formule(s)
Formule de conversion
Hypothèses
Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire. La conversion est toujours valide pour tout circuit linéaire.
Donnée(s)
Pour la conversion, nous utilisons les résultats du modèle de Thévenin calculés à la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur Complexe |
|---|---|---|
| Tension de Thévenin | \(\underline{E}_{\text{th}}\) | \(8 + j4\) V |
| Impédance de Thévenin | \(\underline{Z}_{\text{th}}\) | \(8 + j4\) \(\Omega\) |
Astuces
Quand le numérateur et le dénominateur d'une fraction complexe sont identiques, le résultat est simplement 1, quelle que soit la complexité du nombre !
Schéma (Avant les calculs)
Conversion du modèle de Thévenin
Calcul(s)
Application de la formule de conversion
Schéma (Après les calculs)
Modèle de Norton obtenu
Réflexions
La cohérence parfaite entre le calcul direct (Question 2) et la conversion (Question 3) confirme la validité de nos deux modèles. Cela montre la puissance de ces théorèmes : on peut choisir la méthode de calcul la plus simple, puis convertir si l'autre modèle est plus adapté pour la suite de l'analyse.
Points de vigilance
Lors de la division de nombres complexes en forme polaire (\(M \angle \phi\)), souvenez-vous qu'on divise les modules et qu'on soustrait les phases : \(\frac{M_1 \angle \phi_1}{M_2 \angle \phi_2} = \frac{M_1}{M_2} \angle (\phi_1 - \phi_2)\). C'est souvent plus rapide que la méthode du conjugué.
Points à retenir
La relation fondamentale \(E_{\text{th}} = Z_{\text{th}} \cdot I_{\text{n}}\) est la clé de la dualité Thévenin-Norton. Maîtriser cette simple formule permet de basculer entre les deux mondes avec aisance.
Le saviez-vous ?
Le concept de "dualité" est très puissant en physique et en ingénierie. La dualité Thévenin-Norton est un exemple de dualité des circuits, où les notions de tension et courant, série et parallèle, circuit ouvert et court-circuit sont interchangeables.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on avait trouvé \(E_{\text{th}} = 10+j5\) V et \(Z_{\text{th}} = 5+j0 \, \Omega\), que vaudrait \(I_{\text{n}}\) ?
Outil Interactif : Analyse de la charge
Utilisez les curseurs pour faire varier la résistance \(R_{\text{c}}\) et la réactance \(X_{\text{c}}\) d'une charge connectée aux bornes A et B. Observez l'impact sur la tension et le courant dans la charge, calculés à partir du modèle de Thévenin.
Paramètres de la Charge \(Z_{\text{c}}\)
Résultats sur la Charge
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. L'impédance de Thévenin \(Z_{\text{th}}\) et l'impédance de Norton \(Z_{\text{n}}\) d'un même circuit sont...
2. Pour calculer l'impédance de Thévenin, que fait-on avec une source de courant idéale indépendante ?
3. La tension de Thévenin \(E_{\text{th}}\) est définie comme :
4. Si \(E_{\text{th}} = 20 \angle 30^\circ\) V et \(Z_{\text{th}} = 10 \angle 0^\circ \, \Omega\), que vaut le courant de Norton \(I_{\text{n}}\) ?
Glossaire
- Impédance Complexe (\(Z\))
- La généralisation de la résistance pour les circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe \(Z = R + jX\) où R est la résistance et X la réactance. Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)).
- Phaseur
- Un nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une grandeur sinusoïdale (tension ou courant). Il permet de transformer les équations différentielles en équations algébriques simples.
- Générateur de Thévenin
- Un modèle de circuit équivalent composé d'une source de tension idéale \(E_{\text{th}}\) en série avec une impédance \(Z_{\text{th}}\).
- Générateur de Norton
- Un modèle de circuit équivalent composé d'une source de courant idéale \(I_{\text{n}}\) en parallèle avec une impédance \(Z_{\text{n}}\).
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