Circuits Électriques

Décharge d’un condensateur dans un circuit RC

Électricité : Décharge d'un condensateur dans un circuit RC

Décharge d'un condensateur dans un circuit RC

Contexte : Libérer l'Énergie Stockée

Après avoir étudié la charge d'un condensateur, il est naturel de s'intéresser à sa décharge. Une fois qu'un condensateurComposant qui stocke de l'énergie dans un champ électrique. est chargé à une certaine tension, il agit comme une source d'énergie temporaire. Si on le connecte à une résistanceComposant qui limite le passage du courant., il va se décharger à travers elle, libérant l'énergie qu'il avait emmagasinée. Tout comme la charge, la décharge n'est pas instantanée. La tension à ses bornes et le courant dans le circuit diminuent progressivement selon une loi de décroissance exponentielle, dont la rapidité est toujours gouvernée par la constante de tempsCaractéristique d'un circuit RC (τ = RC) qui définit la vitesse de charge ou de décharge. \(\tau\).

Remarque Pédagogique : L'étude de la décharge est symétrique à celle de la charge. Elle est cruciale pour comprendre le fonctionnement des temporisateurs, des flashs d'appareils photo, des défibrillateurs et de nombreux autres circuits où l'énergie doit être stockée puis libérée de manière contrôlée.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le phénomène de décharge d'un condensateur.
  • Calculer la constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC.
  • Appliquer l'équation de la décharge d'un condensateur : \(u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}\).
  • Appliquer l'équation du courant de décharge : \(i(t) = -\frac{U_0}{R} e^{-t/\tau}\).
  • Déterminer la tension et le courant restants à un instant donné.

Données de l'étude

Un condensateur de capacité \(C = 220 \, \mu\text{F}\) est initialement chargé sous une tension \(U_0 = 5 \, \text{V}\). À l'instant \(t=0\), on le connecte à une résistance de charge \(R = 10 \, \text{k}\Omega\).

Schéma du Circuit de Décharge RC
C=220µF U₀=5V R=10kΩ i(t)

Données :

  • Tension initiale : \(U_0 = 5 \, \text{V}\)
  • Résistance : \(R = 10 \, \text{k}\Omega = 10000 \, \Omega\)
  • Capacité : \(C = 220 \, \mu\text{F} = 220 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Calculer la tension \(u_C\) restante aux bornes du condensateur après \(t = 2.5 \, \text{s}\).
  3. Calculer l'intensité du courant de décharge \(i\) à ce même instant \(t = 2.5 \, \text{s}\).

Correction : Décharge d'un condensateur dans un circuit RC

Question 1 : Constante de Temps (\(\tau\))

Principe :

La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), caractérise la rapidité de la décharge. Pour un circuit RC, elle est toujours égale au produit de la résistance et de la capacité. Une grande constante de temps signifie une décharge lente.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Lors de la décharge, après un temps égal à une constante de temps (\(t=\tau\)), le condensateur a perdu environ 63% de sa tension initiale, il ne lui reste donc qu'environ 37% (\(1/e\)) de sa tension de départ. Après \(5\tau\), on considère qu'il est pratiquement vide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = R \times C \]
Donnée(s) :
  • \(R = 10000 \, \Omega\)
  • \(C = 220 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau &= 10000 \times (220 \times 10^{-6}) \\ &= 2.2 \, \text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités SI : Pour obtenir une constante de temps en secondes (s), il est impératif que la résistance soit en Ohms (\(\Omega\)) et la capacité en Farads (F). Les préfixes k\(\Omega\), M\(\Omega\), mF, \(\mu\)F, nF, pF doivent être convertis.

Le saviez-vous ?

Les défibrillateurs cardiaques sont une application spectaculaire de la décharge de condensateur. Ils chargent un très gros condensateur à une haute tension, puis le déchargent très rapidement à travers le cœur du patient pour tenter de rétablir un rythme cardiaque normal.

FAQ en rapport avec la question :
La constante de temps est-elle la même pour la charge et la décharge ?

Oui, tant que la résistance dans le circuit est la même. La constante de temps \(\tau = RC\) est une propriété intrinsèque du circuit, elle ne dépend pas de si le condensateur se charge ou se décharge.

Résultat : La constante de temps du circuit est \(\tau = 2.2 \, \text{s}\).

Question 2 : Tension aux bornes du Condensateur (\(u_C(t)\))

Principe :

Lors de la décharge, la tension aux bornes du condensateur ne chute pas instantanément. Elle suit une loi de décroissance exponentielle, partant de la tension initiale \(U_0\) et tendant vers 0. La vitesse de cette décroissance est gouvernée par la constante de temps \(\tau\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La fonction \(e^{-t/\tau}\) représente ici directement la fraction de la tension initiale restante. À \(t=0\), elle vaut 1 (\(u_C = U_0\)). À \(t=\tau\), elle vaut \(e^{-1} \approx 0.37\), il reste donc 37% de la tension initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau} \]
Donnée(s) :
  • \(U_0 = 5 \, \text{V}\)
  • \(\tau = 2.2 \, \text{s}\)
  • \(t = 2.5 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} u_C(2.5\text{s}) &= 5 \times e^{-2.5/2.2} \\ &\approx 5 \times e^{-1.136} \\ &\approx 5 \times 0.321 \\ &\approx 1.605 \, \text{V} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas confondre les équations : L'équation de la décharge (\(U_0 e^{-t/\tau}\)) est différente de celle de la charge (\(U_G(1-e^{-t/\tau})\)). Il faut bien identifier le phénomène étudié pour utiliser la bonne formule.

Le saviez-vous ?

La décroissance exponentielle est un modèle mathématique qui décrit de nombreux phénomènes naturels, comme la décroissance de la pression atmosphérique avec l'altitude, la décroissance de l'intensité lumineuse dans l'eau, ou encore la façon dont un café refroidit.

FAQ en rapport avec la question :
Au bout de combien de temps la tension est-elle quasi nulle ?

On considère généralement que la décharge est terminée au bout d'un temps égal à 5 fois la constante de temps (\(5\tau\)). À cet instant, la tension restante est \(U_0 e^{-5} \approx 0.0067 U_0\), soit moins de 1% de la tension initiale. Dans notre cas, ce serait après \(5 \times 2.2 = 11\) secondes.

Résultat : À \(t=2.5\text{s}\), la tension restante est d'environ \(1.61 \, \text{V}\).

Question 3 : Intensité du Courant de Décharge (\(i(t)\))

Principe :

Le courant de décharge est maximal à l'instant \(t=0\), lorsque la tension aux bornes du condensateur est maximale. Il vaut alors \(I_0 = U_0/R\). Ce courant diminue ensuite exponentiellement, suivant la même décroissance que la tension. Le signe négatif dans la formule indique que le courant de décharge circule en sens inverse du courant de charge.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La tension aux bornes de la résistance est toujours égale à celle du condensateur (\(u_R = u_C\)) car ils sont en parallèle dans la boucle de décharge. La loi d'Ohm nous dit donc que \(u_R = R \times i\), d'où \(i = u_C / R\). On retrouve bien la formule de la décharge du courant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ i(t) = \frac{U_0}{R} e^{-t/\tau} \]
Donnée(s) :
  • \(U_0 = 5 \, \text{V}\)
  • \(R = 10000 \, \Omega\)
  • \(\tau = 2.2 \, \text{s}\)
  • \(t = 2.5 \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} i(2.5\text{s}) &= \frac{5}{10000} e^{-2.5/2.2} \\ &= 0.0005 \times e^{-1.136} \\ &\approx 0.0005 \times 0.321 \\ &\approx 0.00016 \, \text{A} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le signe du courant : Dans les calculs de valeur absolue, le signe n'importe pas. Mais si l'on définit un sens positif pour le courant de charge, alors le courant de décharge sera négatif car il circule dans l'autre sens. La formule complète est \(i(t) = -\frac{U_0}{R} e^{-t/\tau}\).

Le saviez-vous ?

Les circuits de lissage dans les alimentations électriques utilisent ce principe. Un condensateur est chargé par le courant redressé du secteur. Entre deux pics de tension, le condensateur se décharge lentement, fournissant un courant à la charge et "lissant" ainsi la tension pour la rendre plus continue.

FAQ en rapport avec la question :
Le courant est-il nul à la fin ?

Oui. Une fois que le condensateur est complètement déchargé, sa tension est nulle, et il n'y a plus de différence de potentiel pour faire circuler le courant. Le courant devient donc nul et le circuit est à l'état d'équilibre final.

Résultat : À \(t=2.5\text{s}\), le courant de décharge est d'environ \(0.16 \, \text{mA}\).

Simulation Interactive

Faites varier la résistance et la capacité. Observez comment la constante de temps \(\tau\) change et comment cela affecte la vitesse de décharge du condensateur.

Paramètres du Circuit RC
Constante de Temps τ
Courbe de Décharge du Condensateur

Pour Aller Plus Loin : Le Circuit RLC en Régime Transitoire

Des oscillations amorties : Si l'on ajoute une bobine en série dans notre circuit de décharge, on obtient un circuit RLC. Le comportement devient beaucoup plus riche. Au lieu d'une simple décroissance exponentielle, la tension et le courant peuvent osciller tout en s'amortissant. Selon les valeurs de R, L et C, on peut avoir un régime "pseudo-périodique" (des oscillations qui s'atténuent), "critique" (le retour à zéro le plus rapide sans oscillation) ou "apériodique" (un retour à zéro lent sans oscillation).

Le Saviez-Vous ?

La mémoire vive dynamique (DRAM) de votre ordinateur est constituée de milliards de minuscules condensateurs. Chaque condensateur représente un bit d'information : s'il est chargé, il représente un "1", s'il est déchargé, un "0". Comme ces condensateurs ont des fuites et se déchargent naturellement, l'ordinateur doit constamment "rafraîchir" la mémoire en lisant et réécrivant les données des milliers de fois par seconde pour ne pas perdre l'information !

Foire Aux Questions (FAQ)

La résistance interne du condensateur a-t-elle un impact ?

Oui. Un condensateur réel a une petite résistance interne en série (ESR). Cette résistance s'ajoute à la résistance de décharge R, ce qui augmente légèrement la constante de temps \(\tau = (R + R_{ESR})C\). Dans les applications de puissance ou à haute fréquence, cette résistance interne peut devenir significative et causer des pertes d'énergie.

Que se passe-t-il si la résistance est nulle (court-circuit) ?

Si l'on court-circuite un condensateur chargé avec un fil de résistance idéale nulle, la constante de temps \(\tau\) est nulle. Théoriquement, le condensateur se déchargerait instantanément, créant un courant infini pendant une durée nulle. En pratique, la résistance des fils n'est jamais nulle, mais le courant peut être extrêmement élevé et dangereux, créant une étincelle et pouvant endommager le condensateur et les fils.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un circuit RC, si on double la valeur de la capacité C, le temps de décharge :

2. Après un temps \(t = \tau\), la tension aux bornes d'un condensateur en décharge est approximativement :

Glossaire

Circuit RC
Un circuit composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est le circuit de base pour étudier les phénomènes transitoires.
Régime Transitoire
La phase durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent d'un état stable initial à un nouvel état stable final après une perturbation (ex: fermeture d'un interrupteur).
Constante de Temps (\(\tau\))
Pour un circuit RC, \(\tau = RC\). C'est une mesure de la rapidité de la charge ou de la décharge. Après un temps \(t=\tau\), le système a effectué environ 63% de son changement total.
Phénomènes Transitoires : Décharge d'un condensateur dans un circuit RC
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