Circuits Électriques

Décharge d’un condensateur dans un circuit RC

Exercice : Décharge d'un Condensateur dans un Circuit RC

Décharge d’un Condensateur dans un Circuit RC

Contexte : Les Phénomènes TransitoiresÉtude du comportement d'un circuit lorsqu'il passe d'un état stable à un autre, comme lors de la fermeture ou l'ouverture d'un interrupteur. en circuits électriques.

L'étude des circuits RC est fondamentale en électronique et en génie électrique. Elle permet de comprendre comment les tensions et les courants évoluent lors d'un changement brusque, comme la fermeture d'un interrupteur. Ce phénomène, appelé régime transitoire, est à la base de nombreuses applications telles que les minuteries, les filtres et les oscillateurs. Cet exercice se concentre sur la phase de décharge d'un condensateur préalablement chargé, un cas d'école pour analyser une décroissance exponentielle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un phénomène physique (la décharge d'un condensateur) par une équation différentielle du premier ordre, à la résoudre et à interpréter physiquement chaque terme de la solution, notamment la constante de temps qui caractérise la rapidité du phénomène.

Objectifs Pédagogiques

  • Établir l'équation différentielle régissant la tension aux bornes du condensateur lors de sa décharge.
  • Résoudre cette équation différentielle et comprendre la signification de la constante de temps \(\tau\).
  • Calculer et analyser l'évolution de la tension, du courant et de l'énergie dans le circuit au fil du temps.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous, composé d'un générateur de tension idéal de f.e.m. \(E\), d'un condensateur de capacité \(C\) et d'un conducteur ohmique de résistance \(R\). L'interrupteur K a deux positions. Initialement, l'interrupteur est en position 1 depuis suffisamment longtemps pour que le condensateur soit complètement chargé.

Schéma du circuit RC
E - + K 1 2 R C uR uC i(t)
Données Numériques
Paramètre Description Valeur Unité
\(E\) Force électromotrice du générateur 12 V
\(R\) Résistance 100 \(\text{k}\Omega\)
\(C\) Capacité du condensateur 10 \(\mu\text{F}\)

Questions à traiter

  1. À l'instant \(t=0\), l'interrupteur K bascule de la position 1 à la position 2. Appliquer la loi des mailles pour établir l'équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C(t)\) aux bornes du condensateur pour \(t \ge 0\).
  2. Vérifier que la solution de cette équation différentielle est de la forme \(u_C(t) = A \cdot e^{-t/\tau}\). Déterminer les expressions de la constante de temps \(\tau\) et de la constante \(A\) en fonction de \(E\), \(R\) et \(C\).
  3. Calculer la valeur numérique de la constante de temps \(\tau\). Quelle est sa signification physique ?
  4. Déterminer l'expression de l'intensité du courant \(i(t)\) qui traverse le circuit pour \(t \ge 0\). Calculer sa valeur à \(t=0\).
  5. Calculer l'énergie stockée dans le condensateur à l'instant initial \(t=0\) et l'énergie totale dissipée par effet Joule dans la résistance lorsque le condensateur est complètement déchargé (\(t \to \infty\)). Conclure.

Les bases sur les Circuits RC en Régime Transitoire

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques lois et relations fondamentales de l'électricité.

1. Loi des mailles
La somme algébrique des tensions le long d'une maille (boucle fermée) d'un circuit est nulle. Dans notre cas, pour \(t \ge 0\), la maille de décharge ne contient que le condensateur et la résistance. On aura donc : \(u_C(t) + u_R(t) = 0\).

2. Relations caractéristiques des composants

  • Conducteur ohmique (Résistance) : La tension à ses bornes est proportionnelle au courant qui le traverse. C'est la loi d'Ohm : \(u_R(t) = R \cdot i(t)\).
  • Condensateur : Le courant qui le traverse est proportionnel à la dérivée de la tension à ses bornes : \(i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}\).

3. Énergie dans un condensateur
L'énergie électrostatique emmagasinée par un condensateur de capacité \(C\) soumis à une tension \(u_C\) est donnée par la formule : \[ \mathcal{E}_C = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2 \]

Correction : Décharge d’un Condensateur dans un Circuit RC

Question 1 : Établissement de l'équation différentielle

Principe (le concept physique)

Pour trouver l'équation qui régit l'évolution de la tension \(u_C(t)\), nous devons appliquer les lois fondamentales de l'électricité à la maille du circuit concernée après le basculement de l'interrupteur. La loi des mailles nous permet de relier les tensions aux bornes des différents composants, traduisant ainsi la conservation de l'énergie dans le circuit.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Une équation différentielle en physique lie une fonction (ici, la tension \(u_C(t)\)) à ses dérivées. Pour un circuit RC, on obtient une équation du premier ordre, car elle ne fait intervenir que la dérivée première. Sa résolution décrit l'évolution temporelle de la tension, révélant la nature exponentielle des phénomènes transitoires dans ce type de circuit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'étape la plus importante est de bien identifier la maille pertinente après \(t=0\) et d'orienter correctement les tensions et le courant. Une erreur de signe à ce stade se répercutera sur toute la résolution. Prenez l'habitude de toujours dessiner la maille et les flèches de tension avant d'écrire l'équation.

Normes (la référence réglementaire)

Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour résoudre un exercice, les lois utilisées (loi des mailles de Kirchhoff, loi d'Ohm) sont les fondations de toutes les normes internationales en génie électrique, comme la série IEC 60364 pour les installations électriques, qui garantissent la sécurité et la compatibilité des systèmes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi des mailles

\[ u_C(t) + u_R(t) = 0 \]

Loi d'Ohm

\[ u_R(t) = R \cdot i(t) \]

Relation pour le condensateur

\[ i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cet exercice, nous considérons que les composants sont idéaux :

  • Le condensateur n'a pas de fuite de courant interne.
  • La résistance des fils de connexion est nulle.
  • Le basculement de l'interrupteur est instantané.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour cette question, seules les grandeurs littérales \(R\) et \(C\) sont nécessaires pour établir l'équation.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour obtenir directement l'équation différentielle, vous pouvez retenir que dans un circuit RC série, on a toujours \(u_R(t) = R \cdot i(t) = RC \frac{du_C}{dt}\). En l'injectant dans la loi des mailles, le résultat est immédiat.

Schéma (Avant les calculs)
Circuit de décharge (\(t \ge 0\))
RCuRuCi(t)
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la loi des mailles

\[ u_C(t) + u_R(t) = 0 \]

Substitution de la loi d'Ohm

\[ u_C(t) + R \cdot i(t) = 0 \]

Substitution de la relation du condensateur

\[ u_C(t) + R \cdot \left(C \frac{du_C(t)}{dt}\right) = 0 \]
Schéma (Après les calculs)
Modèle Mathématique
\(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0\)(Équation différentielle du 1er ordre)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation \(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0\) montre que la tension \(u_C\) est proportionnelle à sa propre vitesse de variation (sa dérivée), avec un signe opposé. C'est la signature mathématique d'un phénomène de décroissance exponentielle : plus la tension est élevée, plus elle diminue rapidement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le signe dans la loi des mailles ou d'inverser la relation courant-tension pour le condensateur. Rappelez-vous que pour la décharge, le courant sort de l'armature positive, ce qui justifie \(i(t) = -C \frac{du_C}{dt}\) si on oriente le courant dans le sens de la charge, ou la convention utilisée ici qui donne le résultat directement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour un circuit RC en décharge, l'équation différentielle est toujours de la forme \(\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = 0\) où \(\tau=RC\). C'est un résultat fondamental à connaître par cœur.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le même type d'équation différentielle du premier ordre modélise de nombreux autres phénomènes physiques : la décroissance radioactive, le refroidissement d'un objet (loi de Newton), ou encore la vidange d'un réservoir.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le générateur n'apparaît-il pas dans l'équation ?

Parce qu'à l'instant \(t=0\), l'interrupteur bascule en position 2, déconnectant ainsi le générateur du reste du circuit. La décharge se produit dans une maille isolée composée uniquement du condensateur et de la résistance.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C(t)\) est : \(RC \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = 0\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'équation différentielle si le circuit contenait deux résistances \(R_1\) et \(R_2\) en série ? (Répondez sous forme littérale)

Question 2 : Solution de l'équation différentielle

Principe (le concept physique)

Pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle, il suffit de la dériver, de la réinjecter dans l'équation et de vérifier si l'égalité est satisfaite. Ensuite, on utilise les conditions initiales du circuit (l'état du circuit juste avant la perturbation) pour déterminer les constantes d'intégration, ce qui correspond à "caler" le modèle mathématique sur la réalité physique de départ.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre est toujours une fonction exponentielle. La constante d'intégration (ici \(A\)) est déterminée par l'état du système à \(t=0\). C'est un principe de causalité : l'état futur dépend de l'état initial.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne sautez jamais l'étape de la détermination des conditions initiales. C'est elle qui donne un sens physique à la solution mathématique. Posez-vous toujours la question : "Que valaient les tensions et courants juste avant que l'événement ne se produise ?" La continuité de la tension aux bornes d'un condensateur est la clé ici.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme directe, mais le concept de condition initiale est fondamental dans toutes les simulations de systèmes dynamiques utilisées en ingénierie pour prédire le comportement des structures, des circuits ou des systèmes de contrôle, conformément aux standards de modélisation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Continuité de la tension du condensateur

\[ u_C(t=0^+) = u_C(t=0^-) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le régime permanent était établi avant \(t=0\). Cela signifie que le condensateur a eu un temps infini pour se charger, et qu'aucun courant ne circulait plus dans la branche du condensateur. Il se comportait comme un interrupteur ouvert, et sa tension était donc égale à celle du générateur, \(E\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

La seule donnée nécessaire ici est la tension initiale aux bornes du condensateur, qui est \(u_C(0) = E = 12 \, \text{V}\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une décharge, la tension initiale est presque toujours la tension de la source qui l'a chargé, et la tension finale est 0. La solution est donc toujours de la forme \(u_C(t) = u_C(0) \cdot e^{-t/\tau}\).

Schéma (Avant les calculs)
Condition initiale à \(t=0\)
CuC(0) = E+
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Vérification de la solution

On part de la solution proposée : \(u_C(t) = A \cdot e^{-t/\tau}\). On calcule sa dérivée par rapport au temps :

\[ \begin{aligned} \frac{du_C(t)}{dt} &= A \cdot \left(-\frac{1}{\tau}\right) e^{-t/\tau} \\ &= -\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau} \end{aligned} \]

On injecte \(u_C(t)\) et sa dérivée dans l'équation différentielle \(RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0\) :

\[ RC \left(-\frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + A e^{-t/\tau} = 0 \]

On factorise par \(A e^{-t/\tau}\) (qui n'est jamais nul) :

\[ A e^{-t/\tau} \left(1 - \frac{RC}{\tau}\right) = 0 \]

Pour que cette équation soit vraie pour tout \(t\), il faut que le terme entre parenthèses soit nul :

\[ 1 - \frac{RC}{\tau} = 0 \Rightarrow \tau = RC \]

Étape 2 : Détermination de la constante A

On utilise la condition initiale. Juste avant le basculement (\(t=0^-\)), le condensateur est chargé sous la tension \(E\). La tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas subir de discontinuité. Donc, à l'instant initial de la décharge (\(t=0^+\)), la tension est la même : \(u_C(0^+) = u_C(0^-) = E\).

On applique cette condition à la solution :

\[ \begin{aligned} u_C(0) &= A \cdot e^{-0/\tau} \\ &= A \cdot e^0 \\ &= A \cdot 1 \\ &= A \end{aligned} \]

On en déduit que \(A = E\).

Schéma (Après les calculs)
Allure de \(u_C(t)\) lors de la décharge
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solution \(u_C(t) = E \cdot e^{-t/RC}\) décrit parfaitement le comportement attendu : à \(t=0\), la tension vaut \(E\). Lorsque \(t\) augmente, l'exponentielle tend vers 0, et la tension s'annule. La vitesse de cette décroissance est gouvernée par le produit \(RC\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre la condition initiale du courant et celle de la tension. Le courant peut être discontinu (il passe d'une valeur nulle à \(i(0)=-E/R\)), mais la tension aux bornes du condensateur est toujours continue.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La solution générale de \(y' + \frac{1}{\tau}y = 0\) est \(y(t) = A e^{-t/\tau}\).
  • La constante \(A\) est toujours la valeur de la grandeur à \(t=0\).
  • La tension aux bornes d'un condensateur est une fonction continue du temps.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le mathématicien Leonhard Euler, qui a introduit la notation \(e\) pour la base du logarithme naturel vers 1727, ne pouvait pas imaginer que cette constante deviendrait la pierre angulaire de la description des phénomènes transitoires en électricité des siècles plus tard !

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la tension du condensateur est-elle continue ?

Physiquement, une discontinuité de tension impliquerait une variation instantanée de la charge, ce qui correspondrait à un courant infini (\(i=C \frac{du_C}{dt}\)). Comme un courant infini n'est pas possible physiquement, la tension est nécessairement continue.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La constante de temps est \(\tau = RC\) et la constante d'intégration est \(A = E\). La solution complète est donc : \(u_C(t) = E \cdot e^{-t/RC}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le condensateur n'était chargé qu'à la moitié de la tension E, soit \(E/2\), à l'instant \(t=0\), quelle serait la nouvelle expression de \(u_C(t)\) ?

Question 3 : Constante de temps \(\tau\)

Principe (le concept physique)

La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), est une grandeur caractéristique des systèmes du premier ordre. Elle représente la durée nécessaire pour que la réponse du système atteigne environ 63% de sa variation totale lors d'une charge, ou pour qu'elle chute à environ 37% de sa valeur initiale lors d'une décharge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, si on traçait la tangente à la courbe de décharge à l'origine (\(t=0\)), elle couperait l'axe des abscisses précisément à l'instant \(t=\tau\). C'est une propriété géométrique de la fonction exponentielle qui donne un sens concret à cette constante de temps.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites toujours une analyse dimensionnelle pour vérifier votre formule de \(\tau\). Une résistance (en \(\Omega\)) multipliée par une capacité (en F) donne bien des secondes : \([\tau] = [R][C] = (\text{V/A}) \cdot (\text{C}_{\text{charge}}/\text{V}) = \text{C}_{\text{charge}}/\text{A} = (\text{A} \cdot \text{s})/\text{A} = \text{s}\). Cette vérification rapide permet d'éviter de nombreuses erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

La notion de constante de temps est utilisée dans de nombreuses normes pour définir des temps de réponse ou de stabilisation. Par exemple, dans les normes de sécurité électrique, on peut spécifier qu'un appareil doit se décharger en dessous d'une certaine tension en un temps lié à la constante de temps de son circuit interne.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition de la constante de temps

\[ \tau = R \cdot C \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les valeurs des composants R et C données dans l'énoncé, en les considérant comme précises et constantes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
RésistanceR100\(\text{k}\Omega\)
CapacitéC10\(\mu\text{F}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Lors d'un produit \(\text{k}\Omega \times \mu\text{F}\), les préfixes "kilo" (\(10^3\)) et "micro" (\(10^{-6}\)) se combinent pour donner "milli" (\(10^{-3}\)). Donc, \(100 \, \text{k}\Omega \times 10 \, \mu\text{F} = (100 \times 10) \, \text{ms} = 1000 \, \text{ms} = 1 \, \text{s}\).

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la constante de temps \(\tau\)
RC\(\tau\)×=
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la constante de temps

\[ \begin{aligned} \tau &= R \cdot C \\ &= (100 \times 10^3 \, \Omega) \times (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) \\ &= 1000 \times 10^{-3} \, \text{s} \\ &= 1 \, \text{s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Signification graphique de \(\tau\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une constante de temps de 1 seconde signifie que le phénomène transitoire est relativement lent, observable à l'échelle humaine. Si \(\tau\) était de l'ordre de la microseconde, le phénomène serait quasi-instantané pour un observateur humain. On considère généralement que le régime transitoire est terminé (condensateur quasi-déchargé) au bout de \(5\tau\), soit 5 secondes dans notre cas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est l'oubli de la conversion des préfixes (kilo, méga, micro, nano, pico). Toujours convertir en unités de base (Ohm, Farad) avant de faire le produit pour obtenir un résultat en secondes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(\tau\) a la dimension d'un temps.
  • \(\tau\) caractérise la "lenteur" du circuit. Grand \(\tau \Rightarrow\) décharge lente.
  • À \(t=\tau\), la décharge est effectuée à 63%.
  • À \(t=5\tau\), la décharge est considérée comme terminée (plus de 99%).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La constante de temps RC est utilisée dans les écrans tactiles capacitifs. Lorsque vous touchez l'écran, votre doigt modifie la capacité locale, ce qui change la constante de temps d'un circuit. Cette variation est détectée par le microcontrôleur qui calcule alors la position de votre doigt.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la constante de temps dépend de la tension initiale E ?

Non, absolument pas. La formule \(\tau = RC\) montre que la constante de temps ne dépend que des caractéristiques des composants passifs (la résistance et le condensateur). La tension initiale E n'influence que l'amplitude de la décharge, mais pas sa vitesse relative.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La constante de temps du circuit est \(\tau = 1\) seconde. Elle caractérise la vitesse de la décharge : plus \(\tau\) est grand, plus la décharge est lente.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle devrait être la valeur de C (en \(\mu\text{F}\)) pour avoir une constante de temps de 100 ms avec la même résistance R ?

Question 4 : Intensité du courant \(i(t)\)

Principe (le concept physique)

Le courant de décharge n'est pas constant, il varie au cours du temps. Puisqu'il est lié à la variation de la tension \(u_C(t)\) (via \(i=C du_C/dt\)), il suivra lui aussi une décroissance exponentielle. Il est maximal au début (quand la tension varie le plus vite) et s'annule à la fin.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La dérivation d'une fonction exponentielle \(e^{ax}\) donne \(a \cdot e^{ax}\). Ainsi, la dérivée de la tension \(u_C(t)\) (qui est une exponentielle) donnera une autre exponentielle, ce qui explique pourquoi le courant a la même allure de décroissance. Le facteur multiplicatif sera lié à \(-1/\tau\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du courant est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos résultats. Le signe du courant doit avoir un sens physique. Ici, le condensateur se vide, le courant doit donc sortir de son armature positive. Selon l'orientation choisie, le signe de \(i(t)\) doit refléter cette réalité.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de sécurité imposent des limites sur les courants de contact. Comprendre le pic de courant initial lors de la décharge d'un condensateur est crucial pour la conception d'appareils sûrs, afin de s'assurer que ce courant ne puisse jamais atteindre un niveau dangereux pour un utilisateur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules du courant de décharge

\[ i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \quad \text{ou} \quad i(t) = \frac{u_R(t)}{R} = -\frac{u_C(t)}{R} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. On utilise les résultats et hypothèses des questions précédentes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension initialeE12V
RésistanceR100\(\text{k}\Omega\)
Constante de temps\(\tau\)1s
Astuces (Pour aller plus vite)

La méthode la plus rapide est d'utiliser \(i(t) = -u_C(t)/R\). Comme on connaît déjà \(u_C(t) = E e^{-t/\tau}\), le résultat est immédiat : \(i(t) = - (E/R) e^{-t/\tau}\).

Schéma (Avant les calculs)
Circuit de décharge avec orientation du courant
RCi(t)
Calcul(s) (l'application numérique)

Détermination de l'expression de i(t)

\[ \begin{aligned} i(t) &= C \frac{du_C(t)}{dt} \\ &= C \left(-\frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}\right) \\ &= C \left(-\frac{E}{RC} e^{-t/\tau}\right) \\ &= -\frac{E}{R} e^{-t/\tau} \end{aligned} \]

Calcul du courant initial \(i(0)\)

\[ \begin{aligned} i(0) &= -\frac{E}{R} e^0 \\ &= -\frac{E}{R} \end{aligned} \]

Application numérique de \(i(0)\)

\[ \begin{aligned} i(0) &= -\frac{12 \, \text{V}}{100 \times 10^3 \, \Omega} \\ &= -0.12 \times 10^{-3} \, \text{A} \\ &= -0.12 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allure de \(i(t)\) lors de la décharge
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le signe négatif de \(i(t)\) indique que le courant de décharge circule en sens inverse de l'orientation choisie sur le schéma (qui correspond généralement au sens du courant de charge). C'est tout à fait logique, car le condensateur se comporte comme un générateur durant la décharge. Le courant est maximal (en valeur absolue) au début et s'annule exponentiellement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le signe "moins" qui apparaît lors de la dérivation de l'exponentielle \(e^{-t/\tau}\). Une autre erreur est de penser que le courant est nul à \(t=0\). C'est faux, il est même à son maximum en valeur absolue !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le courant dans un circuit RC suit la même loi de décroissance exponentielle que la tension.
  • Le courant initial de décharge est \(i(0) = -E/R\).
  • Le signe du courant dépend de l'orientation choisie sur le schéma.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le flash d'un appareil photo fonctionne sur ce principe : un condensateur est chargé lentement par une petite pile, puis se décharge très rapidement (R est très faible, donc \(\tau\) est très court) dans une lampe au xénon, produisant un éclair très intense.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le courant n'est-il pas continu à t=0 ?

Contrairement à la tension aux bornes d'un condensateur, le courant dans un circuit purement résistif peut être discontinu. À \(t=0^-\), le condensateur est chargé et le courant est nul. À \(t=0^+\), l'interrupteur bascule, la tension \(E\) est appliquée à la résistance, créant instantanément un courant \(i(0)=-E/R\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'expression du courant est \(i(t) = -\frac{E}{R} e^{-t/RC}\). À l'instant initial, sa valeur est \(i(0) = -0.12 \, \text{mA}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

À quel instant \(t\) le courant de décharge sera-t-il réduit à 10% de sa valeur initiale ? (Donnez la réponse en fonction de \(\tau\))

Question 5 : Bilan énergétique

Principe (le concept physique)

L'énergie initialement stockée dans le champ électrostatique du condensateur ne disparaît pas. Elle est intégralement transférée au circuit extérieur (ici, la résistance), qui la dissipe sous forme de chaleur par effet Joule. C'est une illustration directe du principe de conservation de l'énergie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie est l'intégrale temporelle de la puissance. La puissance électrique instantanée dissipée dans une résistance est \(P_J(t) = u_R(t) \cdot i(t) = R \cdot i(t)^2\). En intégrant cette puissance sur toute la durée de la décharge (de \(t=0\) à \(t=\infty\)), on obtient l'énergie totale dissipée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faire un bilan énergétique est un excellent moyen de valider l'ensemble de vos calculs. Si l'énergie finale dissipée ne correspond pas à l'énergie initiale stockée, c'est qu'il y a probablement une erreur dans vos expressions de tension ou de courant.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de l'énergie dissipée est crucial pour le dimensionnement thermique des composants. Les normes de conception électronique (comme celles de l'IPC) imposent des règles de dissipation thermique pour garantir que les composants ne surchauffent pas, ce qui est directement lié à l'énergie Joule qu'ils dissipent.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Énergie stockée dans le condensateur

\[ \mathcal{E}_C = \frac{1}{2} C u_C^2 \]

Énergie dissipée par effet Joule

\[ \mathcal{E}_J = \int_0^{\infty} P_J(t) dt = \int_0^{\infty} R i(t)^2 dt \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'il n'y a aucune autre forme de dissipation d'énergie (par exemple par rayonnement électromagnétique), ce qui est une excellente approximation pour ce type de circuit à basse fréquence.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise toutes les données de l'énoncé : \(E=12 \, \text{V}\), \(C=10 \, \mu\text{F}\), \(R=100 \, \text{k}\Omega\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Sachant que l'énergie doit se conserver, on peut affirmer sans calcul que l'énergie totale dissipée par la résistance sera égale à l'énergie initiale du condensateur, soit \(\frac{1}{2}CE^2\). Le calcul par l'intégrale sert de vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de Transfert d'Énergie
ÉnergieCondensateurEC(0)ÉnergieRésistanceEJ(∞)Dissipation
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Énergie initiale du condensateur

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_C(0) &= \frac{1}{2} C E^2 \\ &= \frac{1}{2} (10 \times 10^{-6}) \times (12)^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 144 \\ &= 72 \times 10^{-5} \, \text{J} \\ &= 720 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Étape 2 : Énergie totale dissipée par la résistance

\[ \begin{aligned} \mathcal{E}_J &= \int_0^{\infty} R \left(-\frac{E}{R} e^{-t/\tau}\right)^2 dt \\ &= \int_0^{\infty} R \frac{E^2}{R^2} e^{-2t/\tau} dt \\ &= \frac{E^2}{R} \int_0^{\infty} e^{-2t/\tau} dt \\ &= \frac{E^2}{R} \left[ -\frac{\tau}{2} e^{-2t/\tau} \right]_0^{\infty} \\ &= \frac{E^2}{R} \left( 0 - \left(-\frac{\tau}{2} e^0\right) \right) \\ &= \frac{E^2}{R} \frac{\tau}{2} \\ &= \frac{E^2}{R} \frac{RC}{2} \\ &= \frac{1}{2} C E^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Évolution des énergies
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous constatons que l'énergie totale dissipée par la résistance, \(\mathcal{E}_J\), est exactement égale à l'énergie initialement stockée dans le condensateur, \(\mathcal{E}_C(0)\). Cela confirme le principe de conservation de l'énergie dans le circuit : toute l'énergie du condensateur a été convertie en chaleur dans la résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le carré dans la formule de la puissance (\(R i^2\)) lors du calcul de l'énergie dissipée. Une autre erreur est de mal calculer la primitive de \(e^{-2t/\tau}\), qui est \(-\frac{\tau}{2}e^{-2t/\tau}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'énergie stockée par un condensateur est \(\mathcal{E}_C = \frac{1}{2} C u_C^2\).
  • Cette énergie est entièrement dissipée par effet Joule dans la résistance lors de la décharge.
  • Le bilan énergétique est un outil puissant pour vérifier la cohérence d'un calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les voitures électriques ou hybrides, lors du freinage, les moteurs électriques fonctionnent en générateurs pour recharger la batterie. C'est du "freinage régénératif". Au lieu de dissiper l'énergie cinétique en chaleur dans les freins (comme l'effet Joule dans notre résistance), on la récupère pour la stocker à nouveau sous forme d'énergie chimique dans la batterie.

FAQ (pour lever les doutes)
L'énergie dissipée dépend-elle de la valeur de la résistance R ?

Non, le résultat final \(\mathcal{E}_J = \frac{1}{2}CE^2\) montre que l'énergie totale dissipée ne dépend que de C et de la tension initiale E. La résistance R ne change que la vitesse à laquelle cette énergie est dissipée (la puissance), mais pas la quantité totale d'énergie à la fin.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'énergie initiale stockée est \(\mathcal{E}_C(0) = 720 \, \mu\text{J}\). L'énergie totale dissipée par effet Joule est \(\mathcal{E}_J = \frac{1}{2}CE^2 = 720 \, \mu\text{J}\). Les deux valeurs sont égales, conformément au principe de conservation de l'énergie.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on doublait la tension initiale E, par quel facteur l'énergie stockée serait-elle multipliée ?

Outil Interactif : Simulateur de Décharge RC

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité. Observez en temps réel comment ces changements affectent la constante de temps du circuit et la courbe de décharge de la tension aux bornes du condensateur.

Paramètres d'Entrée
100 k\(\Omega\)
10 \(\mu\)F
Résultats Clés
Constante de temps \(\tau\) (s) -
Tension à \(t=\tau\), \(u_C(\tau)\) (V) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente physiquement la constante de temps \(\tau\) dans un circuit RC en décharge ?

2. Si l'on double la valeur de la résistance R, comment la constante de temps \(\tau\) est-elle affectée ?

3. Quelle est la tension aux bornes de la résistance, \(u_R(t)\), au tout début de la décharge (\(t=0^+\)) ?

4. À la date \(t=5\tau\), comment peut-on considérer l'état du condensateur ?

5. D'où provient l'énergie qui est dissipée sous forme de chaleur dans la résistance ?

Régime transitoire
Période durant laquelle les tensions et courants d'un circuit évoluent entre deux régimes permanents (stables), suite à une perturbation comme la manœuvre d'un interrupteur.
Constante de temps (\(\tau\))
Grandeur, homogène à un temps, qui caractérise la durée du régime transitoire d'un système du premier ordre. Pour un circuit RC, \(\tau=RC\).
Condensateur
Composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrostatique. Il s'oppose aux variations rapides de tension à ses bornes.
Effet Joule
Phénomène par lequel le passage d'un courant électrique dans un matériau conducteur (comme une résistance) produit de la chaleur.
Exercice : Décharge d’un Condensateur dans un Circuit RC
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