Décomposition en Série de Fourier

Contexte : Phénomènes Transitoires et Harmoniques.

En électronique de puissance (onduleurs, hacheurs), les signaux générés ne sont jamais parfaitement sinusoïdaux. L'analyse spectrale via la Série de FourierOutil mathématique permettant de décomposer un signal périodique en une somme de sinus et cosinus. permet de quantifier la pollution harmonique injectée dans le réseau. Nous étudions ici un signal triangulaire symétrique, souvent utilisé comme porteuse dans la modulation de largeur d'impulsion (PWM).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vise à comprendre comment les propriétés de symétrie (parité) d'un signal simplifient drastiquement le calcul des coefficients spectraux. Maîtriser ces symétries est essentiel pour gagner du temps lors d'examens ou d'analyses rapides sur le terrain.

Objectifs Pédagogiques

Exploiter les symétries (parité) d'un signal périodique pour annuler des coefficients sans calcul.
Calculer rigoureusement les coefficients de Fourier \(a_0\), \(a_n\) et \(b_n\) par intégration.
Analyser la décroissance spectrale (vitesse de convergence) du signal et son lien avec la "douceur" de la courbe.

Données de l'étude

On considère un signal de tension \(v(t)\) périodique, de forme triangulaire, alternatif et symétrique. Il évolue linéairement entre \(-V_{\text{max}}\) et \(+V_{\text{max}}\).

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Forme du signal	Triangulaire, Impair
Valeur CrêteAmplitude maximale du signal (Vmax). \(V_{\text{m}}\)	10 V
Fréquence \(f\)	50 Hz

Allure du Signal v(t)

Questions à traiter

Analyser la symétrie du signal et en déduire les propriétés des coefficients de Fourier.
Calculer la pulsation fondamentale \(\omega\).
Déterminer l'expression analytique des coefficients \(b_n\).
Écrire la série de Fourier complète.
Comparer la décroissance des harmoniques avec celle d'un signal carré.

Rappels : Analyse de Fourier

Tout signal périodique \(v(t)\) de fréquence \(f\) satisfaisant aux conditions de Dirichlet peut s'écrire sous la forme d'une somme infinie :

Décomposition en Série de Fourier
Expression trigonométrique générale :

v(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t) \right]

Avec \(\omega = 2\pi f\). Cette décomposition permet d'analyser le contenu fréquentiel d'un signal complexe.

Calcul des Coefficients
Les formules d'Euler permettent de calculer chaque terme :

a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v(t) dt \quad \text{(Valeur Moyenne)}

a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} v(t) \cos(n\omega t) dt \quad ; \quad b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} v(t) \sin(n\omega t) dt

Propriétés de Symétrie (Parité)
L'observation des symétries simplifie les calculs :

Si \(v(t)\) est Pair (\(v(-t) = v(t)\)) : \(b_n = 0\). Seuls les termes en Cosinus existent.
Si \(v(t)\) est Impair (\(v(-t) = -v(t)\)) : \(a_n = 0\) et \(a_0 = 0\). Seuls les termes en Sinus existent.
Si \(v(t)\) présente une symétrie de glissement (\(v(t + T/2) = -v(t)\)) : Seuls les harmoniques impairs existent.

Correction : Décomposition en Série de Fourier

Question 1 : Analyse des Symétries

Principe

L'analyse des symétries est la première étape cruciale en traitement du signal. Avant de poser la moindre intégrale, on observe le graphe de la fonction. Si le signal est "miroir" par rapport à l'axe vertical (pair) ou symétrique par rapport à l'origine (impair), la moitié des coefficients s'annule automatiquement, ce qui économise un temps précieux.

Mini-Cours

Une fonction est dite impaire si pour tout \(t\), \(f(-t) = -f(t)\). Géométriquement, son graphe est symétrique par rapport à l'origine \((0,0)\). Dans le contexte de Fourier, une fonction impaire ne peut être construite qu'à partir de fonctions impaires (les sinus). Les composantes paires (cosinus et constante) sont donc nécessairement nulles.

Remarque Pédagogique

L'observation est plus rapide que le calcul ! En examen, justifier par "Le signal est impair, donc \(a_n=0\)" est parfaitement acceptable et démontre une bonne compréhension des concepts, plutôt que d'effectuer un calcul d'intégrale qui aboutira à 0.

Normes

La notation mathématique et les définitions de parité utilisées ici sont conformes à la norme ISO 80000-2 relative aux signes et symboles mathématiques utilisés en sciences physiques et ingénierie.

Formule(s)

Condition mathématique d'imparité

v(-t) = -v(t) \quad \forall t \in \mathbb{R}

Hypothèses

Pour cette analyse, nous posons les hypothèses suivantes :

Le signal est idéalement périodique sur \(t \in ]-\infty, +\infty[\).
Le signal est centré sur l'origine des temps \(t=0\) tel que représenté sur le graphe (passage par 0 avec pente positive).
Le signal ne comporte aucune composante continue (offset DC nul).

Donnée(s)

Type d'observation	Valeur / Conclusion
Symétrie géométrique	Centrale (autour de l'origine)

Astuces

Astuce mnémotechnique pour la parité : Cosinus = Coupé (symétrie axiale, comme si on coupait la feuille en deux). Sinus = Symétrie centrale (point central). Ici, le signal ressemble à un sinus, c'est donc une fonction impaire.

Schéma (Analyse Visuelle)

Chaque point A a un symétrique A' par rapport à l'origine.

Résultat de l'analyse (Détails)

Justifions mathématiquement pourquoi les coefficients s'annulent. Commençons par la valeur moyenne \(a_0\), qui représente l'intégrale du signal sur une période divisée par la période elle-même :

a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T v(t) dt

L'aire "positive" du signal entre 0 et \(T/2\) forme un triangle de hauteur \(+V_{\text{m}}\). L'aire "négative" entre \(T/2\) et \(T\) est un triangle géométriquement identique mais situé sous l'axe (hauteur \(-V_{\text{m}}\)). La somme algébrique des aires sur une période complète est donc strictement nulle.

\text{Aire totale} = (+A) + (-A) = 0 \implies a_0 = 0

De même pour les coefficients \(a_n\) (termes en cosinus), nous calculons l'intégrale du produit \(v(t) \cdot \cos(n\omega t)\). Or, \(v(t)\) est une fonction impaire et \(\cos(n\omega t)\) est une fonction paire. Le produit d'une fonction impaire par une fonction paire donne une fonction impaire. L'intégrale d'une fonction impaire sur une période symétrique (ou centrée) est toujours nulle.

Schéma (Conséquence sur les coefficients)

Bilan des coefficients à calculer :

a0 = 0

an = 0

bn = ?

Réflexions

Cette propriété divise littéralement la complexité du problème par trois. Sans cette analyse préliminaire, un étudiant pourrait perdre 15 à 20 minutes à calculer des intégrales pour \(a_n\) qui finiraient par s'annuler mathématiquement. C'est l'illustration parfaite de "réfléchir avant d'agir".

Points de vigilance

Ne confondez pas "fonction impaire" (symétrie géométrique globale) et "harmoniques impairs" (indices \(n=1, 3, 5\)). Ici, nous avons les deux propriétés simultanément (fonction impaire ET symétrie de demi-onde), ce qui est un cas particulier très fréquent en électrotechnique.

Points à Retenir

Fonction Paire (\(f(t)=f(-t)\)) \(\to\) Série en Cosinus (\(b_n=0\)).
Fonction Impaire (\(f(t)=-f(t)\)) \(\to\) Série en Sinus (\(a_n=0\)).
Symétrie demi-onde (\(f(t+T/2)=-f(t)\)) \(\to\) Harmoniques de rang impair uniquement.

Le saviez-vous ?

Si nous avions simplement décalé l'origine des temps de \(T/4\) vers la droite (au sommet du triangle), le signal serait devenu une fonction paire (symétrie axiale). Dans ce cas, nous n'aurions eu que des cosinus (\(a_n\)) et aucun sinus (\(b_n\)). Le spectre d'amplitude (la valeur absolue des coefficients) serait resté exactement le même, seule la phase change.

FAQ

Pourquoi la valeur moyenne \(a_0\) est nulle ?

Parce que l'aire positive (au-dessus de l'axe) compense exactement l'aire négative sur une période. C'est typique des signaux alternatifs symétriques fournis par des onduleurs ou des générateurs AC standards.

Seuls les termes \(b_n\) (impairs) existent.

A vous de jouer
Si le signal était pair (décalé de T/4), combien vaudrait le coefficient \(b_n\) ?

📝 Mémo
Impair = Sinus uniquement. Pair = Cosinus uniquement.

Question 2 : Calcul de la Pulsation

Principe

La pulsation \(\omega\) (oméga) est une grandeur fondamentale en physique ondulatoire. Elle représente la vitesse de rotation angulaire du vecteur de Fresnel associé au signal sinusoïdal. Elle lie le domaine temporel (période en secondes) au domaine fréquentiel (vitesse angulaire en radians par seconde).

Mini-Cours

La fréquence \(f\) mesure le nombre de motifs élémentaires (cycles) par seconde. La pulsation \(\omega\) mesure l'angle en radians parcouru par seconde. Comme un tour complet (un cycle) correspond à un angle de \(2\pi\) radians, la relation de proportionnalité est directe : \(\omega = 2\pi f\).

Remarque Pédagogique

En physique et électronique, on préfère souvent manipuler \(\omega\) plutôt que \(f\) car cela simplifie l'écriture des dérivées et intégrales des fonctions trigonométriques (évitant de traîner des facteurs \(2\pi\) partout).

Normes

La valeur de la fréquence n'est pas arbitraire. En Europe, la norme IEC 60038 fixe la fréquence standard des réseaux de distribution basse tension à 50 Hz. En Amérique du Nord, le standard est de 60 Hz.

Formule(s)

Définition de la pulsation

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

Hypothèses

On suppose la fréquence du signal parfaitement stable et constante dans le temps (pas de "jitter" ou de dérive fréquentielle).

\(f = \text{constante} = 50 \text{ Hz}\)

Donnée(s)

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	50	Hz (Hertz)

Astuces

Pour \(f=50\text{Hz}\), retenez par cœur la valeur approximative de \(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\). C'est simplement \(100 \times \pi\). Cela permet de vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Concept)

Vitesse angulaire : radians par seconde

Calcul(s) Détaillé

Partons de la définition fondamentale reliant la fréquence temporelle à la pulsation angulaire. On remplace simplement \(f\) par sa valeur numérique dans la formule :

\begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times f \\ &= 2 \times \pi \times 50 \\ &= 100 \pi \\ &\approx 100 \times 3.14159 \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

Le résultat final est une valeur approchée couramment utilisée en électrotechnique. La valeur exacte est \(100\pi\).

Schéma (Résultat)

314 rad/s

Réflexions

Cette valeur est fondamentale car elle sert de base à toute la série. Tous les harmoniques seront des multiples entiers de cette valeur de base : l'harmonique 3 sera à \(3 \times 314 = 942\) rad/s, etc.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Ne confondez pas degrés et radians. Assurez-vous que votre calculatrice est bien configurée en mode Radians si vous devez calculer des sinus plus tard avec cette valeur.

Points à Retenir

Relation clé : \(\omega = 2\pi f\).
Unité SI : radians par seconde (rad/s).
Ordre de grandeur : \(\omega_{50Hz} \approx 314\), \(\omega_{60Hz} \approx 377\).

Le saviez-vous ?

Dans l'aéronautique (avions modernes), la fréquence standard est souvent de 400 Hz (donc \(\omega \approx 2513\) rad/s). Cette fréquence plus élevée permet de réduire considérablement la taille et le poids des noyaux magnétiques des transformateurs et des moteurs.

FAQ

Pourquoi utiliser \(\pi\) ?

Car un tour complet sur le cercle trigonométrique correspond à une circonférence de \(2\pi\) fois le rayon. Le radian est l'unité naturelle pour mesurer les angles en mathématiques.

\(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\)

A vous de jouer
Quelle serait la pulsation pour \(f=60\text{Hz}\) (réseau USA) ?

📝 Mémo
50 Hz \(\approx\) 314 rad/s. 60 Hz \(\approx\) 377 rad/s.

Question 3 : Calcul des Coefficients \(b_n\)

Principe

Nous devons maintenant calculer l'intégrale qui définit \(b_n\). Il s'agit d'intégrer le produit du signal \(v(t)\) par \(\sin(n\omega t)\). Comme \(v(t)\) est une fonction linéaire par morceaux (des segments de droite formant un triangle), le produit \(t \cdot \sin(t)\) ne s'intègre pas directement : nous devrons utiliser une technique d'intégration par parties.

Mini-Cours

Intégration par parties : C'est une méthode dérivée de la règle de dérivation d'un produit. La formule est :

\(\int u v' dt = [uv] - \int u' v dt\)

Dans notre cas, on choisira judicieusement \(u(t) = t\) pour que sa dérivée \(u'(t) = 1\) devienne une constante, ce qui simplifiera considérablement la deuxième intégrale.

Remarque Pédagogique

Pour simplifier le travail et éviter les erreurs de signes sur les pentes négatives, on peut calculer l'intégrale uniquement sur le premier quart de période \([0, T/4]\) où le signal est une simple droite croissante, puis multiplier le résultat par 4 grâce aux symétries du signal.

Normes

Le respect de la rigueur mathématique dans la définition des bornes d'intégration est essentiel pour garantir la validité du résultat physique.

Formule(s)

Intégrale simplifiée sur un quart de période

\begin{aligned} b_n &= \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} v(t)\sin(n\omega t) dt \\ &= \frac{8}{T} \int_{0}^{T/4} v(t)\sin(n\omega t) dt \end{aligned}

Hypothèses

Nous travaillons sur l'intervalle \([0, T/4]\). Sur cet intervalle :

Le signal \(v(t)\) est une droite passant par l'origine.
La pente est constante et positive.

Donnée(s)

Paramètre	Expression Algébrique
Pente \(\alpha\) du signal	\(V_{\text{m}} / (T/4) = 4V_{\text{m}}/T\)

Astuces

Lors de l'évaluation de l'intégrale, n'oubliez pas que le terme \(\sin(n\pi/2)\) est cyclique : il vaut \(1\) si \(n=1\), \(-1\) si \(n=3\), \(1\) si \(n=5\), etc. Cela crée l'alternance de signes caractéristique.

Schéma (Zone d'intégration)

Nous intégrons uniquement cette montée linéaire.

Calcul(s) Détaillé - Étape par Étape

Étape 1 : Équation de la droite sur \([0, T/4]\)

Tout d'abord, nous devons traduire la forme géométrique du signal en une équation mathématique exploitable sur l'intervalle d'intégration. La fonction est une droite \(y = ax\). Elle passe par l'origine \((0,0)\) et par le sommet \((T/4, V_{\text{m}})\).

\begin{aligned} v(t) &= \frac{V_{\text{m}}}{T/4}t \\ &= \frac{4V_{\text{m}}}{T}t \end{aligned}

Cette équation représente une droite passant par l'origine avec une pente proportionnelle à l'amplitude maximale.

Étape 2 : Mise en place de l'intégrale

Ensuite, nous insérons cette expression de v(t) dans la formule intégrale générale du coefficient \(b_n\), simplifiée ici sur un quart de période.

\begin{aligned} b_n &= \frac{8}{T} \int_0^{T/4} \left( \frac{4V_{\text{m}}}{T}t \right) \sin(n\omega t) dt \\ &= \frac{32V_{\text{m}}}{T^2} \int_0^{T/4} t \sin(n\omega t) dt \end{aligned}

On sort les constantes (\(32V_{\text{m}}/T^2\)) de l'intégrale pour alléger l'écriture et se concentrer sur la partie variable.

Étape 3 : Intégration par parties

Pour résoudre l'intégrale d'un produit de type \(t \cdot \sin(kt)\), la méthode de l'intégration par parties est incontournable. Elle permet d'abaisser le degré du polynôme \(t\).

Posons \(u=t\) (donc \(du=dt\)) et \(dv=\sin(kt)dt\) (donc \(v=-\frac{1}{k}\cos(kt)\)), avec \(k=n\omega\).

\begin{aligned} \int t \sin(kt) dt &= \left[ -\frac{t}{k}\cos(kt) \right] - \int \left( -\frac{1}{k}\cos(kt) \right) dt \\ &= -\frac{t}{k}\cos(kt) + \frac{1}{k} \int \cos(kt) dt \\ &= -\frac{t}{k}\cos(kt) + \frac{1}{k^2}\sin(kt) \end{aligned}

Le terme en \(t \cdot \cos(kt)\) provient de la partie 'crochet' \([uv]\), tandis que le terme en \(\sin(kt)\) provient de la seconde intégrale.

Étape 4 : Évaluation des bornes

L'étape cruciale est l'évaluation aux bornes \(0\) et \(T/4\). Rappelons que \(k = n\omega = n\frac{2\pi}{T}\).
Donc au point \(t=T/4\), l'angle est \(k \times \frac{T}{4} = n\frac{2\pi}{T}\frac{T}{4} = \frac{n\pi}{2}\). Observons attentivement le comportement des fonctions trigonométriques à ces points spécifiques.

\text{Terme 1 (crochets)} : -\frac{T/4}{n\omega}\cos(n\pi/2)

Or, pour \(n\) impair, \(\cos(n\pi/2) = 0\). Le premier terme s'annule complètement ! C'est une simplification majeure propre à ce type de signal.

\text{Terme 2 (intégrale)} : \frac{1}{(n\omega)^2}\sin(n\pi/2) - 0

Étape 5 : Résultat Final

Enfin, nous regroupons tous les termes constants pour obtenir l'expression analytique finale et élégante du coefficient.

\begin{aligned} b_n &= \frac{32V_{\text{m}}}{T^2} \times \left[ 0 + \frac{1}{(n\frac{2\pi}{T})^2} \sin(n\pi/2) \right] \\ &= \frac{32V_{\text{m}}}{T^2} \frac{T^2}{4\pi^2 n^2} \sin(n\pi/2) \\ &= \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \end{aligned}

Rang \(n\)	Terme \(\sin(n\pi/2)\)	Coefficient \(b_n\)
1	\(1\)	\( \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2} \)
3	\(-1\)	\( -\frac{8V_{\text{m}}}{9\pi^2} \)
5	\(1\)	\( \frac{8V_{\text{m}}}{25\pi^2} \)

Schéma (Spectre)

La décroissance des barres est très rapide (en 1/n²).

Réflexions

La décroissance en \(1/n^2\) est caractéristique des signaux continus mais à dérivée discontinue (forme triangulaire). C'est mieux qu'un signal carré (\(1/n\)).

Points de vigilance

Attention au signe ! Le terme sinus alterne : positif (\(n=1\)), négatif (\(n=3\)), positif (\(n=5\)). Ne mettez pas tous les termes positifs par erreur, cela changerait la forme du signal reconstruit.

Points à Retenir

Amplitude proportionnelle à \(1/n^2\).
Signes alternés.
Harmoniques impairs seulement.

Le saviez-vous ?

Ce signal est très proche d'une sinusoïde pure. Le taux de distorsion harmonique est très faible (environ 12%).

FAQ

Que se passe-t-il si n est pair ?

Pour \(n\) pair (2, 4, 6...), le terme \(\sin(n\pi/2)\) vaut 0. Donc \(b_n=0\).

\(b_n = \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2 n^2} (-1)^{\frac{n-1}{2}}\)

A vous de jouer
Calculez la valeur numérique du fondamental \(b_1\) pour \(V_{\text{m}} = 10\)V.

📝 Mémo
Triangle = \(1/n^2\). Carré = \(1/n\).

Question 4 : Série de Fourier Complète

Principe

On applique le principe de superposition : le signal total est la somme infinie de tous les harmoniques calculés précédemment.

Mini-Cours

Une série de Fourier est une représentation spectrale. Elle permet de passer du domaine temporel \(t\) au domaine fréquentiel \(n\omega\). C'est comme donner la "recette" du signal : tant de sinus à 50Hz, tant de sinus à 150Hz, etc.

Remarque Pédagogique

L'écriture formelle avec la somme \(\sum\) est compacte, mais l'écriture développée (terme à terme) est souvent plus parlante physiquement.

Normes

Dans les fiches techniques d'onduleurs, on spécifie souvent le THD (Total Harmonic Distortion) basé sur cette série.

Formule(s)

Somme finale formelle

v(t) = \sum_{p=0}^{\infty} b_{2p+1} \sin((2p+1)\omega t)

Hypothèses

La série converge uniformément vers la fonction \(v(t)\) car la fonction est continue partout.

Pas de phénomène de Gibbs (car pas de discontinuité).

Donnée(s)

Composante	Expression de l'amplitude
Amplitude harmonique \(H_n\)	\(8V_{\text{m}} / (\pi^2 n^2)\)

Astuces

Vérifiez toujours t=T/4. Le sommet du triangle doit correspondre à la somme des sinus (tous égaux à 1 ou -1 à cet instant).

Schéma (Superposition)

Calcul(s) : Application numérique des premiers termes

Développons les 3 premiers termes non nuls pour \(V_{\text{m}}\) quelconque :

Commençons par calculer le terme principal, le fondamental (\(n=1\)), qui porte l'énergie utile du signal.

\begin{aligned} b_1 &= \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2 (1)^2} \times (+1) \\ &= \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2} \approx 0.81 V_{\text{m}} \end{aligned}

On constate que l'amplitude du fondamental est légèrement inférieure à \(V_{\text{m}}\) (environ 81%).

Passons au premier harmonique significatif, l'harmonique 3. Notez l'apparition du signe moins dû à l'alternance.

\begin{aligned} b_3 &= \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2 (3)^2} \times (-1) \\ &= -\frac{8V_{\text{m}}}{9\pi^2} \approx -0.09 V_{\text{m}} \end{aligned}

L'amplitude chute drastiquement : elle est divisée par 9 par rapport à une décroissance en \(1/n\) simple.

Enfin, calculons l'harmonique 5 pour voir la tendance :

\begin{aligned} b_5 &= \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2 (5)^2} \times (+1) \\ &= \frac{8V_{\text{m}}}{25\pi^2} \approx 0.03 V_{\text{m}} \end{aligned}

On peut donc écrire l'expression temporelle complète :

v(t) = \frac{8V_{\text{m}}}{\pi^2} \left[ \sin(\omega t) - \frac{1}{9}\sin(3\omega t) + \frac{1}{25}\sin(5\omega t) - \dots \right]

Schéma (Signal résultant)

Le signal reconstruit est un triangle parfait (voir simulateur en bas de page).

Réflexions

Le fondamental (\(0.81 V_{\text{m}}\)) représente la majeure partie du signal. L'harmonique 3 est déjà 9 fois plus petit. Cela montre que l'énergie est fortement concentrée sur le fondamental.

Points de vigilance

N'oubliez pas le facteur global \(8V_{\text{m}}/\pi^2\) devant la parenthèse ! C'est une erreur fréquente d'oublier de le distribuer ou de l'écrire.

Points à Retenir

Forme de la série : \(\sin(\omega t) - \frac{1}{9}\sin(3\omega t) + \dots\)
Prédominance du fondamental.

Le saviez-vous ?

En synthèse sonore (musique électronique), ajouter ces harmoniques impairs avec ces amplitudes spécifiques à un son pur crée un timbre qui ressemble à une flûte ou une clarinette (un son "bois" très doux).

FAQ

Combien de termes faut-il garder pour une bonne approximation ?

Pour une précision visuelle ou de calcul de puissance de l'ordre de 1%, les 3 premiers termes (n=1, 3, 5) suffisent généralement pour un triangle, car la convergence est très rapide.

Série convergente rapidement vers le triangle.

A vous de jouer
Quel est le signe devant le terme suivant \(\sin(7\omega t)\) ? (+ ou -)

📝 Mémo
Alternance de signes impaires : +, -, +, -...

Question 5 : Convergence et Comparaison

Principe

Nous allons maintenant analyser la "vitesse" à laquelle les harmoniques deviennent négligeables. Cette vitesse de décroissance dépend directement de la "douceur" (régularité mathématique) de la courbe. Plus la fonction est lisse, plus sa série de Fourier converge vite.

Mini-Cours

Théorème : Si une fonction est continue mais sa dérivée discontinue (triangle), les coeff décroissent en \(1/n^2\). Si la fonction est discontinue (carré), ils décroissent en \(1/n\).

Remarque Pédagogique

C'est pourquoi le signal carré est très "polluant" en électronique : il contient beaucoup d'énergie dans les hautes fréquences, ce qui peut perturber d'autres appareils.

Normes

Les normes CEM (Compatibilité Électromagnétique), comme la norme IEC 61000-3-2, imposent des limites strictes sur les harmoniques de courant injectés dans le réseau public. Un signal triangulaire est plus facile à filtrer pour respecter ces normes qu'un signal carré.

Formule(s)

Comparaison des Taux de décroissance

|c_n|_{\text{triangle}} \propto \frac{1}{n^2} \quad \text{vs} \quad |c_n|_{\text{carré}} \propto \frac{1}{n}

Hypothèses

Comparaison à fréquence et amplitude fondamentale égales.

Signal Carré vs Signal Triangulaire.

Donnée(s)

Signal	Discontinuité	Décroissance
Carré	Sur le signal	\(1/n\) (Lente)
Triangle	Sur la dérivée	\(1/n^2\) (Rapide)

Astuces

Chaque intégration ajoute un facteur \(1/n\). Carré \(\xrightarrow{\int}\) Triangle. Donc \(1/n \to 1/n^2\).

Schéma (Pentes spectrales)

Comparaison de la décroissance en échelle logarithmique.

Calcul(s) de la Pente en Décibels

En diagramme de Bode, on trace \(20 \log(\text{Amplitude})\) en fonction de \(\log(n)\).

Pour le triangle, l'amplitude est proportionnelle à \(1/n^2\). Calculons le gain en dB :

\begin{aligned} G_{\text{dB}} &= 20 \log\left(\frac{1}{n^2}\right) \\ &= 20 \times \log(n^{-2}) \\ &= 20 \times (-2) \times \log(n) \\ &= -40 \log(n) \end{aligned}

Le coefficient "-40" devant le log signifie que la pente est de -40 dB par décade.

Pour comparaison, le signal carré a une pente de -20 dB par décade.

Schéma (Spectre Final)

Voir le graphique interactif ci-dessous pour visualiser la décroissance.

Réflexions

Le signal triangulaire est plus facile à filtrer qu'un signal carré car l'énergie est concentrée dans les basses fréquences.

Points de vigilance

Ne pas dire "il n'y a plus d'harmoniques". Il y en a une infinité, mais ils deviennent très petits très vite.

Points à Retenir

Plus c'est lisse, plus ça converge.
Triangle : décroissance quadratique.

Le saviez-vous ?

Si on intégrait encore le triangle (pour obtenir des paraboles), la décroissance serait en \(1/n^3\) !

FAQ

Est-ce toujours vrai ?

Oui, c'est une propriété mathématique liée à la classe de dérivabilité \(C^k\) de la fonction.

Convergence rapide (\(1/n^2\)).

A vous de jouer
Quel est le rapport d'amplitude entre H1 et H3 pour un carré ? (C'est \(1/3\)). Et pour un triangle ?

📝 Mémo
Lisse = Spectre Propre.

📝 Grand Mémo : Analyse de Fourier

Synthèse pour l'examen :

🔑
Symétrie Impaire :
Signal passant par 0 et antisymétrique \(\implies\) Pas de composante continue (\(a_0=0\)) ni de cosinus (\(a_n=0\)).
📐
Coefficients \(b_n\) du Triangle :
Décroissance rapide en \(1/n^2\). Signe alterné (\(+ - + - \dots\)).
💡
Comparaison Carré/Triangle :
Le carré a des sauts brusques (discontinuités) \(\to\) spectre riche (\(1/n\)). Le triangle est continu \(\to\) spectre pauvre (\(1/n^2\)).

"Plus le signal est lisse, plus ses harmoniques décroissent vite."

🎛️ Simulateur : Synthèse Harmonique

Visualisez comment l'addition des harmoniques permet de reconstruire le signal triangulaire.

Paramètres

Amplitude \(V_{\text{m}}\) (V) : 10

Nombre d'harmoniques \(N\) : 1

Fondamental (V) : -

Harmonique max (rang N) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si on décale le signal triangulaire vers le haut (offset), quel coefficient change ?

Tous les \(b_n\)
Uniquement \(a_0\) (valeur moyenne)
Les coefficients \(a_n\)

2. Pourquoi n'y a-t-il pas d'harmoniques pairs (2f, 4f...) ?

Car le signal possède une symétrie de demi-onde (alternance symétrique).
Car le signal est triangulaire.
C'est un hasard du calcul.

📚 Glossaire

Fondamental: Première composante sinusoïdale du spectre (rang n=1), de même fréquence que le signal d'origine.
Harmonique: Composante sinusoïdale dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale.
Parité: Propriété mathématique d'une fonction (Paire ou Impaire) décrivant sa symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ou à l'origine.
Spectre: Représentation graphique de l'amplitude des harmoniques en fonction de la fréquence.